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广东省梅州市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．若复数，其中为虚数单位，则（　　）
A． B．0 C． D．1
【答案】D
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：若复数，其中为虚数单位，则.
故答案为：D.
【分析】本题考查复数模的计算，核心是利用复数模的定义：对于复数 （），其模为 。
2．如图，某图形的直观图是一个边长为2的菱形，则原图形的面积为（　　）
A． B． C．8 D．
【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：C.
【分析】本题考查斜二测画法下直观图与原图的面积关系，利用“原图形面积=直观图面积×” 这一结论，先计算直观图（菱形）的面积，再还原原图面积。
3．的值是
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】本题考查两角和的余弦公式，核心是将 拆分为特殊角 ，再利用公式 展开计算。
4．某校举行“爱我中华”演讲比赛，评分规则如下：对每个选手的演讲，共有个评委打分，去掉一个最高分与一个最低分，剩下的分数作为有效分，以有效分的平均分作为该选手的得分.设对于某选手的演讲，个评委的原始评分分别为：、、、、、、，则对比原始评分和有效分两组数据，下列特征数中，发生改变的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：原数据由小到大依次为：、、、、、、，
其平均数为，中位数为，众数为，
方差为，
将原数据中去掉一个最高分与一个最低分，剩余的数据由小到大依次为：、、、、，
新数据的平均数为，中位数为，众数为，
方差为，
故平均数、中位数、众数没有发生改变，方差发生改变，
故答案为：C.
【分析】本题考查统计量（平均数、中位数、众数、方差）的性质，核心是对比原始评分和去掉一个最高分、一个最低分后的有效分，计算各统计量的变化情况。
5．若三点，，在同一条直线上，则（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由三点，，，可得，
因为三点共线，可得，可得，解得.
故答案为：B.
【分析】本题考查三点共线的向量判定方法，核心是利用向量共线的坐标条件：若向量 与 共线，则它们的坐标满足交叉相乘相等的关系。
6．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译的概率为，乙能破译的概率为，则密码被成功破译的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由甲能破译的概率为，乙能破译的概率为，且甲乙两人相互独立，
设密码被成功破译为事件，则.
故答案为：B.
【分析】本题考查相互独立事件的概率计算，利用对立事件的概率公式：先求“两人都无法破译密码”的概率，再用1减去该概率得到“密码被成功破译”的概率。
7．如图，在中，，，是边上靠近点的三等分点，是的中点，与交于点，（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由题意得，建立如图所示的平面直角坐标系，
而，从而，
所以.
故答案为：A.
【分析】本题考查向量法求异面直线夹角的余弦值，核心是通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为向量点积计算，利用公式：求解。
8．某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若小明同学在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且米，则该球体建筑物的高度为（　　）米．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解；如图，设球心为，连接，
则，
设球的半径为，
则，，
，
，
，
则该球体建筑物的高度为米．
故答案为：B．
【分析】根据三角函数定义可得，再利用得出的值，从而得出2R的值，进而得出该球体建筑物的高度．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列结论不正确的是（　　）
A．若，，则、是异面直线
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】A,B,D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A，若，，则、平行、相交或异面，A错误；
B，若，，，则、没有公共点，即、平行或异面，B错误；
C，若，，则，C正确；
D，若，，则或或与相交（不一定垂直），D错误.
故答案为：ABD.
【分析】A：根据空间中两条直线的位置关系（平行、相交、异面），判断不同平面内直线的位置关系；
B：根据面面平行的性质，判断两个平行平面内直线的位置关系；
C：利用面面平行的性质定理，判断直线与平面的位置关系；
D：根据面面垂直的性质，判断平面内直线与另一平面的位置关系。
10．下图是函数的部分图象，下列说法正确的是（　　）
A．点的坐标为
B．的一个可能值是
C．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是奇函数
D．
【答案】B,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：A：因为函数的周期，所以，
因为点在的右侧，解得，即点的坐标为，故A错误；
B：函数过点，所以，
即，解得，
所以当时，，故B正确；
C：由B可知，所以将函数的图象向右平移个单位长度后，
所得图象对应的函数，
因为，所以为奇函数，故C正确；
D：由B可知，
所以
，
而 ，
所以，故D错误.
故答案为：BC
【分析】A：根据三角函数周期与图象对称性，计算点A的坐标；B：利用图象上的最高点坐标，代入函数求解φ的值；C：通过平移变换得到新函数，再判断其奇偶性；D：计算 与 的值并比较大小。
11．群的概念由法国天才数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.
群的定义如下：设是一个非空集合，“*”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：
①封闭性：对任意的，，有；
②结合律成立：对任意的，，，有；
③单位元存在：存在，使得对任意的，有，称为单位元；
④逆元存在：对任意的，存在，使，称与互为逆元.
则称关于“*”新构成一个群.则下列结论正确的有（　　）
A．自然数集关于数的加法构成群
B．某一平面上的所有向量组成的集合关于向量的加法构成群
C．（为虚数单位）关于复数的乘法构成群
D．关于数的乘法构成群
【答案】B,C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A：由且对任意的，都有，但，不存在，使，故A错误；
B：对任意向量，，，封闭性：，则也是向量；
结合律：，，
故；单位元：存在零向量，使得；
逆元：当时，有；故B正确；
C：、、、
、、，故满足封闭性；
因为复数的乘法满足结合律，故结合律成立；
存在，对于，当时，，
当时，；当时，，
当时，；故单位元存在；
当时，；当时，，
当时，；当时，，
故对任意的，逆元存在；故C正确；
D：取、，则，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】群的定义需要同时满足封闭性、结合律、单位元存在、逆元存在四个条件，逐一验证每个选项：
A：验证自然数集加法的逆元是否存在；
B：验证平面向量加法的四个群条件；
C：验证集合关于复数乘法的四个群条件；
D：验证集合关于数的乘法的封闭性。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．计算：　 　.
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：
【分析】本题考查复数的除法运算，核心是利用分母实数化的方法，给分子分母同乘以分母的共轭复数（或其相反数），消去分母中的虚数单位 i。
13．在中，、、分别三个内角、、的对边，，，若该三角形有两个解，则边的长的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为在中，，，且该三角形有两个解，如下图所示：
则，即，即，
因此，边的长的取值范围为.
故答案为：.
【分析】利用 “已知两边及其中一边的对角，三角形有两个解” 的条件：当A为锐角时，需满足 bsinA14．已知一个正三棱台的上、下底面边长分别为3，6，侧棱长为2，则该三棱台的外接球的表面积为　 　.
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：
如图所示，设球心为，半径为，
由正三角形的外接圆半径公式，
可知上底面的外接圆半径，
下底面的外接圆半径.
所以三棱台的高，
若球心在两平面之间，设球心到上底面的距离，
则到下底面的距离为，
由球心到各顶点的距离相等可得，，，
解得，不符合题意；
若球心在两平面同侧，设球心到上底面的距离，
则到下底面的距离为，
由球心到各顶点的距离相等可得，，，解得，
所以球的半径的平方，
所以该三棱台的外接球的表面积为，
故答案为：.
【分析】本题考查正三棱台的外接球问题，核心是先求出上下底面外接圆半径、棱台的高，再通过分情况讨论球心位置，利用球心到上下底面顶点距离相等的性质列方程求球半径，最后计算外接球表面积。
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知是关于的方程的一个根，其中，.
（1）求、的值；
（2）在复数范围内，求该方程的另一根.
【答案】（1）解：因为为方程的一个根，可得，
整理得，所以，
解得.
（2）解：由（1）得，原方程为，
配方得，于是，
解得或，所以原方程的另一根为.
【知识点】一元二次方程的解集；共轭复数
【解析】【分析】(1) 将已知根代入方程，利用复数为零的条件（实部、虚部分别为零）列方程组求解p，q。
(2) 利用实系数一元二次方程的共轭复根性质，或直接解方程求出另一根。
（1）解：因为为方程的一个根，可得，
整理得，所以，
解得.
（2）解：由（1）得，原方程为，
配方得，于是，
解得或，所以原方程的另一根为.
16．某校为了解高一学生的客家话水平，随机抽取了100名学生进行问卷测试，将这100名学生测试的得分按，，，，分成5组，并绘制出频率分布直方图，如图所示，设定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”.
（1）求的值；
（2）估计样本的中位数与平均数；
（3）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”两类学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么恰有一人是“优秀”的概率是多少？
【答案】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得，解得.
（2）解：设样本的中位数为，
因为小于85的概率为，大于90的概率为，所以，
则，解得，
所以样本中位数的估计值为；
由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得.
（3）解：由题意得，测试成绩良好的人数为人，优秀的人数为人，
成绩优秀与良好的人数比为，采用分层抽样的方法抽取的5人中优秀3人，良好2人，
记“从这5人中选2人恰有1人是优秀”为事件，
将优秀的三名学生记为，考试成绩良好的两名学生记为，
从这5人中任选2人的所有基本事件包括：，，，，，，，，，，共10个基本事件，
事件包含的情况是：，，，，，，共有6个，
所以恰有一人是“优秀”的概率.
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】(1) 利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为1，列方程求解m。
(2) 根据中位数的定义确定其所在区间，再利用面积关系计算；平均数则用每组组中值乘以频率求和得到。
(3) 先分层抽样确定“优秀”与“良好”的人数，再通过古典概型计算概率。
（1）由频率分布直方图的性质，可得，解得.
（2）设样本的中位数为，
因为小于85的概率为，大于90的概率为，所以，
则，解得，
所以样本中位数的估计值为；
由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得.
（3）由题意，测试成绩良好的人数为人，
优秀的人数为人，
成绩优秀与良好的人数比为，采用分层抽样的方法抽取的5人中优秀3人，良好2人，
记“从这5人中选2人恰有1人是优秀”为事件，
将优秀的三名学生记为，考试成绩良好的两名学生记为，
从这5人中任选2人的所有基本事件包括：，，，，，，，，，，共10个基本事件，
事件包含的情况是：，，，，，，共有6个，
所以恰有一人是“优秀”的概率.
17．在中，，，.
（1）求的值；
（2）取一点，使得，求点到直线的距离.
【答案】（1）解：过点作，垂足为.
在中，因为，，
所以.
因为，所以，
在中，由勾股定理可得，
，
因此.
（2）解：因为，所以点为靠近点的三等分点，
因此，.
过作，交的延长线于，
所以即为点到直线的距离.
在中，由余弦定理可得
，
发现，因此，
又，因此，于是，
所以，即点到直线的距离为.
【知识点】任意角三角函数的定义；解三角形；余弦定理的应用
【解析】【分析】 (1) 通过作高构造直角三角形，先求出高和边长，再利用正弦定义求sinC。
(2) 先根据向量关系确定D的位置，再用余弦定理和相似三角形求点C到直线AD的距离。
（1）过点作，垂足为.
在中，因为，，
所以.
因为，所以，
在中，由勾股定理可得，
，
因此.
（2）因为，所以点为靠近点的三等分点，
因此，.
过作，交的延长线于，
所以即为点到直线的距离.
在中，由余弦定理可得
，
发现，因此，
又，因此，于是，
所以，即点到直线的距离为.
18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点.
（1）当为线段的中点时，
（ⅰ）求证：平面；
（ⅱ）求二面角的余弦值：
（2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（ⅰ）证明：底面，平面，，
又底面为正方形，，
又，平面，
平面，
平面，，
又，为线段的中点，，
又，平面，
平面；
（ⅱ）解：
如图所示，取的中点，连接，过点作于点，连接，
为的中位线，，
底面，平面，
平面，，
，，平面，平面，
所以即为二面角的平面角，
设，则，，
由可得，即，解得，
在直角中，，
.
二面角的余弦值为；
（2）解：如图，连接，交于点，连接，
假设在线段上存在点，使得平面，
平面，平面平面，
由线面平行的性质定理可知，
在中，有，
，，则，
假设成立，即在上存在点，使得平面，此时.
【知识点】直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】(1) (i) 利用线面垂直的判定定理，证明 垂直于平面 内的两条相交直线；
(ii) 通过找二面角的平面角，利用相似三角形和勾股定理计算余弦值。
(2) 利用线面平行的性质定理，结合相似三角形确定点 的位置，求出比例。
（1）（ⅰ）底面，平面，，
又底面为正方形，，
又，平面，
平面，
平面，，
又，为线段的中点，，
又，平面，
平面；
（ⅱ）
如图所示，取的中点，连接，过点作于点，连接，
为的中位线，，
底面，平面，
平面，，
，，平面，平面，
所以即为二面角的平面角，
设，则，，
由可得，即，解得，
在直角中，，
.
二面角的余弦值为；
（2）如图，连接，交于点，连接，
假设在线段上存在点，使得平面，
平面，平面平面，
由线面平行的性质定理可知，
在中，有，
，，则，
假设成立，即在上存在点，使得平面，此时.
19．如图，圆的半径为2.
（1）设为圆的一条弦，如图①，当时，
（i）当取何值时，取得最小值，并求出此最小值；
（ii）设是圆上的一动点，求的最大值；
（2）设、为圆的两条弦，如图②，已知，求的最大值.
【答案】（1）（ⅰ）解：设，即有为直线上某一点，
，
要使取得最小值，即最小，则此时只需，
过点作于点，有，即，
而因为，因此，
故当时，取得最小值，其最小值为.
（ⅱ）解：因为，，
过点作于点，
，
而或，
要使的最大，则需，同向，且最大，此时与圆相切，
平移的垂线至，使圆相切，
此时有，，所以，
.
（2）解：过点作于点，
，，而，
所以
，
因为，所以，，，，
所以，
因此，当，共线时，取得最大值，.
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；平面向量的投影向量
【解析】【分析】(1) (i) 将转化为点到直线的距离问题，找到使模长最小的值；
(ii) 利用向量投影的概念，将数量积转化为投影长度的乘积，求最大值。
(2) 通过向量分解与化简，将转化为含与的表达式，再利用共线条件求最大值。
（1）（ⅰ）设，即有为直线上某一点，
，
要使取得最小值，即最小，则此时只需，
过点作于点，有，即，
而因为，因此，
故当时，取得最小值，其最小值为.
（ⅱ）因为，，
过点作于点，
，
而或，
要使的最大，则需，同向，且最大，此时与圆相切，
平移的垂线至，使圆相切，
此时有，，所以，
.
（2）过点作于点，
，，而，
所以
，
因为，所以，，，，
所以，
因此，当，共线时，取得最大值，.
1 / 1广东省梅州市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．若复数，其中为虚数单位，则（　　）
A． B．0 C． D．1
2．如图，某图形的直观图是一个边长为2的菱形，则原图形的面积为（　　）
A． B． C．8 D．
3．的值是
A． B． C． D．
4．某校举行“爱我中华”演讲比赛，评分规则如下：对每个选手的演讲，共有个评委打分，去掉一个最高分与一个最低分，剩下的分数作为有效分，以有效分的平均分作为该选手的得分.设对于某选手的演讲，个评委的原始评分分别为：、、、、、、，则对比原始评分和有效分两组数据，下列特征数中，发生改变的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
5．若三点，，在同一条直线上，则（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译的概率为，乙能破译的概率为，则密码被成功破译的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，是边上靠近点的三等分点，是的中点，与交于点，（　　）
A． B． C． D．
8．某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若小明同学在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且米，则该球体建筑物的高度为（　　）米．
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列结论不正确的是（　　）
A．若，，则、是异面直线
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，则
10．下图是函数的部分图象，下列说法正确的是（　　）
A．点的坐标为
B．的一个可能值是
C．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是奇函数
D．
11．群的概念由法国天才数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.
群的定义如下：设是一个非空集合，“*”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：
①封闭性：对任意的，，有；
②结合律成立：对任意的，，，有；
③单位元存在：存在，使得对任意的，有，称为单位元；
④逆元存在：对任意的，存在，使，称与互为逆元.
则称关于“*”新构成一个群.则下列结论正确的有（　　）
A．自然数集关于数的加法构成群
B．某一平面上的所有向量组成的集合关于向量的加法构成群
C．（为虚数单位）关于复数的乘法构成群
D．关于数的乘法构成群
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．计算：　 　.
13．在中，、、分别三个内角、、的对边，，，若该三角形有两个解，则边的长的取值范围为　 　.
14．已知一个正三棱台的上、下底面边长分别为3，6，侧棱长为2，则该三棱台的外接球的表面积为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知是关于的方程的一个根，其中，.
（1）求、的值；
（2）在复数范围内，求该方程的另一根.
16．某校为了解高一学生的客家话水平，随机抽取了100名学生进行问卷测试，将这100名学生测试的得分按，，，，分成5组，并绘制出频率分布直方图，如图所示，设定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”.
（1）求的值；
（2）估计样本的中位数与平均数；
（3）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”两类学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么恰有一人是“优秀”的概率是多少？
17．在中，，，.
（1）求的值；
（2）取一点，使得，求点到直线的距离.
18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点.
（1）当为线段的中点时，
（ⅰ）求证：平面；
（ⅱ）求二面角的余弦值：
（2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由.
19．如图，圆的半径为2.
（1）设为圆的一条弦，如图①，当时，
（i）当取何值时，取得最小值，并求出此最小值；
（ii）设是圆上的一动点，求的最大值；
（2）设、为圆的两条弦，如图②，已知，求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：若复数，其中为虚数单位，则.
故答案为：D.
【分析】本题考查复数模的计算，核心是利用复数模的定义：对于复数 （），其模为 。
2．【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：C.
【分析】本题考查斜二测画法下直观图与原图的面积关系，利用“原图形面积=直观图面积×” 这一结论，先计算直观图（菱形）的面积，再还原原图面积。
3．【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】本题考查两角和的余弦公式，核心是将 拆分为特殊角 ，再利用公式 展开计算。
4．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：原数据由小到大依次为：、、、、、、，
其平均数为，中位数为，众数为，
方差为，
将原数据中去掉一个最高分与一个最低分，剩余的数据由小到大依次为：、、、、，
新数据的平均数为，中位数为，众数为，
方差为，
故平均数、中位数、众数没有发生改变，方差发生改变，
故答案为：C.
【分析】本题考查统计量（平均数、中位数、众数、方差）的性质，核心是对比原始评分和去掉一个最高分、一个最低分后的有效分，计算各统计量的变化情况。
5．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由三点，，，可得，
因为三点共线，可得，可得，解得.
故答案为：B.
【分析】本题考查三点共线的向量判定方法，核心是利用向量共线的坐标条件：若向量 与 共线，则它们的坐标满足交叉相乘相等的关系。
6．【答案】B
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由甲能破译的概率为，乙能破译的概率为，且甲乙两人相互独立，
设密码被成功破译为事件，则.
故答案为：B.
【分析】本题考查相互独立事件的概率计算，利用对立事件的概率公式：先求“两人都无法破译密码”的概率，再用1减去该概率得到“密码被成功破译”的概率。
7．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由题意得，建立如图所示的平面直角坐标系，
而，从而，
所以.
故答案为：A.
【分析】本题考查向量法求异面直线夹角的余弦值，核心是通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为向量点积计算，利用公式：求解。
8．【答案】B
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解；如图，设球心为，连接，
则，
设球的半径为，
则，，
，
，
，
则该球体建筑物的高度为米．
故答案为：B．
【分析】根据三角函数定义可得，再利用得出的值，从而得出2R的值，进而得出该球体建筑物的高度．
9．【答案】A,B,D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A，若，，则、平行、相交或异面，A错误；
B，若，，，则、没有公共点，即、平行或异面，B错误；
C，若，，则，C正确；
D，若，，则或或与相交（不一定垂直），D错误.
故答案为：ABD.
【分析】A：根据空间中两条直线的位置关系（平行、相交、异面），判断不同平面内直线的位置关系；
B：根据面面平行的性质，判断两个平行平面内直线的位置关系；
C：利用面面平行的性质定理，判断直线与平面的位置关系；
D：根据面面垂直的性质，判断平面内直线与另一平面的位置关系。
10．【答案】B,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：A：因为函数的周期，所以，
因为点在的右侧，解得，即点的坐标为，故A错误；
B：函数过点，所以，
即，解得，
所以当时，，故B正确；
C：由B可知，所以将函数的图象向右平移个单位长度后，
所得图象对应的函数，
因为，所以为奇函数，故C正确；
D：由B可知，
所以
，
而 ，
所以，故D错误.
故答案为：BC
【分析】A：根据三角函数周期与图象对称性，计算点A的坐标；B：利用图象上的最高点坐标，代入函数求解φ的值；C：通过平移变换得到新函数，再判断其奇偶性；D：计算 与 的值并比较大小。
11．【答案】B,C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A：由且对任意的，都有，但，不存在，使，故A错误；
B：对任意向量，，，封闭性：，则也是向量；
结合律：，，
故；单位元：存在零向量，使得；
逆元：当时，有；故B正确；
C：、、、
、、，故满足封闭性；
因为复数的乘法满足结合律，故结合律成立；
存在，对于，当时，，
当时，；当时，，
当时，；故单位元存在；
当时，；当时，，
当时，；当时，，
故对任意的，逆元存在；故C正确；
D：取、，则，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】群的定义需要同时满足封闭性、结合律、单位元存在、逆元存在四个条件，逐一验证每个选项：
A：验证自然数集加法的逆元是否存在；
B：验证平面向量加法的四个群条件；
C：验证集合关于复数乘法的四个群条件；
D：验证集合关于数的乘法的封闭性。
12．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：
【分析】本题考查复数的除法运算，核心是利用分母实数化的方法，给分子分母同乘以分母的共轭复数（或其相反数），消去分母中的虚数单位 i。
13．【答案】
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为在中，，，且该三角形有两个解，如下图所示：
则，即，即，
因此，边的长的取值范围为.
故答案为：.
【分析】利用 “已知两边及其中一边的对角，三角形有两个解” 的条件：当A为锐角时，需满足 bsinA14．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：
如图所示，设球心为，半径为，
由正三角形的外接圆半径公式，
可知上底面的外接圆半径，
下底面的外接圆半径.
所以三棱台的高，
若球心在两平面之间，设球心到上底面的距离，
则到下底面的距离为，
由球心到各顶点的距离相等可得，，，
解得，不符合题意；
若球心在两平面同侧，设球心到上底面的距离，
则到下底面的距离为，
由球心到各顶点的距离相等可得，，，解得，
所以球的半径的平方，
所以该三棱台的外接球的表面积为，
故答案为：.
【分析】本题考查正三棱台的外接球问题，核心是先求出上下底面外接圆半径、棱台的高，再通过分情况讨论球心位置，利用球心到上下底面顶点距离相等的性质列方程求球半径，最后计算外接球表面积。
15．【答案】（1）解：因为为方程的一个根，可得，
整理得，所以，
解得.
（2）解：由（1）得，原方程为，
配方得，于是，
解得或，所以原方程的另一根为.
【知识点】一元二次方程的解集；共轭复数
【解析】【分析】(1) 将已知根代入方程，利用复数为零的条件（实部、虚部分别为零）列方程组求解p，q。
(2) 利用实系数一元二次方程的共轭复根性质，或直接解方程求出另一根。
（1）解：因为为方程的一个根，可得，
整理得，所以，
解得.
（2）解：由（1）得，原方程为，
配方得，于是，
解得或，所以原方程的另一根为.
16．【答案】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得，解得.
（2）解：设样本的中位数为，
因为小于85的概率为，大于90的概率为，所以，
则，解得，
所以样本中位数的估计值为；
由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得.
（3）解：由题意得，测试成绩良好的人数为人，优秀的人数为人，
成绩优秀与良好的人数比为，采用分层抽样的方法抽取的5人中优秀3人，良好2人，
记“从这5人中选2人恰有1人是优秀”为事件，
将优秀的三名学生记为，考试成绩良好的两名学生记为，
从这5人中任选2人的所有基本事件包括：，，，，，，，，，，共10个基本事件，
事件包含的情况是：，，，，，，共有6个，
所以恰有一人是“优秀”的概率.
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】(1) 利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为1，列方程求解m。
(2) 根据中位数的定义确定其所在区间，再利用面积关系计算；平均数则用每组组中值乘以频率求和得到。
(3) 先分层抽样确定“优秀”与“良好”的人数，再通过古典概型计算概率。
（1）由频率分布直方图的性质，可得，解得.
（2）设样本的中位数为，
因为小于85的概率为，大于90的概率为，所以，
则，解得，
所以样本中位数的估计值为；
由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得.
（3）由题意，测试成绩良好的人数为人，
优秀的人数为人，
成绩优秀与良好的人数比为，采用分层抽样的方法抽取的5人中优秀3人，良好2人，
记“从这5人中选2人恰有1人是优秀”为事件，
将优秀的三名学生记为，考试成绩良好的两名学生记为，
从这5人中任选2人的所有基本事件包括：，，，，，，，，，，共10个基本事件，
事件包含的情况是：，，，，，，共有6个，
所以恰有一人是“优秀”的概率.
17．【答案】（1）解：过点作，垂足为.
在中，因为，，
所以.
因为，所以，
在中，由勾股定理可得，
，
因此.
（2）解：因为，所以点为靠近点的三等分点，
因此，.
过作，交的延长线于，
所以即为点到直线的距离.
在中，由余弦定理可得
，
发现，因此，
又，因此，于是，
所以，即点到直线的距离为.
【知识点】任意角三角函数的定义；解三角形；余弦定理的应用
【解析】【分析】 (1) 通过作高构造直角三角形，先求出高和边长，再利用正弦定义求sinC。
(2) 先根据向量关系确定D的位置，再用余弦定理和相似三角形求点C到直线AD的距离。
（1）过点作，垂足为.
在中，因为，，
所以.
因为，所以，
在中，由勾股定理可得，
，
因此.
（2）因为，所以点为靠近点的三等分点，
因此，.
过作，交的延长线于，
所以即为点到直线的距离.
在中，由余弦定理可得
，
发现，因此，
又，因此，于是，
所以，即点到直线的距离为.
18．【答案】（1）（ⅰ）证明：底面，平面，，
又底面为正方形，，
又，平面，
平面，
平面，，
又，为线段的中点，，
又，平面，
平面；
（ⅱ）解：
如图所示，取的中点，连接，过点作于点，连接，
为的中位线，，
底面，平面，
平面，，
，，平面，平面，
所以即为二面角的平面角，
设，则，，
由可得，即，解得，
在直角中，，
.
二面角的余弦值为；
（2）解：如图，连接，交于点，连接，
假设在线段上存在点，使得平面，
平面，平面平面，
由线面平行的性质定理可知，
在中，有，
，，则，
假设成立，即在上存在点，使得平面，此时.
【知识点】直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】(1) (i) 利用线面垂直的判定定理，证明 垂直于平面 内的两条相交直线；
(ii) 通过找二面角的平面角，利用相似三角形和勾股定理计算余弦值。
(2) 利用线面平行的性质定理，结合相似三角形确定点 的位置，求出比例。
（1）（ⅰ）底面，平面，，
又底面为正方形，，
又，平面，
平面，
平面，，
又，为线段的中点，，
又，平面，
平面；
（ⅱ）
如图所示，取的中点，连接，过点作于点，连接，
为的中位线，，
底面，平面，
平面，，
，，平面，平面，
所以即为二面角的平面角，
设，则，，
由可得，即，解得，
在直角中，，
.
二面角的余弦值为；
（2）如图，连接，交于点，连接，
假设在线段上存在点，使得平面，
平面，平面平面，
由线面平行的性质定理可知，
在中，有，
，，则，
假设成立，即在上存在点，使得平面，此时.
19．【答案】（1）（ⅰ）解：设，即有为直线上某一点，
，
要使取得最小值，即最小，则此时只需，
过点作于点，有，即，
而因为，因此，
故当时，取得最小值，其最小值为.
（ⅱ）解：因为，，
过点作于点，
，
而或，
要使的最大，则需，同向，且最大，此时与圆相切，
平移的垂线至，使圆相切，
此时有，，所以，
.
（2）解：过点作于点，
，，而，
所以
，
因为，所以，，，，
所以，
因此，当，共线时，取得最大值，.
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；平面向量的投影向量
【解析】【分析】(1) (i) 将转化为点到直线的距离问题，找到使模长最小的值；
(ii) 利用向量投影的概念，将数量积转化为投影长度的乘积，求最大值。
(2) 通过向量分解与化简，将转化为含与的表达式，再利用共线条件求最大值。
（1）（ⅰ）设，即有为直线上某一点，
，
要使取得最小值，即最小，则此时只需，
过点作于点，有，即，
而因为，因此，
故当时，取得最小值，其最小值为.
（ⅱ）因为，，
过点作于点，
，
而或，
要使的最大，则需，同向，且最大，此时与圆相切，
平移的垂线至，使圆相切，
此时有，，所以，
.
（2）过点作于点，
，，而，
所以
，
因为，所以，，，，
所以，
因此，当，共线时，取得最大值，.
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