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广东省汕头市金山中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题
一、选择题：共8小题，共88×5=40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：由，解得，，
又因为，所以．
故答案为：D.
【分析】利用一元二次不等式求解方法得出集合A，再根据集合的并集的运算法则得出集合.
2．当时，复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：，
若，则，，
所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.
故答案为：B
【分析】本题考查复数的代数运算与复数的几何意义，核心是先将复数化简为a+bi的形式，再根据m的取值范围判断实部和虚部的正负，进而确定对应点在复平面的象限。
3．甲、乙、丙三人破译一份密码，若三人各自独立破译出密码的概率为，，，且他们是否破译出密码互不影响，则这份密码被破译出的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：设这份密码被破译出为事件，
所以，
所以，
故答案为：D.
【分析】本题考查独立事件的概率计算，核心是利用“正难则反”的思想，先求密码未被破译的概率（三人都未破译的概率），再用 1 减去该概率得到密码被破译的概率。
4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（　　）
A．若，则
B．若 ，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【知识点】空间点、线、面的位置
【解析】【解答】解：A、在正方体中，取面为平面，直线为直线，如图所示：
直线为直线，显然有，但不平行，故A错误，
B、在正方体中，取面为平面，直线为直线，
面为平面，有，但，故B错误，
C、取面为平面，直线为直线，直线为直线，
因为，显然有，但，故C错误，
D、因为，在内任取一点，过直线与点确定平面，
则，由线面平行的性质知，又，所以，又，
所以，故D正确，
故答案为：D.
【分析】在正方体中通过取平面和直线即可判断A，B，C；利用线面平行的性质及面面垂直的判定定理即可判断D.
5．在中，内角的对边分别为a，b，c，如果，则一定是（　　）
A．等腰或直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】A
【知识点】正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c，若，
所以sinAcosA＝sinBcosB，所以
所以2A＝2B或2A＝π﹣2B，
所以A＝B或A+B＝90°．
所以三角形是等腰三角形或直角三角形．
故答案为：A
【分析】本题考查正弦定理与三角恒等变换在判断三角形形状中的应用，核心是将边的关系通过正弦定理转化为角的关系，再利用二倍角公式和三角形内角性质分析角的关系，进而确定三角形形状。
6．已知函数（其中）的部分图象如图所示，点是函数图象与轴的交点，点是函数图象的最高点，且是边长为2的正三角形，，则的解析式可以是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：
过点作轴的垂线，垂足为，则为的中点，
是边长为2的正三角形，，
，，，，，
又，，解得，
，
将点代入得，，
，，，
.
故答案为：A.
【分析】本题考查正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的解析式求解，核心是利用正三角形的边长、ON=3OM的条件确定函数的振幅A、周期T（进而求ω），再代入点的坐标求初相φ。
7．在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；相等向量
【解析】【解答】解：如图所示，
，四边形是平行四边形，
分别表示的单位向量，
，平方可得，
，，四边形是矩形，
又平分，四边形是菱形，
四边形是正方形，且，此四边形的面积等于5，
故答案为：D．
【分析】本题考查平面向量的线性运算与数量积在判断四边形形状中的应用，核心是先由确定四边形为平行四边形，再通过单位向量的等式推导得出边的垂直关系与边长特征，进而判定四边形为正方形，最终计算面积。
8．已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正弦函数的图象；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：如下图所示：
令，解得，故当时，对称轴为直线，
则，因为，所以，，
又因为，
，由可得，则，
则，所以，.
故答案为：D.
【分析】分析函数在不同区间的表达式，作出函数图象，利用函数的对称性得到的关系，再将所求表达式转化为关于的函数，结合的取值范围，利用二次函数的性质求解取值范围.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（　　）
A．平均数为3 B．众数为2和3
C．方差为 D．第85百分位数为4.5
【答案】A,B,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A：此组数据平均数为5+5+4+3+3+3+2+2+2+1，A正确；
B：此组数据中3出现3次，2出现3次，5出现2次，4出现1次，1出现1次.则此组数据众数为2和3，B正确；
C：此组数据方差为，C正确；
D：将此组数据从小到大排列为1，2，2，2 ，3，3，3，4，5，5.，但8.5不是整数，则第85百分位数为为第9个数字5，D错误.
故答案为：ABC
【分析】A：根据平均数的计算公式，求出这组数据的平均值，判断是否为3。
B：统计数据中各数字的出现次数，确定众数，判断是否为2和3。
C：依据方差的计算公式，代入数据和平均数计算方差，验证是否为。
D：将数据从小到大排序后，根据百分位数的计算方法，确定第85百分位数，判断是否为4.5。
10．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记下每次朝上的点数，设事件 “第一次的点数不大于3 ”， “第二次的点数不小于4 ”， “两次的点数之和为3的倍数”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件发生的概率 B．事件与事件相互独立
C．事件 发生的概率 D．事件与事件对立
【答案】A,B,C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，则有
，
，
，
，
，
，共不同结果，即，
A、事件包含的样本点有种，故，故A正确；
B、事件包含的样本点有种，故，
事件包含的样本点有种，故，
因为，所以事件相互独立，故B正确；
C、事件包含的样本点有种，故，故C正确；
D、事件与事件有重复的样本点，
故事件与事件不对立，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】先列举所有的基本事件共36种，利用古典概型公式即可判断A，C；利用相互独立事件的定义即可判断B，利用对立事件的定义即可判断D.
11．已知正方体 的棱长为是正方形 的中心， 是棱 (包含顶点) 上的动点， 则以下结论正确的是（ ）
A．的最小值为
B．不存在点，使与 所成角等于
C．二面角正切值的取值范围为
D．当为中点时，三棱锥的外接球表面积为
【答案】A,C,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】解：A，最小值时，为中点.作个草图，取中点，连接如图所示：
此时，故A正确．
B、设与所成的角为θ，当与重合时如图所示：
，
当在中点时，．则存在点，使.
即存在点，使与 所成角等于.故B错误．
C、过中点作于，如图所示：
则为二面角的平面角，
因此，故C正确．
D、设三棱锥的外接球的球心为，显然平面，为等腰直角三角形，外心为M，则O可以由M沿着方向移动即可，O一定在上．
为中点时，半径，于是．
在中有，解得，
于是球表面积为.故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】直接找出最近距离为为中点计算即可判断A；找出最大，最小的临界状态值即可判断B；找出二面角的平面角再利用锐角三角函数即可判断C；设出球心和半径，结合图形，构造方程，求出半径即可判断D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量，满足，，且，则　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由得，，
化简得，因为，，
所以，解得.
故答案为：.
【分析】本题考查向量垂直的性质与向量数量积的运算，核心是利用“两向量垂直则数量积为0”的性质，展开向量乘积并代入模长值，解方程求出。
13．已知圆台的上底半径为2，下底半径为4，则经过母线中点且与底面平行的平面将圆台分成上下两部分的体积之比为　 　.
【答案】
【知识点】锥体的体积公式及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：圆台上、下底面圆的圆心分别为、，将圆台还原为圆锥，设圆锥的顶点为，
设经过母线中点且与底面平行的平面所成截面圆的圆心为，
设圆、圆、圆的半径分别为、、，则，，则，
设圆锥、圆锥、圆锥的体积分别为、、，
因为，则，，则，
所以，，，
则经过母线中点且与底面平行的平面将圆台分成上下两部分的体积之比为，.
故答案为：.
【分析】圆台上、下底面圆的圆心分别为、，将圆台还原为圆锥，设圆锥的顶点为，圆、圆、圆的半径分别为、、，设圆锥、圆锥、圆锥的体积分别为、、，由题意，根据圆台上、下底面圆和截面圆的半径之比，可得到体积、、之间的关系，再求经过母线中点且与底面平行的平面将圆台分成上下两部分的体积之比即可.
14．在中，角的对边分别为， ，，若有最大值，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；辅助角公式
【解析】【解答】解：因为，所以，
由正弦定理得，所以，，
则
，
当，即时，，没有最大值，所以，
则，其中，
要使有最大值，则要能取，由于，
所以，所以，即，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】易知，利用正弦定理将边转化为角，利用函数思想求最值即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）解：由，
则，，解得，，
所以的单调递增区间为.
（2）解：由（1）得，则.
【知识点】正弦函数的性质；运用诱导公式化简求值；辅助角公式
【解析】【分析】(1) 先通过三角恒等变换将化简为正弦型函数，再利用整体代换法结合正弦函数的单调性，求解单调递增区间；
(2) 由的值得到的值，再利用诱导公式将转化为，进而求得结果。
（1）由，
则，，解得，，
所以的单调递增区间为.
（2）由（1）得
则.
16．某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差＝生产的产品质量－标准质量，单位）的样本数据统计如下：
（1）求样本数据的70%分位数；（精确到0.01）
（2）公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在范围内的产品为一等品，其余为二等品．其中，分别为样本平均数和样本标准差，计算可得（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
①若产品的质量差为，试判断该产品是否属于一等品；
②假如公司包装时要求，3件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率．
【答案】（1）解：由于前2组的频率和为0.3，前3组的频率和为0.75，
所以可知70%分位数一定位于第三组内，
设70%分位数为x，则，解得
（2）解：①根据频率直方图计算样本平均数：
因为样本标准差，，所以，又，
则可知该产品属于一等品．
②记三件一等品为，两件二等品为，
摸出两件产品总基本事件共10个，分别为：
，，，，，，，，，，
设摸出两件产品中至少有一个一等品记为事件，则包含的基本事件共9个，分别是：
，，，，，，，，，
所以.
则摸出两件产品中至少有一个一等品的概率为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1) 先计算各区间的频率，确定70%分位数所在区间，再利用分位数计算公式求解；
(2) ①先根据频率分布直方图计算样本均值，结合确定一等品范围，判断78mg是否在范围内；
②利用古典概型，先计算总基本事件数，再计算“至少有1件一等品”的对立事件概率，进而求得目标概率。
（1）由于前2组的频率和为0.3，前3组的频率和为0.75，
所以可知70%分位数一定位于第三组内，
设70%分位数为x，则，解得
（2）①根据频率直方图计算样本平均数：
因为样本标准差，，所以，又，
则可知该产品属于一等品．
②记三件一等品为，两件二等品为，
摸出两件产品总基本事件共10个，分别为：
，，，，，，，，，，
设摸出两件产品中至少有一个一等品记为事件，则包含的基本事件共9个，分别是：
，，，，，，，，，
所以.
则摸出两件产品中至少有一个一等品的概率为.
17．在中，角，，的对边分别为，，，且满足.
（1）求的大小；
（2）若的面积为，且，当线段的长最短时，求的长.
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理可得，
又，
所以，
所以，又，所以，
所以，即，又，
所以；
（2）解：因为的面积为，即，
即，则，，
因为，所以，
在中，
即，当且仅当，即，时取等号，
所以，即的最小值为，此时，，
则，
所以，即.

【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解；
（2）由面积公式求出，在中利用余弦定理（ 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 ，即）及基本不等式求出的最小值，求出此时、的值，再由余弦定理计算可得.
（1）因为，
由正弦定理可得，
又，
所以，
所以，又，所以，
所以，即，又，
所以；
（2）因为的面积为，即，
即，则，，
因为，所以，
在中，
即，当且仅当，即，时取等号，
所以，即的最小值为，此时，，
则，
所以，即.
18．如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点．
（1）求证：；
（2）若，求三棱锥的体积．
（3）若，当二面角的正切值为时，求直线与平面所成的角．
【答案】（1）证明：如图所示，设点是棱的中点，连接，，，
由及点是棱的中点，可得，
因为平面平面，平面平面，平面，故平面，
又因为平面，所以，
又因为四边形为菱形，所以，
而是的中位线，所以，可得，
又由，且平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以．
（2）解：若，由于菱形，易证正三角形中，由于平面，
所以．
（3）解：设点是与的交点，由（1）可知平面，
又，均在平面内，从而有，，
故为二面角的平面角，所以，
所以，
因为，所以为等边三角形．
不妨设菱形的边长为，．
则在直角中，，，，所以，
因为平面，所以为直线与平面所成的角．
则，
所以直线与平面所成的角为45°
【知识点】二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 取中点，先证平面，结合菱形性质，再由线面垂直的性质与中位线定理证；
(2) 利用等体积法，结合线面垂直的性质求出棱锥的高，再根据三棱锥体积公式计算；
(3) 先确定二面角的平面角，结合正切值求出相关线段长度，再找到直线与平面所成角的平面角，进而求得角度。
（1）如图所示，设点是棱的中点，连接，，，
由及点是棱的中点，可得，
因为平面平面，平面平面，平面，故平面，
又因为平面，所以，
又因为四边形为菱形，所以，
而是的中位线，所以，可得，
又由，且平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以．
（2）若，由于菱形，易证正三角形中，由于平面，
所以．
（3）设点是与的交点，由（1）可知平面，
又，均在平面内，从而有，，
故为二面角的平面角，所以，
所以，
因为，所以为等边三角形．
不妨设菱形的边长为，．
则在直角中，，，，所以，
因为平面，所以为直线与平面所成的角．
则，
所以直线与平面所成的角为45°
19．已知函数满足，且，当时，．函数．
（1）求实数的值；
（2）当时，求的解析式；
（3）设，是否存在实数，使不等式在时恒成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当时，，故，
因为时，，
所以，
因为，
所以，解得．
（2）解：当时，，
则，
又因为，
故，
所以，当时，．
（3）解：由，则，
所以的定义域为，
若存在满足题意的，
先有在时恒成立，
则
在时恒成立，
首先有，
其次令，
关于的二次函数的对称轴为，
当时，即当时，还要保证，解得，
当时，只需，解得，
所以在时恒成立，当且仅当，
因为，
又因为，所以，
当时，
在上单调递增，
此时的值域是的子集，
当时，
在上先增后减，
在或处取得最小值，且，，则，其中为对勾函数，
在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，，
故的值域是的子集，
综上所述，的值域是的子集，
故只需考虑在的情况即可，
因为在上单调递减，
根据复合函数的单调性得到在上单调递减，
当时，
图象的对称轴为，开口向上，
故在上单调递增，
当时，令，
则在上单调递增，
其中，，
由零点存在性定理可知：使得，
又因为，故需要满足，
所以只需满足，
当时，，不符合要求；
当时，则，解得，
因为，故无解，
综上所述，不存在．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用赋值法得到，再由得出实数n的值.
（2）当时，，则，再根据求出函数的解析式.
（3）先求出的定义域为，根据复合函数的单调性得到在 上单调递减，再构造，则结合零点存在性定理得到使得，故需要满足，先由函数的定义域得到，分和两种情况求出函数的最小值，再分析得到均不合题意，则这样的实数不存在.
（1）当时，，故，
因为时，，所以，
因为，所以，解得．
（2）当时，，
则，
又，故，
所以当时，．
（3）由，即：，
所以的定义域为，
若存在满足题意的，
首先有在时恒成立，
即在时恒成立，
首先有，
其次令，
关于的二次函数的对称轴为，
当，即时，还要保证，解得，
当时，只需，解得，
所有在时恒成立当且仅当．
因为，
又因为，所以，
当时，在上单调递增，
此时的值域是的子集．
当时，在上先增后减，
在或处取得最小值，且，，，其中为对勾函数，
在上单调递减，在上单调递增，
又，，，故的值域是的子集，
综上，的值域是的子集．
故只需考虑在的情况即可，
因为在上单调递减，
根据复合函数的单调性得到在上单调递减，
又时，图象的对称轴为，开口向上，
故在上单调递增，
当时，令，
则在上单调递增，
其中，，
由零点存在性定理可知：使得，
又，故需要满足，所以只需满足，
当时，，不符合要求；
当时，则，解得，
由于，故无解，
综上，不存在．
1 / 1广东省汕头市金山中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题
一、选择题：共8小题，共88×5=40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．当时，复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．甲、乙、丙三人破译一份密码，若三人各自独立破译出密码的概率为，，，且他们是否破译出密码互不影响，则这份密码被破译出的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（　　）
A．若，则
B．若 ，则
C．若，则
D．若，则
5．在中，内角的对边分别为a，b，c，如果，则一定是（　　）
A．等腰或直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
6．已知函数（其中）的部分图象如图所示，点是函数图象与轴的交点，点是函数图象的最高点，且是边长为2的正三角形，，则的解析式可以是（　　）
A． B．
C． D．
7．在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（　　）
A．平均数为3 B．众数为2和3
C．方差为 D．第85百分位数为4.5
10．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记下每次朝上的点数，设事件 “第一次的点数不大于3 ”， “第二次的点数不小于4 ”， “两次的点数之和为3的倍数”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件发生的概率 B．事件与事件相互独立
C．事件 发生的概率 D．事件与事件对立
11．已知正方体 的棱长为是正方形 的中心， 是棱 (包含顶点) 上的动点， 则以下结论正确的是（ ）
A．的最小值为
B．不存在点，使与 所成角等于
C．二面角正切值的取值范围为
D．当为中点时，三棱锥的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量，满足，，且，则　 　.
13．已知圆台的上底半径为2，下底半径为4，则经过母线中点且与底面平行的平面将圆台分成上下两部分的体积之比为　 　.
14．在中，角的对边分别为， ，，若有最大值，则实数的取值范围是　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）已知，求的值.
16．某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差＝生产的产品质量－标准质量，单位）的样本数据统计如下：
（1）求样本数据的70%分位数；（精确到0.01）
（2）公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在范围内的产品为一等品，其余为二等品．其中，分别为样本平均数和样本标准差，计算可得（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
①若产品的质量差为，试判断该产品是否属于一等品；
②假如公司包装时要求，3件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率．
17．在中，角，，的对边分别为，，，且满足.
（1）求的大小；
（2）若的面积为，且，当线段的长最短时，求的长.
18．如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点．
（1）求证：；
（2）若，求三棱锥的体积．
（3）若，当二面角的正切值为时，求直线与平面所成的角．
19．已知函数满足，且，当时，．函数．
（1）求实数的值；
（2）当时，求的解析式；
（3）设，是否存在实数，使不等式在时恒成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：由，解得，，
又因为，所以．
故答案为：D.
【分析】利用一元二次不等式求解方法得出集合A，再根据集合的并集的运算法则得出集合.
2．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：，
若，则，，
所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.
故答案为：B
【分析】本题考查复数的代数运算与复数的几何意义，核心是先将复数化简为a+bi的形式，再根据m的取值范围判断实部和虚部的正负，进而确定对应点在复平面的象限。
3．【答案】D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：设这份密码被破译出为事件，
所以，
所以，
故答案为：D.
【分析】本题考查独立事件的概率计算，核心是利用“正难则反”的思想，先求密码未被破译的概率（三人都未破译的概率），再用 1 减去该概率得到密码被破译的概率。
4．【答案】D
【知识点】空间点、线、面的位置
【解析】【解答】解：A、在正方体中，取面为平面，直线为直线，如图所示：
直线为直线，显然有，但不平行，故A错误，
B、在正方体中，取面为平面，直线为直线，
面为平面，有，但，故B错误，
C、取面为平面，直线为直线，直线为直线，
因为，显然有，但，故C错误，
D、因为，在内任取一点，过直线与点确定平面，
则，由线面平行的性质知，又，所以，又，
所以，故D正确，
故答案为：D.
【分析】在正方体中通过取平面和直线即可判断A，B，C；利用线面平行的性质及面面垂直的判定定理即可判断D.
5．【答案】A
【知识点】正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c，若，
所以sinAcosA＝sinBcosB，所以
所以2A＝2B或2A＝π﹣2B，
所以A＝B或A+B＝90°．
所以三角形是等腰三角形或直角三角形．
故答案为：A
【分析】本题考查正弦定理与三角恒等变换在判断三角形形状中的应用，核心是将边的关系通过正弦定理转化为角的关系，再利用二倍角公式和三角形内角性质分析角的关系，进而确定三角形形状。
6．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：
过点作轴的垂线，垂足为，则为的中点，
是边长为2的正三角形，，
，，，，，
又，，解得，
，
将点代入得，，
，，，
.
故答案为：A.
【分析】本题考查正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的解析式求解，核心是利用正三角形的边长、ON=3OM的条件确定函数的振幅A、周期T（进而求ω），再代入点的坐标求初相φ。
7．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；相等向量
【解析】【解答】解：如图所示，
，四边形是平行四边形，
分别表示的单位向量，
，平方可得，
，，四边形是矩形，
又平分，四边形是菱形，
四边形是正方形，且，此四边形的面积等于5，
故答案为：D．
【分析】本题考查平面向量的线性运算与数量积在判断四边形形状中的应用，核心是先由确定四边形为平行四边形，再通过单位向量的等式推导得出边的垂直关系与边长特征，进而判定四边形为正方形，最终计算面积。
8．【答案】D
【知识点】正弦函数的图象；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：如下图所示：
令，解得，故当时，对称轴为直线，
则，因为，所以，，
又因为，
，由可得，则，
则，所以，.
故答案为：D.
【分析】分析函数在不同区间的表达式，作出函数图象，利用函数的对称性得到的关系，再将所求表达式转化为关于的函数，结合的取值范围，利用二次函数的性质求解取值范围.
9．【答案】A,B,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A：此组数据平均数为5+5+4+3+3+3+2+2+2+1，A正确；
B：此组数据中3出现3次，2出现3次，5出现2次，4出现1次，1出现1次.则此组数据众数为2和3，B正确；
C：此组数据方差为，C正确；
D：将此组数据从小到大排列为1，2，2，2 ，3，3，3，4，5，5.，但8.5不是整数，则第85百分位数为为第9个数字5，D错误.
故答案为：ABC
【分析】A：根据平均数的计算公式，求出这组数据的平均值，判断是否为3。
B：统计数据中各数字的出现次数，确定众数，判断是否为2和3。
C：依据方差的计算公式，代入数据和平均数计算方差，验证是否为。
D：将数据从小到大排序后，根据百分位数的计算方法，确定第85百分位数，判断是否为4.5。
10．【答案】A,B,C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，则有
，
，
，
，
，
，共不同结果，即，
A、事件包含的样本点有种，故，故A正确；
B、事件包含的样本点有种，故，
事件包含的样本点有种，故，
因为，所以事件相互独立，故B正确；
C、事件包含的样本点有种，故，故C正确；
D、事件与事件有重复的样本点，
故事件与事件不对立，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】先列举所有的基本事件共36种，利用古典概型公式即可判断A，C；利用相互独立事件的定义即可判断B，利用对立事件的定义即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】解：A，最小值时，为中点.作个草图，取中点，连接如图所示：
此时，故A正确．
B、设与所成的角为θ，当与重合时如图所示：
，
当在中点时，．则存在点，使.
即存在点，使与 所成角等于.故B错误．
C、过中点作于，如图所示：
则为二面角的平面角，
因此，故C正确．
D、设三棱锥的外接球的球心为，显然平面，为等腰直角三角形，外心为M，则O可以由M沿着方向移动即可，O一定在上．
为中点时，半径，于是．
在中有，解得，
于是球表面积为.故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】直接找出最近距离为为中点计算即可判断A；找出最大，最小的临界状态值即可判断B；找出二面角的平面角再利用锐角三角函数即可判断C；设出球心和半径，结合图形，构造方程，求出半径即可判断D．
12．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由得，，
化简得，因为，，
所以，解得.
故答案为：.
【分析】本题考查向量垂直的性质与向量数量积的运算，核心是利用“两向量垂直则数量积为0”的性质，展开向量乘积并代入模长值，解方程求出。
13．【答案】
【知识点】锥体的体积公式及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：圆台上、下底面圆的圆心分别为、，将圆台还原为圆锥，设圆锥的顶点为，
设经过母线中点且与底面平行的平面所成截面圆的圆心为，
设圆、圆、圆的半径分别为、、，则，，则，
设圆锥、圆锥、圆锥的体积分别为、、，
因为，则，，则，
所以，，，
则经过母线中点且与底面平行的平面将圆台分成上下两部分的体积之比为，.
故答案为：.
【分析】圆台上、下底面圆的圆心分别为、，将圆台还原为圆锥，设圆锥的顶点为，圆、圆、圆的半径分别为、、，设圆锥、圆锥、圆锥的体积分别为、、，由题意，根据圆台上、下底面圆和截面圆的半径之比，可得到体积、、之间的关系，再求经过母线中点且与底面平行的平面将圆台分成上下两部分的体积之比即可.
14．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；辅助角公式
【解析】【解答】解：因为，所以，
由正弦定理得，所以，，
则
，
当，即时，，没有最大值，所以，
则，其中，
要使有最大值，则要能取，由于，
所以，所以，即，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】易知，利用正弦定理将边转化为角，利用函数思想求最值即可.
15．【答案】（1）解：由，
则，，解得，，
所以的单调递增区间为.
（2）解：由（1）得，则.
【知识点】正弦函数的性质；运用诱导公式化简求值；辅助角公式
【解析】【分析】(1) 先通过三角恒等变换将化简为正弦型函数，再利用整体代换法结合正弦函数的单调性，求解单调递增区间；
(2) 由的值得到的值，再利用诱导公式将转化为，进而求得结果。
（1）由，
则，，解得，，
所以的单调递增区间为.
（2）由（1）得
则.
16．【答案】（1）解：由于前2组的频率和为0.3，前3组的频率和为0.75，
所以可知70%分位数一定位于第三组内，
设70%分位数为x，则，解得
（2）解：①根据频率直方图计算样本平均数：
因为样本标准差，，所以，又，
则可知该产品属于一等品．
②记三件一等品为，两件二等品为，
摸出两件产品总基本事件共10个，分别为：
，，，，，，，，，，
设摸出两件产品中至少有一个一等品记为事件，则包含的基本事件共9个，分别是：
，，，，，，，，，
所以.
则摸出两件产品中至少有一个一等品的概率为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1) 先计算各区间的频率，确定70%分位数所在区间，再利用分位数计算公式求解；
(2) ①先根据频率分布直方图计算样本均值，结合确定一等品范围，判断78mg是否在范围内；
②利用古典概型，先计算总基本事件数，再计算“至少有1件一等品”的对立事件概率，进而求得目标概率。
（1）由于前2组的频率和为0.3，前3组的频率和为0.75，
所以可知70%分位数一定位于第三组内，
设70%分位数为x，则，解得
（2）①根据频率直方图计算样本平均数：
因为样本标准差，，所以，又，
则可知该产品属于一等品．
②记三件一等品为，两件二等品为，
摸出两件产品总基本事件共10个，分别为：
，，，，，，，，，，
设摸出两件产品中至少有一个一等品记为事件，则包含的基本事件共9个，分别是：
，，，，，，，，，
所以.
则摸出两件产品中至少有一个一等品的概率为.
17．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理可得，
又，
所以，
所以，又，所以，
所以，即，又，
所以；
（2）解：因为的面积为，即，
即，则，，
因为，所以，
在中，
即，当且仅当，即，时取等号，
所以，即的最小值为，此时，，
则，
所以，即.

【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解；
（2）由面积公式求出，在中利用余弦定理（ 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 ，即）及基本不等式求出的最小值，求出此时、的值，再由余弦定理计算可得.
（1）因为，
由正弦定理可得，
又，
所以，
所以，又，所以，
所以，即，又，
所以；
（2）因为的面积为，即，
即，则，，
因为，所以，
在中，
即，当且仅当，即，时取等号，
所以，即的最小值为，此时，，
则，
所以，即.
18．【答案】（1）证明：如图所示，设点是棱的中点，连接，，，
由及点是棱的中点，可得，
因为平面平面，平面平面，平面，故平面，
又因为平面，所以，
又因为四边形为菱形，所以，
而是的中位线，所以，可得，
又由，且平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以．
（2）解：若，由于菱形，易证正三角形中，由于平面，
所以．
（3）解：设点是与的交点，由（1）可知平面，
又，均在平面内，从而有，，
故为二面角的平面角，所以，
所以，
因为，所以为等边三角形．
不妨设菱形的边长为，．
则在直角中，，，，所以，
因为平面，所以为直线与平面所成的角．
则，
所以直线与平面所成的角为45°
【知识点】二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 取中点，先证平面，结合菱形性质，再由线面垂直的性质与中位线定理证；
(2) 利用等体积法，结合线面垂直的性质求出棱锥的高，再根据三棱锥体积公式计算；
(3) 先确定二面角的平面角，结合正切值求出相关线段长度，再找到直线与平面所成角的平面角，进而求得角度。
（1）如图所示，设点是棱的中点，连接，，，
由及点是棱的中点，可得，
因为平面平面，平面平面，平面，故平面，
又因为平面，所以，
又因为四边形为菱形，所以，
而是的中位线，所以，可得，
又由，且平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以．
（2）若，由于菱形，易证正三角形中，由于平面，
所以．
（3）设点是与的交点，由（1）可知平面，
又，均在平面内，从而有，，
故为二面角的平面角，所以，
所以，
因为，所以为等边三角形．
不妨设菱形的边长为，．
则在直角中，，，，所以，
因为平面，所以为直线与平面所成的角．
则，
所以直线与平面所成的角为45°
19．【答案】（1）解：当时，，故，
因为时，，
所以，
因为，
所以，解得．
（2）解：当时，，
则，
又因为，
故，
所以，当时，．
（3）解：由，则，
所以的定义域为，
若存在满足题意的，
先有在时恒成立，
则
在时恒成立，
首先有，
其次令，
关于的二次函数的对称轴为，
当时，即当时，还要保证，解得，
当时，只需，解得，
所以在时恒成立，当且仅当，
因为，
又因为，所以，
当时，
在上单调递增，
此时的值域是的子集，
当时，
在上先增后减，
在或处取得最小值，且，，则，其中为对勾函数，
在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，，
故的值域是的子集，
综上所述，的值域是的子集，
故只需考虑在的情况即可，
因为在上单调递减，
根据复合函数的单调性得到在上单调递减，
当时，
图象的对称轴为，开口向上，
故在上单调递增，
当时，令，
则在上单调递增，
其中，，
由零点存在性定理可知：使得，
又因为，故需要满足，
所以只需满足，
当时，，不符合要求；
当时，则，解得，
因为，故无解，
综上所述，不存在．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用赋值法得到，再由得出实数n的值.
（2）当时，，则，再根据求出函数的解析式.
（3）先求出的定义域为，根据复合函数的单调性得到在 上单调递减，再构造，则结合零点存在性定理得到使得，故需要满足，先由函数的定义域得到，分和两种情况求出函数的最小值，再分析得到均不合题意，则这样的实数不存在.
（1）当时，，故，
因为时，，所以，
因为，所以，解得．
（2）当时，，
则，
又，故，
所以当时，．
（3）由，即：，
所以的定义域为，
若存在满足题意的，
首先有在时恒成立，
即在时恒成立，
首先有，
其次令，
关于的二次函数的对称轴为，
当，即时，还要保证，解得，
当时，只需，解得，
所有在时恒成立当且仅当．
因为，
又因为，所以，
当时，在上单调递增，
此时的值域是的子集．
当时，在上先增后减，
在或处取得最小值，且，，，其中为对勾函数，
在上单调递减，在上单调递增，
又，，，故的值域是的子集，
综上，的值域是的子集．
故只需考虑在的情况即可，
因为在上单调递减，
根据复合函数的单调性得到在上单调递减，
又时，图象的对称轴为，开口向上，
故在上单调递增，
当时，令，
则在上单调递增，
其中，，
由零点存在性定理可知：使得，
又，故需要满足，所以只需满足，
当时，，不符合要求；
当时，则，解得，
由于，故无解，
综上，不存在．
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