资源简介

广东省广州市培正中学2026年中考数学模拟试卷（二)
1．的相反数是（　　）
A． B．2026 C． D．
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是2026，
故选：B．
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义求解即可．
2． 若∠A=24 °，则∠A的余角的大小是（ )
A．64° B．66° C．74° D．76°
【答案】B
【知识点】余角
【解析】【解答】解：∠A的余角为90° ∠A＝90° 24°＝66°．
故答案为：B．
【分析】根据互余两角的和为90°计算即可得到结果．
3． 平面直角坐标系内与点 P （-2，5)关于原点对称的点的坐标是（ )
A．（5， - 2) B．（2， 5)
C．（2， - 5) D．（-5， - 2)
【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标特征，得平面直角坐标系内一点P（ 2，5）关于原点对称的点的坐标是（2， 5）．
故答案为：C．
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点坐标为（ x， y）即可得出答案．
4． “天宫课堂”开课时，航天员从包含“浮力消失”“水膜张力”和“液体结晶”的三个实验中随机抽取一个进行演示，则抽到“水膜张力”的概率是（　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵从三个不同实验中随机抽取1个，共有3种等可能的结果，其中抽到“水膜张力”的结果有1种，
∴从三个实验中随机抽取一个进行演示，抽到“水膜张力”的概率是．
故答案为：A．
【分析】找出总结果数和符合所求事件的结果数，利用概率公式计算即可．
5． 如图，EF∥GH，将一直角三角板的直角顶点 A放在直线 GH上，点 B放在直线 EF上. 已知∠C=30°，∠CBF=15°，则∠BAG的度数为（　　)
A．45° B．55° C．65° D．75°
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°．
∵∠CBF＝15°，
∴∠ABF＝60°＋15°＝75°，
∵EF∥GH，
∴∠BAG＝∠ABF＝75°（两直线平行，内错角相等），
则∠BAG的度数为75°，
故答案为：D．
【分析】先求出∠ABF＝75°，然后根据两直线平行内错角相等即可求解．
6． 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
∴x＜1，
解集为在数轴上表示为：
．
故答案为：C．
【分析】依据题意，解不等式组，得，从而可以得解．
7． 如图，某建筑房梁构成了一个三角形 ABC，现选取 AB，BC，AC的中点 D，E，F，用木条将三个中点相连进行修复加固. 经测量△ABC的周长为 20米，则加固木条所组成的△DEF的周长为（　　)
A．5米 B．10米 C．15米 D．20米
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，
∴DE、EF、DF是△ABC的中位线，
∴EF＝AB，DE＝AC，DF＝BC，
∴△DEF的周长＝EF＋DE＋DF＝(AB＋AC＋BC)＝10（米）．
故答案为：B．
【分析】根据已知得出DE、EF、DF是△ABC的中位线，然后根据中位线的性质得EF＝AB，DE＝AC，DF＝BC，即可求解．
8． 如果把分式中的 a，b同时扩大为原来的 2倍，那么分式的值（　　)
A．扩大到原来的 2倍 B．缩小到原来的
C．不变 D．扩大到原来的 4倍
【答案】A
【知识点】分式的基本性质；分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：由题意可知．把分式中的 a，b同时扩大为原来的 2倍，
则可得分式，
∴分式的值扩大到原来的2倍．
故答案为：A．
【分析】根据分式的性质进行判断即可.
9． 在学校“戏曲进校园”活动中，美术小组为粤剧展演设计了一个凤冠造型的圆形拱门装饰，如图，该装饰顶部的截面是圆弧形，测得其跨度（弦 AB)为 160cm，拱高（弧 AB的中点 C到弦 AB的垂直距离 CD)为 40cm. 若点 O是该圆弧所在圆的圆心，则该圆弧的半径是（　　)
A．80cm B．100cm C．120cm D．140cm
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，连接AO，
根据题意得AB＝160cm，
∵拱高（弧AB的中点C到弦AB的垂直距离CD）为40cm，
∴AD＝BD＝AB＝80cm，CD＝40cm，CD⊥AB，OC⊥AB，
∴点D在OC上，
设AO＝OC＝r cm，则OD＝OC CD＝（r 40）cm，
在Rt△AOD中，AO2＝AD2＋OD2，
∴r2＝802＋（r 40）2，
6400＝1600 80r，
解得r＝100，
∴该圆弧的半径是100cm.
故答案为：B．
【分析】根据垂径定理得AD＝BD＝AB＝80cm，点D在OC上，设AO＝OC＝r cm，则OD＝OC CD＝（r 40）cm，根据勾股定理得AO2＝AD2＋OD2，即可得关于r的方程，解方程即可．
10． 已知二次函数 的图象如图所示，则一次函数 y=ax+bc的图象可能是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴ ＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在正半轴，
∴c＞0，
∴bc＞0，
∴一次函数y＝ax＋bc的图象过一、二、四象限，只有D选项符合要求．
故答案为：D．
【分析】首先根据二次函数图象得出a，b，c的符号，进而利用一次函数性质得出图象经过的象限．
11．分解因式：　 　。
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：2a2-2a=2a(a-1).
故答案为：2a(a-1).
【分析】直接利用提取公因式法分解分解因式即可.
12．　 　.
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=
=.
故答案为：．
【分析】运用二次根式减法和乘法的运算法则准确计算即可．
13． 如图， AE为∠BAC的平分线，过点 E作 ED⊥AB交 AB于点 D，已知 DE的长为 3，则点 E到线段 AC的距离为　 　.
【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：因为AE为∠BAC的平分线，
所以根据角平分线的性质得，点E到线段AC的距离等于点E到线段AB的距离，
因为点E到线段AB的距离DE＝3，
所以点E到线段AC的距离为3，
故答案为：3．
【分析】根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求解．
14． 若 是关于 x，y的二元一次方程 mx-2y=6的一个解，则 m=　 　.
【答案】±2
【知识点】二元一次方程的解；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：由条件可得m m 2×（ 1）＝6，
解得：m＝±2．
故答案为：±2．
【分析】将二元一次方程的解代入原方程，得到关于m的一元二次方程，解该方程即可得到m的值．
15． 如图， △AOB的顶点 B在反比例函数 的图象上，且∠AOB=90°，已知点 A 的坐标为（2，4)，则点 B 的坐标为　 　.
【答案】
【知识点】点的坐标；反比例函数图象上点的坐标特征；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，如图，
∴∠BDO＝∠OCA＝90°，
∵∠OBD＋∠BOD＝∠AOC＋∠BOD＝90°，
∴∠OBD＝∠AOC，
∴△OBD∽△AOC，
∴，
∵点A的坐标为（2，4），
∴OC＝2，AC＝4，
∴，
∴OD＝2BD，
∵S△BOD＝OD×BD＝×| 4|＝2，
∴2BD×BD＝4，即BD2＝2，
∴BD＝，
∴OD＝2，
∵点B在第二象限，
∴B．
故答案为：．
【分析】过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，证明△OBD∽△AOC，所以，所以OD＝2BD，又S△BOD＝OD×BD＝×| 4|＝2，从而求得BD＝，OD＝2，最后根据点B在第二象限即可求出点B的坐标．
16． 先化简，再求值：其中 x=-1. 对于这道题，小华的解法如下：
解：原式 第①步
第②步
第③步
第④步
当 x=-1时，原式=1 - （-1) =-2…第⑤步
小华的解法对吗 如果不对，请指出她是从第几步开始出错的，并写出正确的解答过程.
【答案】解：小华的解法不对，她是从第③步开始出错的，
当 x=-1时，原式
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的加减法法则进行判断，再利用分式化简求值的正确步骤进行解答即可．
17．如图，在△ABC中， ∠A=30°， CD平分∠ACB交 AB 于点 D.
（1）尺规作图：过点 D作 DE∥BC，交 AC边于点 E （不写作法，保留作图痕迹) ；
（2）在（1）的条件下，若∠ACB=90°， AD=4，求线段 AC的长.
【答案】（1）解：过点D作DE∥BC，交AC边于点E，如图，DE即为所求．
（2）解：∵DE∥BC，∠ACB＝90°，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，∠EDC＝∠BCD，
∵∠A＝30°，AD＝4，
∴AE＝＝＝，DE＝AD＝2，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，
∴∠ACD＝∠CDE＝45°，
∴DE＝CE＝2，
∴AC＝AE＋CE＝．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形；尺规作图-平行线
【解析】【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，作∠ADE＝∠B即可；
（2）根据平行线的性质得出∠AED＝90°，∠EDC＝∠BCD，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可求出DE＝2，AE＝，根据角平分线的定义得出∠ACD＝∠CDE＝45°，DE＝CE＝2，即可求出AC的长．
18． 2025年第十五届全运会由广东、香港、澳门共同举办，为弘扬全运会体育精神，某校在七、八年级开展了“全运会知识竞赛”活动，现从这两个年级中各随机抽取 10名学生的成绩进行整理分析，部分信息如下：
信息一：数据收集（单位：分)
七年级抽取的 10名学生的成绩： 50， 68， 72， 79， 79， 80， 84， 90， 98， 100；
八年级抽取的 10名学生的成绩： 60， 60， 65， 74， 84， 84， 85， 96， 96， 96.
信息二：数据整理与分析
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 80 a 79 c
八年级 80 84 b 188. 6
（1）填空： a=　 　， b=　 　， c=　 　；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级的成绩更加优秀 请从两个不同的统计角度说明理由.
【答案】（1）79.5；96；195
（2）解：我认为八年级的成绩更加优秀，从中位数看，八年级成绩的中位数大于七年级；从众数看，八年级成绩的众数高于七年级，所以八年级的成绩更加优秀
【知识点】中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）七年级抽取的10名学生的成绩：50，68，72，79，79，80，84，90，98，100；
八年级抽取的10名学生的成绩：60，60，65，74，84，84，85，96，96，96．则：
七年级抽取的10名学生的成绩从小到大排列为：50，68，72，79，79，80，84，90，98，100；
中位数为a＝；
平均数＝＝80，
s2＝[(50 80)2＋(68 80)2＋ ＋(100 80)2]＝＝195，
∴c＝195，
八年级抽取的10名学生的成绩中，96出现次数最多，
∴b＝96.
【分析】（1）根据中位数、众数和方差的计算方法求解即可；
（2）从中位数、众数判断即可．
19．【探究背景】图形的旋转是初中几何图形变化中的一个重要内容，数学“冲刺组”的同学为进一步探究旋转的相关内容，利用几何画板绘制了如下图形进行动态操作：如图 1，在 中， 将 绕点 C顺时针旋转一定的角度后得 点 B的对应点为点 D，点 A 的对应点为点 E.
（1）【特例感知】如图 2， 连接 AD，AE，当点 D恰好落在线段 AE上时，判断四边形 ABCD的形状，并证明；
（2）【猜想证明】如图 3， 连接 BD，AE，在旋转的过程中，同学们发现 BD和 AE的比值始终为一个定值，请你求出这个比值.
【答案】（1）解：四边形 ABCD为正方形；
证明： ∵△ABC绕点 C顺时针旋转得△DCE，
∴△ABC≌△EDC，
∴AB=DE， AC=CE， BC=CD，
由图 2可知： CD⊥AE，
∴AD=DE，
∵AB=BC，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形 ABCD为菱形
（2）解：∵AB＝BC，∠B＝90°，
∴∠BCA＝∠BAC＝45°，
∵△ABC≌△EDC，
∴∠BCA＝∠DCE＝45°，
∴∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACE，
∵AC＝CE，BC＝CD，
∴，
∴△BCD∽△ACE，
∴，
在直角三角形ABC中，cos∠BCA＝cos45°＝，
∴．
【知识点】菱形的判定；旋转的性质；四边形的综合；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到△ABC≌△EDC，进而得到AD＝DE，证得四边形ABCD为菱形，根据∠B是直角，从而得出结论；
（2）易证得△BCD∽△ACE，进而得到，在Rt△ABC中，得到∠BCA＝45°，进而得到cos∠BCA＝，从而可得答案.
20．广东以“打造世界领先的低空经济产业高地”为目标，在低空经济领域发展迅速. 某广东物流公司计划在粤港澳大湾区开通无人机配送服务. 现需采购两种型号的物流无人机，请根据以下素材完成相关任务：
素材一：A型无人机：适用于城市内短途配送；B型无人机：适用于跨城际长途配送.
素材二：已知采购 2架 A型无人机和 3架 B型无人机总价为 92万元；采购 4架 A型无人机和 1架 B型无人机总价为 56万元.
素材三：该公司欲采购这两种无人机共 44架. 根据大湾区配送网络规划：
①A型无人机数量不少于 B型无人机的 3倍，以确保城市内配送密度；
②B型无人机至少采购 5架，以满足跨城际配送需求.
（1）任务一：确定 A型无人机和 B型无人机的单价；
（2）任务二：请你根据大湾区配送网络规划，帮该公司确定最省钱的购买方案，并求出此方案的购买资金.
【答案】（1）解：设A型无人机的单价为x万元/架，B型无人机的单价为y万元/架，
∵2架A型无人机和3架B型无人机总价为92万元；4架A型无人机和1架B型无人机总价为56万元，
∴根据题意列二元一次方程组得，，
解得，
即A型无人机的单价为7.6万元/架，B型无人机的单价为25.6万元/架，
答：A型无人机的单价为7.6万元/架，B型无人机的单价为25.6万元/架
（2）解：设购买A型无人机a架，则购买B型无人机（44 a）架，购买资金为w万元，
根据题意列一元一次不等式组得，，
解得33≤a≤39，
∴w＝7.6a＋25.6（44 a）＝ 18a＋1126.4，
∵ 18＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝39时，w有最小值，
此时w＝ 18×39＋1126.4＝424.4（万元），
44 a＝44 39＝5（架）．
答：最省钱的购买方案为购买A型无人机39架，B型无人机5架，购买资金为424.4万元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型无人机的单价为x万元/架，B型无人机的单价为y万元/架，利用总价＝单价×数量，结合两次采购的费用和数量列二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A型无人机a架，则购买B型无人机（44 a）架，购买资金为w万元，根据A型无人机数量不少于B型无人机的3倍，B型无人机至少采购5架，列不等式组，求出a的取值范围，用a表示出w，根据一次函数的性质即可得答案．
21． 综合与实践
【主题】汽车盲区与行车安全实践探究
【素材】素材一：汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域. 在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故. 如图 1为某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形)，以及两侧后视镜的可见区域.
素材二：如图 2，若司机位于正常驾驶位置的双眼高度AB=1. 5m，双眼与车头连线上某点 C与地面距离CD=1m，该点与车头水平距离 DE=0. 5m，驾驶员与车头水平距离 BE=2m，点 M在 EF上， ME=0. 8m.
素材三：如图 3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随着一辆速度为 72km/h的摩托车. 如果此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个 1. 2s的反应时间. 已知小汽车从开始刹车到完全停住的行驶距离为 32m，摩托车从开始刹车到完全停住的行驶距离为 42m，小汽车车尾盲区为正后方长为 5m的矩形区域.
【问题解决】
（1）①如图 2，求车头盲区 EF的长度；
②在 M处有一个高度为 0. 5m的物体，驾驶员能观察到物体吗 请作出判断，并说明理由；
（2）如图 3， 在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持　 　m的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区.
【答案】（1）解：①根据题意，AB⊥BF于点B，CD⊥BF于点D，该点与车头水平距离DE＝0.5m，驾驶员与车头水平距离BE＝2m，
∴AB∥CD，BD＝BE DE＝2 0.5＝1.5（m），
∴△FCD∽△FAB，
∴，
∵FB＝FD＋BD＝FD＋1.5，
∴，
解得：FD＝3（经检验，FD＝3是原方程的解，且符合题意），
∴EF＝FD DE＝3 0.5＝2.5（m）；
②驾驶员不能观察到物体；理由如下：
如图 2，过点 M作 MN⊥FB交 AF于点 N，则 FM=EF-ME=2. 5-0. 8=1. 7 （m) ，
∵FD=3m，
∴MD=ME+DE=0. 8+0. 5=1. 3 （m) ，
∵∠F=∠F， ∠FMN=∠FDC=90°，
∴△FMN∽△FDC，
∵0. 57>0. 5，
∴不能观察到物体
（2）39
【知识点】相似三角形的实际应用；盲区；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（2）摩托车的速度为72km/h＝20m/s，
∴摩托车在1.2s的反应时间里的行驶路程为：20×1.2＝24（m），
由题意可得：24＋42 32＋5＝39（m），
∴摩托车应与小汽车至少保持39m的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区，
故答案为：39．
【分析】（1）①根据题意得到△FCD∽△FAB，利用相似三角形的性质可得，且FB＝FD＋BD＝FD＋1.5，由此列式得到，即可求解；
②过点M作MN⊥FB交AF于点N，可证△FMN∽△FDC得到，得MN＝≈0.57(m)，由此即可求解；
（2）根据题意得到摩托车反应时的路程，结合汽车、摩托车刹车距离即可求解．
22．已知抛物线 （a为常数且 a≠0) .
（1）无论 a取何值，抛物线都过两个定点 A，B（点 A 在点 B的左侧)，请求出这两个定点的坐标；
（2）若 a=-1，当-1≤x≤t时，二次函数的最大值与最小值相差 9，求 t的取值范围；
（3）将（1）中点 A 与点 B之间的函数图象记作图象 G （包含点 A，B)，若将图象 G在 x轴上方的部分保持不变，下方的部分沿 x轴进行翻折，可以得到新的函数图象 G1，若图象 G1上仅存在两个点到直线y=3的距离为 ，求 a的值.
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2 （3a 1）x 2＝ax2 3ax＋x 2＝a（x2 3x）＋x 2，
若抛物线y＝ax2 （3a 1）x 2过定点，则x2 3x＝0，
∴x1＝3，x2＝0，
当x＝3时，y＝x 2＝1，当x＝0时，y＝x 2＝ 2，
∴点A的坐标为（0， 2），点B的坐标为（3，1）；
（2）解：若a＝ 1，抛物线的解析式为y＝ x2＋4x 2＝ （x 2）2＋2，
则抛物线y＝ax2 （3a 1）x 2的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，2）．
①若 1＜t≤2，当x＝t时，函数取得最大值，为 t2＋4t 2，
当x＝ 1时，函数取得最小值，为 7，
∴ t2＋4t 2 （ 7）＝9，
解得t＝2；
②若2＜t≤5，当x＝2时，函数取得最大值，为2，
当x＝ 1时，函数取得最小值，为 7，
∵2 （ 7）＝9，
∴符合题意．
③若t＞5，当x＝2时，函数取得最大值，为2，
当x＝t时，函数取得最小值，为 t2＋4t 2＜ 7，
∴此时最大值与最小值的差恒大于9，不符合题意．
综上，t的取值范围为2≤t≤5．
（3）解：∵A（0， 2），
由题意可得：点A'到直线y＝3的距离为1，
∵图象G1上仅存在两个点到直线y＝3的距离为，
∴图象G1上仅存在两个点的纵坐标为或，
①当a＞0时，开口向上，则图象G1的顶点的纵坐标为，
∴原抛物线的顶点的纵坐标为 ，
∴= ，
解得：a＝，
∵0＜＜3，
∴a＞，
∴a＝；
②当a＜0时，开口向下，
∵则G1上仅有两个点到直线y＝3的距离为，
∴原抛物线的顶点的纵坐标为，
∴＝，
解得：a＝，
∵0＜＜3，
∴a＜ ，
∴a＝．
综上，a的值为或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数-动态几何问题；二次函数图象的对称变换；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）根据抛物线过定点求出x，代入计算即可；
（2）利用分类讨论的思想方法，用待定系数法解答即可；
（3）利用分类讨论的方法分①当时和②当时两种情况讨论解答，结合图象，利用轴对称的性质和待定系数法解答即可
23．【数学定义】在平面直角坐标系 xOy中，对于已知点 P，M，N，给出如下定义：若点 P恰好在以 MN为直径的圆上，且满足 PM=PN，则称点 P为点 M与点 N的“圆生点”.
【问题背景】如图 1，在平面直角坐标系 xOy中，直线 y=-x+4与 x轴，y轴分别交于点 A，B.
【初步探究】
（1）点 A 的坐标为　 　，点 B的坐标为　 　；
（2）若已知坐标系中一点的坐标为（1，-2)，则该点与点 A的“圆生点”的坐标是　 　；
（3）【问题解决】
如图 2，作 AC⊥x轴，作 BC⊥y轴， AC与 BC相交于点 C，点 D在射线 AB上，点 E在 y轴上，若点 D恰好是点 C与点 E的“圆生点”，设 BD=n，△CDE的面积为 S，请求出 S关于 n的关系式；
（4）若以 y轴上的一点 M （0，m)为圆心，2为半径作⊙M，点 F为 y轴上的动点，在⊙M上存在点 G，使得点 F恰好为点 A 与点 G的“圆生点”，请直接写出 m的取值范围.
【答案】（1）（4， 0)；（0， 4)
（2）或
（3）解：当点D在点B右侧时，如图1，过D作DH⊥BC于点H，
∵AO＝BO、∠AOB＝∠OBC＝∠OAC＝90°，
∴四边形OACB为正方形，
∴∠ABC＝45°，
在Rt△BDH中，BH＝DH＝BD sin45°＝n，
由（1）可得BC＝4，
∴CH＝BC BH＝4 n，
在Rt△CDH中，由勾股定理得：DC2＝DH2＋CH2＝(n)2＋(4 n)2＝n2 n＋16，
∵点D恰好是点C与点E的“圆生点”，
∴DE＝DC、∠EDC＝90°，
∴S＝DC2＝n2 n＋8；
当点D在点B左侧时，如图2，过D作DI⊥BC交CB延长线于点I，
同理可得DI＝BI＝n，
∴CI＝BC＋BI＝4＋n，
在Rt△CDI中，由勾股定理得：DC2＝DI2＋CI2＝(n)2＋(4＋n)2＝n2＋n＋16，
∴S＝DC2＝n2＋n＋8，
综上所述，S关于n的关系式为或 .
（4）m的取值范围为4 ≤m≤4＋或 4 ≤m≤ 4＋．
【知识点】点的坐标；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；圆的综合题
【解析】【解答】解：（1）直线y＝ x＋4与x轴，y轴分别交于点A，B，
当y＝0时，得： x＋4＝0，
解得：x＝4；
当x＝0时，得：y＝4，
∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，4），
故答案为：（4，0）；（0，4）；
（2）令Q（1， 2），点P是点Q与点A的“圆生点”，设P（x，y），
∴PA＝PQ、∠QPA＝90°，
∵PA2＝（4 x）2＋y2，PB2＝（x 1）2＋（y＋2）2，AQ2＝（4 1）2＋22＝13，
∴（4 x）2＋y2＝（x 1）2＋（y＋2）2，
整理得：y＝，
在Rt△APQ中，由勾股定理得：2PA2＝AQ2，
∴2[（x 4）2＋y2]＝13，
∴2[(x 4)2＋()2]＝13，
解得：x＝或x＝，
当x＝时，得：y＝，
当x＝时，得：y＝，
综上所述，点P坐标为(，)或(， )，
故答案为：(，)或(， ).
（4）如图3，当G在AF上方时，点F是点A与点G的“圆生点”，过点G作GK⊥y轴于点K，
∴∠GKF＝∠AOF＝∠AFG＝90°，FG＝FA，
∵∠AFO＋∠KFG＝90°，∠AFO＋∠FAO＝90°，
∴∠FAO＝∠KFG，
在△AOF和△FKG中，
，
∴△AOF≌△FKG（AAS），
∴OA＝FK，OF＝KG，
设F（0，t），
∴OK＝OF＋KF＝4＋t，OF＝KG＝t，
∴G（t，4＋t），即点G在直线y＝x＋4上，
∴直线y＝x＋4与y轴交于点B（0，4），与x轴交于点R（ 4，0），
∴OB＝OR＝4，
∴∠BRO＝45°，
过点B作BW∥x轴，
∴∠GBW＝∠BRO＝45°，
∴∠MBG＝90° ∠GBW＝45°，
当GB与⊙M相切于点G时，MB＝，
即|m 4|＝，
解得：m＝4 或m＝4＋，
如图4，
∴m的取值范围为4 ≤m≤4＋；
当G在AF下方时，如图5，作点B关于x轴的对称点B'，则B'（0， 4），
过点G作GK'⊥y轴于点K'，同理证得△AOF≌△FK'G（AAS），
∴OA＝FK'、OF＝K'G，
设F（0，t），
∴OK'＝OF＋K'F＝ t＋4、OF＝K'G＝t，
∴G（t， t＋4），即点G在直线y＝ x＋4上，
同理可得：当GB'与⊙M相切于点G时，MB＝，
即|m＋4|＝，
解得m＝ 4 或m＝ 4＋，
∴m的取值范围为 4 ≤m≤ 4＋，
综上所述，m的取值范围为4 ≤m≤4＋或 4 ≤m≤ 4＋．
【分析】（1）将x＝0、y＝0代入y＝ x＋4进行求解即可；
（2）设P（x，y），令Q（1， 2），点P是点Q与点A的“圆生点”，则PA＝PQ、∠QPA＝90°，结合勾股定理2PA2＝AQ2，列出方程组，解方程组即可；
（3）当点D在点B右侧时，如图，过D作DH⊥BC于点H，证明四边形OACB为正方形，进而得到BH＝n，利用勾股定理求出DC2的表达式，进而得到S＝DC2；当点D在点B左侧时，如图，过D作DI⊥BC交CB延长线于点I，同理求出DC2的表达式，利用S＝DC2求解即可；
（4）综上所述，m的取值范围为4 ≤m≤4＋或 4 ≤m≤ 4＋．分情况讨论：当G在AF上方或当G在AF下方时，点F是点A与点G的“圆生点”，过点G向y作垂线，易得到点G在y＝x＋4或y＝ x＋4上，利用点G是⊙M的切点，得到MB＝，据此求解m的取值范围．
1 / 1广东省广州市培正中学2026年中考数学模拟试卷（二)
1．的相反数是（　　）
A． B．2026 C． D．
2． 若∠A=24 °，则∠A的余角的大小是（ )
A．64° B．66° C．74° D．76°
3． 平面直角坐标系内与点 P （-2，5)关于原点对称的点的坐标是（ )
A．（5， - 2) B．（2， 5)
C．（2， - 5) D．（-5， - 2)
4． “天宫课堂”开课时，航天员从包含“浮力消失”“水膜张力”和“液体结晶”的三个实验中随机抽取一个进行演示，则抽到“水膜张力”的概率是（　　)
A． B． C． D．
5． 如图，EF∥GH，将一直角三角板的直角顶点 A放在直线 GH上，点 B放在直线 EF上. 已知∠C=30°，∠CBF=15°，则∠BAG的度数为（　　)
A．45° B．55° C．65° D．75°
6． 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　)
A． B．
C． D．
7． 如图，某建筑房梁构成了一个三角形 ABC，现选取 AB，BC，AC的中点 D，E，F，用木条将三个中点相连进行修复加固. 经测量△ABC的周长为 20米，则加固木条所组成的△DEF的周长为（　　)
A．5米 B．10米 C．15米 D．20米
8． 如果把分式中的 a，b同时扩大为原来的 2倍，那么分式的值（　　)
A．扩大到原来的 2倍 B．缩小到原来的
C．不变 D．扩大到原来的 4倍
9． 在学校“戏曲进校园”活动中，美术小组为粤剧展演设计了一个凤冠造型的圆形拱门装饰，如图，该装饰顶部的截面是圆弧形，测得其跨度（弦 AB)为 160cm，拱高（弧 AB的中点 C到弦 AB的垂直距离 CD)为 40cm. 若点 O是该圆弧所在圆的圆心，则该圆弧的半径是（　　)
A．80cm B．100cm C．120cm D．140cm
10． 已知二次函数 的图象如图所示，则一次函数 y=ax+bc的图象可能是（　　)
A． B．
C． D．
11．分解因式：　 　。
12．　 　.
13． 如图， AE为∠BAC的平分线，过点 E作 ED⊥AB交 AB于点 D，已知 DE的长为 3，则点 E到线段 AC的距离为　 　.
14． 若 是关于 x，y的二元一次方程 mx-2y=6的一个解，则 m=　 　.
15． 如图， △AOB的顶点 B在反比例函数 的图象上，且∠AOB=90°，已知点 A 的坐标为（2，4)，则点 B 的坐标为　 　.
16． 先化简，再求值：其中 x=-1. 对于这道题，小华的解法如下：
解：原式 第①步
第②步
第③步
第④步
当 x=-1时，原式=1 - （-1) =-2…第⑤步
小华的解法对吗 如果不对，请指出她是从第几步开始出错的，并写出正确的解答过程.
17．如图，在△ABC中， ∠A=30°， CD平分∠ACB交 AB 于点 D.
（1）尺规作图：过点 D作 DE∥BC，交 AC边于点 E （不写作法，保留作图痕迹) ；
（2）在（1）的条件下，若∠ACB=90°， AD=4，求线段 AC的长.
18． 2025年第十五届全运会由广东、香港、澳门共同举办，为弘扬全运会体育精神，某校在七、八年级开展了“全运会知识竞赛”活动，现从这两个年级中各随机抽取 10名学生的成绩进行整理分析，部分信息如下：
信息一：数据收集（单位：分)
七年级抽取的 10名学生的成绩： 50， 68， 72， 79， 79， 80， 84， 90， 98， 100；
八年级抽取的 10名学生的成绩： 60， 60， 65， 74， 84， 84， 85， 96， 96， 96.
信息二：数据整理与分析
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 80 a 79 c
八年级 80 84 b 188. 6
（1）填空： a=　 　， b=　 　， c=　 　；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级的成绩更加优秀 请从两个不同的统计角度说明理由.
19．【探究背景】图形的旋转是初中几何图形变化中的一个重要内容，数学“冲刺组”的同学为进一步探究旋转的相关内容，利用几何画板绘制了如下图形进行动态操作：如图 1，在 中， 将 绕点 C顺时针旋转一定的角度后得 点 B的对应点为点 D，点 A 的对应点为点 E.
（1）【特例感知】如图 2， 连接 AD，AE，当点 D恰好落在线段 AE上时，判断四边形 ABCD的形状，并证明；
（2）【猜想证明】如图 3， 连接 BD，AE，在旋转的过程中，同学们发现 BD和 AE的比值始终为一个定值，请你求出这个比值.
20．广东以“打造世界领先的低空经济产业高地”为目标，在低空经济领域发展迅速. 某广东物流公司计划在粤港澳大湾区开通无人机配送服务. 现需采购两种型号的物流无人机，请根据以下素材完成相关任务：
素材一：A型无人机：适用于城市内短途配送；B型无人机：适用于跨城际长途配送.
素材二：已知采购 2架 A型无人机和 3架 B型无人机总价为 92万元；采购 4架 A型无人机和 1架 B型无人机总价为 56万元.
素材三：该公司欲采购这两种无人机共 44架. 根据大湾区配送网络规划：
①A型无人机数量不少于 B型无人机的 3倍，以确保城市内配送密度；
②B型无人机至少采购 5架，以满足跨城际配送需求.
（1）任务一：确定 A型无人机和 B型无人机的单价；
（2）任务二：请你根据大湾区配送网络规划，帮该公司确定最省钱的购买方案，并求出此方案的购买资金.
21． 综合与实践
【主题】汽车盲区与行车安全实践探究
【素材】素材一：汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域. 在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故. 如图 1为某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形)，以及两侧后视镜的可见区域.
素材二：如图 2，若司机位于正常驾驶位置的双眼高度AB=1. 5m，双眼与车头连线上某点 C与地面距离CD=1m，该点与车头水平距离 DE=0. 5m，驾驶员与车头水平距离 BE=2m，点 M在 EF上， ME=0. 8m.
素材三：如图 3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随着一辆速度为 72km/h的摩托车. 如果此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个 1. 2s的反应时间. 已知小汽车从开始刹车到完全停住的行驶距离为 32m，摩托车从开始刹车到完全停住的行驶距离为 42m，小汽车车尾盲区为正后方长为 5m的矩形区域.
【问题解决】
（1）①如图 2，求车头盲区 EF的长度；
②在 M处有一个高度为 0. 5m的物体，驾驶员能观察到物体吗 请作出判断，并说明理由；
（2）如图 3， 在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持　 　m的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区.
22．已知抛物线 （a为常数且 a≠0) .
（1）无论 a取何值，抛物线都过两个定点 A，B（点 A 在点 B的左侧)，请求出这两个定点的坐标；
（2）若 a=-1，当-1≤x≤t时，二次函数的最大值与最小值相差 9，求 t的取值范围；
（3）将（1）中点 A 与点 B之间的函数图象记作图象 G （包含点 A，B)，若将图象 G在 x轴上方的部分保持不变，下方的部分沿 x轴进行翻折，可以得到新的函数图象 G1，若图象 G1上仅存在两个点到直线y=3的距离为 ，求 a的值.
23．【数学定义】在平面直角坐标系 xOy中，对于已知点 P，M，N，给出如下定义：若点 P恰好在以 MN为直径的圆上，且满足 PM=PN，则称点 P为点 M与点 N的“圆生点”.
【问题背景】如图 1，在平面直角坐标系 xOy中，直线 y=-x+4与 x轴，y轴分别交于点 A，B.
【初步探究】
（1）点 A 的坐标为　 　，点 B的坐标为　 　；
（2）若已知坐标系中一点的坐标为（1，-2)，则该点与点 A的“圆生点”的坐标是　 　；
（3）【问题解决】
如图 2，作 AC⊥x轴，作 BC⊥y轴， AC与 BC相交于点 C，点 D在射线 AB上，点 E在 y轴上，若点 D恰好是点 C与点 E的“圆生点”，设 BD=n，△CDE的面积为 S，请求出 S关于 n的关系式；
（4）若以 y轴上的一点 M （0，m)为圆心，2为半径作⊙M，点 F为 y轴上的动点，在⊙M上存在点 G，使得点 F恰好为点 A 与点 G的“圆生点”，请直接写出 m的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是2026，
故选：B．
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义求解即可．
2．【答案】B
【知识点】余角
【解析】【解答】解：∠A的余角为90° ∠A＝90° 24°＝66°．
故答案为：B．
【分析】根据互余两角的和为90°计算即可得到结果．
3．【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标特征，得平面直角坐标系内一点P（ 2，5）关于原点对称的点的坐标是（2， 5）．
故答案为：C．
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点坐标为（ x， y）即可得出答案．
4．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵从三个不同实验中随机抽取1个，共有3种等可能的结果，其中抽到“水膜张力”的结果有1种，
∴从三个实验中随机抽取一个进行演示，抽到“水膜张力”的概率是．
故答案为：A．
【分析】找出总结果数和符合所求事件的结果数，利用概率公式计算即可．
5．【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°．
∵∠CBF＝15°，
∴∠ABF＝60°＋15°＝75°，
∵EF∥GH，
∴∠BAG＝∠ABF＝75°（两直线平行，内错角相等），
则∠BAG的度数为75°，
故答案为：D．
【分析】先求出∠ABF＝75°，然后根据两直线平行内错角相等即可求解．
6．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
∴x＜1，
解集为在数轴上表示为：
．
故答案为：C．
【分析】依据题意，解不等式组，得，从而可以得解．
7．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，
∴DE、EF、DF是△ABC的中位线，
∴EF＝AB，DE＝AC，DF＝BC，
∴△DEF的周长＝EF＋DE＋DF＝(AB＋AC＋BC)＝10（米）．
故答案为：B．
【分析】根据已知得出DE、EF、DF是△ABC的中位线，然后根据中位线的性质得EF＝AB，DE＝AC，DF＝BC，即可求解．
8．【答案】A
【知识点】分式的基本性质；分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：由题意可知．把分式中的 a，b同时扩大为原来的 2倍，
则可得分式，
∴分式的值扩大到原来的2倍．
故答案为：A．
【分析】根据分式的性质进行判断即可.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，连接AO，
根据题意得AB＝160cm，
∵拱高（弧AB的中点C到弦AB的垂直距离CD）为40cm，
∴AD＝BD＝AB＝80cm，CD＝40cm，CD⊥AB，OC⊥AB，
∴点D在OC上，
设AO＝OC＝r cm，则OD＝OC CD＝（r 40）cm，
在Rt△AOD中，AO2＝AD2＋OD2，
∴r2＝802＋（r 40）2，
6400＝1600 80r，
解得r＝100，
∴该圆弧的半径是100cm.
故答案为：B．
【分析】根据垂径定理得AD＝BD＝AB＝80cm，点D在OC上，设AO＝OC＝r cm，则OD＝OC CD＝（r 40）cm，根据勾股定理得AO2＝AD2＋OD2，即可得关于r的方程，解方程即可．
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴ ＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在正半轴，
∴c＞0，
∴bc＞0，
∴一次函数y＝ax＋bc的图象过一、二、四象限，只有D选项符合要求．
故答案为：D．
【分析】首先根据二次函数图象得出a，b，c的符号，进而利用一次函数性质得出图象经过的象限．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：2a2-2a=2a(a-1).
故答案为：2a(a-1).
【分析】直接利用提取公因式法分解分解因式即可.
12．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=
=.
故答案为：．
【分析】运用二次根式减法和乘法的运算法则准确计算即可．
13．【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：因为AE为∠BAC的平分线，
所以根据角平分线的性质得，点E到线段AC的距离等于点E到线段AB的距离，
因为点E到线段AB的距离DE＝3，
所以点E到线段AC的距离为3，
故答案为：3．
【分析】根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求解．
14．【答案】±2
【知识点】二元一次方程的解；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：由条件可得m m 2×（ 1）＝6，
解得：m＝±2．
故答案为：±2．
【分析】将二元一次方程的解代入原方程，得到关于m的一元二次方程，解该方程即可得到m的值．
15．【答案】
【知识点】点的坐标；反比例函数图象上点的坐标特征；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，如图，
∴∠BDO＝∠OCA＝90°，
∵∠OBD＋∠BOD＝∠AOC＋∠BOD＝90°，
∴∠OBD＝∠AOC，
∴△OBD∽△AOC，
∴，
∵点A的坐标为（2，4），
∴OC＝2，AC＝4，
∴，
∴OD＝2BD，
∵S△BOD＝OD×BD＝×| 4|＝2，
∴2BD×BD＝4，即BD2＝2，
∴BD＝，
∴OD＝2，
∵点B在第二象限，
∴B．
故答案为：．
【分析】过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，证明△OBD∽△AOC，所以，所以OD＝2BD，又S△BOD＝OD×BD＝×| 4|＝2，从而求得BD＝，OD＝2，最后根据点B在第二象限即可求出点B的坐标．
16．【答案】解：小华的解法不对，她是从第③步开始出错的，
当 x=-1时，原式
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的加减法法则进行判断，再利用分式化简求值的正确步骤进行解答即可．
17．【答案】（1）解：过点D作DE∥BC，交AC边于点E，如图，DE即为所求．
（2）解：∵DE∥BC，∠ACB＝90°，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，∠EDC＝∠BCD，
∵∠A＝30°，AD＝4，
∴AE＝＝＝，DE＝AD＝2，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，
∴∠ACD＝∠CDE＝45°，
∴DE＝CE＝2，
∴AC＝AE＋CE＝．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形；尺规作图-平行线
【解析】【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，作∠ADE＝∠B即可；
（2）根据平行线的性质得出∠AED＝90°，∠EDC＝∠BCD，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可求出DE＝2，AE＝，根据角平分线的定义得出∠ACD＝∠CDE＝45°，DE＝CE＝2，即可求出AC的长．
18．【答案】（1）79.5；96；195
（2）解：我认为八年级的成绩更加优秀，从中位数看，八年级成绩的中位数大于七年级；从众数看，八年级成绩的众数高于七年级，所以八年级的成绩更加优秀
【知识点】中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）七年级抽取的10名学生的成绩：50，68，72，79，79，80，84，90，98，100；
八年级抽取的10名学生的成绩：60，60，65，74，84，84，85，96，96，96．则：
七年级抽取的10名学生的成绩从小到大排列为：50，68，72，79，79，80，84，90，98，100；
中位数为a＝；
平均数＝＝80，
s2＝[(50 80)2＋(68 80)2＋ ＋(100 80)2]＝＝195，
∴c＝195，
八年级抽取的10名学生的成绩中，96出现次数最多，
∴b＝96.
【分析】（1）根据中位数、众数和方差的计算方法求解即可；
（2）从中位数、众数判断即可．
19．【答案】（1）解：四边形 ABCD为正方形；
证明： ∵△ABC绕点 C顺时针旋转得△DCE，
∴△ABC≌△EDC，
∴AB=DE， AC=CE， BC=CD，
由图 2可知： CD⊥AE，
∴AD=DE，
∵AB=BC，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形 ABCD为菱形
（2）解：∵AB＝BC，∠B＝90°，
∴∠BCA＝∠BAC＝45°，
∵△ABC≌△EDC，
∴∠BCA＝∠DCE＝45°，
∴∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACE，
∵AC＝CE，BC＝CD，
∴，
∴△BCD∽△ACE，
∴，
在直角三角形ABC中，cos∠BCA＝cos45°＝，
∴．
【知识点】菱形的判定；旋转的性质；四边形的综合；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到△ABC≌△EDC，进而得到AD＝DE，证得四边形ABCD为菱形，根据∠B是直角，从而得出结论；
（2）易证得△BCD∽△ACE，进而得到，在Rt△ABC中，得到∠BCA＝45°，进而得到cos∠BCA＝，从而可得答案.
20．【答案】（1）解：设A型无人机的单价为x万元/架，B型无人机的单价为y万元/架，
∵2架A型无人机和3架B型无人机总价为92万元；4架A型无人机和1架B型无人机总价为56万元，
∴根据题意列二元一次方程组得，，
解得，
即A型无人机的单价为7.6万元/架，B型无人机的单价为25.6万元/架，
答：A型无人机的单价为7.6万元/架，B型无人机的单价为25.6万元/架
（2）解：设购买A型无人机a架，则购买B型无人机（44 a）架，购买资金为w万元，
根据题意列一元一次不等式组得，，
解得33≤a≤39，
∴w＝7.6a＋25.6（44 a）＝ 18a＋1126.4，
∵ 18＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝39时，w有最小值，
此时w＝ 18×39＋1126.4＝424.4（万元），
44 a＝44 39＝5（架）．
答：最省钱的购买方案为购买A型无人机39架，B型无人机5架，购买资金为424.4万元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型无人机的单价为x万元/架，B型无人机的单价为y万元/架，利用总价＝单价×数量，结合两次采购的费用和数量列二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A型无人机a架，则购买B型无人机（44 a）架，购买资金为w万元，根据A型无人机数量不少于B型无人机的3倍，B型无人机至少采购5架，列不等式组，求出a的取值范围，用a表示出w，根据一次函数的性质即可得答案．
21．【答案】（1）解：①根据题意，AB⊥BF于点B，CD⊥BF于点D，该点与车头水平距离DE＝0.5m，驾驶员与车头水平距离BE＝2m，
∴AB∥CD，BD＝BE DE＝2 0.5＝1.5（m），
∴△FCD∽△FAB，
∴，
∵FB＝FD＋BD＝FD＋1.5，
∴，
解得：FD＝3（经检验，FD＝3是原方程的解，且符合题意），
∴EF＝FD DE＝3 0.5＝2.5（m）；
②驾驶员不能观察到物体；理由如下：
如图 2，过点 M作 MN⊥FB交 AF于点 N，则 FM=EF-ME=2. 5-0. 8=1. 7 （m) ，
∵FD=3m，
∴MD=ME+DE=0. 8+0. 5=1. 3 （m) ，
∵∠F=∠F， ∠FMN=∠FDC=90°，
∴△FMN∽△FDC，
∵0. 57>0. 5，
∴不能观察到物体
（2）39
【知识点】相似三角形的实际应用；盲区；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（2）摩托车的速度为72km/h＝20m/s，
∴摩托车在1.2s的反应时间里的行驶路程为：20×1.2＝24（m），
由题意可得：24＋42 32＋5＝39（m），
∴摩托车应与小汽车至少保持39m的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区，
故答案为：39．
【分析】（1）①根据题意得到△FCD∽△FAB，利用相似三角形的性质可得，且FB＝FD＋BD＝FD＋1.5，由此列式得到，即可求解；
②过点M作MN⊥FB交AF于点N，可证△FMN∽△FDC得到，得MN＝≈0.57(m)，由此即可求解；
（2）根据题意得到摩托车反应时的路程，结合汽车、摩托车刹车距离即可求解．
22．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2 （3a 1）x 2＝ax2 3ax＋x 2＝a（x2 3x）＋x 2，
若抛物线y＝ax2 （3a 1）x 2过定点，则x2 3x＝0，
∴x1＝3，x2＝0，
当x＝3时，y＝x 2＝1，当x＝0时，y＝x 2＝ 2，
∴点A的坐标为（0， 2），点B的坐标为（3，1）；
（2）解：若a＝ 1，抛物线的解析式为y＝ x2＋4x 2＝ （x 2）2＋2，
则抛物线y＝ax2 （3a 1）x 2的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，2）．
①若 1＜t≤2，当x＝t时，函数取得最大值，为 t2＋4t 2，
当x＝ 1时，函数取得最小值，为 7，
∴ t2＋4t 2 （ 7）＝9，
解得t＝2；
②若2＜t≤5，当x＝2时，函数取得最大值，为2，
当x＝ 1时，函数取得最小值，为 7，
∵2 （ 7）＝9，
∴符合题意．
③若t＞5，当x＝2时，函数取得最大值，为2，
当x＝t时，函数取得最小值，为 t2＋4t 2＜ 7，
∴此时最大值与最小值的差恒大于9，不符合题意．
综上，t的取值范围为2≤t≤5．
（3）解：∵A（0， 2），
由题意可得：点A'到直线y＝3的距离为1，
∵图象G1上仅存在两个点到直线y＝3的距离为，
∴图象G1上仅存在两个点的纵坐标为或，
①当a＞0时，开口向上，则图象G1的顶点的纵坐标为，
∴原抛物线的顶点的纵坐标为 ，
∴= ，
解得：a＝，
∵0＜＜3，
∴a＞，
∴a＝；
②当a＜0时，开口向下，
∵则G1上仅有两个点到直线y＝3的距离为，
∴原抛物线的顶点的纵坐标为，
∴＝，
解得：a＝，
∵0＜＜3，
∴a＜ ，
∴a＝．
综上，a的值为或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数-动态几何问题；二次函数图象的对称变换；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）根据抛物线过定点求出x，代入计算即可；
（2）利用分类讨论的思想方法，用待定系数法解答即可；
（3）利用分类讨论的方法分①当时和②当时两种情况讨论解答，结合图象，利用轴对称的性质和待定系数法解答即可
23．【答案】（1）（4， 0)；（0， 4)
（2）或
（3）解：当点D在点B右侧时，如图1，过D作DH⊥BC于点H，
∵AO＝BO、∠AOB＝∠OBC＝∠OAC＝90°，
∴四边形OACB为正方形，
∴∠ABC＝45°，
在Rt△BDH中，BH＝DH＝BD sin45°＝n，
由（1）可得BC＝4，
∴CH＝BC BH＝4 n，
在Rt△CDH中，由勾股定理得：DC2＝DH2＋CH2＝(n)2＋(4 n)2＝n2 n＋16，
∵点D恰好是点C与点E的“圆生点”，
∴DE＝DC、∠EDC＝90°，
∴S＝DC2＝n2 n＋8；
当点D在点B左侧时，如图2，过D作DI⊥BC交CB延长线于点I，
同理可得DI＝BI＝n，
∴CI＝BC＋BI＝4＋n，
在Rt△CDI中，由勾股定理得：DC2＝DI2＋CI2＝(n)2＋(4＋n)2＝n2＋n＋16，
∴S＝DC2＝n2＋n＋8，
综上所述，S关于n的关系式为或 .
（4）m的取值范围为4 ≤m≤4＋或 4 ≤m≤ 4＋．
【知识点】点的坐标；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；圆的综合题
【解析】【解答】解：（1）直线y＝ x＋4与x轴，y轴分别交于点A，B，
当y＝0时，得： x＋4＝0，
解得：x＝4；
当x＝0时，得：y＝4，
∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，4），
故答案为：（4，0）；（0，4）；
（2）令Q（1， 2），点P是点Q与点A的“圆生点”，设P（x，y），
∴PA＝PQ、∠QPA＝90°，
∵PA2＝（4 x）2＋y2，PB2＝（x 1）2＋（y＋2）2，AQ2＝（4 1）2＋22＝13，
∴（4 x）2＋y2＝（x 1）2＋（y＋2）2，
整理得：y＝，
在Rt△APQ中，由勾股定理得：2PA2＝AQ2，
∴2[（x 4）2＋y2]＝13，
∴2[(x 4)2＋()2]＝13，
解得：x＝或x＝，
当x＝时，得：y＝，
当x＝时，得：y＝，
综上所述，点P坐标为(，)或(， )，
故答案为：(，)或(， ).
（4）如图3，当G在AF上方时，点F是点A与点G的“圆生点”，过点G作GK⊥y轴于点K，
∴∠GKF＝∠AOF＝∠AFG＝90°，FG＝FA，
∵∠AFO＋∠KFG＝90°，∠AFO＋∠FAO＝90°，
∴∠FAO＝∠KFG，
在△AOF和△FKG中，
，
∴△AOF≌△FKG（AAS），
∴OA＝FK，OF＝KG，
设F（0，t），
∴OK＝OF＋KF＝4＋t，OF＝KG＝t，
∴G（t，4＋t），即点G在直线y＝x＋4上，
∴直线y＝x＋4与y轴交于点B（0，4），与x轴交于点R（ 4，0），
∴OB＝OR＝4，
∴∠BRO＝45°，
过点B作BW∥x轴，
∴∠GBW＝∠BRO＝45°，
∴∠MBG＝90° ∠GBW＝45°，
当GB与⊙M相切于点G时，MB＝，
即|m 4|＝，
解得：m＝4 或m＝4＋，
如图4，
∴m的取值范围为4 ≤m≤4＋；
当G在AF下方时，如图5，作点B关于x轴的对称点B'，则B'（0， 4），
过点G作GK'⊥y轴于点K'，同理证得△AOF≌△FK'G（AAS），
∴OA＝FK'、OF＝K'G，
设F（0，t），
∴OK'＝OF＋K'F＝ t＋4、OF＝K'G＝t，
∴G（t， t＋4），即点G在直线y＝ x＋4上，
同理可得：当GB'与⊙M相切于点G时，MB＝，
即|m＋4|＝，
解得m＝ 4 或m＝ 4＋，
∴m的取值范围为 4 ≤m≤ 4＋，
综上所述，m的取值范围为4 ≤m≤4＋或 4 ≤m≤ 4＋．
【分析】（1）将x＝0、y＝0代入y＝ x＋4进行求解即可；
（2）设P（x，y），令Q（1， 2），点P是点Q与点A的“圆生点”，则PA＝PQ、∠QPA＝90°，结合勾股定理2PA2＝AQ2，列出方程组，解方程组即可；
（3）当点D在点B右侧时，如图，过D作DH⊥BC于点H，证明四边形OACB为正方形，进而得到BH＝n，利用勾股定理求出DC2的表达式，进而得到S＝DC2；当点D在点B左侧时，如图，过D作DI⊥BC交CB延长线于点I，同理求出DC2的表达式，利用S＝DC2求解即可；
（4）综上所述，m的取值范围为4 ≤m≤4＋或 4 ≤m≤ 4＋．分情况讨论：当G在AF上方或当G在AF下方时，点F是点A与点G的“圆生点”，过点G向y作垂线，易得到点G在y＝x＋4或y＝ x＋4上，利用点G是⊙M的切点，得到MB＝，据此求解m的取值范围．
1 / 1

展开更多......

收起↑