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广东深圳市罗湖外语初中学校2025-2026学年第二学期九年级一模测试数学试卷
1．的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体为（　　）
A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．棱锥
3．九三阅兵之后国际形势变化较大，全国要求台湾回归祖国的呼声越来越高．据统计截至11月以来，收到相关邮件为800万件，用科学记数法表示是（　　）
A．件 B．件 C．件 D．件
4．在中，，，，则下列三角函数表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．2
6．把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上(如图所示)，则下列关于与的等式中一定成立的是(　　)
A． B．
C． D．
7．某工厂生产零件80个，实际参与生产的人数是原计划人数的1.5倍，实际平均每人生产零件个数比原计划少了4个，若设原计划人数为y人，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在正方形中，为中点，连接，将沿所在的直线翻折到正方形所在的平面内得，连接、，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9． 已知x=2是关于x的方程5x-m=8的解，则m的值是　 　.
10．点向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的点的坐标为　 　．
11．观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为　 　．
12．如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在第一象限），过点A作轴，与反比例函数图象交于点C，连接与x轴交于点D．若的面积为3，则的值为　 　．
13．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，∠ABD+∠ADB=∠ACB．则的值为　 　．
14．计算：．
15．解不等式组：
16．为了解学生一周劳动情况，我市某校随机调查了部分学生的一周累计劳动时间，将他们一周累计劳动时间t（单位：时）划分为A：，B：，C：；D：四个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取　 　人，条形统计图中的　 　；
（2）在扇形统计图中，B组所在扇形圆心角的度数为 ▲ °，并将条形统计图补充完整；
（3）已知该校有1300名学生，根据调查结果，请你估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有　 　人？
（4）学校准备从一周累计劳动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生介绍劳动体会，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．
17．成都市某中学数学组组织学生举行“数学创意大赛”，需购买A、B两奖品．若购买A奖品4个和B奖品5个，需210元；购买A奖品5个和B奖品6个，需255元．
（1）A、B两奖品的单价各是多少元？
（2）学校计划共购买奖品300个，设购买A奖品个，购买这300个奖品的总费用为W元．
①求W关于的函数关系式；
②若购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，则该学校购进A奖品、B奖品各多少个，才能使总费用最少？
18．如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A、D的分别交于点E、F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径；
（3）在（2）的条件下，求的长．
19．综合与实践
问题情境：综合实践小组设计并定制了一批以山西景点为背景的环保帆布包，在学校网络义卖平台进行销售，并对销售过程中的数学问题进行了研究．
信息收集：小组同学将销售过程中的数据进行整理、分析，发现此款帆布包的销售额y（元）是销售单价x（元/个）的二次函数，部分相关数据如表所示：
销售单价x（元/个） 14 15 16 17 18
销售额y（元） 504 510 512 510 504
数学建模：
（1）通过分析如表中的数据，请直接写出该环保帆布包在销售过程中的最大销售额，并求出销售额y（元）与销售单价x（元/个）之间的关系式；
问题解决：
（2）已知每个环保帆布包的成本价为8元，
①若设这批环保帆布包的销售数量为q（个），求销售数量q（个）与销售单价x（元/个）之间的关系式，并直接写出当销售单价为18元/个时的销售利润；
②求该环保帆布包的销售单价为多少时，销售利润最大？
20．如图1为正方形和正方形，连接．
（1）[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由；
（2）[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由；
（3）[应用]：在（2）问的情况下，连接（点在上方），若，且，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：根据相反数的定义，互为相反数的两个数仅符号不同，其他完全一致。因此，-73 的相反数是 73，
故答案为：B。
【分析】本题考查相反数的概念，掌握 “只有符号不同的两个数互为相反数” 这一关键定义。
2．【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：首先，俯视图为圆形的几何体可能是球、圆柱或圆锥；再结合主视图和左视图均为三角形，可确定该几何体为圆锥。
故答案为：B。
【分析】先根据俯视图为圆形，初步筛选出球、圆柱、圆锥等可能的几何体；再结合主视图和左视图均为三角形，最终确定该几何体为圆锥。
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵ 800万，
又∵ 科学记数法要求，其中，
∴；
故答案为B．
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的标准形式为（其中，为整数）。首先需将800万转化为具体的整数，即800万；接着确定的值，需满足，因此；再确定的值，为原数的整数位数减1，8000000是7位整数，所以，由此可得出800万用科学记数法表示为。
4．【答案】B
【知识点】求正弦值；求余弦值；求正切值
【解析】【解答】在 中，，已知 ，。
由勾股定理：
，故选项A错误；
，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D错误；
故答案为：B。
【分析】 本题考查直角三角形中的锐角三角函数计算，解题关键是先利用勾股定理求出未知边长，再根据三角函数定义逐一验证选项。
5．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】A、根据积的乘方与幂的乘方运算法则，，此项计算正确，A符合题意；
B、与所含字母相同但相同字母的次数不同，不是同类项，不能合并，此项错误，B不符合题意；
C、根据同底数幂乘法法则，底数不变指数相加，，此项错误，C不符合题意；
D、根据乘法分配律，用系数2分别乘括号内的每一项，，此项错误，D不符合题意；
故答案为：A。
【分析】本题考查整式的基础运算，涵盖积的乘方与幂的乘方、合并同类项、同底数幂乘法及乘法分配律，熟练掌握各类运算法则，逐一验证选项。
6．【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，
∴∠2=∠3，∠1+∠4=90°，
∵直尺的两边平行，
∴∠3+∠4=180°，
∴∠2+90°-∠1=180°，
∴∠2-∠1=90°．
故选：D．
【分析】本题考查了平行线的性质，由直尺的两边平行，结合两条直线平行，同旁内角互补，列出算式，即可求解.
7．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划参与生产的人数为人，则实际参与人数为人；
根据“原计划人均生产零件数 实际人均生产零件数 = 4”这一关系，可列方程：
故答案为：A。
【分析】本题考查分式方程在工程问题中的应用，用含未知数的代数式分别表示出原计划与实际的人均生产零件数，再根据题中给出的数量关系列方程。
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，
∵ 四边形是正方形，
∴，，正方形的四条边相等，四个角均为直角。
设，在中，，直角三角形两锐角互余。
由折叠的性质可知：，
∴，，，，折叠前后对应边、对应角相等。
由此推导角度关系：；
；
；
；
∵为中点，∴，中点定义，结合，得，
∴为等腰三角形，，等腰三角形两底角相等，
∵，，根据等腰三角形“三线合一”性质：
在中，，直角三角形两锐角互余，即。
又∵，即，
∴。
在中，，三角形外角等于不相邻两内角和。
∵，∴为等腰直角三角形，有一个角为的直角三角形是等腰直角三角形，设，则：
在和中：
∴，两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，
∴，结合，得。
因此，与的数量关系为：
故。
故答案为：D.
【分析】过点作于，过点作，交延长线于；设，通过正方形与折叠的性质推导角度关系，证明且为等腰直角三角形，进而求出与的数量关系。
9．【答案】2
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将x=2代入方程可得：
5×2-m=8，解得：m=2
故答案为：2
【分析】将x=2代入方程可得关于m的一次方程，解方程即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点向右平移3个单位，再向上平移4个单位，∴所得点的横坐标为：，纵坐标为：，
∴.
故答案为：．
【分析】根据点的坐标的平移规律“右加左减、上加下减”即可求解．
11．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：第1个式子：，
第2个式子：，
第3个式子：，
第4个式子：，
……
观察发现，第个式子为，
故答案为：
【分析】根据前四个式子的变换，总结规律，即可求出答案.
12．【答案】12
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；三角形的面积；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：经过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，
，
轴，
，，
，
连接，
，
，
则，
即，
．
故答案为：12；
【分析】依托反比例函数自带的对称特征，直接推导线段 OA 与 OB 相等，再借助两组对应角相等证出三角形相似，依靠相似性质算出三角形 ABC 整体面积；连结线段 OC，运用三角形中线平分面积的规律，确定三角形 AOC 的面积大小，最后结合反比例函数基础面积结论，整理式子建立等量关系，进而完成参数求解。
13．【答案】
【知识点】作图-平行线；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，作DE∥AB交AC于E，
在△ABD中，
∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，
又∵∠ABD+∠ADB=∠ACB，
∴∠BAD+∠ACB=180°，
∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，
在△AOB和△EOD中，
，
∴△OAB≌△OED（AAS），
∴AB=DE，OA=OE，
∵OC=OA+AB=OE+CE，
∴AB=CE，
设AB=DE=CE=x，OA=OE=y，AD=m，BC=n，
∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，
∴∠EDA=∠ACB，
∵∠DEA=∠CAB，
∴△EAD∽△ABC，
∴，
∴，
∴4y2+2xy-x2=0，
∴，
∴（负根舍去），
∴．
则的值为．
故答案为：．
【分析】通过作 DE∥AB 构造辅助线，先利用角的关系证明△OAB≌△OED，得到线段等量关系，再结合已知条件推导出角相等，证明△EAD∽△ABC，接着设线段长度列比例式，最后通过换元法解方程，求出 AD 与 BC 的比值。
14．【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】由立方根的性质、有理数的乘方运算法则、绝对值的性质分别化简各式，然后根据实数的运算法则计算即可求解．
15．【答案】解：解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集是．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了；分别解出每个不等式的解集，解第一个不等式时注意去括号和移项的正确性，解第二个不等式时注意分母的处理和系数化为1时不等号方向的变化，最后根据解集确定规则找出公共部分.
16．【答案】（1）100；42
（2）72°；
（3）910
（4）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：这次抽样调查的总人数为（人），
所以；
故答案为：100；42；
（2）解：B组所在扇形圆心角的度数为；
B组人数为（人），
故答案为：72°；
（3）解：（人），
所以估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有910人；
故答案为：910；
【分析】（1）先根据 D 组人数和对应百分比算出抽样总人数，再用总人数乘 C 组百分比得到 m 的值；
（2）用 B 组百分比乘 360° 算出扇形圆心角度数，再算出 B 组人数补充条形统计图；
（3）用全校总人数乘 C、D 两组的百分比和，估计出一周劳动时间达标学生的总数；
（4）通过画树状图列出所有等可能结果，再统计出一男一女的结果数，用概率公式计算出对应概率。
（1）解：这次抽样调查的总人数为（人），
所以；
（2）解：B组所在扇形圆心角的度数为；
B组人数为（人），
条形统计图补充完整为：
（3）解：（人），
所以估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有910人；
（4）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．
17．【答案】（1）解：设A奖品的单价是元，B奖品的单价是元，
由题意得：，
解得，
答：A奖品的单价是15元，B奖品的单价是30元；
（2）解：①由题意可知，购买B奖品为个，
则，
即关于的函数关系式为；
②∵购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，
，
∵，，
∴在内，随的增大而减小，
∴当时，取得最小值，此时，
答：该学校购买A奖品90个，B奖品210个，才能使总费用最少．
【知识点】一次函数的性质；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）通过设 A、B 奖品的单价为未知数，根据两种购买方案的费用列出二元一次方程组，求解得到两种奖品的单价；
（2）①先表示出购买 B 奖品的数量，再结合（1）中求出的单价，列出总费用 W 关于 A 奖品数量 a 的一次函数关系式；
②根据 A 奖品数量的取值范围，结合一次函数的增减性，求出总费用最小时 A、B 奖品的购买数量。
（1）解：设A奖品的单价是元，B奖品的单价是元，
由题意得：，
解得，
答：A奖品的单价是15元，B奖品的单价是30元；
（2）解：①由题意可知，购买B奖品为个，
则，
即关于的函数关系式为；
②∵购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，
，
∵，，
∴在内，随的增大而减小，
∴当时，取得最小值，此时，
答：该学校购买A奖品90个，B奖品210个，才能使总费用最少．
18．【答案】（1）证明：如图，连接，
则，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点D在上，
∴是的切线
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴的半径为5；
（3）解：如图2，连接，
、
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，再根据角平分线定义可得，则，再根据直线平行性质可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据正弦定义即可求出答案.
（3）连接，根据圆周角定理可得，则，再根据直线平行性质可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，再根据正弦定义可得，代入等式即可求出答案.
19．【答案】解：(1)由表格可得，最大销售额为512元，顶点坐标为，
设销售额与销售单价之间的关系式为，
将代入得，
解，得，
销售额与销售单价之间的关系式为；
(2)①由（1）得，
由题意得，，
，
销售数量与销售单价之间的关系式为，
当时，销售利润为（元）；
②设销售此款环保帆布包的销售利润为元，
由①得，销售数量，
，
此款环保帆布包的销售利润是销售单价的二次函数，
，且，
当时，取得最大值，
当该环保帆布包的销售单价为20元/个时，销售利润最大．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先根据表格给出的顶点坐标设出二次函数顶点式，再代入已知点求出系数，得到销售额与销售单价的函数关系式；
（2）①利用销售额与单价的关系求出销售数量与单价的关系式，再代入单价计算出对应利润；
②先根据利润公式列出利润与单价的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出利润最大时的销售单价。
20．【答案】（1）解：，理由如下：
∵正方形和正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵四边形与四边形都为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，交于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）以正方形的性质为基础，先由正方形的边相等、角为 90°，推导出∠GAD 与∠BAE 相等；再结合 AG=AE、AB=AD，用 SAS 证明△GAD≌△EAB，进而得到对应边 DG=BE。
（2）以矩形的性质为基础，先由矩形的角为 90°，推导出∠GAD 与∠BAE 相等；再结合 AD=2AB、AG=2AE，得到两组边对应成比例且夹角相等，证明△GAD∽△EAB，根据相似三角形对应边成比例，推导出 DG=2BE。
（3）先根据已知边长，用勾股定理算出 GE 的长度；再利用 GE∥AB 和△AGE 的面积两种表示方法，通过面积法求出 AO 的长度；接着结合 AD 的长度算出 OD，再用勾股定理算出 OG；最后在 Rt△GOD 中，用勾股定理求出 DG 的长度。
（1）解：，理由如下：
∵正方形和正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵四边形与四边形都为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，交于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
1 / 1广东深圳市罗湖外语初中学校2025-2026学年第二学期九年级一模测试数学试卷
1．的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：根据相反数的定义，互为相反数的两个数仅符号不同，其他完全一致。因此，-73 的相反数是 73，
故答案为：B。
【分析】本题考查相反数的概念，掌握 “只有符号不同的两个数互为相反数” 这一关键定义。
2．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体为（　　）
A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．棱锥
【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：首先，俯视图为圆形的几何体可能是球、圆柱或圆锥；再结合主视图和左视图均为三角形，可确定该几何体为圆锥。
故答案为：B。
【分析】先根据俯视图为圆形，初步筛选出球、圆柱、圆锥等可能的几何体；再结合主视图和左视图均为三角形，最终确定该几何体为圆锥。
3．九三阅兵之后国际形势变化较大，全国要求台湾回归祖国的呼声越来越高．据统计截至11月以来，收到相关邮件为800万件，用科学记数法表示是（　　）
A．件 B．件 C．件 D．件
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵ 800万，
又∵ 科学记数法要求，其中，
∴；
故答案为B．
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的标准形式为（其中，为整数）。首先需将800万转化为具体的整数，即800万；接着确定的值，需满足，因此；再确定的值，为原数的整数位数减1，8000000是7位整数，所以，由此可得出800万用科学记数法表示为。
4．在中，，，，则下列三角函数表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求正弦值；求余弦值；求正切值
【解析】【解答】在 中，，已知 ，。
由勾股定理：
，故选项A错误；
，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D错误；
故答案为：B。
【分析】 本题考查直角三角形中的锐角三角函数计算，解题关键是先利用勾股定理求出未知边长，再根据三角函数定义逐一验证选项。
5．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】A、根据积的乘方与幂的乘方运算法则，，此项计算正确，A符合题意；
B、与所含字母相同但相同字母的次数不同，不是同类项，不能合并，此项错误，B不符合题意；
C、根据同底数幂乘法法则，底数不变指数相加，，此项错误，C不符合题意；
D、根据乘法分配律，用系数2分别乘括号内的每一项，，此项错误，D不符合题意；
故答案为：A。
【分析】本题考查整式的基础运算，涵盖积的乘方与幂的乘方、合并同类项、同底数幂乘法及乘法分配律，熟练掌握各类运算法则，逐一验证选项。
6．把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上(如图所示)，则下列关于与的等式中一定成立的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，
∴∠2=∠3，∠1+∠4=90°，
∵直尺的两边平行，
∴∠3+∠4=180°，
∴∠2+90°-∠1=180°，
∴∠2-∠1=90°．
故选：D．
【分析】本题考查了平行线的性质，由直尺的两边平行，结合两条直线平行，同旁内角互补，列出算式，即可求解.
7．某工厂生产零件80个，实际参与生产的人数是原计划人数的1.5倍，实际平均每人生产零件个数比原计划少了4个，若设原计划人数为y人，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划参与生产的人数为人，则实际参与人数为人；
根据“原计划人均生产零件数 实际人均生产零件数 = 4”这一关系，可列方程：
故答案为：A。
【分析】本题考查分式方程在工程问题中的应用，用含未知数的代数式分别表示出原计划与实际的人均生产零件数，再根据题中给出的数量关系列方程。
8．如图，在正方形中，为中点，连接，将沿所在的直线翻折到正方形所在的平面内得，连接、，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，
∵ 四边形是正方形，
∴，，正方形的四条边相等，四个角均为直角。
设，在中，，直角三角形两锐角互余。
由折叠的性质可知：，
∴，，，，折叠前后对应边、对应角相等。
由此推导角度关系：；
；
；
；
∵为中点，∴，中点定义，结合，得，
∴为等腰三角形，，等腰三角形两底角相等，
∵，，根据等腰三角形“三线合一”性质：
在中，，直角三角形两锐角互余，即。
又∵，即，
∴。
在中，，三角形外角等于不相邻两内角和。
∵，∴为等腰直角三角形，有一个角为的直角三角形是等腰直角三角形，设，则：
在和中：
∴，两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，
∴，结合，得。
因此，与的数量关系为：
故。
故答案为：D.
【分析】过点作于，过点作，交延长线于；设，通过正方形与折叠的性质推导角度关系，证明且为等腰直角三角形，进而求出与的数量关系。
9． 已知x=2是关于x的方程5x-m=8的解，则m的值是　 　.
【答案】2
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将x=2代入方程可得：
5×2-m=8，解得：m=2
故答案为：2
【分析】将x=2代入方程可得关于m的一次方程，解方程即可求出答案.
10．点向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点向右平移3个单位，再向上平移4个单位，∴所得点的横坐标为：，纵坐标为：，
∴.
故答案为：．
【分析】根据点的坐标的平移规律“右加左减、上加下减”即可求解．
11．观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为　 　．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：第1个式子：，
第2个式子：，
第3个式子：，
第4个式子：，
……
观察发现，第个式子为，
故答案为：
【分析】根据前四个式子的变换，总结规律，即可求出答案.
12．如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在第一象限），过点A作轴，与反比例函数图象交于点C，连接与x轴交于点D．若的面积为3，则的值为　 　．
【答案】12
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；三角形的面积；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：经过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，
，
轴，
，，
，
连接，
，
，
则，
即，
．
故答案为：12；
【分析】依托反比例函数自带的对称特征，直接推导线段 OA 与 OB 相等，再借助两组对应角相等证出三角形相似，依靠相似性质算出三角形 ABC 整体面积；连结线段 OC，运用三角形中线平分面积的规律，确定三角形 AOC 的面积大小，最后结合反比例函数基础面积结论，整理式子建立等量关系，进而完成参数求解。
13．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，∠ABD+∠ADB=∠ACB．则的值为　 　．
【答案】
【知识点】作图-平行线；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，作DE∥AB交AC于E，
在△ABD中，
∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，
又∵∠ABD+∠ADB=∠ACB，
∴∠BAD+∠ACB=180°，
∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，
在△AOB和△EOD中，
，
∴△OAB≌△OED（AAS），
∴AB=DE，OA=OE，
∵OC=OA+AB=OE+CE，
∴AB=CE，
设AB=DE=CE=x，OA=OE=y，AD=m，BC=n，
∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，
∴∠EDA=∠ACB，
∵∠DEA=∠CAB，
∴△EAD∽△ABC，
∴，
∴，
∴4y2+2xy-x2=0，
∴，
∴（负根舍去），
∴．
则的值为．
故答案为：．
【分析】通过作 DE∥AB 构造辅助线，先利用角的关系证明△OAB≌△OED，得到线段等量关系，再结合已知条件推导出角相等，证明△EAD∽△ABC，接着设线段长度列比例式，最后通过换元法解方程，求出 AD 与 BC 的比值。
14．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】由立方根的性质、有理数的乘方运算法则、绝对值的性质分别化简各式，然后根据实数的运算法则计算即可求解．
15．解不等式组：
【答案】解：解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集是．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了；分别解出每个不等式的解集，解第一个不等式时注意去括号和移项的正确性，解第二个不等式时注意分母的处理和系数化为1时不等号方向的变化，最后根据解集确定规则找出公共部分.
16．为了解学生一周劳动情况，我市某校随机调查了部分学生的一周累计劳动时间，将他们一周累计劳动时间t（单位：时）划分为A：，B：，C：；D：四个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取　 　人，条形统计图中的　 　；
（2）在扇形统计图中，B组所在扇形圆心角的度数为 ▲ °，并将条形统计图补充完整；
（3）已知该校有1300名学生，根据调查结果，请你估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有　 　人？
（4）学校准备从一周累计劳动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生介绍劳动体会，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）100；42
（2）72°；
（3）910
（4）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：这次抽样调查的总人数为（人），
所以；
故答案为：100；42；
（2）解：B组所在扇形圆心角的度数为；
B组人数为（人），
故答案为：72°；
（3）解：（人），
所以估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有910人；
故答案为：910；
【分析】（1）先根据 D 组人数和对应百分比算出抽样总人数，再用总人数乘 C 组百分比得到 m 的值；
（2）用 B 组百分比乘 360° 算出扇形圆心角度数，再算出 B 组人数补充条形统计图；
（3）用全校总人数乘 C、D 两组的百分比和，估计出一周劳动时间达标学生的总数；
（4）通过画树状图列出所有等可能结果，再统计出一男一女的结果数，用概率公式计算出对应概率。
（1）解：这次抽样调查的总人数为（人），
所以；
（2）解：B组所在扇形圆心角的度数为；
B组人数为（人），
条形统计图补充完整为：
（3）解：（人），
所以估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有910人；
（4）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．
17．成都市某中学数学组组织学生举行“数学创意大赛”，需购买A、B两奖品．若购买A奖品4个和B奖品5个，需210元；购买A奖品5个和B奖品6个，需255元．
（1）A、B两奖品的单价各是多少元？
（2）学校计划共购买奖品300个，设购买A奖品个，购买这300个奖品的总费用为W元．
①求W关于的函数关系式；
②若购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，则该学校购进A奖品、B奖品各多少个，才能使总费用最少？
【答案】（1）解：设A奖品的单价是元，B奖品的单价是元，
由题意得：，
解得，
答：A奖品的单价是15元，B奖品的单价是30元；
（2）解：①由题意可知，购买B奖品为个，
则，
即关于的函数关系式为；
②∵购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，
，
∵，，
∴在内，随的增大而减小，
∴当时，取得最小值，此时，
答：该学校购买A奖品90个，B奖品210个，才能使总费用最少．
【知识点】一次函数的性质；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）通过设 A、B 奖品的单价为未知数，根据两种购买方案的费用列出二元一次方程组，求解得到两种奖品的单价；
（2）①先表示出购买 B 奖品的数量，再结合（1）中求出的单价，列出总费用 W 关于 A 奖品数量 a 的一次函数关系式；
②根据 A 奖品数量的取值范围，结合一次函数的增减性，求出总费用最小时 A、B 奖品的购买数量。
（1）解：设A奖品的单价是元，B奖品的单价是元，
由题意得：，
解得，
答：A奖品的单价是15元，B奖品的单价是30元；
（2）解：①由题意可知，购买B奖品为个，
则，
即关于的函数关系式为；
②∵购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，
，
∵，，
∴在内，随的增大而减小，
∴当时，取得最小值，此时，
答：该学校购买A奖品90个，B奖品210个，才能使总费用最少．
18．如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A、D的分别交于点E、F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径；
（3）在（2）的条件下，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
则，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点D在上，
∴是的切线
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴的半径为5；
（3）解：如图2，连接，
、
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，再根据角平分线定义可得，则，再根据直线平行性质可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据正弦定义即可求出答案.
（3）连接，根据圆周角定理可得，则，再根据直线平行性质可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，再根据正弦定义可得，代入等式即可求出答案.
19．综合与实践
问题情境：综合实践小组设计并定制了一批以山西景点为背景的环保帆布包，在学校网络义卖平台进行销售，并对销售过程中的数学问题进行了研究．
信息收集：小组同学将销售过程中的数据进行整理、分析，发现此款帆布包的销售额y（元）是销售单价x（元/个）的二次函数，部分相关数据如表所示：
销售单价x（元/个） 14 15 16 17 18
销售额y（元） 504 510 512 510 504
数学建模：
（1）通过分析如表中的数据，请直接写出该环保帆布包在销售过程中的最大销售额，并求出销售额y（元）与销售单价x（元/个）之间的关系式；
问题解决：
（2）已知每个环保帆布包的成本价为8元，
①若设这批环保帆布包的销售数量为q（个），求销售数量q（个）与销售单价x（元/个）之间的关系式，并直接写出当销售单价为18元/个时的销售利润；
②求该环保帆布包的销售单价为多少时，销售利润最大？
【答案】解：(1)由表格可得，最大销售额为512元，顶点坐标为，
设销售额与销售单价之间的关系式为，
将代入得，
解，得，
销售额与销售单价之间的关系式为；
(2)①由（1）得，
由题意得，，
，
销售数量与销售单价之间的关系式为，
当时，销售利润为（元）；
②设销售此款环保帆布包的销售利润为元，
由①得，销售数量，
，
此款环保帆布包的销售利润是销售单价的二次函数，
，且，
当时，取得最大值，
当该环保帆布包的销售单价为20元/个时，销售利润最大．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先根据表格给出的顶点坐标设出二次函数顶点式，再代入已知点求出系数，得到销售额与销售单价的函数关系式；
（2）①利用销售额与单价的关系求出销售数量与单价的关系式，再代入单价计算出对应利润；
②先根据利润公式列出利润与单价的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出利润最大时的销售单价。
20．如图1为正方形和正方形，连接．
（1）[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由；
（2）[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由；
（3）[应用]：在（2）问的情况下，连接（点在上方），若，且，，求的长．
【答案】（1）解：，理由如下：
∵正方形和正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵四边形与四边形都为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，交于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）以正方形的性质为基础，先由正方形的边相等、角为 90°，推导出∠GAD 与∠BAE 相等；再结合 AG=AE、AB=AD，用 SAS 证明△GAD≌△EAB，进而得到对应边 DG=BE。
（2）以矩形的性质为基础，先由矩形的角为 90°，推导出∠GAD 与∠BAE 相等；再结合 AD=2AB、AG=2AE，得到两组边对应成比例且夹角相等，证明△GAD∽△EAB，根据相似三角形对应边成比例，推导出 DG=2BE。
（3）先根据已知边长，用勾股定理算出 GE 的长度；再利用 GE∥AB 和△AGE 的面积两种表示方法，通过面积法求出 AO 的长度；接着结合 AD 的长度算出 OD，再用勾股定理算出 OG；最后在 Rt△GOD 中，用勾股定理求出 DG 的长度。
（1）解：，理由如下：
∵正方形和正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵四边形与四边形都为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，交于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
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