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广东省中山市松苑中学2026年中考数学一模试卷
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图是轴对称图形但不是中心对称图形，∴ A不正确；
B、此图既不是轴对称图形也不是中心对称图形，∴ B不正确；
C、此图不是轴对称图形但是中心对称图形，∴ C不正确；
D、此图既是轴对称图形也是中心对称图形，∴ D正确；
故答案为：D.
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．港珠澳大桥工程项目的总投资额达 1296亿元，将“1296亿”用科学记数法表示为（　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1296亿元=，
故答案为：B.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．下列计算正确的是（　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、∵不是同类二次根式，∴A不正确；
B、∵，∴B正确；
C、∵2和不是同类二次根式，∴C不正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：B.
【分析】利用二次根式的加减法和二次根式的乘除法的计算方法逐项分析判断即可.
4．如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看的图形为：，
故答案为：A．
【分析】根据三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，找到从正面看所得到的图形即可得出答案．
5．如图，AB和 CD是五线谱上的两条线段，点 E在 AB，CD之间的一条平行线上，若∠1=125°， ∠2=35°，则∠BEC的度数为（　　)
A．90° B．85° C．95° D．80°
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AB//ED//DC，
∴∠1+∠BED=180°，∠2=∠DEC，
∵∠1=125°， ∠2=35°，
∴∠BED=55°，∠DEC=35°，
∴∠BEC=∠BED+∠DEC=55°+35°=90°，
故答案为：A.
【分析】先利用平行线的性质可得∠BED=55°，∠DEC=35°，再利用角的运算求出∠BEC的度数即可.
6．某班24名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如表：
成绩 161及以下 162 163 164 165及以上
人数 3 8 6 5 2
则本次测试成绩的众数和中位数分别是（　　）
A．162和163 B．162和162 C．163和162 D．163和163
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：在这一组数据中162是出现次数最多的，
故众数是162；
而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那两个数的是163和163，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是．
故选：A．
【分析】根据众数，中位数的定义即可求出答案.
7．为迎接学校秋季运动会，甲、乙两位同学在操场上练习长跑，他们长跑的路程 s （m)与时间 t （min)之间的图象如图所示，下列说法错误的是（　　)
A．甲、乙两人练习的长跑路程是 1000m
B．甲、乙两人同时达到终点
C．前 2.5分钟，甲比乙每分钟快 50m
D．2.5分钟后，乙跑在甲的前面
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由图象可知：
甲、乙两人练习的长跑路程是1000m，故选项A说法正确，不符合题意；
甲、乙两人同时达到终点，故选项B说法正确，不符合题意；
前2.5分钟，甲的速度是＝300（米/分），
乙的速度是＝250（米/分），
∴前2.5分钟，甲比乙每分钟快50m，故选项C说法正确，不符合题意；
2.5分钟后，甲跑在乙的前面，故选项D说法错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据纵轴表示他们长跑的路程可得两人练习的长跑路程是1000m；根据交点坐标（4，10001）可知甲、乙两人同时达到终点；根据图象分别求出两人的速度可判断选项C；根据图象可判断选项D．
8．《九章算术》中有这样一道题：今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻.一雀一燕交而处，衡适平.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何 其大意是：今有 5只雀、6只燕，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻.将 1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕重量为 1斤.问雀、燕每只各重多少 假设雀每只重 x斤，燕每只重 y斤，根据题意可列出方程组（　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设雀每只重 x斤，燕每只重 y斤，
根据题意可得：，
故答案为：C.
【分析】设雀每只重 x斤，燕每只重 y斤，利用“ 1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕重量为 1斤 ”列出方程组即可.
9．如图，四边形 ABCD的对角线 AC⊥BD， E， F， G， H分别是 AD， AB， BC，CD的中点，若在四边形 ABCD内任取一点，则这一点落在图中阴影部分的概率为（　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何概率；中点四边形模型
【解析】【解答】解：∵E， F， G， H分别是 AD， AB， BC，CD的中点，
∴EH=AC，HG=DB，EH//AC，HG//DB，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
∴S四边形ABCD=AC×BD，S四边形EHGF=EH×HG=AC×DB，
∴S四边形EHGF=S四边形ABCD，
∴这一点落在图中阴影部分的概率为，
故答案为：A.
【分析】先求出所有符合条件的图形的面积，再求出总面积，最后利用概率公式求解即可.
10．如图，正方形 ABCD的边长为 3，点 E在边 AB上，连接 CE，以点 E为旋转中心，将 EC逆时针旋转 90 °得到 EF， AD与 EF交于点 P，若 tan∠BEC=3，则 PF的长为（　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝3，∠B＝∠A＝90°．
在Rt△BCE中，tan∠BEC＝＝3，
∴BE＝＝1，
∴AE＝AB BE＝2．
在Rt△BCE中，CE＝＝，
∴EF＝CE＝，
∵∠AEP＝∠CEB＝90°，∠CEB＋∠BCE＝90°，
∴∠AEP＝∠BCE，
∴tan∠AEP＝tan∠BCE＝
∴AP＝AE＝，
在Rt△AEP中，PE＝＝，
∴PF＝EF PE＝．
故答案为：D．
【分析】在Rt△BCE中，tan∠BEC＝＝3，求出BE＝＝1，AE＝AB BE＝2，CE＝＝，得到EF＝CE＝，推导出∠AEP＝∠BCE，得到tan∠AEP＝tan∠BCE＝，推导出AP＝AE＝，PE＝＝，则PF＝EF PE＝，即可得出答案．
11．因式分解ab-a2=　 　 .
【答案】a（b-a）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：直接提公因式可得：
ab-a2=a(b-a)；
故答案为：a(b-a).
【分析】直接提公因式，即可得到答案.
12．如图，灯光照射三角板形成投影，三角板与其投影的相似比为 4：5，且三角板的一边长为 8cm，则投影中对应边的长为　 　.
【答案】10cm
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：设投影中对应边的长为x cm，
由题意得：，
解得：x＝10，
∴投影中对应边的长为10cm，
故答案为：10cm.
【分析】设投影中对应边的长为x cm，根据题意易得：，然后进行计算即可解答．
13．计算 　 　.
【答案】1
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：
=
=2-1
=1
故答案为：1.
【分析】先利用负整数指数幂、绝对值的性质和0指数幂的性质化简，再计算即可.
14．如图，在△ABC中， ∠C=90°，以点 A为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB、AC于点 M和点 N，再分别以点 M、N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 P.连接 AP并延长交 BC于点 D，若 AD=5，AC=4，则点 D到直线 AB的距离是　 　.
【答案】3
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ACD中，AD2=AC2+CD2，
∴CD=，
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴点D到直线AB的距离=CD=3，
故答案为：3.
【分析】先利用勾股定理求出CD的长，再利用角平分线的性质可得答案.
15．如图， ⊙O是正方形 ABCD的外接圆，点 E为边 CD上的一点， ⊙O半径为 2，则图中阴影部分的面积为　 　.
【答案】π+2
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，连接AC和BD，
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴AC和BD的交点就是O，
∴∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，
∴AD＝AB＝，
∴阴影部分的面积为
＝π 2＋4，
＝π＋2．
故答案为：π＋2．
【分析】连接AC和BD交于点O，求得∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，AD＝AB＝，再利用扇形面积公式和三角形面积公式求解即可．
16．解不等式组：
【答案】解：
由①可得x<4，
由②可得：3x-3>x+2，
∴x>，
∴不等式组的解集为：
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
17．先化简，再求值： 再从-2、-1、1、2四个数中选一个适当的数作为 x的值代入求值.
【答案】解：
=
=
取 x=-1时，原式=1.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简可得再将x的值代入计算即可.
18．项目化学习
项目主题：测量校园古槐的高度.
项目背景：古树因城而增色，古城因树而厚重，槐树寄托着人们深厚的感情，槐香处处，成为城市温馨的名片之一.在我校校园里也有着一棵历经沧桑的古槐，我班数学实践小组想要测量这棵古槐树的高度.
研究步骤：（1）小组成员讨论后，设计了如下测量方案，并画出相应的测量草图.
备注：两位同学的观测点 C、D到地面的距离相等，线段 EF长表示该树的高度，点 A，B，C，D，E，F均在同一竖直平面内；
（2）准备测量工具：测角仪，皮尺；
（3）实地测量并记录数据；
数据 CA=DB=1.6m α=30° β=45° AB=23m
问题解决：请你计算这棵古槐树的高度 EF.（结果精确到 1m)
（参考数据：
【答案】解：设EF交CD于点G，
由题意得CA⊥AB，DB⊥AB，EF⊥AB．且CA＝DB＝1.6m，
设EG＝x m，
∴CG＝x m，
在Rt△DEG中，∠EDG＝45°，
∴D G ＝ E G ＝ x m，
∵AB ＝ CD ＝ CG＋DG，
∴x＋x＝23，
解得x≈8.4，
∴E F ＝ E G＋G F ＝ 8.4＋1.6 ＝ 1 0（m），
答：这棵古槐树的高度EF为10m.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】由题意得CA⊥AB，DB⊥AB，EF⊥AB．且CA＝DB＝1.6m，设EG＝xm，则CG＝x m，再列式x＋x＝23，即可求出古槐树的高度EF的长．
19．某市调研新能源汽车车主的充电服务体验，随机抽取了 100名车主进行调查，体验等级分为 4类，其中 A代表体验极佳，B代表体验良好，C代表体验一般，D代表体验较差，相关数据如表与扇形统计图（如图)所示：
等级 A B C D
频数 20 30 n 6
频率 m 0.30 0.44 0.06
根据调查数据解答下列问题：
（1）表格中 m=　 　， n=　 　；
（2）扇形统计图里“等级 A”对应的圆心角的度数为　 　度；
（3）从评价为 A和 B的车主里各选 2人参与充电服务优化研讨会，从这 4人中随机抽 2人分享具体体验，求这 2人恰好来自不同体验等级的概率.
【答案】（1）0.20；44
（2）72
（3）解：设A车主里的2名车主为甲和乙，B车主里的2名车主为丙和丁，画出树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中选出的2名车主恰好来自不同体验等级的结果有8种．
∴选出的2名车主恰好来自不同体验等级的概率为．
答：这2人恰好来自不同体验等级的概率为．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）A等级的频率m＝＝0.20；
C等级的频数n＝100×0.44＝44；
故答案为：0.20，44；
（2）“A”所对应的扇形的圆心角的度数为：0.20×360°＝72°；
故答案为：72°.
【分析】（1）根据频率＝频数÷总数计算m的值，依据频数＝总数×频率计算n的值；
（2）用A等级的频率乘以360°，即可求出其对应扇形的圆心角度数；
（3）先对4名车主进行标记，通过树状图法列出从4名车主中随机抽取2名的所有等可能结果，再找出2名车主来自不同等级的结果数，最后根据概率公式计算概率即可．
20．如图，在△ABC中， ∠B=90°， AM是角平分线， O是 AC上一点，经过点 A、点 M的⊙O分别交 AB， AC于点 E，点 F.
（1）判断 BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：
【答案】（1）解：BC是⊙O的切线；
理由如下：连接 OM，
∵AM是角平分线，
∴∠BAM=∠OAM，
∵OA=OM，
∴∠OAM=∠OMA，
∴∠BAM=∠OMA，
∴OM∥AB，
∴∠OMC=∠B=90°，即 BC⊥OM，
∵OM是半径，
∴BC是⊙O的切线
（2）证明：连接 OM， MF，
∵AF是直径，
∴∠AMF=90°，
∵∠OMC=90°，
∴∠OMA=∠CMF=90°-∠OMF，
∵∠OAM=∠OMA，
∴∠CMF=∠OAM，
又∵∠C=∠C，
∴△CMF∽△CAM，
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接 OM，先证出∠OMC=∠B=90°，即 BC⊥OM，再结合OM是半径，即可证出BC是⊙O的切线；
（2）连接 OM， MF，先求出∠CMF=∠OAM，再结合∠C=∠C，证出△CMF∽△CAM，利用相似三角形的性质可得，再求出即可.
21．防蚊灭蚊是预防感染基孔肯雅热的有效措施，为了控制基孔肯雅热在社区中进一步传播，两支志愿者队伍需要合作检查，清除社区各家各户的蚊虫孳生地.已知 A队每小时检查的户数比 B队多 4户，A队检查 120户的时间与 B队检查 90户的时间相等.
（1）求 A队、B队的每小时检查的户数；
（2）两支志愿队在社区巡查过程中清除出废弃的瓶罐、塑料袋等废旧垃圾共 17吨，需要租用 10辆货车把这些废旧垃圾全部清理运走. M型、N型货车每次运货量与运货费用如表所示，请问怎样租货车才能使运输总费用最低 最低总费用是多少元
参数车型 运货量 （吨/车) 运货费用 （元/车)
M型 2 50
N型 1.5 40
【答案】（1）解：设B队每小时检查x户，
根据题意得，
解得x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，
12＋4＝16，
答：A队每小时检查16户，B队每小时检查12户；
（2）解：设租用M型货车m辆，总费用为w元，
由题意得2m＋1.5（10 m）≥17，
解得m≥4，
由题意得w＝50m＋40（10 m）＝10m＋400，
∵10＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝4时，w最小，
w最小值＝10×4＋400＝440元，
10 4＝6，
答：租用M型货车4辆，N型货车6辆时，运输总费用最低，最低总费用是440元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设B队每小时检查x户，则A队每小时检查（x＋4）户，根据“A队检查120户的时间与B队检查90户的时间相等”，可列方程分式方程，据此求解即可；
（2）设租用M型货车m辆，则租用N型货车（10 m）辆，总费用为w元，根据“总运货量≥17吨”，列不等式求得m的范围，再利用一次函数的性质求解即可．
22．如图在平面直角坐标系中，抛物线 与 x轴交于点 A （-4， 0)和点 B （点 A在点 B的左侧)，与 y轴交于点 C，经过点 A的直线与抛物线交于点 D （-1，3)，与 y轴交于点 E.
（1）求抛物线的表达式和顶点 P的坐标；
（2）点 F是 x轴下方抛物线上的一个动点，使△ADF的面积为 求点 F的坐标；
（3）设直线 l是抛物线的对称轴，点 G是直线 l上的动点，当|GA-GD|最大时，此时点 G的坐标为　 　.
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋2（a≠0）过D（ 1，3），A（ 4，0），
∴，
解得：a=，b=，
∴y＝x2x＋2，
∴y＝x2x＋2＝(x＋)2＋，
∴顶点P的坐标为(，)．
（2）解：如图，过点F作FG∥AD交x轴于G，连接DG，
S△ADF＝S△ADG，
∵△ADF的面积为，
∴AG×3＝，
解得：AG＝9，
∵A（ 4，0），
∴G（5，0），
设直线AD的表达式为y＝k1x＋b1，
将点D（ 1，3），A（ 4，0）代入得：
，
解得：，
∴求直线AD的表达式为y＝x＋4，
∵FG∥AD，
∴设直线FG的表达式为y＝x＋m，
∴5＋m＝0，解得m＝ 5，
∴直线FG的表达式为y＝x 5，
联立y＝x 5与抛物线y＝x2x＋2得：
，
解得：或，
∴点F的坐标为（ 7， 12）或（2， 3）.
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（3）∵抛物线解析式是：y＝x2x＋2＝(x＋)2＋，
∴对称轴是直线x＝，
∴点D关于直线l的对称点是D'（ 2，3），则GD＝GD'，
则|GA GD|＝|GA GD'|≤AD'，
当且仅当点A、D'、G三点共线时，取最大值，此时点G在点G'位置，
设直线AD'的表达式为y＝k2x＋b2，
将点A（ 4，0），D'（ 2，3）代入得：
，
解得：，
∴直线AD'的表达式为y＝x＋6，
当x＝时，y＝x＋6＝，
∴当|GA GD|最大时，此时点 G 的坐标为( ，)．
故答案为：( ，)．
【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，再化为顶点式即可得顶点P的坐标；
（2）过点F作FG∥AD交x轴于G，连接DG，则S△ADF＝S△ADG，根据△ADF的面积为求出AG，则G（5，0），可得直线FG的表达式为y＝x 5，联立抛物线y＝x2x＋2即可求解；
（3）求得对称轴是直线x＝，点D关于直线l的对称点是D'（ 2，3），则|GA GD|＝|GA GD'|≤AD'，当且仅当点A、D'、G三点共线时，取最大值，此时点G在点G'位置，待定系数法求出直线AD'的表达式，在代入x＝，求出点G'的纵坐标即可得解．
23．【问题呈现】如图 1，∠MPN的顶点在正方形 ABCD两条对角线的交点处，∠MPN=90°，将∠MPN绕点 P旋转，旋转过程中，∠MPN的两边分别与正方形 ABCD的边 AD和 CD交于点 E、F （点 F与点 C，D不重合).探索线段 DE、DF、AD之间的数量关系.
（1）【问题初探】爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论.请你写出线段 DE、DF、AD 之间的数量关系，并说明理由；
（2）【问题引申】如图 2，将图 1中的正方形 ABCD 改为 的菱形， 其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段 DE、DF、AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）【问题解决】如图 3，在（2）的条件下，当菱形的边长为 8，点 P运动至与 A点距离恰好为 7的位置，且 旋转至DF=1时，DE的长度为　 　.
【答案】（1）解：结论： DE+DF=AD.
理由：如图 1中，
∵正方形 ABCD的对角线 AC， BD交于点 P，
∴PA=PD， ∠PAE=∠PDF=45°，
∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°，
∴∠APE=∠DPF，
在△APE和△DPF中
∴△APE≌△DPF （ASA) ，
∴AE=DF，
∴DE+DF=AD；
（2）解：
理由如下：
如图 2中，取 AD的中点 T，连接 PT，
∵四边形 ABCD为∠ADC=120°的菱形，
∴BD=AD， ∠DAP=30°， ∠ADP=∠CDP=60°，
∴△TDP是等边三角形，
∴PT=PD， ∠PTE=∠PDF=60°，
∵∠PAT=30°，
∴∠TPD=60°，
∵∠MPN=60°，
∴∠MPT=∠FPD，
在△TPE和△DPF中，
∴△TPE≌△DPF （ASA)
∴TE=DF，
（3）4或2．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形的综合
【解析】【解答】解：（3）如图3 1中，当点P靠近点B时，过点A作AH⊥BD于H，连接AP，作PG∥AB交AD于G．
∵△ABD是等边三角形，AH⊥BD，
∴BH＝DH＝4，AH＝，在Rt△APH中，PH＝＝，
∴AG＝BP＝BH PH＝3，由（2）可知，DF＝EG＝1，
∴DE＝AD AG EG＝8 3 1＝4．
如图3 2中，当点P靠近点D时，
同法可得PH＝1，AG＝PB＝BH＋PH＝5，
∵DF＝EG＝1
∴DE＝AD AG EG＝8 5 1＝2，
综上所述，满足条件的DE的值为4或2．
【分析】（1）利用正方形的性质得出角与线段的关系，易证得△APE≌△DPF，可得出AE＝DF，即可得出结论DE＋DF＝AD．
（2）取AD的中点T，连接PT，利用菱形的性质，可得出△TDP是等边三角形，易证△TPE≌△FPD，得出TE＝DF，由DE＋TE＝AD，即可得出DE＋DF＝AD．
（3）分两种情形：如图3 1中，当点P靠近点B时，过点A作AH⊥BD于H，连接AP，作PG∥AB交AD于G．解直角三角形求出PH，AG，可得结论．如图3 2中，当点P靠近点D时，同法可求．
1 / 1广东省中山市松苑中学2026年中考数学一模试卷
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　)
A． B．
C． D．
2．港珠澳大桥工程项目的总投资额达 1296亿元，将“1296亿”用科学记数法表示为（　　)
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　)
A． B． C． D．
4．如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，AB和 CD是五线谱上的两条线段，点 E在 AB，CD之间的一条平行线上，若∠1=125°， ∠2=35°，则∠BEC的度数为（　　)
A．90° B．85° C．95° D．80°
6．某班24名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如表：
成绩 161及以下 162 163 164 165及以上
人数 3 8 6 5 2
则本次测试成绩的众数和中位数分别是（　　）
A．162和163 B．162和162 C．163和162 D．163和163
7．为迎接学校秋季运动会，甲、乙两位同学在操场上练习长跑，他们长跑的路程 s （m)与时间 t （min)之间的图象如图所示，下列说法错误的是（　　)
A．甲、乙两人练习的长跑路程是 1000m
B．甲、乙两人同时达到终点
C．前 2.5分钟，甲比乙每分钟快 50m
D．2.5分钟后，乙跑在甲的前面
8．《九章算术》中有这样一道题：今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻.一雀一燕交而处，衡适平.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何 其大意是：今有 5只雀、6只燕，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻.将 1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕重量为 1斤.问雀、燕每只各重多少 假设雀每只重 x斤，燕每只重 y斤，根据题意可列出方程组（　　)
A． B．
C． D．
9．如图，四边形 ABCD的对角线 AC⊥BD， E， F， G， H分别是 AD， AB， BC，CD的中点，若在四边形 ABCD内任取一点，则这一点落在图中阴影部分的概率为（　　)
A． B． C． D．
10．如图，正方形 ABCD的边长为 3，点 E在边 AB上，连接 CE，以点 E为旋转中心，将 EC逆时针旋转 90 °得到 EF， AD与 EF交于点 P，若 tan∠BEC=3，则 PF的长为（　　)
A． B． C． D．
11．因式分解ab-a2=　 　 .
12．如图，灯光照射三角板形成投影，三角板与其投影的相似比为 4：5，且三角板的一边长为 8cm，则投影中对应边的长为　 　.
13．计算 　 　.
14．如图，在△ABC中， ∠C=90°，以点 A为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB、AC于点 M和点 N，再分别以点 M、N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 P.连接 AP并延长交 BC于点 D，若 AD=5，AC=4，则点 D到直线 AB的距离是　 　.
15．如图， ⊙O是正方形 ABCD的外接圆，点 E为边 CD上的一点， ⊙O半径为 2，则图中阴影部分的面积为　 　.
16．解不等式组：
17．先化简，再求值： 再从-2、-1、1、2四个数中选一个适当的数作为 x的值代入求值.
18．项目化学习
项目主题：测量校园古槐的高度.
项目背景：古树因城而增色，古城因树而厚重，槐树寄托着人们深厚的感情，槐香处处，成为城市温馨的名片之一.在我校校园里也有着一棵历经沧桑的古槐，我班数学实践小组想要测量这棵古槐树的高度.
研究步骤：（1）小组成员讨论后，设计了如下测量方案，并画出相应的测量草图.
备注：两位同学的观测点 C、D到地面的距离相等，线段 EF长表示该树的高度，点 A，B，C，D，E，F均在同一竖直平面内；
（2）准备测量工具：测角仪，皮尺；
（3）实地测量并记录数据；
数据 CA=DB=1.6m α=30° β=45° AB=23m
问题解决：请你计算这棵古槐树的高度 EF.（结果精确到 1m)
（参考数据：
19．某市调研新能源汽车车主的充电服务体验，随机抽取了 100名车主进行调查，体验等级分为 4类，其中 A代表体验极佳，B代表体验良好，C代表体验一般，D代表体验较差，相关数据如表与扇形统计图（如图)所示：
等级 A B C D
频数 20 30 n 6
频率 m 0.30 0.44 0.06
根据调查数据解答下列问题：
（1）表格中 m=　 　， n=　 　；
（2）扇形统计图里“等级 A”对应的圆心角的度数为　 　度；
（3）从评价为 A和 B的车主里各选 2人参与充电服务优化研讨会，从这 4人中随机抽 2人分享具体体验，求这 2人恰好来自不同体验等级的概率.
20．如图，在△ABC中， ∠B=90°， AM是角平分线， O是 AC上一点，经过点 A、点 M的⊙O分别交 AB， AC于点 E，点 F.
（1）判断 BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：
21．防蚊灭蚊是预防感染基孔肯雅热的有效措施，为了控制基孔肯雅热在社区中进一步传播，两支志愿者队伍需要合作检查，清除社区各家各户的蚊虫孳生地.已知 A队每小时检查的户数比 B队多 4户，A队检查 120户的时间与 B队检查 90户的时间相等.
（1）求 A队、B队的每小时检查的户数；
（2）两支志愿队在社区巡查过程中清除出废弃的瓶罐、塑料袋等废旧垃圾共 17吨，需要租用 10辆货车把这些废旧垃圾全部清理运走. M型、N型货车每次运货量与运货费用如表所示，请问怎样租货车才能使运输总费用最低 最低总费用是多少元
参数车型 运货量 （吨/车) 运货费用 （元/车)
M型 2 50
N型 1.5 40
22．如图在平面直角坐标系中，抛物线 与 x轴交于点 A （-4， 0)和点 B （点 A在点 B的左侧)，与 y轴交于点 C，经过点 A的直线与抛物线交于点 D （-1，3)，与 y轴交于点 E.
（1）求抛物线的表达式和顶点 P的坐标；
（2）点 F是 x轴下方抛物线上的一个动点，使△ADF的面积为 求点 F的坐标；
（3）设直线 l是抛物线的对称轴，点 G是直线 l上的动点，当|GA-GD|最大时，此时点 G的坐标为　 　.
23．【问题呈现】如图 1，∠MPN的顶点在正方形 ABCD两条对角线的交点处，∠MPN=90°，将∠MPN绕点 P旋转，旋转过程中，∠MPN的两边分别与正方形 ABCD的边 AD和 CD交于点 E、F （点 F与点 C，D不重合).探索线段 DE、DF、AD之间的数量关系.
（1）【问题初探】爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论.请你写出线段 DE、DF、AD 之间的数量关系，并说明理由；
（2）【问题引申】如图 2，将图 1中的正方形 ABCD 改为 的菱形， 其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段 DE、DF、AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）【问题解决】如图 3，在（2）的条件下，当菱形的边长为 8，点 P运动至与 A点距离恰好为 7的位置，且 旋转至DF=1时，DE的长度为　 　.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图是轴对称图形但不是中心对称图形，∴ A不正确；
B、此图既不是轴对称图形也不是中心对称图形，∴ B不正确；
C、此图不是轴对称图形但是中心对称图形，∴ C不正确；
D、此图既是轴对称图形也是中心对称图形，∴ D正确；
故答案为：D.
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1296亿元=，
故答案为：B.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、∵不是同类二次根式，∴A不正确；
B、∵，∴B正确；
C、∵2和不是同类二次根式，∴C不正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：B.
【分析】利用二次根式的加减法和二次根式的乘除法的计算方法逐项分析判断即可.
4．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看的图形为：，
故答案为：A．
【分析】根据三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，找到从正面看所得到的图形即可得出答案．
5．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AB//ED//DC，
∴∠1+∠BED=180°，∠2=∠DEC，
∵∠1=125°， ∠2=35°，
∴∠BED=55°，∠DEC=35°，
∴∠BEC=∠BED+∠DEC=55°+35°=90°，
故答案为：A.
【分析】先利用平行线的性质可得∠BED=55°，∠DEC=35°，再利用角的运算求出∠BEC的度数即可.
6．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：在这一组数据中162是出现次数最多的，
故众数是162；
而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那两个数的是163和163，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是．
故选：A．
【分析】根据众数，中位数的定义即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由图象可知：
甲、乙两人练习的长跑路程是1000m，故选项A说法正确，不符合题意；
甲、乙两人同时达到终点，故选项B说法正确，不符合题意；
前2.5分钟，甲的速度是＝300（米/分），
乙的速度是＝250（米/分），
∴前2.5分钟，甲比乙每分钟快50m，故选项C说法正确，不符合题意；
2.5分钟后，甲跑在乙的前面，故选项D说法错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据纵轴表示他们长跑的路程可得两人练习的长跑路程是1000m；根据交点坐标（4，10001）可知甲、乙两人同时达到终点；根据图象分别求出两人的速度可判断选项C；根据图象可判断选项D．
8．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设雀每只重 x斤，燕每只重 y斤，
根据题意可得：，
故答案为：C.
【分析】设雀每只重 x斤，燕每只重 y斤，利用“ 1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕重量为 1斤 ”列出方程组即可.
9．【答案】A
【知识点】几何概率；中点四边形模型
【解析】【解答】解：∵E， F， G， H分别是 AD， AB， BC，CD的中点，
∴EH=AC，HG=DB，EH//AC，HG//DB，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
∴S四边形ABCD=AC×BD，S四边形EHGF=EH×HG=AC×DB，
∴S四边形EHGF=S四边形ABCD，
∴这一点落在图中阴影部分的概率为，
故答案为：A.
【分析】先求出所有符合条件的图形的面积，再求出总面积，最后利用概率公式求解即可.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝3，∠B＝∠A＝90°．
在Rt△BCE中，tan∠BEC＝＝3，
∴BE＝＝1，
∴AE＝AB BE＝2．
在Rt△BCE中，CE＝＝，
∴EF＝CE＝，
∵∠AEP＝∠CEB＝90°，∠CEB＋∠BCE＝90°，
∴∠AEP＝∠BCE，
∴tan∠AEP＝tan∠BCE＝
∴AP＝AE＝，
在Rt△AEP中，PE＝＝，
∴PF＝EF PE＝．
故答案为：D．
【分析】在Rt△BCE中，tan∠BEC＝＝3，求出BE＝＝1，AE＝AB BE＝2，CE＝＝，得到EF＝CE＝，推导出∠AEP＝∠BCE，得到tan∠AEP＝tan∠BCE＝，推导出AP＝AE＝，PE＝＝，则PF＝EF PE＝，即可得出答案．
11．【答案】a（b-a）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：直接提公因式可得：
ab-a2=a(b-a)；
故答案为：a(b-a).
【分析】直接提公因式，即可得到答案.
12．【答案】10cm
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：设投影中对应边的长为x cm，
由题意得：，
解得：x＝10，
∴投影中对应边的长为10cm，
故答案为：10cm.
【分析】设投影中对应边的长为x cm，根据题意易得：，然后进行计算即可解答．
13．【答案】1
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：
=
=2-1
=1
故答案为：1.
【分析】先利用负整数指数幂、绝对值的性质和0指数幂的性质化简，再计算即可.
14．【答案】3
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ACD中，AD2=AC2+CD2，
∴CD=，
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴点D到直线AB的距离=CD=3，
故答案为：3.
【分析】先利用勾股定理求出CD的长，再利用角平分线的性质可得答案.
15．【答案】π+2
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，连接AC和BD，
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴AC和BD的交点就是O，
∴∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，
∴AD＝AB＝，
∴阴影部分的面积为
＝π 2＋4，
＝π＋2．
故答案为：π＋2．
【分析】连接AC和BD交于点O，求得∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，AD＝AB＝，再利用扇形面积公式和三角形面积公式求解即可．
16．【答案】解：
由①可得x<4，
由②可得：3x-3>x+2，
∴x>，
∴不等式组的解集为：
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
17．【答案】解：
=
=
取 x=-1时，原式=1.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简可得再将x的值代入计算即可.
18．【答案】解：设EF交CD于点G，
由题意得CA⊥AB，DB⊥AB，EF⊥AB．且CA＝DB＝1.6m，
设EG＝x m，
∴CG＝x m，
在Rt△DEG中，∠EDG＝45°，
∴D G ＝ E G ＝ x m，
∵AB ＝ CD ＝ CG＋DG，
∴x＋x＝23，
解得x≈8.4，
∴E F ＝ E G＋G F ＝ 8.4＋1.6 ＝ 1 0（m），
答：这棵古槐树的高度EF为10m.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】由题意得CA⊥AB，DB⊥AB，EF⊥AB．且CA＝DB＝1.6m，设EG＝xm，则CG＝x m，再列式x＋x＝23，即可求出古槐树的高度EF的长．
19．【答案】（1）0.20；44
（2）72
（3）解：设A车主里的2名车主为甲和乙，B车主里的2名车主为丙和丁，画出树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中选出的2名车主恰好来自不同体验等级的结果有8种．
∴选出的2名车主恰好来自不同体验等级的概率为．
答：这2人恰好来自不同体验等级的概率为．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）A等级的频率m＝＝0.20；
C等级的频数n＝100×0.44＝44；
故答案为：0.20，44；
（2）“A”所对应的扇形的圆心角的度数为：0.20×360°＝72°；
故答案为：72°.
【分析】（1）根据频率＝频数÷总数计算m的值，依据频数＝总数×频率计算n的值；
（2）用A等级的频率乘以360°，即可求出其对应扇形的圆心角度数；
（3）先对4名车主进行标记，通过树状图法列出从4名车主中随机抽取2名的所有等可能结果，再找出2名车主来自不同等级的结果数，最后根据概率公式计算概率即可．
20．【答案】（1）解：BC是⊙O的切线；
理由如下：连接 OM，
∵AM是角平分线，
∴∠BAM=∠OAM，
∵OA=OM，
∴∠OAM=∠OMA，
∴∠BAM=∠OMA，
∴OM∥AB，
∴∠OMC=∠B=90°，即 BC⊥OM，
∵OM是半径，
∴BC是⊙O的切线
（2）证明：连接 OM， MF，
∵AF是直径，
∴∠AMF=90°，
∵∠OMC=90°，
∴∠OMA=∠CMF=90°-∠OMF，
∵∠OAM=∠OMA，
∴∠CMF=∠OAM，
又∵∠C=∠C，
∴△CMF∽△CAM，
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接 OM，先证出∠OMC=∠B=90°，即 BC⊥OM，再结合OM是半径，即可证出BC是⊙O的切线；
（2）连接 OM， MF，先求出∠CMF=∠OAM，再结合∠C=∠C，证出△CMF∽△CAM，利用相似三角形的性质可得，再求出即可.
21．【答案】（1）解：设B队每小时检查x户，
根据题意得，
解得x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，
12＋4＝16，
答：A队每小时检查16户，B队每小时检查12户；
（2）解：设租用M型货车m辆，总费用为w元，
由题意得2m＋1.5（10 m）≥17，
解得m≥4，
由题意得w＝50m＋40（10 m）＝10m＋400，
∵10＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝4时，w最小，
w最小值＝10×4＋400＝440元，
10 4＝6，
答：租用M型货车4辆，N型货车6辆时，运输总费用最低，最低总费用是440元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设B队每小时检查x户，则A队每小时检查（x＋4）户，根据“A队检查120户的时间与B队检查90户的时间相等”，可列方程分式方程，据此求解即可；
（2）设租用M型货车m辆，则租用N型货车（10 m）辆，总费用为w元，根据“总运货量≥17吨”，列不等式求得m的范围，再利用一次函数的性质求解即可．
22．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋2（a≠0）过D（ 1，3），A（ 4，0），
∴，
解得：a=，b=，
∴y＝x2x＋2，
∴y＝x2x＋2＝(x＋)2＋，
∴顶点P的坐标为(，)．
（2）解：如图，过点F作FG∥AD交x轴于G，连接DG，
S△ADF＝S△ADG，
∵△ADF的面积为，
∴AG×3＝，
解得：AG＝9，
∵A（ 4，0），
∴G（5，0），
设直线AD的表达式为y＝k1x＋b1，
将点D（ 1，3），A（ 4，0）代入得：
，
解得：，
∴求直线AD的表达式为y＝x＋4，
∵FG∥AD，
∴设直线FG的表达式为y＝x＋m，
∴5＋m＝0，解得m＝ 5，
∴直线FG的表达式为y＝x 5，
联立y＝x 5与抛物线y＝x2x＋2得：
，
解得：或，
∴点F的坐标为（ 7， 12）或（2， 3）.
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（3）∵抛物线解析式是：y＝x2x＋2＝(x＋)2＋，
∴对称轴是直线x＝，
∴点D关于直线l的对称点是D'（ 2，3），则GD＝GD'，
则|GA GD|＝|GA GD'|≤AD'，
当且仅当点A、D'、G三点共线时，取最大值，此时点G在点G'位置，
设直线AD'的表达式为y＝k2x＋b2，
将点A（ 4，0），D'（ 2，3）代入得：
，
解得：，
∴直线AD'的表达式为y＝x＋6，
当x＝时，y＝x＋6＝，
∴当|GA GD|最大时，此时点 G 的坐标为( ，)．
故答案为：( ，)．
【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，再化为顶点式即可得顶点P的坐标；
（2）过点F作FG∥AD交x轴于G，连接DG，则S△ADF＝S△ADG，根据△ADF的面积为求出AG，则G（5，0），可得直线FG的表达式为y＝x 5，联立抛物线y＝x2x＋2即可求解；
（3）求得对称轴是直线x＝，点D关于直线l的对称点是D'（ 2，3），则|GA GD|＝|GA GD'|≤AD'，当且仅当点A、D'、G三点共线时，取最大值，此时点G在点G'位置，待定系数法求出直线AD'的表达式，在代入x＝，求出点G'的纵坐标即可得解．
23．【答案】（1）解：结论： DE+DF=AD.
理由：如图 1中，
∵正方形 ABCD的对角线 AC， BD交于点 P，
∴PA=PD， ∠PAE=∠PDF=45°，
∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°，
∴∠APE=∠DPF，
在△APE和△DPF中
∴△APE≌△DPF （ASA) ，
∴AE=DF，
∴DE+DF=AD；
（2）解：
理由如下：
如图 2中，取 AD的中点 T，连接 PT，
∵四边形 ABCD为∠ADC=120°的菱形，
∴BD=AD， ∠DAP=30°， ∠ADP=∠CDP=60°，
∴△TDP是等边三角形，
∴PT=PD， ∠PTE=∠PDF=60°，
∵∠PAT=30°，
∴∠TPD=60°，
∵∠MPN=60°，
∴∠MPT=∠FPD，
在△TPE和△DPF中，
∴△TPE≌△DPF （ASA)
∴TE=DF，
（3）4或2．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形的综合
【解析】【解答】解：（3）如图3 1中，当点P靠近点B时，过点A作AH⊥BD于H，连接AP，作PG∥AB交AD于G．
∵△ABD是等边三角形，AH⊥BD，
∴BH＝DH＝4，AH＝，在Rt△APH中，PH＝＝，
∴AG＝BP＝BH PH＝3，由（2）可知，DF＝EG＝1，
∴DE＝AD AG EG＝8 3 1＝4．
如图3 2中，当点P靠近点D时，
同法可得PH＝1，AG＝PB＝BH＋PH＝5，
∵DF＝EG＝1
∴DE＝AD AG EG＝8 5 1＝2，
综上所述，满足条件的DE的值为4或2．
【分析】（1）利用正方形的性质得出角与线段的关系，易证得△APE≌△DPF，可得出AE＝DF，即可得出结论DE＋DF＝AD．
（2）取AD的中点T，连接PT，利用菱形的性质，可得出△TDP是等边三角形，易证△TPE≌△FPD，得出TE＝DF，由DE＋TE＝AD，即可得出DE＋DF＝AD．
（3）分两种情形：如图3 1中，当点P靠近点B时，过点A作AH⊥BD于H，连接AP，作PG∥AB交AD于G．解直角三角形求出PH，AG，可得结论．如图3 2中，当点P靠近点D时，同法可求．
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