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河北张家口市部分学校2026届高三下学期第一次模拟考试数学试卷
1．已知，则（　　）
A． B．i C．-1 D．1
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数，则.
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简求解即可.
2．已知平面向量，，若，则（　　）
A．1 B． C．0 D．
【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：已知，，且，则，解得.
故答案为：D.
【分析】利用向量共线的坐标即可求解.
3．已知，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即，
因为，所以.
故答案为：C.
【分析】解不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
4．已知等差数列的前项和为，且，则（　　）
A．88 B．114 C．132 D．144
【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由，可得，解得，
则.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据等差数列的性质求得的值，再根据等差数列的求和公式求的值即可.
5．已知l是一条直线，，为两个不同平面，若，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：因l是一条直线，，为两个不同平面，，
当时，可过直线作平面与平面交于直线，根据线面平行的性质定理可得，
又，所以，又，所以，即充分性成立；
当时，当且时符合，但推不出，即必要性不成立，
则“”是“”的充分不必要条件．
故答案为：A.
【分析】根据空间直线，平面的位置关系，结合充分、必要条件的定义判断即可.
6．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：由是定义在上的偶函数，得，
因为是定义在上周期为2的函数，所以，
又因为，所以，
则.
故答案为：A.
【分析】利用函数的奇偶性和周期性求解即可.
7．已知函数，对任意实数，存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：，
当时，，所以，所以，
所以存在，使得，即成立，
所以，，所以，
故实数的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】先利用正弦、余弦的二倍角公式以及辅助角公式化简，求出在上的最大值，问题转化为存在，使得成立，分离参数求解即可.
8．设函数，若对于任意的都成立，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：若对于任意的都成立，即，即，
令，所以，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以；
若对于任意的都成立，由函数及的图象易知，
若使对于恒成立，只需处在图象上方，
的最小值在处，两个图象相切处取得，
函数的导数为，时，，即，
综上，的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】对于任意的都成立，即，令，利用导数判断其单调性，求最值，可得a的取值范围，对于任意的都成立，结合函数特征，使得的图像始终在的下方，通过求切线的斜率的a的取值范围即可.
9．已知，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：易知，
则，，故A，B正确；
令，1和，得，，
，
则，，
即，，故C错误，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】易知，求二项展开式系数即可判断AB；利用赋值法求解即可判断CD.
10．已知抛物线C：的焦点为F，点，P为C上的动点，则（　　）
A．满足的点P恰有两个 B．的最小值为3
C．的最小值为 D．的最大值为3
【答案】B,C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线焦点为，
A、因为，所以点位于线段的垂直平分线上，其直线方程为，与抛物线C仅有一个交点，故A错误；
B、如图1，点在抛物线外，故的最小值为，故B正确；
C、如图2，过作轴的平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，
根据抛物线定义，此时有最小值，故C正确；
D、因为，当且仅当三点共线且在之间时取等号，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】易知抛物线焦点坐标，由，可得点位于线段的垂直平分线上即可判断A；易知点在抛物线外，则的最小值为即可判断B；利用抛物线的定义，结合平面几何知识求解即可判断CD.
11．若数列的前n项和为，且，在数列的前（）项中任取两项都是正数的概率记为，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】等比数列概念与表示；古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：数列中，，
当时，，解得，
当时，，整理可得，
即数列是首项为1，公比为的等比数列，则，
当时，数列的前项中，有个正数，个负数，
任取两项都是正数的概率为，
当时，数列的前项中，有个正数，个负数，
任取两项都是正数的概率为，
A、，故A正确；
B、，故B错误；
C、，，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：AC
【分析】根据数列中的关系，结合等比数列的定义求得数列的通项，再按为奇数、偶数分类求出并逐项求解判断即可.
12．过点与圆：相切的直线方程为　 　.
【答案】
【知识点】圆的切线方程
【解析】【解答】解：易知点在圆上，则所求切线与直线垂直，
因为，所以所求切线斜率，
则切线方程为，即.
故答案为：.
【分析】易知点在圆上，则所求切线与直线垂直，利用直线垂直关系求切线的斜率，再利用点斜式求切线方程即可.
13．如图是某烘焙店家烘焙蛋糕时所用的圆台状模具，它的高为6cm，下底部直径为12cm，上面开口圆的直径为20cm，现用此模具烘焙一个跟模具完全一样的儿童蛋糕，若蛋糕膨胀成型后的体积会变为原来液态状态下体积的2倍（模具不发生变化），现用直径为16cm的圆柱形容器量取液态原料（不考虑损耗），则圆柱形容器中需要注入液态原料的高度为　 　cm.
【答案】
【知识点】柱体的体积公式及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：圆台状蛋糕膨胀成型后的体积为，
圆柱形容器中液态原料的体积为，解得，
即圆柱形容器中需要注入液态原料的高度为.
故答案为：.
【分析】根据圆台的体积公式以及圆柱的体积公式计算即可.
14．设双曲线：的右焦点为为坐标原点，过的直线与的右支相交于，两点.若恒为锐角，则的离心率的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意可得，得到，，
设，，直线的斜率不为零，设直线方程为，代入，
得，
由韦达定理得
则
，
由于，两点均在的右支上，故，
所以，又恒为锐角，所以恒成立，即，
所以对恒成立.因为，
所以当时，，所以，
又因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，所以，
则，即离心率的取值范围为.
故答案为：.
【分析】由题意可得，设，，直线的斜率不为零，设直线方程为，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合向量数量积公式应用齐次式得出离心率范围即可.
15．某校为了解学生喜欢足球是否与性别有关联，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，得到如下列联表：
　 喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 　 40 　
女生 30 　 　
合计 　 　 　
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）并依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关联？
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：列联表：
　 喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 60 40 100
女生 30 70 100
合计 90 110 200
（2）解：零假设为：该校学生喜欢足球与性别无关，
而，
依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为该校学生喜欢足球与性别有关.
【知识点】独立性检验的应用；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据题干数据，完善列联表即可；
（2）先进行零假设，再根据公式计算值，与临界值比较判断即可.
（1）
　 喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 60 40 100
女生 30 70 100
合计 90 110 200
（2）零假设为：该校学生喜欢足球与性别无关，
而，
依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为该校学生喜欢足球与性别有关.
16．在中，角，，的对边分别为，，，.
（1）求角的大小；
（2）为边上一点，且，若，求的最大值.
【答案】（1）解：，由正弦定理得，
整理可得，则，即，
因为，所以，所以，
又因为，所以；
（2）解：因为在边上，且，所以，，
在中，由余弦定理，得①，
在中，由余弦定理，得②，
①②联立可得，
在中，由余弦定理得，则，即，
，即，则，
当且仅当，即，时等号成立，
故的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式以及三角形内角和定理化简求解即可；
（2）利用余弦定理，结合基本不等式求解即可.
（1）由正弦定理及，
得，
，
所以，即，
因为，所以，所以，
又，所以.
（2）因为在边上，且，所以，，
在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
二者联立，消去，得，
在中，由余弦定理，得，
所以，即，
所以，即，
所以，当且仅当，即，时等号成立，
所以的最大值为.
17．如图，在三棱锥中，，都是以为斜边的等腰直角三角形，，Q为的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：在三棱锥中，取中点，连接，令
由，都是以为斜边的等腰直角三角形，得，
且，而，则，，
而平面，因此平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：由（1）得直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，
设平面的法向量，则，取，得，
因此，
所以直线与平面所成角的正弦值.
【知识点】平面与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定证明即可；
（2）由（1）得直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）在三棱锥中，取中点，连接，令
由，都是以为斜边的等腰直角三角形，得，
且，而，则，，
而平面，因此平面，又平面，
所以平面平面.
（2）由（1）得直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，
设平面的法向量，则，取，得，
因此，
所以直线与平面所成角的正弦值.
18．已知函数.
（1）当时，若直线过原点且与曲线相切，求的方程；
（2）若函数在上恰有2个零点，.
①求的取值范围；
②求证：.
【答案】（1）解：当时，函数，设直线与曲线相切于点，
，直线的斜率，
因为，所以直线的方程为，
又过原点，所以，所以，所以，故的方程为，即；
（2）解：①因为在上恰有两个零点，
所以关于的方程有两个不相等的正根，即恰有2个不相等的正实数根，，
令，则与的图象有两个不同的交点，
因为，所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
当从0的右侧无限趋近于0时，趋近于；
当无限趋近于时，则趋近于，则图象，如图所示：
所以当时，直线与的图象有两个不同交点，则实数的取值范围为；
②、由①知，，
所以，，
所以，
不妨设，则，
要证，只需证，
因为，所以，所以，
则只需证，
令，则只需证当时，恒成立，
令，，
则函数在上单调递增，，
故当时，恒成立，原不等式得证.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）当时，函数，设切点，利用导数的几何意义求出，从而得到切线方程；
（2）①、问题转化为恰有2个不相等的正实数根，，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值，作出函数的图象，数形结合求解即可；
②、由①知，，不妨设，则，利用分析法可将所证明问题转化为，令，令，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值证明即可.
（1）当时，，设直线与曲线相切于点，
因为，所以直线的斜率，
又，故的方程为，
又过原点，所以，所以，
所以，故的方程为，即.
（2）①因为在上恰有两个零点，
所以关于的方程有两个不相等的正根，即恰有2个不相等的正实数根，，
令，则与的图象有两个不同的交点.
因为，所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
当从0的右侧无限趋近于0时，趋近于；
当无限趋近于时，则趋近于，则图象如图所示，
所以当时，直线与的图象有两个不同交点，
所以实数的取值范围为.
②由①知，，
所以，，
所以，
不妨设，则，
要证，只需证，
因为，所以，所以，
则只需证.
令，则只需证当时，恒成立，
令，
所以，
所以在上单调递增，所以，
所以当时，恒成立，所以原不等式得证.
19．已知椭圆E：（）的左顶点为，离心率为，直线与E交于M，N两点.
（1）求E的方程；
（2）若直线l过坐标原点，且在直线上存在点P，使得为等边三角形，求直线l的方程；
（3）若直线，的斜率分别为，，且，求的取值范围.
【答案】（1）解：由题意得，解得，
则椭圆的标准方程为；
（2）解：当直线的斜率不存在时，此时，即，
要使为等边三角形，则点一定在轴上，
而直线与轴的交点，即，
此时，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线，
联立，得，即，
设，则，所以，
则，
又的垂直平分线方程为，联立，解得，即，
则，
因为为等边三角形，所以，
则，解得或，
则直线的方程为或；
（3）解：由题可知，直线的斜率不为0，设直线，
联立，得，
，且，
则
，解得，此时恒成立，
则直线的方程为，直线过定点，
此时，
则，
令，则，
令，则在上单调递减，
所以的取值范围为．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意列关于的方程组，求解即可得椭圆方程；
（2）讨论直线l斜率存在和不存在时，将直线与椭圆方程联立，求出交点，设，可得，再将的垂直平分线方程与椭圆联立，求出，求出，根据即可求解；
（3）由题可知，直线的斜率不为0，设直线，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合斜率公式化简可得直线过定点，再根据弦长公式得目标函数，结合函数的单调性求解最值，即可得的取值范围.
（1）由题意，得，解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，此时，即，
要使为等边三角形，则点一定在轴上，
而直线与轴的交点，即，
此时，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线，
联立，得，即，
设，则，所以，
则，
又的垂直平分线方程为，
联立，解得，即，
则，
因为为等边三角形，所以，
则，解得或，
则直线的方程为或.
（3）由题可知，直线的斜率不为0，设直线，
联立方程，得，
所以，
且，
所以
，
解得，此时恒成立，
所以直线的方程为，直线过定点，
此时，
则，
令，则，
令，则在上单调递减，
所以的取值范围为．
1 / 1河北张家口市部分学校2026届高三下学期第一次模拟考试数学试卷
1．已知，则（　　）
A． B．i C．-1 D．1
2．已知平面向量，，若，则（　　）
A．1 B． C．0 D．
3．已知，，则（　　）
A． B．
C． D．
4．已知等差数列的前项和为，且，则（　　）
A．88 B．114 C．132 D．144
5．已知l是一条直线，，为两个不同平面，若，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知函数，对任意实数，存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．设函数，若对于任意的都成立，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
9．已知，则（　　）
A． B．
C． D．
10．已知抛物线C：的焦点为F，点，P为C上的动点，则（　　）
A．满足的点P恰有两个 B．的最小值为3
C．的最小值为 D．的最大值为3
11．若数列的前n项和为，且，在数列的前（）项中任取两项都是正数的概率记为，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．过点与圆：相切的直线方程为　 　.
13．如图是某烘焙店家烘焙蛋糕时所用的圆台状模具，它的高为6cm，下底部直径为12cm，上面开口圆的直径为20cm，现用此模具烘焙一个跟模具完全一样的儿童蛋糕，若蛋糕膨胀成型后的体积会变为原来液态状态下体积的2倍（模具不发生变化），现用直径为16cm的圆柱形容器量取液态原料（不考虑损耗），则圆柱形容器中需要注入液态原料的高度为　 　cm.
14．设双曲线：的右焦点为为坐标原点，过的直线与的右支相交于，两点.若恒为锐角，则的离心率的取值范围为　 　.
15．某校为了解学生喜欢足球是否与性别有关联，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，得到如下列联表：
　 喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 　 40 　
女生 30 　 　
合计 　 　 　
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）并依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关联？
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．在中，角，，的对边分别为，，，.
（1）求角的大小；
（2）为边上一点，且，若，求的最大值.
17．如图，在三棱锥中，，都是以为斜边的等腰直角三角形，，Q为的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知函数.
（1）当时，若直线过原点且与曲线相切，求的方程；
（2）若函数在上恰有2个零点，.
①求的取值范围；
②求证：.
19．已知椭圆E：（）的左顶点为，离心率为，直线与E交于M，N两点.
（1）求E的方程；
（2）若直线l过坐标原点，且在直线上存在点P，使得为等边三角形，求直线l的方程；
（3）若直线，的斜率分别为，，且，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数，则.
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简求解即可.
2．【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：已知，，且，则，解得.
故答案为：D.
【分析】利用向量共线的坐标即可求解.
3．【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即，
因为，所以.
故答案为：C.
【分析】解不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
4．【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由，可得，解得，
则.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据等差数列的性质求得的值，再根据等差数列的求和公式求的值即可.
5．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：因l是一条直线，，为两个不同平面，，
当时，可过直线作平面与平面交于直线，根据线面平行的性质定理可得，
又，所以，又，所以，即充分性成立；
当时，当且时符合，但推不出，即必要性不成立，
则“”是“”的充分不必要条件．
故答案为：A.
【分析】根据空间直线，平面的位置关系，结合充分、必要条件的定义判断即可.
6．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：由是定义在上的偶函数，得，
因为是定义在上周期为2的函数，所以，
又因为，所以，
则.
故答案为：A.
【分析】利用函数的奇偶性和周期性求解即可.
7．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：，
当时，，所以，所以，
所以存在，使得，即成立，
所以，，所以，
故实数的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】先利用正弦、余弦的二倍角公式以及辅助角公式化简，求出在上的最大值，问题转化为存在，使得成立，分离参数求解即可.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：若对于任意的都成立，即，即，
令，所以，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以；
若对于任意的都成立，由函数及的图象易知，
若使对于恒成立，只需处在图象上方，
的最小值在处，两个图象相切处取得，
函数的导数为，时，，即，
综上，的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】对于任意的都成立，即，令，利用导数判断其单调性，求最值，可得a的取值范围，对于任意的都成立，结合函数特征，使得的图像始终在的下方，通过求切线的斜率的a的取值范围即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：易知，
则，，故A，B正确；
令，1和，得，，
，
则，，
即，，故C错误，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】易知，求二项展开式系数即可判断AB；利用赋值法求解即可判断CD.
10．【答案】B,C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线焦点为，
A、因为，所以点位于线段的垂直平分线上，其直线方程为，与抛物线C仅有一个交点，故A错误；
B、如图1，点在抛物线外，故的最小值为，故B正确；
C、如图2，过作轴的平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，
根据抛物线定义，此时有最小值，故C正确；
D、因为，当且仅当三点共线且在之间时取等号，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】易知抛物线焦点坐标，由，可得点位于线段的垂直平分线上即可判断A；易知点在抛物线外，则的最小值为即可判断B；利用抛物线的定义，结合平面几何知识求解即可判断CD.
11．【答案】A,C
【知识点】等比数列概念与表示；古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：数列中，，
当时，，解得，
当时，，整理可得，
即数列是首项为1，公比为的等比数列，则，
当时，数列的前项中，有个正数，个负数，
任取两项都是正数的概率为，
当时，数列的前项中，有个正数，个负数，
任取两项都是正数的概率为，
A、，故A正确；
B、，故B错误；
C、，，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：AC
【分析】根据数列中的关系，结合等比数列的定义求得数列的通项，再按为奇数、偶数分类求出并逐项求解判断即可.
12．【答案】
【知识点】圆的切线方程
【解析】【解答】解：易知点在圆上，则所求切线与直线垂直，
因为，所以所求切线斜率，
则切线方程为，即.
故答案为：.
【分析】易知点在圆上，则所求切线与直线垂直，利用直线垂直关系求切线的斜率，再利用点斜式求切线方程即可.
13．【答案】
【知识点】柱体的体积公式及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：圆台状蛋糕膨胀成型后的体积为，
圆柱形容器中液态原料的体积为，解得，
即圆柱形容器中需要注入液态原料的高度为.
故答案为：.
【分析】根据圆台的体积公式以及圆柱的体积公式计算即可.
14．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意可得，得到，，
设，，直线的斜率不为零，设直线方程为，代入，
得，
由韦达定理得
则
，
由于，两点均在的右支上，故，
所以，又恒为锐角，所以恒成立，即，
所以对恒成立.因为，
所以当时，，所以，
又因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，所以，
则，即离心率的取值范围为.
故答案为：.
【分析】由题意可得，设，，直线的斜率不为零，设直线方程为，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合向量数量积公式应用齐次式得出离心率范围即可.
15．【答案】（1）解：列联表：
　 喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 60 40 100
女生 30 70 100
合计 90 110 200
（2）解：零假设为：该校学生喜欢足球与性别无关，
而，
依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为该校学生喜欢足球与性别有关.
【知识点】独立性检验的应用；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据题干数据，完善列联表即可；
（2）先进行零假设，再根据公式计算值，与临界值比较判断即可.
（1）
　 喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 60 40 100
女生 30 70 100
合计 90 110 200
（2）零假设为：该校学生喜欢足球与性别无关，
而，
依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为该校学生喜欢足球与性别有关.
16．【答案】（1）解：，由正弦定理得，
整理可得，则，即，
因为，所以，所以，
又因为，所以；
（2）解：因为在边上，且，所以，，
在中，由余弦定理，得①，
在中，由余弦定理，得②，
①②联立可得，
在中，由余弦定理得，则，即，
，即，则，
当且仅当，即，时等号成立，
故的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式以及三角形内角和定理化简求解即可；
（2）利用余弦定理，结合基本不等式求解即可.
（1）由正弦定理及，
得，
，
所以，即，
因为，所以，所以，
又，所以.
（2）因为在边上，且，所以，，
在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
二者联立，消去，得，
在中，由余弦定理，得，
所以，即，
所以，即，
所以，当且仅当，即，时等号成立，
所以的最大值为.
17．【答案】（1）证明：在三棱锥中，取中点，连接，令
由，都是以为斜边的等腰直角三角形，得，
且，而，则，，
而平面，因此平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：由（1）得直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，
设平面的法向量，则，取，得，
因此，
所以直线与平面所成角的正弦值.
【知识点】平面与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定证明即可；
（2）由（1）得直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）在三棱锥中，取中点，连接，令
由，都是以为斜边的等腰直角三角形，得，
且，而，则，，
而平面，因此平面，又平面，
所以平面平面.
（2）由（1）得直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，
设平面的法向量，则，取，得，
因此，
所以直线与平面所成角的正弦值.
18．【答案】（1）解：当时，函数，设直线与曲线相切于点，
，直线的斜率，
因为，所以直线的方程为，
又过原点，所以，所以，所以，故的方程为，即；
（2）解：①因为在上恰有两个零点，
所以关于的方程有两个不相等的正根，即恰有2个不相等的正实数根，，
令，则与的图象有两个不同的交点，
因为，所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
当从0的右侧无限趋近于0时，趋近于；
当无限趋近于时，则趋近于，则图象，如图所示：
所以当时，直线与的图象有两个不同交点，则实数的取值范围为；
②、由①知，，
所以，，
所以，
不妨设，则，
要证，只需证，
因为，所以，所以，
则只需证，
令，则只需证当时，恒成立，
令，，
则函数在上单调递增，，
故当时，恒成立，原不等式得证.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）当时，函数，设切点，利用导数的几何意义求出，从而得到切线方程；
（2）①、问题转化为恰有2个不相等的正实数根，，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值，作出函数的图象，数形结合求解即可；
②、由①知，，不妨设，则，利用分析法可将所证明问题转化为，令，令，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值证明即可.
（1）当时，，设直线与曲线相切于点，
因为，所以直线的斜率，
又，故的方程为，
又过原点，所以，所以，
所以，故的方程为，即.
（2）①因为在上恰有两个零点，
所以关于的方程有两个不相等的正根，即恰有2个不相等的正实数根，，
令，则与的图象有两个不同的交点.
因为，所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
当从0的右侧无限趋近于0时，趋近于；
当无限趋近于时，则趋近于，则图象如图所示，
所以当时，直线与的图象有两个不同交点，
所以实数的取值范围为.
②由①知，，
所以，，
所以，
不妨设，则，
要证，只需证，
因为，所以，所以，
则只需证.
令，则只需证当时，恒成立，
令，
所以，
所以在上单调递增，所以，
所以当时，恒成立，所以原不等式得证.
19．【答案】（1）解：由题意得，解得，
则椭圆的标准方程为；
（2）解：当直线的斜率不存在时，此时，即，
要使为等边三角形，则点一定在轴上，
而直线与轴的交点，即，
此时，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线，
联立，得，即，
设，则，所以，
则，
又的垂直平分线方程为，联立，解得，即，
则，
因为为等边三角形，所以，
则，解得或，
则直线的方程为或；
（3）解：由题可知，直线的斜率不为0，设直线，
联立，得，
，且，
则
，解得，此时恒成立，
则直线的方程为，直线过定点，
此时，
则，
令，则，
令，则在上单调递减，
所以的取值范围为．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意列关于的方程组，求解即可得椭圆方程；
（2）讨论直线l斜率存在和不存在时，将直线与椭圆方程联立，求出交点，设，可得，再将的垂直平分线方程与椭圆联立，求出，求出，根据即可求解；
（3）由题可知，直线的斜率不为0，设直线，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合斜率公式化简可得直线过定点，再根据弦长公式得目标函数，结合函数的单调性求解最值，即可得的取值范围.
（1）由题意，得，解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，此时，即，
要使为等边三角形，则点一定在轴上，
而直线与轴的交点，即，
此时，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线，
联立，得，即，
设，则，所以，
则，
又的垂直平分线方程为，
联立，解得，即，
则，
因为为等边三角形，所以，
则，解得或，
则直线的方程为或.
（3）由题可知，直线的斜率不为0，设直线，
联立方程，得，
所以，
且，
所以
，
解得，此时恒成立，
所以直线的方程为，直线过定点，
此时，
则，
令，则，
令，则在上单调递减，
所以的取值范围为．
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