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第四章：因式分解培优训练试题答案
一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：C
解析：∵
∴
∴，，
故选择：C．
2.答案：A
解析：
第一个多项式为
∴ 两个多项式都含有的公因式为.
故选择：A
3.答案：A
解析：
，
∵为整数，
∴也为整数，
∴能被整除，
∴多项式都能被整除．
故选择：A
4.答案：C
解析：
，
∵阴影部分的面积为10，
∴．
∴的值不变．
故选择：C
5.答案：C
解析：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选择：C．
6.答案：D
解析：a2-6ab+5b2
=a2-6ab+9b2-4b2
=(a-3b)2-(2b)2
=(a-3b+2b)(a-3b-2b)
=(a-b)(a-5b)；
故选择：D．
7.答案：A
解析：∵当时，代数式的值为13，
∴，
∴，
∴当时，代数式
故选择：A
8.答案：B
解析：设k是正整数，
∵，
∴除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，A，C选项都是智慧数，不符合题意；
∵，
∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以D选项是智慧数，不符合题意，
B选项2026不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，符合题意．
故选择：B．
9.答案：D
解析：
原式
∴对应密文可得到的字为：爱，我，中，大；
故选择：D．
10.答案：A
解析：设原两位数的十位数字为a，个位数字为b，则原数为，调换后的新数为．
原数和新数的乘积为：，
∵能被9整除，且能被9整除，
∴也能被9整除，
∴能被3整数，
又∵这个两位数的个位数与十位数的和一定能被整数整除，
∴，
因此，整数为3，
故选择：A．
二．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：9
解析：因为，
所以
，
故答案为：．
12.答案：63
解析：，
∵，
∴
∴原式，
故答案为：63．
13.答案：
解析：原式
．
故答案为：．
14.答案：
解析：∵，，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
故答案为：．
15.答案：
解析：
故答案为：
16.答案：84
解析：∵大长方形的周长为12，面积为7
，
，
故答案为：84
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.
（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=
18.解析：（1）．
把，代入上式，
原式．
变式题：，，
，即，
故答案为：．
（2）原式．
把，代入上式，
原式．
19.解析：，
，
∴，
由题意可知：原二次三项式为，
∴．
20.解析：（1）由题意得，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设另一个因式为，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴另一个因式为，b值为1．
21.解析：（1）①；③；④
故答案为：①③④
（2）∵若和都是完全平方式，
∴，
或
（3）∵多项式：加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，
∴可加的单项式为：或或或或
22.解析：（1）∵是多项式的一个因式，
∴把代入得：
，解得：；
（2）∵和是多项式的两个因式，
∴
解得：
原式为：
（3）
23.解析：（1）原式
，
；
（2）解：
，
，
当，时，
原式
；
（3）解：为等腰三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的三边长，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
24.解析：（1）
（2）解：
∴当时，多项式有最大值，最大值为2；
（3）解：∵
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第四章：因式分解培优训练试题
一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．若多项式因式分解的结果为，则，的值分别为（ ）
A．， B．，3 C．2， D．2，3
2．与的公因式是（ ）
A． B． C． D．不存在
3．对于任意整数，多项式都能被（ ）整除．
A． B． C． D．
4．如图，正方形与正方形的边长分别为，连接、，若阴影部分的面积为10．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
6.多项式因式分解的结果是（ ）
A． B． C． D．
7.当时，代数式的值为13，则当时，代数式的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
8．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为，所以11就是一个“智慧数”．下面4个数中不是“智慧数”的是（ ）
A．2025 B．2026 C．2027 D．202
9．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示：
密文 … 8 …
明文 … 我 爱 中 华 大 地 …
把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ）
A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大
10．已知一个两位数，将其个位数与十位数调换位置后，所得的新两位数与原两位数的乘积能被9整除．若这个两位数的个位数与十位数的和一定能被整数整除，则整数是（　 　）
A．3 B．4 C．5 D．9
二．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11．若代数式的值为则的值是______
12．如果那么
13．因式分解：（n是正整数）______
14．已知满足，，，则的值为______
15.分解因式：
16．如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.（本题8分）因式分解：
18．（本题8分）（1）已知，，求的值；
变式题本质相同：逆向思维
若实数，满足，，则的值为_______．
（2）已知方程组，求代数式的值．
19．（本题8分）在对二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为，乙同学因看错了常数项而将其分解为，试将此多项式进行正确的因式分解．
20．（本题8分）仔细阅读下面例题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，．
类比上面方法解答：
(1)若二次三项式可分解为，则______．
(2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值．
21.（本题8分）（1）下列各式中是完全平方式的有　 　（填序号）
①；②；③；④；⑤
（2）若和都是完全平方式，求的值.
（3）多项式：加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，求加上的单项式.
22．（本题10分）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0．
利用上述规律，回答下列问题：
(1)若是多项式的一个因式，求k的值．
(2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解．
(3)分解因式：．
23.(本题10分）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
（1）分解因式：；
（2）已知，，求的值；
（3）的三边满足，判断的形状并说明理由．
24．(本题12分）阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例1：分解因式．
原．
例2：求的最大值．
故当时，的最大值为10．
根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题．
(1)利用配方法分解因式：；
(2)当为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值；
(3)已知正数满足，求．
第4题
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