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江苏省连云港市赣榆区2024-2025学年高一下学期4月期中学业水平质量监测数学试题（A）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）
1．设，若向量，，且，则m的值为（　　）
A． B． C．4 D．9
2．设复数，（）.若为实数，则（　　）
A． B．2 C． D．4
3．在中，若，则的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
4．在中，C是AB上一点，且，若，则实数的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
5．已知，，则（　　）
A． B． C． D．
6．已知非零向量在向量上的投影向量为，，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知向量，，若，则（　　）
A． B． C． D．
8．一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东，前进m千米后在B处测得该岛的方位角为北偏东，已知该岛周围n千米范围内（包括边界）有暗礁，现该船继续东行，若该船没有触礁危险，则，满足的条件为（　　）
①②③
④
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分）
9．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（　　）
A．z的虚部为
B．复数z在复平面内对应的点位于第三象限
C．z的共轭复数
D．
10．已知，，是三个非零向量，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．不与垂直
11．在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的有（　　）
A．若，则为直角三角形
B．若，则为等腰三角形
C．若，则
D．若是锐角三角形，则
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．在中，已知，，，则＝　 　．
13．已知，则　 　.
14．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，的面积，若且，则　 　.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．已知向量，，.
（1）求；
（2）求与的夹角.
16．已知复数（）
（1）若，求实数m的值；
（2）若z为虚数，求实数m的取值范围；
（3）若复数z对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.
17．定义向量的“伴随函数”为，函数的“伴随向量”为.
（1）写出向量的伴随函数，并直接写出的最大值M；
（2）求函数的伴随向量的模.
18．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求证：；
（2）若D为BC的中点，，，求AD的长.
19．在非直角三角形ABC中，边长a，b，c满足（，且）
（1）若，且，求的值；
（2）求证：；
（3）是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明，若不存在，请给出一个理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意得，解得.
故选：D
【分析】根据向量平行即可求解.
2．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
因为为实数，所以，解得.
故选：B
【分析】先利用复数除法法则化简，进而复数的概念得到虚部等于零即求解即可求得x的值.
3．【答案】A
【知识点】正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由，结合正弦定理可得：，
，可得：，
，则的形状为等腰三角形．
故选：．
【分析】先利用正弦定理将边化为角，结合两角和的正弦化简，求出，进一步求得，即可判断三角形的形状．
4．【答案】D
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，
所以，所以.
故选：D
【分析】利用平面向量的线性运算变形得到，故，即可可得实数的值.
5．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：，
，
联立可得，
则.
故答案为：B.
【分析】利用两角和、差的余弦公式，求出，再利用同角三角函数关系切化弦求解即可.
6．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为在向量上的投影向量为，所以，所以，
所以，所以，
所以.
故选：C
【分析】利用投影向量的公式求得，从而利用向量数量积运算法则即可得到 .
7．【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可知，，即，
所以，解得或（舍），
所以，
故选：B
【分析】利用向量垂直的充要条件求得，再用倍角公式求即可.
8．【答案】C
【知识点】三角函数诱导公式二~六；正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，由题意可知，，，过M作于C，
设，根据正弦定理可得，，
又∵时没有触礁危险，
即，故①正确，
，故④正确，
故选：C
【分析】根据题意，过M作于C，设，结合诱导公式和正弦定理代入计算可得，进而求得x的值，进行化简即可得到结果.
9．【答案】A,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：A，，故虚部为-2，故选项A正确；
B，z在复平面内对应的点坐标为，位于第四象限，故选项B错误；
C，z的共轭复数，故选项C错误；
D，，故选项D正确.
故选：AD.
【分析】利用复数的乘除运算和乘方运算得到即可判断选项A；写出z在复平面内对应的点坐标即可判断选项B；根据共轭复数的定义即可判断选项C；利用模长公式即可判断选项D.
10．【答案】A,C
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：A，因为，，，是非零向量，
所以，所以同向共线，故选项A正确；
B，若，则，
因为是非零向量，所以，所以不一定相等，故选项B错误；
C，若，，设，所以，所以，故选项C正确；
D，，
与垂直，故选项D错误.
故选：AC
【分析】利用向量数量积公式得到进而即可判断选项A；根据数量积公式可得，进而可得即可判断选项B；利用向量共线定理即可判断选项C；先计算出，利用向量垂直的充要条件即可判断选项D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；正弦函数的性质；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：A，由正弦定理得，
所以，
所以
，
所以，即，所以为直角三角形，故选项A正确；
B，若，则，
由正弦定理得，
又，所以，
所以，即，，
所以或，所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故选项B错误；
C，若，则，由正弦定理得，
又，所以，所以，故选项C正确；
D，若是锐角三角形，则，则，
因为，所以，
又在上单调递增，所以，故选项D正确.
故选：ACD
【分析】由正弦定理得到，从而即可判断选项A；由同角三角函数关系，正弦定理可得，进而利用二倍角公式得到，所以或即可判断选项B；由大角对大边得到，由正弦定理得到即可判断选项C；根据锐角三角形得到，结合正弦函数单调性和诱导公式比较出大小即可判断选项D.
12．【答案】或.
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为，所以，
由正弦定理可得，
又因为，所以或.
故答案为：或.
【分析】利用正弦定理计算即可.
13．【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，
得，
则，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】由，得到，由两角和的余弦公式和同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
14．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：，故，
又，
所以，
所以，
因为，所以，所以，所以，
因为，所以，
由三角形面积公式得，
又，所以，所以，
由余弦定理得，
即，所以，
所以，解得，
又，所以，所以满足要求，舍去，
所以.
故答案为：
【分析】由正弦定理和化简得到，进而求得，由三角形面积公式得到，由余弦定理得到方程，方程两边同除以求得的值，再由正弦定理即可求得
15．【答案】（1）解：，
故，
故，解得，
故，
所以.
（2）解：根据平方差公式，，
代入，，得：
所以，
又因为，且，所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；余弦定理的应用
【解析】【分析】本题围绕向量的模长与夹角计算，运用向量数量积的运算规则.
（1）先通过求出，再计算.
（2）利用向量夹角公式，结合已得模长与数量积求解，核心是向量数量积性质的应用.
（1），
故，
故，解得，
故，
所以；
（2），
又，故.
16．【答案】（1）解：因为，所以为实数，
所以，解得.
（2）解：因为z为虚数，所以，所以.
所以实数m的取值范围为{m|} .
（3）解：由题意得，解得
所以实数m的取值范围为{m|}.
【知识点】一元二次不等式及其解法；复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）根据得到为实数，从而得到方程和不等式，进而即可求得实数m的值；
（2）根据复数的概念令虚部不为0列式即可求得实数m的取值范围；
（3）根据第四象限的坐标特征得到不等式求解即可求得实数m的取值范围.
（1），故为实数，
，解得；
（2）z为虚数，故，所以；
（3）由题意得，解得
17．【答案】（1）解：向量的伴随函数为，
，当，
即时，取得最大值，最大值；
（2）解：，
则伴随向量，.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；简单的三角恒等变换；半角公式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）根据伴随函数的定义可得，利用辅助角公式化简函数，最后根据正弦函数的性质求解即可；
（2）利用正弦、余弦的二倍角公式化简可得，得到伴随向量，再利用向量的模长公式求解即可.
（1）向量的伴随函数为，
，当，
即时，取得最大值，最大值；
（2），
故伴随向量，故.
18．【答案】（1）证明：由正弦定理得，
所以，即，
又，所以，所以.
（2）解：由（1）知，，故，
如图所示，延长至点，使得，连接，
因为D为BC的中点，所以，
又，所以≌，
所以，
在中，，
由余弦定理得，
即，解得，
所以.
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由正弦定理得到，计算即可证得；
（2）作出辅助线，得到三角形全等，，由余弦定理得到方程，求出，进而即可求得AD的长.
（1）由正弦定理得，
所以，即，
又，故，所以；
（2）由（1）知，，故，
延长至点，使得，连接，
因为D为BC的中点，所以，
又，所以≌，
所以，
在中，，
由余弦定理得，
即，解得，
所以.
19．【答案】（1）解：当 时，，即，
由正弦定理可得，即，即，
由余弦定理可得.

（2）证明：因为，所以，
即.
所以.
所以 ，
即.
所以.
（3）解：存在.下面给出证明.
因为，所以，.
展开整理可得，
即，
故.
因此，.
所以，存在函数.
【知识点】简单的三角恒等变换；三角函数恒等式的证明；和差化积公式；解三角形
【解析】【分析】（1）根据已知条件可知，结合已知条件和正弦定理化简可得，代入余弦定理中计算即可求得cosB的值；
（2）利用正弦定理可得，进而利用和差化积公式和半角公式可得，再利用两角和与差的余弦公式和同角三角函数的关系式即可证得；
（3）由(2)和半角公式即可求得，化简可得即可构造函数 .
（1）由正弦定理可得，即，即，
又，即，
由余弦定理可得.
（2）因为，所以，
即.
则.
故 ，
即.
故.
（3）存在.下面给出证明.
因为，所以，.
展开整理可得，
即，
故.
因此，.
所以，存在函数.
1 / 1江苏省连云港市赣榆区2024-2025学年高一下学期4月期中学业水平质量监测数学试题（A）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）
1．设，若向量，，且，则m的值为（　　）
A． B． C．4 D．9
【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意得，解得.
故选：D
【分析】根据向量平行即可求解.
2．设复数，（）.若为实数，则（　　）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
因为为实数，所以，解得.
故选：B
【分析】先利用复数除法法则化简，进而复数的概念得到虚部等于零即求解即可求得x的值.
3．在中，若，则的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【知识点】正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由，结合正弦定理可得：，
，可得：，
，则的形状为等腰三角形．
故选：．
【分析】先利用正弦定理将边化为角，结合两角和的正弦化简，求出，进一步求得，即可判断三角形的形状．
4．在中，C是AB上一点，且，若，则实数的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，
所以，所以.
故选：D
【分析】利用平面向量的线性运算变形得到，故，即可可得实数的值.
5．已知，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：，
，
联立可得，
则.
故答案为：B.
【分析】利用两角和、差的余弦公式，求出，再利用同角三角函数关系切化弦求解即可.
6．已知非零向量在向量上的投影向量为，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为在向量上的投影向量为，所以，所以，
所以，所以，
所以.
故选：C
【分析】利用投影向量的公式求得，从而利用向量数量积运算法则即可得到 .
7．已知向量，，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可知，，即，
所以，解得或（舍），
所以，
故选：B
【分析】利用向量垂直的充要条件求得，再用倍角公式求即可.
8．一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东，前进m千米后在B处测得该岛的方位角为北偏东，已知该岛周围n千米范围内（包括边界）有暗礁，现该船继续东行，若该船没有触礁危险，则，满足的条件为（　　）
①②③
④
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】C
【知识点】三角函数诱导公式二~六；正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，由题意可知，，，过M作于C，
设，根据正弦定理可得，，
又∵时没有触礁危险，
即，故①正确，
，故④正确，
故选：C
【分析】根据题意，过M作于C，设，结合诱导公式和正弦定理代入计算可得，进而求得x的值，进行化简即可得到结果.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分）
9．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（　　）
A．z的虚部为
B．复数z在复平面内对应的点位于第三象限
C．z的共轭复数
D．
【答案】A,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：A，，故虚部为-2，故选项A正确；
B，z在复平面内对应的点坐标为，位于第四象限，故选项B错误；
C，z的共轭复数，故选项C错误；
D，，故选项D正确.
故选：AD.
【分析】利用复数的乘除运算和乘方运算得到即可判断选项A；写出z在复平面内对应的点坐标即可判断选项B；根据共轭复数的定义即可判断选项C；利用模长公式即可判断选项D.
10．已知，，是三个非零向量，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．不与垂直
【答案】A,C
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：A，因为，，，是非零向量，
所以，所以同向共线，故选项A正确；
B，若，则，
因为是非零向量，所以，所以不一定相等，故选项B错误；
C，若，，设，所以，所以，故选项C正确；
D，，
与垂直，故选项D错误.
故选：AC
【分析】利用向量数量积公式得到进而即可判断选项A；根据数量积公式可得，进而可得即可判断选项B；利用向量共线定理即可判断选项C；先计算出，利用向量垂直的充要条件即可判断选项D.
11．在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的有（　　）
A．若，则为直角三角形
B．若，则为等腰三角形
C．若，则
D．若是锐角三角形，则
【答案】A,C,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；正弦函数的性质；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：A，由正弦定理得，
所以，
所以
，
所以，即，所以为直角三角形，故选项A正确；
B，若，则，
由正弦定理得，
又，所以，
所以，即，，
所以或，所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故选项B错误；
C，若，则，由正弦定理得，
又，所以，所以，故选项C正确；
D，若是锐角三角形，则，则，
因为，所以，
又在上单调递增，所以，故选项D正确.
故选：ACD
【分析】由正弦定理得到，从而即可判断选项A；由同角三角函数关系，正弦定理可得，进而利用二倍角公式得到，所以或即可判断选项B；由大角对大边得到，由正弦定理得到即可判断选项C；根据锐角三角形得到，结合正弦函数单调性和诱导公式比较出大小即可判断选项D.
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．在中，已知，，，则＝　 　．
【答案】或.
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为，所以，
由正弦定理可得，
又因为，所以或.
故答案为：或.
【分析】利用正弦定理计算即可.
13．已知，则　 　.
【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，
得，
则，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】由，得到，由两角和的余弦公式和同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
14．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，的面积，若且，则　 　.
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：，故，
又，
所以，
所以，
因为，所以，所以，所以，
因为，所以，
由三角形面积公式得，
又，所以，所以，
由余弦定理得，
即，所以，
所以，解得，
又，所以，所以满足要求，舍去，
所以.
故答案为：
【分析】由正弦定理和化简得到，进而求得，由三角形面积公式得到，由余弦定理得到方程，方程两边同除以求得的值，再由正弦定理即可求得
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．已知向量，，.
（1）求；
（2）求与的夹角.
【答案】（1）解：，
故，
故，解得，
故，
所以.
（2）解：根据平方差公式，，
代入，，得：
所以，
又因为，且，所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；余弦定理的应用
【解析】【分析】本题围绕向量的模长与夹角计算，运用向量数量积的运算规则.
（1）先通过求出，再计算.
（2）利用向量夹角公式，结合已得模长与数量积求解，核心是向量数量积性质的应用.
（1），
故，
故，解得，
故，
所以；
（2），
又，故.
16．已知复数（）
（1）若，求实数m的值；
（2）若z为虚数，求实数m的取值范围；
（3）若复数z对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：因为，所以为实数，
所以，解得.
（2）解：因为z为虚数，所以，所以.
所以实数m的取值范围为{m|} .
（3）解：由题意得，解得
所以实数m的取值范围为{m|}.
【知识点】一元二次不等式及其解法；复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）根据得到为实数，从而得到方程和不等式，进而即可求得实数m的值；
（2）根据复数的概念令虚部不为0列式即可求得实数m的取值范围；
（3）根据第四象限的坐标特征得到不等式求解即可求得实数m的取值范围.
（1），故为实数，
，解得；
（2）z为虚数，故，所以；
（3）由题意得，解得
17．定义向量的“伴随函数”为，函数的“伴随向量”为.
（1）写出向量的伴随函数，并直接写出的最大值M；
（2）求函数的伴随向量的模.
【答案】（1）解：向量的伴随函数为，
，当，
即时，取得最大值，最大值；
（2）解：，
则伴随向量，.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；简单的三角恒等变换；半角公式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）根据伴随函数的定义可得，利用辅助角公式化简函数，最后根据正弦函数的性质求解即可；
（2）利用正弦、余弦的二倍角公式化简可得，得到伴随向量，再利用向量的模长公式求解即可.
（1）向量的伴随函数为，
，当，
即时，取得最大值，最大值；
（2），
故伴随向量，故.
18．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求证：；
（2）若D为BC的中点，，，求AD的长.
【答案】（1）证明：由正弦定理得，
所以，即，
又，所以，所以.
（2）解：由（1）知，，故，
如图所示，延长至点，使得，连接，
因为D为BC的中点，所以，
又，所以≌，
所以，
在中，，
由余弦定理得，
即，解得，
所以.
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由正弦定理得到，计算即可证得；
（2）作出辅助线，得到三角形全等，，由余弦定理得到方程，求出，进而即可求得AD的长.
（1）由正弦定理得，
所以，即，
又，故，所以；
（2）由（1）知，，故，
延长至点，使得，连接，
因为D为BC的中点，所以，
又，所以≌，
所以，
在中，，
由余弦定理得，
即，解得，
所以.
19．在非直角三角形ABC中，边长a，b，c满足（，且）
（1）若，且，求的值；
（2）求证：；
（3）是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明，若不存在，请给出一个理由.
【答案】（1）解：当 时，，即，
由正弦定理可得，即，即，
由余弦定理可得.

（2）证明：因为，所以，
即.
所以.
所以 ，
即.
所以.
（3）解：存在.下面给出证明.
因为，所以，.
展开整理可得，
即，
故.
因此，.
所以，存在函数.
【知识点】简单的三角恒等变换；三角函数恒等式的证明；和差化积公式；解三角形
【解析】【分析】（1）根据已知条件可知，结合已知条件和正弦定理化简可得，代入余弦定理中计算即可求得cosB的值；
（2）利用正弦定理可得，进而利用和差化积公式和半角公式可得，再利用两角和与差的余弦公式和同角三角函数的关系式即可证得；
（3）由(2)和半角公式即可求得，化简可得即可构造函数 .
（1）由正弦定理可得，即，即，
又，即，
由余弦定理可得.
（2）因为，所以，
即.
则.
故 ，
即.
故.
（3）存在.下面给出证明.
因为，所以，.
展开整理可得，
即，
故.
因此，.
所以，存在函数.
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