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安徽鼎尖教育2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题
一、单选题
1．已知复数（i为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，，则（ ）
A．16 B． C．9 D．
3．如图所示，某测量人员在高为100m的山顶A处，测得地面同一直线上的B、C两点的俯角分别为和，则B、C两点的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．《九章算术》中将正圆台称为“圆亭”．某中学数学社团仿照古制制作了“圆亭”模型，模型上、下底面周长分别为和，高为3，则该模型的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．用斜二测画法画出的水平放置的的直观图是边长为2的正三角形，则原的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．对于简单凸多面体，满足欧拉公式：顶点数棱数面数．已知某正多面体的每个面都是正三角形，每个顶点连接4条棱，则该正多面体的棱数E为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．20
7．在锐角中，内角的对边分别为，已知，，且边上的中线长为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知非零向量，不共线，给出下列四个结论：
①若，则；
②若，则存在正实数，使得与垂直；
③“”是“与的夹角为锐角”的充分不必要条件；
④若，则“”是“与的夹角为”的充要条件．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．已知复数z满足（为虚数单位），且z是关于x的实系数一元二次方程的一个根，则下列说法正确的有（ ）
A．z的虚部为 B．复数z的共轭复数为
C． D．
10．如图，已知正三棱柱的所有顶点都在表面积为的球O的球面上，底面边长为a，侧棱长为h，则下列说法正确的有（ ）
A．正三棱柱的外接球的球心O一定是上下底面中心连线的中点
B．若底面边长，则侧棱长
C．若侧棱长，则该正三棱柱的体积为
D．该正三棱柱的侧面积的最大值为
11．已知中，，点P为边BC上的动点，满足（，为实数），则下列说法正确的有（ ）
A．的面积的最大值为 B．当P为BC中点时，
C．若的面积为面积的，则 D．若，则的最小值为
三、填空题
12．已知向量，，若与共线，则实数______．
13．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三个侧面的面积分别为1，2，3，则该三棱锥的体积为________．
14．在平面斜坐标系中，，平面上任意一点P的斜坐标定义为：若，其中、分别为x轴、y轴正方向上的单位向量，则P的斜坐标为．已知点A的斜坐标为，点B的斜坐标为．若，则实数k的值为________．
四、解答题
15．已知，是夹角为的两个单位向量，设，．
(1)求证：与垂直；
(2)求向量与的夹角的大小．
16．已知复数z满足，且z的共轭复数满足为纯虚数．
(1)求复数z；
(2)若复数，求w在复平面内对应点的坐标，并判断该点所在的象限．
17．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若，求的周长的取值范围．
18．如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，，侧棱．该直三棱柱内有一个圆柱，圆柱的下底面在直三棱柱的底面ABC上，上底面在直三棱柱的上底面上，且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相切．
(1)求该圆柱的表面积；
(2)求该直三棱柱的外接球O的体积；
(3)点M是直三棱柱外接球表面上的动点，N是圆柱表面上的动点，记，R为外接球的半径，求的最大值．
19．在中，角的对边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)若，解答下列问题：
①当的面积为时，求AC边上的中线长；
②若点D在边上，且平分，求的取值范围．
参考答案
1．C
【详解】由题意得，.
2．A
【详解】方法一：坐标法．
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，则，，．
，，
则．

方法二：利用向量关系．
．
由于，，
所以．
3．C
【详解】设山顶在地面的投影为，则，从看的俯角为，则，所以．
从看的俯角为，则，所以．
由于、在的同侧，则．
4．A
【详解】已知圆台上、下底面周长分别为和，则半径分别为，，高．
圆台体积公式为，
代入得：．
5．B
【详解】由斜二测画法，直观图面积与原图面积的关系为，
已知直观图是边长为2的正三角形，其面积为，
所以原三角形面积为．
6．B
【详解】因为过每个顶点的棱数为4，则，得；
每个面是正三角形，每条棱属于2个面，故，得；
代入欧拉公式：，解得．
7．D
【详解】由已知条件，化简得．
由正弦定理得，，
又，所以，
所以，由于为锐角三角形，所以．
边上的中线长为，
设边上的中线长为，则，
所以
，
所以，
所以．

8．B
【详解】①由得，展开得，故，正确．
②若与垂直，，解得，
因、，故，不存在正实数，错误．
③，即，得，即与夹角为锐角（因为不共线），反之亦然，故为充要条件，不是充分不必要，错误．
④由，得，；反之亦然，故为充要条件，正确．
正确结论为①④，共2个．
9．ACD
【详解】对于AB，由得，
其虚部为，共轭复数为2i，故A正确、B错误；
对于CD，实系数方程一根为，
代入原方程得，，
解得，，故C、D正确．
10．ABD
【详解】由已知球表面积为得半径，
对于A，正三棱柱外接球球心为上下底面中心连线的中点，故A正确；
对于B，由几何关系得，即，
代入，得，故B正确；
对于C，若，则，体积，故C错误；
对于D，由得，
侧面积，
因为，
当且仅当时等号成立，
所以，故D正确．
11．ABC
【详解】对于A，由已知条件，得，
由，得，
平方得，得，．
，
由，得，则，
所以，故A正确．
对于B，当为中点时，，
则，故B正确．
对于C，由在上，设且，则与面积比等于，
由得，故C正确．
对于D，若，则，结合，得，为等边三角形．
,，
则
，
当时，取得最小值，故D错误．
12．/0.5
【详解】由已知得，，
因为两向量共线，所以，解得．
13．/
【详解】由题意，设三条侧棱长分别为，，，且两两垂直，三个侧面为直角三角形，
其面积分别为，，，即，，．
三式相乘得，所以，
三棱锥的体积为．
14．6
【详解】因，所以，
由题意，．
，
已知、为单位向量，夹角为，故，
则，解得．
15．(1)证明见解析
(2)（或）
【详解】（1）由已知，
，
所以．
因为，是夹角为的单位向量，
所以，且，
代入得，
因此，与垂直
（2）设向量与的夹角为，则．
先计算．
再计算，
所以；
，
所以．
于是，
因为，故（或）．
16．(1)或
(2)当时，在复平面内对应点的坐标为，且该点位于第二象限；当时，在复平面内对应点的坐标为，该点位于第四象限．
【详解】（1）设，其中，
由，得，
又，
则．
因为为纯虚数，
所以实部为零，虚部不为零，即，
联立方程，解得．
当时，；当时，．
所以或．
（2）由，而，
故．
当时，，
在复平面内对应点的坐标为，且该点位于第二象限；
当时，，
在复平面内对应点的坐标为，且该点位于第四象限．
综上，当时，在复平面内对应点的坐标为，且该点位于第二象限；
当时,在复平面内对应点的坐标为，该点位于第四象限．
17．(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理，得，
代入已知，得．
因为，，得，即．
又为锐角三角形，所以；
（2）由正弦定理得，所以，．
因为，所以，即，
因为是锐角三角形，所以解得．
周长．
．
由于，则，从而，
，
所以周长的取值范围是．
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，
所以，
的内切圆半径，
圆柱的高，
所以圆柱的表面积
．
（2）直三棱柱的外接球球心位于上下底面外心连线的中点，
设外接圆的圆心为，
底面直角三角形外心是斜边的中点，则，
，所以，
外接球半径，
体积．
（3）设底面的内心为，
由球的几何性质，的取值范围为，
代入得，
即的最大值，等价于求圆柱表面上的点到球心的距离的最大值的平方，
设点在底面的投影为，到底面的竖直距离为，
，
当取最大值（即在圆柱上底面或下底面的圆周上）时，竖直分量最大；同时水平分量的最大值出现在底面内切圆圆周上，
因此的最大值必在圆柱上下底面的内切圆圆周上取得，
在中，内切圆半径，外接圆半径为，
内心到外心的距离为，
，
，
故．
19．(1)
(2)①；②
【详解】（1）根据已知，由正弦定理得，
因为，
所以，
由得，故．
（2）①由（1）知，则，
由面积得，即，
又由余弦定理，
代入，得，
设的中点为，则，
，
故中线长为．
②由角平分线得，
又，得，，
则，
由余弦定理，即，
所以，，
由（当且仅当时取等号），得：
所以，
又为三角形边长，则，故
综上所述，的取值范围为．

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