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广东省深圳市人大附中深圳学校2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷
一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）
1．已知复数满足，则（　　）
A． B． C． D．
2．直线，的斜率分别为1，2，，夹角为，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知函数，则（　　）
A．2 B． C．4 D．
4．已知等差数列的前15项和，则（　　）
A．7 B．15 C．6 D．8
5．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（　　）．
A．14种 B．16种 C．18种 D．20种
6．已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
7．已知，分别是双曲线的左，右焦点，若是双曲线左支上的点，且．则的面积为（　　）
A．8 B．16 C．24 D．
8．北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有 个小球，共有层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）
9．已知函数．则下列结论正确的是（　　）
A．图像关于点中心对称 B．图像关于直线对称
C．的最大值为 D．既是奇函数又是周期函数
10．设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过且垂直于的直线交于，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则正确的结论是（　　）
A． B．
C．存在直线，使得 D．对任意直线，
11．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则（　　）
A． B．
C．存在最小值 D．的最大值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.）
12．已知，则的最大值为　 　.
13．已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数的值为　 　.
14．举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功，已知甲选手每次能举起该重量的概率是，且每次试举相互独立，互不影响，设试举的次数为随机变量，则的数学期望　 　；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是　 　．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知数列的前n项和为，且，.
（1）求实数的值和数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
16．已知为坐标原点，是圆上一点，且，线段的垂直平分线交线段于点，设动点的轨迹为曲线，且曲线与直线相切．
（1）求的方程；
（2）过点且斜率为的直线与曲线交于两点，求面积的最大值．
17．在梯形中，为的中点，线段与交于点，将沿折起到的位置，使得平面平面.
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18．已知函数.
（1）已知在区间上单调递减，求的取值范围；
（2）当时，证明：若，则.
（参考数据：）
19．设，，，若各项均为正数的数列满足，则称数列具有性质“”．
（1）已知数列的前n项和为，且，试判断数列是否具有性质“”，并说明理由；
（2）若数列满足，且．
（i）证明：数列具有性质“”；
（ii）记数列的前n项和为，证明：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以
故答案为：C
【分析】本题考查复数的四则运算与复数模的计算，核心是先通过复数除法化简求出z，再代入复数模的公式计算∣z∣。
2．【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：设直线，的倾斜角分别为，则，；
因此；
所以.
故答案为：C
【分析】本题考查直线夹角的正切公式与三角恒等变换，核心是先通过两直线斜率求出夹角的正切值，再利用二倍角公式和弦化切技巧计算sin2θ。
3．【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：由题意得，函数，
所以，则
故答案为：D.
【分析】本题考查分段函数的嵌套求值，核心是先根据自变量的取值范围确定对应解析式，先求内层函数值，再将其作为自变量代入对应解析式求外层函数值。
4．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的等差为前项的和，
，可得，
则.
故答案为：C.
【分析】本题考查等差数列的前项和公式与通项公式的性质，核心是利用等差数列的性质求出，再将所求式子转化为计算结果。
5．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的4人中选取3人，剩下两人去剩下两个舱位，有种可能；
若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下5人中选取4人进入天和核心舱即可，则有种可能；
根据分类加法计数原理，共有种可能.
故答案为：C.
【分析】分甲在天和核心舱和甲不在天和核心舱两种情况讨论，根据特殊元素和特殊位置优先考虑，结合排列、组合求解即可.
6．【答案】B
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：中，，，取中点，
连接，则，如图所示：
易知，，
若的面积为，则，解得，
则，
故圆锥的体积.
故答案为：B.
【分析】取中点，连接，则，解等腰三角形求得，再根据的面积，求得，利用勾股定理求得圆锥的高，最后根据圆锥的体积公式求解即可.
7．【答案】C
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】解：因为是双曲线左支上的点，所以，．
在中，，
即，所以，，
故的面积为．
故答案为：C．
【分析】本题考查双曲线的定义与三角形面积公式的结合应用，核心是先利用双曲线定义得到的值，再结合余弦定理求出的正弦值，最终用三角形面积公式计算结果。
8．【答案】B
【知识点】数列的应用
【解析】【解答】解：由题意可知：，最底层小球的数量为，即，，
，
整理得，
即，
即，
即，即，
由于都为正整数，则
（i）当时，，
（ii）当时，，
（iii）当时，，
（iv）当时，
只有符合题意，即的值为2.
故答案为：B.
【分析】由题意可得，最底层小球的数量为，即，，根据小球的总个数为240，列式整理可得，再由皆为正整数分类讨论求解即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数最大（小）值；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A：因为，，所以，
因此图像关于点中心对称，所以本选项结论正确；
B：因为，，
所以，因此图像关于直线对称，所以本选项结论正确；
C：，
设，所以，
当时，单调递减，当时，单调递增，
当时，单调递减，当时，函数有极大值，极大值为：，而，所以函数的最大值为，因此本选项结论不正确；
D：因为，所以是奇函数，
因为，
所以是周期函数，因此本选项结论正确，
故答案为：ABD.
【分析】判断函数的对称性、最值、奇偶性与周期性，需依据相应定义和性质，通过对函数进行变形、代入特殊值或求导分析来逐一验证选项.分别针对每个选项，结合函数性质的判定条件，对函数进行针对性的运算和推理.
10．【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：
A，当直线的斜率不存在时，为中点，满足；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，，
联立，消去，得，
，则，
因为，，
所以，
过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，
所以，
过垂直于的直线方程为
当时，代入，，
所以，
所以，
因为，
所以，故A正确；
B，由题意可知，则，
又，，所以，
所以，同理，
又，
所以，即，
显然为的斜边，则，故B错误；
C，在与中，，
所以，则，即，
同理，
当直线的斜率不存在时，，；
所以，即；
所以存在直线，使得，故C正确；
D，，，所以，
所以，因为，，所以，因为，所以，
，所以，
同理，
令，则，因为，则，所以，
所以，
所以，其中，
所以，
其中
，
同理，
所以，故D正确，
故答案为：ACD.
【分析】A：分直线斜率存在与不存在两种情况，结合抛物线定义和中点性质，证明为中点，进而得出。
B：利用三角形相似证明，结合抛物线定义判断是否成立。
C：由抛物线定义和相似三角形性质，得出的表达式，求解是否存在直线使该值为18。
D：联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，推导与的关系，验证等式是否成立。
11．【答案】A,B,C
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：A、因为，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，
所以，
则，故A正确；
B、，
则
，故B正确；
C、以点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，
因为点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，
所以点的轨迹方程为，且在轴的下半部分，
设，
，
则，
因为，所以，所以当时，取得最小值，故C正确；
D、因为，
所以，
即，
所以，
所以，
因为，所以当时，取得最大值，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由题意可得，再以为基向量表示，根据向量的线性运算求解即可判断A；根据向量的数量积运算求解即可判断B；以点为原点，建立平面直角坐标系，设，根据向量数量积的坐标运算，结合余弦函数的性质求解即可判断C；根据平面向量的坐标表示及坐标运算，结合正弦函数的性质求解即可判断D.
12．【答案】
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为，所以，，，
即，即，
则的最大值为.
故填：.
【分析】利用已知条件和指数幂的运算法则和a的取值范围，再结合指数函数的单调性，从而求出的最大值，再由指数与对数的互化公式，进而得到的最大值.
13．【答案】
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：由题意，函数，可得，
当时，，
因为切线与直线垂直，所以，解得.
故答案为：.
【分析】本题考查导数的几何意义与两直线垂直的斜率关系，核心是先求曲线在x=1处的导数（即切线斜率），再利用两直线垂直时斜率之积为 1列方程，求解实数a。
14．【答案】；
【知识点】离散型随机变量及其分布列；条件概率
【解析】【解答】解：由题意可得：随机变量的可能取值为、、，
则；；
，
所以随机变量的概率分布为
1 2 3
所以随机变量的期望为；
记“第次举起该重量”分别为事件， “甲选手挑战成功”为事件，
则，
，
所以，所以甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率为.
故答案为：；.
【分析】由题意可得：随机变量的可能取值为、、，求得相应的概率，列分布列，求期望；记“第次举起该重量”分别为事件， “甲选手挑战成功”为事件，利用条件概率的概率公式求出即可.
15．【答案】（1）解：当时，，又，则，所以；
当时，，整理得，
因此数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，，
则，
于是，
两式相减得
，
所以.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】(1) 先令代入递推式求出的值，再利用推导数列的递推关系，结合等比数列定义求出通项公式；
(2) 先化简的表达式，再采用错位相减法，结合等比数列求和公式计算前项和。
（1）当时，，又，则，所以；
当时，，整理得，
因此数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，
则，
于是，
两式相减得
，
所以.
16．【答案】（1）解：由题意可知圆，
所以圆心，半径，
因为，线段的垂直平分线交线段于点，所以，
又，所以，
即点的轨迹是以点为左、右焦点的椭圆，所以曲线，
因为曲线与直线相切，所以，解得，则的方程为；
（2）解：由题意得直线，联立，得，
令，
所以，即或，
设，则，
所以
，
令，则，
则，当且仅当即时，等号成立，
故面积的最大值为．
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先确定圆心A及半径，由垂直平分线的性质结合椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系计算即可；
（2）由题意得直线，联立直线与椭圆方程，消元整理，利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离，结合基本不等式求解即可.
（1）由题意可知圆，
所以圆心，半径，
因为，线段的垂直平分线交线段于点，所以，
又，所以，
即点的轨迹是以点为左、右焦点的椭圆，所以曲线．
因为曲线与直线相切，故，
解得，所以的方程为．
（2）由题意得直线，由，得，
令，
所以，即或．
设，则，
所以
，
令，则，
则，
当且仅当即时，等号成立，
所以面积的最大值为．
17．【答案】（1）证明：
在梯形中连接，
因为，，为中点，所以，，
所以四边形为菱形，
所以是中点，
又为中点，所以，
因为平面，平面，
所以∥平面.
（2）解：因为四边形为菱形，所以，，即，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，，
所以，，两两垂直，
则以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
因为，所以，，
，，，，，，，，
设 ，则，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，
所以，
因为与平面所成角的正弦值为，
所以，解得或2（舍去），
所以线段上存在点使得与平面所成角的正弦值为，.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 先通过梯形性质证明四边形为菱形，得到，再利用线面平行的判定定理证平面；
(2) 建立空间直角坐标系，设表示点坐标，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式列方程求解，进而得到的值。
（1）
在梯形中连接，
因为，，为中点，所以，，
所以四边形为菱形，
所以是中点，
又为中点，所以，
因为平面，平面，
所以∥平面.
（2）因为四边形为菱形，所以，，即，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，，
所以，，两两垂直，
则以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
因为，所以，，
，，，，，，，，
设 ，则，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，
所以，
因为与平面所成角的正弦值为，
所以，解得或2（舍去），
所以线段上存在点使得与平面所成角的正弦值为，.
18．【答案】（1）解：由题可知：在区间上单调递减，
则在恒成立，
即在恒成立.
令，在恒成立，
所以在单调递增，
所以.
（2）证明：当时，，，
令，，
若，；若，，
所以函数在单调递增，在单调递减.
又，，
所以存在，，
若，，即；
若，，即，
所以在单调递减，在单调递增，
在，有最小值，在，有最大值，
因为，所以，则，
由，所以，又，所以
则， 即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 先对求导，将单调性问题转化为导数在上恒成立，再构造函数分析其单调性与最值，求出的取值范围；
(2) 代入化简与，构造辅助函数分析在和上的单调性，求出在两个区间的最值范围，进而证明不等式。
（1）由题可知：在区间上单调递减，
则在恒成立，
即在恒成立.
令，在恒成立，
所以在单调递增，
所以.
（2）当时，，，
令，，
若，；若，，
所以函数在单调递增，在单调递减.
又，，
所以存在，，
若，，即；
若，，即，
所以在单调递减，在单调递增，
在，有最小值，在，有最大值，
因为，所以，则，
由，所以，又，所以
则， 即.
19．【答案】（1）解：数列中，，当时，，则，
而，解得，因此数列是首项和公比都为的等比数列，
则，，，
正项数列满足，所以数列具有性质“”.
（2）（i）证明：函数，令函数，
求导得，函数在上单调递减，则，
即，，
任意，，而，，则，，
于是，
令，求导得，
函数在上单调递增，，
当时，，，而，
则，因此；
依题意，，
令，
令函数，求导得，
令函数，求导得，函数在上单调递增，
当时，，，函数在上单调递增，
当时，，即当时，，，
因此当时，，又，则，
于是，，则，
所以数列具有性质“”.
（ii）证明：由（i）知，，则，
当，时，，
当时，，
当时，，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；数列的递推公式
【解析】【分析】(1) 先利用与的递推关系求出数列的通项公式，再根据“P(4)”的定义验证是否成立；
(2)(i) 构造函数利用导数分析单调性，证明和，从而验证数列具有“P(3)”；
(ii) 结合(i)的结论得到的不等式放缩，再利用等比数列求和公式证明不等式。
（1）数列中，，当时，，则，
而，解得，因此数列是首项和公比都为的等比数列，
则，，，
正项数列满足，所以数列具有性质“”.
（2）（i）函数，令函数，求导得，
函数在上单调递减，则，即，，
任意，，而，，则，，
于是，
令，求导得，
函数在上单调递增，，
当时，，，而，
则，因此；
依题意，，
令，
令函数，求导得，
令函数，求导得，函数在上单调递增，
当时，，，函数在上单调递增，
当时，，即当时，，，
因此当时，，又，则，
于是，，则，
所以数列具有性质“”.
（ii）由（i）知，，则，
当，时，，
当时，，
当时，，
所以.
1 / 1广东省深圳市人大附中深圳学校2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷
一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）
1．已知复数满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以
故答案为：C
【分析】本题考查复数的四则运算与复数模的计算，核心是先通过复数除法化简求出z，再代入复数模的公式计算∣z∣。
2．直线，的斜率分别为1，2，，夹角为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：设直线，的倾斜角分别为，则，；
因此；
所以.
故答案为：C
【分析】本题考查直线夹角的正切公式与三角恒等变换，核心是先通过两直线斜率求出夹角的正切值，再利用二倍角公式和弦化切技巧计算sin2θ。
3．已知函数，则（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：由题意得，函数，
所以，则
故答案为：D.
【分析】本题考查分段函数的嵌套求值，核心是先根据自变量的取值范围确定对应解析式，先求内层函数值，再将其作为自变量代入对应解析式求外层函数值。
4．已知等差数列的前15项和，则（　　）
A．7 B．15 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的等差为前项的和，
，可得，
则.
故答案为：C.
【分析】本题考查等差数列的前项和公式与通项公式的性质，核心是利用等差数列的性质求出，再将所求式子转化为计算结果。
5．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（　　）．
A．14种 B．16种 C．18种 D．20种
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的4人中选取3人，剩下两人去剩下两个舱位，有种可能；
若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下5人中选取4人进入天和核心舱即可，则有种可能；
根据分类加法计数原理，共有种可能.
故答案为：C.
【分析】分甲在天和核心舱和甲不在天和核心舱两种情况讨论，根据特殊元素和特殊位置优先考虑，结合排列、组合求解即可.
6．已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：中，，，取中点，
连接，则，如图所示：
易知，，
若的面积为，则，解得，
则，
故圆锥的体积.
故答案为：B.
【分析】取中点，连接，则，解等腰三角形求得，再根据的面积，求得，利用勾股定理求得圆锥的高，最后根据圆锥的体积公式求解即可.
7．已知，分别是双曲线的左，右焦点，若是双曲线左支上的点，且．则的面积为（　　）
A．8 B．16 C．24 D．
【答案】C
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】解：因为是双曲线左支上的点，所以，．
在中，，
即，所以，，
故的面积为．
故答案为：C．
【分析】本题考查双曲线的定义与三角形面积公式的结合应用，核心是先利用双曲线定义得到的值，再结合余弦定理求出的正弦值，最终用三角形面积公式计算结果。
8．北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有 个小球，共有层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】数列的应用
【解析】【解答】解：由题意可知：，最底层小球的数量为，即，，
，
整理得，
即，
即，
即，即，
由于都为正整数，则
（i）当时，，
（ii）当时，，
（iii）当时，，
（iv）当时，
只有符合题意，即的值为2.
故答案为：B.
【分析】由题意可得，最底层小球的数量为，即，，根据小球的总个数为240，列式整理可得，再由皆为正整数分类讨论求解即可.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）
9．已知函数．则下列结论正确的是（　　）
A．图像关于点中心对称 B．图像关于直线对称
C．的最大值为 D．既是奇函数又是周期函数
【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数最大（小）值；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A：因为，，所以，
因此图像关于点中心对称，所以本选项结论正确；
B：因为，，
所以，因此图像关于直线对称，所以本选项结论正确；
C：，
设，所以，
当时，单调递减，当时，单调递增，
当时，单调递减，当时，函数有极大值，极大值为：，而，所以函数的最大值为，因此本选项结论不正确；
D：因为，所以是奇函数，
因为，
所以是周期函数，因此本选项结论正确，
故答案为：ABD.
【分析】判断函数的对称性、最值、奇偶性与周期性，需依据相应定义和性质，通过对函数进行变形、代入特殊值或求导分析来逐一验证选项.分别针对每个选项，结合函数性质的判定条件，对函数进行针对性的运算和推理.
10．设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过且垂直于的直线交于，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则正确的结论是（　　）
A． B．
C．存在直线，使得 D．对任意直线，
【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：
A，当直线的斜率不存在时，为中点，满足；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，，
联立，消去，得，
，则，
因为，，
所以，
过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，
所以，
过垂直于的直线方程为
当时，代入，，
所以，
所以，
因为，
所以，故A正确；
B，由题意可知，则，
又，，所以，
所以，同理，
又，
所以，即，
显然为的斜边，则，故B错误；
C，在与中，，
所以，则，即，
同理，
当直线的斜率不存在时，，；
所以，即；
所以存在直线，使得，故C正确；
D，，，所以，
所以，因为，，所以，因为，所以，
，所以，
同理，
令，则，因为，则，所以，
所以，
所以，其中，
所以，
其中
，
同理，
所以，故D正确，
故答案为：ACD.
【分析】A：分直线斜率存在与不存在两种情况，结合抛物线定义和中点性质，证明为中点，进而得出。
B：利用三角形相似证明，结合抛物线定义判断是否成立。
C：由抛物线定义和相似三角形性质，得出的表达式，求解是否存在直线使该值为18。
D：联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，推导与的关系，验证等式是否成立。
11．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则（　　）
A． B．
C．存在最小值 D．的最大值为
【答案】A,B,C
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：A、因为，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，
所以，
则，故A正确；
B、，
则
，故B正确；
C、以点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，
因为点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，
所以点的轨迹方程为，且在轴的下半部分，
设，
，
则，
因为，所以，所以当时，取得最小值，故C正确；
D、因为，
所以，
即，
所以，
所以，
因为，所以当时，取得最大值，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由题意可得，再以为基向量表示，根据向量的线性运算求解即可判断A；根据向量的数量积运算求解即可判断B；以点为原点，建立平面直角坐标系，设，根据向量数量积的坐标运算，结合余弦函数的性质求解即可判断C；根据平面向量的坐标表示及坐标运算，结合正弦函数的性质求解即可判断D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.）
12．已知，则的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为，所以，，，
即，即，
则的最大值为.
故填：.
【分析】利用已知条件和指数幂的运算法则和a的取值范围，再结合指数函数的单调性，从而求出的最大值，再由指数与对数的互化公式，进而得到的最大值.
13．已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数的值为　 　.
【答案】
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：由题意，函数，可得，
当时，，
因为切线与直线垂直，所以，解得.
故答案为：.
【分析】本题考查导数的几何意义与两直线垂直的斜率关系，核心是先求曲线在x=1处的导数（即切线斜率），再利用两直线垂直时斜率之积为 1列方程，求解实数a。
14．举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功，已知甲选手每次能举起该重量的概率是，且每次试举相互独立，互不影响，设试举的次数为随机变量，则的数学期望　 　；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是　 　．
【答案】；
【知识点】离散型随机变量及其分布列；条件概率
【解析】【解答】解：由题意可得：随机变量的可能取值为、、，
则；；
，
所以随机变量的概率分布为
1 2 3
所以随机变量的期望为；
记“第次举起该重量”分别为事件， “甲选手挑战成功”为事件，
则，
，
所以，所以甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率为.
故答案为：；.
【分析】由题意可得：随机变量的可能取值为、、，求得相应的概率，列分布列，求期望；记“第次举起该重量”分别为事件， “甲选手挑战成功”为事件，利用条件概率的概率公式求出即可.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知数列的前n项和为，且，.
（1）求实数的值和数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）解：当时，，又，则，所以；
当时，，整理得，
因此数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，，
则，
于是，
两式相减得
，
所以.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】(1) 先令代入递推式求出的值，再利用推导数列的递推关系，结合等比数列定义求出通项公式；
(2) 先化简的表达式，再采用错位相减法，结合等比数列求和公式计算前项和。
（1）当时，，又，则，所以；
当时，，整理得，
因此数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，
则，
于是，
两式相减得
，
所以.
16．已知为坐标原点，是圆上一点，且，线段的垂直平分线交线段于点，设动点的轨迹为曲线，且曲线与直线相切．
（1）求的方程；
（2）过点且斜率为的直线与曲线交于两点，求面积的最大值．
【答案】（1）解：由题意可知圆，
所以圆心，半径，
因为，线段的垂直平分线交线段于点，所以，
又，所以，
即点的轨迹是以点为左、右焦点的椭圆，所以曲线，
因为曲线与直线相切，所以，解得，则的方程为；
（2）解：由题意得直线，联立，得，
令，
所以，即或，
设，则，
所以
，
令，则，
则，当且仅当即时，等号成立，
故面积的最大值为．
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先确定圆心A及半径，由垂直平分线的性质结合椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系计算即可；
（2）由题意得直线，联立直线与椭圆方程，消元整理，利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离，结合基本不等式求解即可.
（1）由题意可知圆，
所以圆心，半径，
因为，线段的垂直平分线交线段于点，所以，
又，所以，
即点的轨迹是以点为左、右焦点的椭圆，所以曲线．
因为曲线与直线相切，故，
解得，所以的方程为．
（2）由题意得直线，由，得，
令，
所以，即或．
设，则，
所以
，
令，则，
则，
当且仅当即时，等号成立，
所以面积的最大值为．
17．在梯形中，为的中点，线段与交于点，将沿折起到的位置，使得平面平面.
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明：
在梯形中连接，
因为，，为中点，所以，，
所以四边形为菱形，
所以是中点，
又为中点，所以，
因为平面，平面，
所以∥平面.
（2）解：因为四边形为菱形，所以，，即，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，，
所以，，两两垂直，
则以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
因为，所以，，
，，，，，，，，
设 ，则，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，
所以，
因为与平面所成角的正弦值为，
所以，解得或2（舍去），
所以线段上存在点使得与平面所成角的正弦值为，.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 先通过梯形性质证明四边形为菱形，得到，再利用线面平行的判定定理证平面；
(2) 建立空间直角坐标系，设表示点坐标，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式列方程求解，进而得到的值。
（1）
在梯形中连接，
因为，，为中点，所以，，
所以四边形为菱形，
所以是中点，
又为中点，所以，
因为平面，平面，
所以∥平面.
（2）因为四边形为菱形，所以，，即，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，，
所以，，两两垂直，
则以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
因为，所以，，
，，，，，，，，
设 ，则，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，
所以，
因为与平面所成角的正弦值为，
所以，解得或2（舍去），
所以线段上存在点使得与平面所成角的正弦值为，.
18．已知函数.
（1）已知在区间上单调递减，求的取值范围；
（2）当时，证明：若，则.
（参考数据：）
【答案】（1）解：由题可知：在区间上单调递减，
则在恒成立，
即在恒成立.
令，在恒成立，
所以在单调递增，
所以.
（2）证明：当时，，，
令，，
若，；若，，
所以函数在单调递增，在单调递减.
又，，
所以存在，，
若，，即；
若，，即，
所以在单调递减，在单调递增，
在，有最小值，在，有最大值，
因为，所以，则，
由，所以，又，所以
则， 即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 先对求导，将单调性问题转化为导数在上恒成立，再构造函数分析其单调性与最值，求出的取值范围；
(2) 代入化简与，构造辅助函数分析在和上的单调性，求出在两个区间的最值范围，进而证明不等式。
（1）由题可知：在区间上单调递减，
则在恒成立，
即在恒成立.
令，在恒成立，
所以在单调递增，
所以.
（2）当时，，，
令，，
若，；若，，
所以函数在单调递增，在单调递减.
又，，
所以存在，，
若，，即；
若，，即，
所以在单调递减，在单调递增，
在，有最小值，在，有最大值，
因为，所以，则，
由，所以，又，所以
则， 即.
19．设，，，若各项均为正数的数列满足，则称数列具有性质“”．
（1）已知数列的前n项和为，且，试判断数列是否具有性质“”，并说明理由；
（2）若数列满足，且．
（i）证明：数列具有性质“”；
（ii）记数列的前n项和为，证明：．
【答案】（1）解：数列中，，当时，，则，
而，解得，因此数列是首项和公比都为的等比数列，
则，，，
正项数列满足，所以数列具有性质“”.
（2）（i）证明：函数，令函数，
求导得，函数在上单调递减，则，
即，，
任意，，而，，则，，
于是，
令，求导得，
函数在上单调递增，，
当时，，，而，
则，因此；
依题意，，
令，
令函数，求导得，
令函数，求导得，函数在上单调递增，
当时，，，函数在上单调递增，
当时，，即当时，，，
因此当时，，又，则，
于是，，则，
所以数列具有性质“”.
（ii）证明：由（i）知，，则，
当，时，，
当时，，
当时，，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；数列的递推公式
【解析】【分析】(1) 先利用与的递推关系求出数列的通项公式，再根据“P(4)”的定义验证是否成立；
(2)(i) 构造函数利用导数分析单调性，证明和，从而验证数列具有“P(3)”；
(ii) 结合(i)的结论得到的不等式放缩，再利用等比数列求和公式证明不等式。
（1）数列中，，当时，，则，
而，解得，因此数列是首项和公比都为的等比数列，
则，，，
正项数列满足，所以数列具有性质“”.
（2）（i）函数，令函数，求导得，
函数在上单调递减，则，即，，
任意，，而，，则，，
于是，
令，求导得，
函数在上单调递增，，
当时，，，而，
则，因此；
依题意，，
令，
令函数，求导得，
令函数，求导得，函数在上单调递增，
当时，，，函数在上单调递增，
当时，，即当时，，，
因此当时，，又，则，
于是，，则，
所以数列具有性质“”.
（ii）由（i）知，，则，
当，时，，
当时，，
当时，，
所以.
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