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陕西西安高新一中沣东中学等校2025-2026学年高三下学期考前阶段自测数学试题
一、单选题
1．设集合，，则
A． B． C． D．
2．复数都可以表示，其中为的模，称为的辐角．已知复数满足 ，则的辐角为（ ）
A． B． C． D．
3．设等比数列的公比为，前项的和为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．交通运输部发布了《城市轨道交通客运组织与服务管理办法》，对乘客在地铁内一系列行为进行规范，其中就包括“使用电子设备时外放声音”，不听劝阻者将被列入“乘客行为黑名单”.该办法已于2020年4月开始施行.通常我们以分贝为单位来表示声音大小的等级，30~40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病.如果强度为的声音对应的分贝数为，那么满足：.若在地铁中多人外放电子设备加上行车噪音，车厢内的声音的分贝能达到，则的声音与的声音强度之比为（ ）
A．4 B．100 C．40000 D．10000
5．在（x-2y）（x＋y）4的展开式中，x2y3的系数是（ ）
A．8 B．10 C．-8 D．-10
6．已知O为坐标原点，直线上存在一点P，使得，则k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知向量、夹角为，且，，若，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
8．双曲线：与抛物线有公共焦点，是它们的公共点，设，若，则的离心率（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知数据，数据，则下列统计量中，数据2是数据1的两倍的有（ ）
A．均值 B．极差 C．方差 D．标准差
10．已知函数，则（ ）
A．函数的图象关于y轴对称 B．时，函数的值域为
C．函数的图象关于点中心对称 D．8为函数的周期
11．如图，四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱平面，且，E、F分别是AB、BC的中点，P是线段上的一个动点，过P、E、F的平面记为，Q在上且，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥的体积是定值
B．当直线时，
C．当时，平面截棱柱所得多边形的周长为
D．存在平面使得点到平面距离是A到平面距离的3倍
三、填空题
12．知乎从1~10的十个小球，从盒子中同时取出3个小球，这三个小球的最小编号大于4且小于7的概率为______．
13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则________．
14．已知函数存在零点，则的最小值为_______________.
四、解答题
15．如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且，F是EB的中点；
(1)求证：平面ABC；
(2)若，，求平面CDF与平面ABE所成锐二面角的余弦值．
16．高尔顿板是英国生物数学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞.且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右流下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下.
(1)若进行一次高尔顿板试验，求这个小球掉入2号球槽的概率；
(2)若进行5次高尔顿板试验，记小球掉入偶数号球槽的次数为.求的分布列与期望.
17．已知椭圆的离心率为，其短轴长为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知直线，过椭圆右焦点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，过点A作，垂足为D．求证：直线BD过定点E，并求出定点E的坐标；
18．首项为的无穷数列同时满足下面两个条件：①；②．
(1)证明：中相邻两项不可能同时为非负数；
(2)记，若对任意成立，求的通项公式；
(3)对于给定的正整数，求的最大值．
19．已知函数．
(1)当时，求的最小值；
(2)讨论的单调性；
(3)若存在极小值，且极小值等于，求证：．
参考答案
1．C
详解：
故选C.
2．C
【详解】由得，
故，
所以.
故选C．
3．C
【详解】，，，
故，
因为在等比数列中，，故,
故“”是“”的充要条件.
故选：C．
4．D
【详解】设的声音和的声音强度分别为：，所以有：
，，
得：，
所以选：D
5．C
【详解】解：，的展开式的通项是，令，则，则的展开式中的系数为，令，则，则的展开式中的系数为，故展开式中的系数是，
故选：C.
6．C
【详解】点到直线的距离为
，
由题意得坐标原点到直线距离，，
所以，解得
所以k的取值范围为.
故选：C.
7．C
【详解】解：∵向量、夹角为，且，，
∴ =|| ||cos120°==﹣3，
∵=，且⊥，
∴ =（） =（） （）=0，
即 ﹣+λ﹣ =0，
∴﹣3﹣4+9 +3 =0，
解得，
故选：C
8．A
【详解】由抛物线方程知焦点为，，不妨设公共点在x轴上方，即
在直角三角形中，,
由勾股定理
解得：，即
所以由双曲线定义知
故离心率.
故选：A
9．BD
【详解】设数据的均值为，标准差为，极差为，
则数据2：的均值为，方差为，所以选项A,C错误；
数据2的标准差为，极差为，所以选项B，D正确，
故选:BD.
10．ABD
【详解】
满足，函数是偶函数，图像关于y轴对称，故A正确；
时，，
，，
故函数的值域为，所以B正确；
，，
所以C错误；
，8是函数的周期，所以D正确；
故选：ABD．
11．ACD
【详解】对于A，如图，因为，
设点到平面的距离为，则，
因为平面，P是线段上的一个动点，
所以点到平面的距离为定值，又，
所以三棱锥的体积是定值，A正确
对于B，延长，DC分别交直线于，两点，连接，分别交，于，，
连接，，则平面截棱柱所得的多边形为，
因为平面平面，则当时，，又是的中点，
故是的中点，因为，则，，
所以，所以，故B错误
对于C，若，则，所以与点重合，则，，多边形的周长为，故C正确
对于D，若存在，则，且，得，
因为，所以，
所以，小于的长度，存在，故D正确.
12．
【详解】三个小球的最小编号大于4且小于7有两种可能：5、6，
两数二选一或5和6均有，则.
故答案为：
13．0
【详解】因为在中，，
所以，
所以，
所以
14．
【详解】函数的定义域为.
设是在上的零点，
可得，即，
即点在直线上.
可理解为点到原点的距离的平方.
所以原点到直线的距离一定小于等于点到原点的距离，
即在上能成立，
即在上能成立.
令，，则，
因为，，，所以，
所以在上单调递增，
所以当时，，
即的最小值为.
故答案为：.
15．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：取AB中点G，连FG
易知：，
因为EA，DC均垂直面ABC
∴
∵
∴且
∴四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面
（2）解：作面，以，，分别为，，建立平面直角坐标系，
∴，，，，，，，，
设面法向量，面的法向量可以为，
∴，令，则，
∴．
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为；
16．(1)
(2)分布列答案见解析，数学期望
【详解】（1）设这个小球掉入2号球槽为事件A.
掉入2号球槽，需要向右1次向左5次,
所以
所以这个小球掉入2号球槽的概率为.
（2）小球掉入偶数号球槽的概率为,
由题意知，且的可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5,
由，，
可得分布列为：
0 1 2 3 4 5
P
17．(1)
(2)证明见解析，定点E为．
【详解】（1）由题意可得，解得，
故椭圆C的方程为．
（2）由对称性，若直线BD过定点E，则该定点E必在x轴上，
由题得，设直线，
设，，，
联立方程，得，
所以有，，
因为，所以直线BD的方程为，
令，得
由，，得，
将代入（*），
则，
故直线BD过定点，即定点E为．
18．(1)证明见解析
(2)
(3)当为奇数时，的最大值为；当为偶数时，的最大值为.
【详解】（1）假设数列中存在、同时为非负数，
因为，
若，则有，与已知矛盾．
若，则有，与已知矛盾．
所以假设不成立，即中相邻两项不可能同时为非负数．
（2）因为，．
因为对任意成立，所以为单调递增数列．
即数列的偶数项、、、、是单调递增数列．
由题意计算得出，，
因为数列单调递增，所以当时，恒成立，
所以时，，，即，．
所以，，
则，
又，，
所以是以，公差为的等差数列，.
（3）由（1）知，当时，，
根据，有，所以，
当时，，
根据，有，所以，
所以当为奇数时，，则的最大值为；
当为偶数时，，的最大值为.
19．(1)
(2)当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在、上单调递增；当时，则在上单调递增；当时，则在上单调递减，在、上单调递增.
(3)证明见解析
【详解】（1），
当时，，
由可得，由可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，的最小值为.
（2），
当时，则对任意的恒成立，
由可得，由可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，则或，
①当时，即时，
由可得或，由可得，
所以函数在上单调递减，在、上单调递增；
②当时，即时，对任意的，，
此时在上单调递增；
③当时，即时，
由可得或，由可得，
此时在上单调递减，在、上单调递增.
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在、上单调递增；
当时，则在上单调递增；
当时，则在上单调递减，在、上单调递增.
（3）由题意可知，由（2）可知，当时，
函数的极小值为，此时，
因为，则，此时，等式不成立；
当时，函数的极小值为，此时，
因为，则，则，
由不等式的性质可得，等式不成立；
当时，函数在上单调递增，函数无极值；
当时，函数的极小值为，
可得，令，则，且，则，
先证明不等式，其中，
即证，
令，，其中，则，
所以，函数在上为增函数，当时，，
所以，当时，，
设，即，所以，
上述两个等式相除得，
所以，所以，则，
即，可得，
由基本不等式可得，故原不等式得证.

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