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广东省深圳市罗湖区香港中文大学(深圳)附属礼文学校2025年中考数学模拟数学
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．简简单单的七巧板能拼出千变万化的图形．殊不知七巧板作为中国传统玩具在国外也甚为流传，被称为“唐图”．下面四幅七巧板拼图的形状是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
3．下列各式计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．豫剧与京剧、越剧同为中国戏曲三鼎甲，已有上百年历史，可分为“祥符调、西府调、豫东调、沙河调、高调”五个流派．如果王林要选择其中一个流派进行调研，那么选“沙河调”的概率为（　　）
A． B． C．1 D．
5．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．下列选项中的尺规作图，能推出PA=PC的是（　　）
A． B．
C． D．
7．文化情境·数学文化《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．我校小伟同学酷爱健身，一天去爬山锻炼，在出发点C处测得山顶部A的仰角为30度，在爬山过程中，每一段平路（CD、EF、GH）与水平线平行，每一段上坡路（DE、FG、HA）与水平线的夹角都是45度，在山的另一边有一点B（B、C、D同一水平线上），斜坡AB的坡度为2：1，且AB长为900，其中小伟走平路的速度为65.7米/分，走上坡路的速度为42.3米/分．则小伟从C出发到坡顶A的时间为（　　）（图中所有点在同一平面内≈1.41，≈1.73）
A．60分钟 B．70分钟 C．80分钟 D．90分钟
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．因式分解： =　 　．
10．若关于x的方程的一个根是，则m的值为　 　.
11．如图，中，，，以为直径的交于点，为的中点，则图中阴影部分的面积为　 　．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例与相交于点D，与相交于点E，若，且的面积是9，则k的值为　 　．
13．在菱形中，，将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点，若，则的值为　 　．
三、解答题（本题共7小题，其中第14题6分，第15题6分，第16题8分，第17题8分，第18题10分，第19题11分，第20题12分，共61分）
14．计算：．
15．老师所留的作业中有这样一个分式计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下．
甲同学： 第一步 第二步 ．第三步 乙同学： 第一步 第二步 ．第三步
老师发现这两位同学的解答都有错误．
（1）请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析从第几步开始出错，并写出错误的原因；
（2）请重新写出此题完整的正确解答过程．
16．百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：
A：，B：，C：，D：），
下面给出了部分信息：
甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
乙款评分数据中C组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．
甲、乙款评分统计表：
设备 平均数 中位数 众数
甲 86 85.5 b
乙 86 a 87
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中______，______，______．
（2）在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
（3）DeepSeek（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率．
17．如图，以等腰三角形的一腰为直径作，分别交另一腰和底于点M，N，连接并延长交的切线于点P，连接．
（1）求证：．
（2）延长交于点D，求证：．
18．近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比：
燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元
（1）用含的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用　 　元；
（2）若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元：
①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）
19．【项目主题】合理设计，实用便民
【项目背景】为了提升交通安全，南山某城市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯．现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动：
素材1 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似的看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，以左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合．最高点离地面，照明灯安装轴右侧的点，距轴．
素材2 为测量素材1的点到地面的距离的长度，小组参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．（共线，共线）
素材3 为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2所示，灯架，，均平行于轴，共线，且所在直线平行于轴，，的坐标为．为加强稳固性，还需在每个灯架上端加装两个长度为的支架．记灯架和支架总长．
根据提供素材，完成下列问题：
（1）数学小组计算出的长度，具体如下：
解：设，步， ， ， ______①， 又， ， ， ， ______②， ______③．
请补全上述求解过程中①②③所缺的内容：
（2）根据已知条件，求出抛物线的解析式（不需要写出x的取值范围）．
（3）求出素材3中l的值，并判断长的材料能否完成灯架和支架的安装．
20．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”．如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“比中项妙点”．
（1）①在中，，于点D，则点D______（填“是”或“不是”）中边上的“比中项妙点”；
②如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“比中项妙点”点M（的中点除外）．
（2）如图3，平行四边形中，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项妙点”．
①求证：点F也是中边上的“比中项妙点”；
②连接并延长交于点G，若点F是中边上的“比中项妙点”，且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A，C中的图形是轴对称图形，选项B中的图形是中心对称图形，选项D中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形．
故选：B．
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
2．【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：根据数轴上右边的数总大于左边的数，可知，，
故答案为：C．
【分析】根据数轴上右边的数总大于左边的数这一概念，即可判断a与b的大小关系．
3．【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，正确，符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，不符合题意；
C、，原写法错误，不符合题意；
D、，原写法错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据单项式乘以多项式，合并同类项法则，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：因为王林总共有5种选择，每一种选择的可能性都相等，
所以他选“沙河调”的概率为，
故选：B．
【分析】根据概率公式即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：根据已知条件，形成线段与角度如图所示：
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
故答案为∶D．
【分析】根据光在水中是平行的光线，运用平行线的性质即可得出结论．
6．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A．由此作图可知CA=CP，不符合题意；
B．由此作图可知BA=BP，不符合题意；
C．由此作图可知∠ABP=∠CBP，不符合题意；
D．由此作图可知PA=PC，符合题意.
故选D．
【分析】根据角平分线和线段中垂线的尺规作图及其性质即可得出答案．
7．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两，
由题意可得，，
故选：B.
【分析】设雀每只x两，燕每只y两，根据“五只雀、六只燕，共重16两”、“雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”，分别列出方程，得出方程组．
8．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作AP⊥BC于P，延长AH交BC于Q，延长EF交AQ于T．
由题意：＝2，AQ＝AH+FG+DE，CQ＝CD+EF+GH，∠AQP＝45°，
∵∠APB＝90°，AB＝900，
∴PB＝900，PA＝1800，
∵∠PQA＝∠PAQ＝45°，
∴PA＝PQ＝1800，AQ＝PA＝1800，
∵∠C＝30°，
∴PC＝PA＝1800，
∴CQ＝1800﹣1800，
∴小伟从C出发到坡顶A的时间＝ ≈80（分钟），
故选：C．
【分析】作AP⊥BC于P，延长AH交BC于Q，延长EF交AQ于T，由题意可得，＝2，AQ＝AH+FG+DE，CQ＝CD+EF+GH，∠AQP＝45°，根据等腰直角三角形性质可得PB＝900，PA＝1800，PA＝PQ＝1800，AQ＝PA＝1800，含30°角的直角三角形性质可得PC，根据边之间的关系可得CQ，即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可：
．
故答案为：
.
【分析】因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，先用提取公因式a后，再运用平方差公式对商式进行第二次分解即可.
10．【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把代入方程得，
解得.
故答案为：.
【分析】将x=1代入方程，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
11．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
是直径，
，即，
为的中线，
是等腰三角形，
，
，
，
半径为，
，
故答案为：．
【分析】连接，如图所示，首先根据圆周角定理的推论，得出，再根据AD是BC边上的中线，即可得出是等腰三角形，进而得出，再根据圆周角定理，即可得出，进而根据扇形面积计算公式，即可得出答案。
12．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
设点B坐标为，则，，
∵，
∴，
∵点D、E在反比例函数图象上，点D纵坐标为，
∴，
∴，，
∴，
∵
，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据矩形性质可得，，设点B坐标为，则，，根据点的坐标可得，将点D，E坐标代入解析式可得，，则，再根据，结合三角形面积可得，再根据反比例k的几何意义即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：分别过点，作的延长线，的延长线，且过F作分别交于点，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵
∴，
设，
∴在中，，
即，
∴，
∵，的延长线，的延长线，
∴，
∵，
∴
∴在中，，，
即，，
∴，，
在中，，
则，
∵将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点，
∴，，，，
∴，
即，
∴，
解得，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（两个相似三角形的高的比等于相似比），
故答案为：．
【分析】分别过点，作的延长线，的延长线，且过F作分别交于点，根据菱形性质可得，，，根据直线平行性质可得，设，根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，根据边之间的关系可得，再根据正弦定义可得，，根据勾股定理可得BE，根据折叠性质可得，，，，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，，，再根据边之间的关系可得ZF，再根据相似三角形判定定理可得，再根据其性质即可求出答案.
14．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据0指数幂，特殊角的三角函数值，算式平方根性质，绝对值性质，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】（1）解：选择甲同学的解答过程进行分析：
该同学的解答从第一步开始出现错误，错误的原因是在通分时，第一个分式没有按分式的基本性质运算；
或选择乙同学的解答过程进行分析：
该同学的解答从第二步开始出现错误，错误的原因是在计算过程把分式的分母丢了．
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则进行判断即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合平方差公式化简即可求出答案.
（1）解：选择甲同学的解答过程进行分析：
该同学的解答从第一步开始出现错误，错误的原因是在通分时，第一个分式没有按分式的基本性质运算；
或选择乙同学的解答过程进行分析：
该同学的解答从第二步开始出现错误，错误的原因是在计算过程把分式的分母丢了．
（2）解：
．
16．【答案】（1），，
（2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比，
对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
（3）解：解：列表如下：
小红 小明 甲 乙 丙
甲 甲、甲 甲、乙 甲、丙
乙 乙、甲 乙、乙 乙、丙
丙 丙、甲 丙、乙 丙、丙
两人都选择同款聊天机器人的概率．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据乙款扇形统计图可得，A组B组共有人，第十个和第十一个评分分别为86、87，所以中位数．
根据众数的定义可得，，
．
【分析】（1）根据中位数，众数的定义可得a，b值，再根据D组的人数除以占比可得m值.
（2）根据总人数乘以甲、乙两款聊天机器人非常满意的占比即可求出答案.
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出两人都选择同款聊天机器人的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：根据乙款扇形统计图可得，A组B组共有人，第十个和第十一个评分分别为86、87，所以中位数．
根据众数的定义可得，，
．
（2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比，
对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
（3）解：列表如下：
小红 小明 甲 乙 丙
甲 甲、甲 甲、乙 甲、丙
乙 乙、甲 乙、乙 乙、丙
丙 丙、甲 丙、乙 丙、丙
两人都选择同款聊天机器人的概率．
17．【答案】（1）证明：连接．
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
是的中位线，
∴，
即；
（2）证明：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线，
∵，，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；切线的判定与性质；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理的推论可得，根据垂直平分线性质可得，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
（2）连接，根据等边对等角可得，再根据直线平行判定定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，，，再根据切线性质可得，再根据切线判定定理可得是的切线，根据全等三角形判定定理可得，则，根据圆周角定理的推论可得，根据角之间的关系可得∠DMO=∠PCN，再根据等边对等角可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：连接．
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
是的中位线，
∴，
即；
（2）证明：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线，
∵，，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
18．【答案】（1）
（2）解：①由题意得：
经检验：是该分式方程的根；
燃油车每千米行驶费用为：（元）；
纯电动车的每千米行驶费用为：（元）
答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电动车的每千米行驶费用为元．
②当行驶里程为时，
燃油车年费用为：（元）
纯电动车年费用为：（元）
选纯电动车年费用更低．
答：它们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买纯电动车年费用更低．
【知识点】分式方程的实际应用；有理数混合运算的实际应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】（1）纯电动汽车的每千米行驶费用为：（元）
故答案为：
【分析】（1）根据题意建立代数式即可求出答案.
（2）①根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
②根据题意求出两款车的费用，再比较大小即可求出答案.
（1）纯电动汽车的每千米行驶费用为：（元）
（2）①由题意得：
经检验：是该分式方程的根；
燃油车每千米行驶费用为：（元）；
纯电动车的每千米行驶费用为：（元）
答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电动车的每千米行驶费用为元．
②当行驶里程为时，
燃油车年费用为：（元）
纯电动车年费用为：（元）
选纯电动车年费用更低．
答：它们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买纯电动车年费用更低．
19．【答案】（1）①，②，③；
（2）解：抛物线：的最高点离地面，
，
把代入得，
解得：，
抛物线的解析式为；

（3）解：的坐标为，，
的横坐标依次为，
的横坐标依次为，
设的坐标依次为
把代入得，
解得：，
，
同理可得，，；
，；
，
，
，
长的材料能完成灯架和支架的安装．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
（1）
解：设，步，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：①，②，③；
【分析】
（1）根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△CMG∽△HMI，△CNG∽△JNK，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解；
（2）根据抛物线的顶点式并结合题意可得，将代入解析式求出，即可求解；
（3）根据题意得到的横坐标依次为，得到的横坐标依次为，设的坐标依次为
求出的值，得到的值，求出，即可求解.
（1）解：设，步，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：①，②，③；
（2）解：抛物线：的最高点离地面，
，
把代入得，
解得：，
抛物线的解析式为；
（3）解：的坐标为，，
的横坐标依次为，
的横坐标依次为，
设的坐标依次为
把代入得，
解得：，
，
同理可得，，；
，；
，
，
，
长的材料能完成灯架和支架的安装．
20．【答案】（1）解：①∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点D是中边上的“比中项妙点”，
故答案为：是；
②如图2，点M即为所求，
理由：
由网格图可得：，，，
在△ACB和△DEC中
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴由①知：点M是中边上的“比中项妙点”；
（2）①证明：∵点F恰好是中边上的“比中项妙点”
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F也是中边上的“比中项妙点”；
②解：如图3，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
∵点是中边上的“比中项妙点”，
∴，即，
又∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，即，
，
∴，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）①证明，根据相似三角形的性质可得出，然后根据“比中项妙点”的定义判断即可；
②取格点D，连接交于M即可；
（2）①根据“比中项妙点”的定义可得出，证明，可得出，则，，然后据“比中项妙点”的定义即可得证；
②由题意易得，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△CGF∽△ABF，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，根据“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”可得△EFB∽△GFD，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式可求解.
（1）解：①∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点D是中边上的“比中项妙点”，
故答案为：是；
②如图2，点M即为所求，
理由：
由网格知：，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴由①知：点M是中边上的“比中项妙点”；
（2）①证明：∵点F恰好是中边上的“比中项妙点”
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F也是中边上的“比中项妙点”；
②解：如图3，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
∵点是中边上的“比中项妙点”，
∴，即，
又∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，即，
，
∴，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
1 / 1广东省深圳市罗湖区香港中文大学(深圳)附属礼文学校2025年中考数学模拟数学
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．简简单单的七巧板能拼出千变万化的图形．殊不知七巧板作为中国传统玩具在国外也甚为流传，被称为“唐图”．下面四幅七巧板拼图的形状是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A，C中的图形是轴对称图形，选项B中的图形是中心对称图形，选项D中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形．
故选：B．
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
2．实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：根据数轴上右边的数总大于左边的数，可知，，
故答案为：C．
【分析】根据数轴上右边的数总大于左边的数这一概念，即可判断a与b的大小关系．
3．下列各式计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，正确，符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，不符合题意；
C、，原写法错误，不符合题意；
D、，原写法错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据单项式乘以多项式，合并同类项法则，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式逐项进行判断即可求出答案.
4．豫剧与京剧、越剧同为中国戏曲三鼎甲，已有上百年历史，可分为“祥符调、西府调、豫东调、沙河调、高调”五个流派．如果王林要选择其中一个流派进行调研，那么选“沙河调”的概率为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：因为王林总共有5种选择，每一种选择的可能性都相等，
所以他选“沙河调”的概率为，
故选：B．
【分析】根据概率公式即可求出答案.
5．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：根据已知条件，形成线段与角度如图所示：
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
故答案为∶D．
【分析】根据光在水中是平行的光线，运用平行线的性质即可得出结论．
6．下列选项中的尺规作图，能推出PA=PC的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A．由此作图可知CA=CP，不符合题意；
B．由此作图可知BA=BP，不符合题意；
C．由此作图可知∠ABP=∠CBP，不符合题意；
D．由此作图可知PA=PC，符合题意.
故选D．
【分析】根据角平分线和线段中垂线的尺规作图及其性质即可得出答案．
7．文化情境·数学文化《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两，
由题意可得，，
故选：B.
【分析】设雀每只x两，燕每只y两，根据“五只雀、六只燕，共重16两”、“雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”，分别列出方程，得出方程组．
8．我校小伟同学酷爱健身，一天去爬山锻炼，在出发点C处测得山顶部A的仰角为30度，在爬山过程中，每一段平路（CD、EF、GH）与水平线平行，每一段上坡路（DE、FG、HA）与水平线的夹角都是45度，在山的另一边有一点B（B、C、D同一水平线上），斜坡AB的坡度为2：1，且AB长为900，其中小伟走平路的速度为65.7米/分，走上坡路的速度为42.3米/分．则小伟从C出发到坡顶A的时间为（　　）（图中所有点在同一平面内≈1.41，≈1.73）
A．60分钟 B．70分钟 C．80分钟 D．90分钟
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作AP⊥BC于P，延长AH交BC于Q，延长EF交AQ于T．
由题意：＝2，AQ＝AH+FG+DE，CQ＝CD+EF+GH，∠AQP＝45°，
∵∠APB＝90°，AB＝900，
∴PB＝900，PA＝1800，
∵∠PQA＝∠PAQ＝45°，
∴PA＝PQ＝1800，AQ＝PA＝1800，
∵∠C＝30°，
∴PC＝PA＝1800，
∴CQ＝1800﹣1800，
∴小伟从C出发到坡顶A的时间＝ ≈80（分钟），
故选：C．
【分析】作AP⊥BC于P，延长AH交BC于Q，延长EF交AQ于T，由题意可得，＝2，AQ＝AH+FG+DE，CQ＝CD+EF+GH，∠AQP＝45°，根据等腰直角三角形性质可得PB＝900，PA＝1800，PA＝PQ＝1800，AQ＝PA＝1800，含30°角的直角三角形性质可得PC，根据边之间的关系可得CQ，即可求出答案.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．因式分解： =　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可：
．
故答案为：
.
【分析】因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，先用提取公因式a后，再运用平方差公式对商式进行第二次分解即可.
10．若关于x的方程的一个根是，则m的值为　 　.
【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把代入方程得，
解得.
故答案为：.
【分析】将x=1代入方程，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
11．如图，中，，，以为直径的交于点，为的中点，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
是直径，
，即，
为的中线，
是等腰三角形，
，
，
，
半径为，
，
故答案为：．
【分析】连接，如图所示，首先根据圆周角定理的推论，得出，再根据AD是BC边上的中线，即可得出是等腰三角形，进而得出，再根据圆周角定理，即可得出，进而根据扇形面积计算公式，即可得出答案。
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例与相交于点D，与相交于点E，若，且的面积是9，则k的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
设点B坐标为，则，，
∵，
∴，
∵点D、E在反比例函数图象上，点D纵坐标为，
∴，
∴，，
∴，
∵
，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据矩形性质可得，，设点B坐标为，则，，根据点的坐标可得，将点D，E坐标代入解析式可得，，则，再根据，结合三角形面积可得，再根据反比例k的几何意义即可求出答案.
13．在菱形中，，将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点，若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：分别过点，作的延长线，的延长线，且过F作分别交于点，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵
∴，
设，
∴在中，，
即，
∴，
∵，的延长线，的延长线，
∴，
∵，
∴
∴在中，，，
即，，
∴，，
在中，，
则，
∵将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点，
∴，，，，
∴，
即，
∴，
解得，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（两个相似三角形的高的比等于相似比），
故答案为：．
【分析】分别过点，作的延长线，的延长线，且过F作分别交于点，根据菱形性质可得，，，根据直线平行性质可得，设，根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，根据边之间的关系可得，再根据正弦定义可得，，根据勾股定理可得BE，根据折叠性质可得，，，，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，，，再根据边之间的关系可得ZF，再根据相似三角形判定定理可得，再根据其性质即可求出答案.
三、解答题（本题共7小题，其中第14题6分，第15题6分，第16题8分，第17题8分，第18题10分，第19题11分，第20题12分，共61分）
14．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据0指数幂，特殊角的三角函数值，算式平方根性质，绝对值性质，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．老师所留的作业中有这样一个分式计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下．
甲同学： 第一步 第二步 ．第三步 乙同学： 第一步 第二步 ．第三步
老师发现这两位同学的解答都有错误．
（1）请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析从第几步开始出错，并写出错误的原因；
（2）请重新写出此题完整的正确解答过程．
【答案】（1）解：选择甲同学的解答过程进行分析：
该同学的解答从第一步开始出现错误，错误的原因是在通分时，第一个分式没有按分式的基本性质运算；
或选择乙同学的解答过程进行分析：
该同学的解答从第二步开始出现错误，错误的原因是在计算过程把分式的分母丢了．
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则进行判断即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合平方差公式化简即可求出答案.
（1）解：选择甲同学的解答过程进行分析：
该同学的解答从第一步开始出现错误，错误的原因是在通分时，第一个分式没有按分式的基本性质运算；
或选择乙同学的解答过程进行分析：
该同学的解答从第二步开始出现错误，错误的原因是在计算过程把分式的分母丢了．
（2）解：
．
16．百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：
A：，B：，C：，D：），
下面给出了部分信息：
甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
乙款评分数据中C组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．
甲、乙款评分统计表：
设备 平均数 中位数 众数
甲 86 85.5 b
乙 86 a 87
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中______，______，______．
（2）在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
（3）DeepSeek（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率．
【答案】（1），，
（2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比，
对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
（3）解：解：列表如下：
小红 小明 甲 乙 丙
甲 甲、甲 甲、乙 甲、丙
乙 乙、甲 乙、乙 乙、丙
丙 丙、甲 丙、乙 丙、丙
两人都选择同款聊天机器人的概率．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据乙款扇形统计图可得，A组B组共有人，第十个和第十一个评分分别为86、87，所以中位数．
根据众数的定义可得，，
．
【分析】（1）根据中位数，众数的定义可得a，b值，再根据D组的人数除以占比可得m值.
（2）根据总人数乘以甲、乙两款聊天机器人非常满意的占比即可求出答案.
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出两人都选择同款聊天机器人的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：根据乙款扇形统计图可得，A组B组共有人，第十个和第十一个评分分别为86、87，所以中位数．
根据众数的定义可得，，
．
（2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比，
对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
（3）解：列表如下：
小红 小明 甲 乙 丙
甲 甲、甲 甲、乙 甲、丙
乙 乙、甲 乙、乙 乙、丙
丙 丙、甲 丙、乙 丙、丙
两人都选择同款聊天机器人的概率．
17．如图，以等腰三角形的一腰为直径作，分别交另一腰和底于点M，N，连接并延长交的切线于点P，连接．
（1）求证：．
（2）延长交于点D，求证：．
【答案】（1）证明：连接．
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
是的中位线，
∴，
即；
（2）证明：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线，
∵，，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；切线的判定与性质；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理的推论可得，根据垂直平分线性质可得，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
（2）连接，根据等边对等角可得，再根据直线平行判定定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，，，再根据切线性质可得，再根据切线判定定理可得是的切线，根据全等三角形判定定理可得，则，根据圆周角定理的推论可得，根据角之间的关系可得∠DMO=∠PCN，再根据等边对等角可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：连接．
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
是的中位线，
∴，
即；
（2）证明：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线，
∵，，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
18．近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比：
燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元
（1）用含的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用　 　元；
（2）若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元：
①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）
【答案】（1）
（2）解：①由题意得：
经检验：是该分式方程的根；
燃油车每千米行驶费用为：（元）；
纯电动车的每千米行驶费用为：（元）
答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电动车的每千米行驶费用为元．
②当行驶里程为时，
燃油车年费用为：（元）
纯电动车年费用为：（元）
选纯电动车年费用更低．
答：它们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买纯电动车年费用更低．
【知识点】分式方程的实际应用；有理数混合运算的实际应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】（1）纯电动汽车的每千米行驶费用为：（元）
故答案为：
【分析】（1）根据题意建立代数式即可求出答案.
（2）①根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
②根据题意求出两款车的费用，再比较大小即可求出答案.
（1）纯电动汽车的每千米行驶费用为：（元）
（2）①由题意得：
经检验：是该分式方程的根；
燃油车每千米行驶费用为：（元）；
纯电动车的每千米行驶费用为：（元）
答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电动车的每千米行驶费用为元．
②当行驶里程为时，
燃油车年费用为：（元）
纯电动车年费用为：（元）
选纯电动车年费用更低．
答：它们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买纯电动车年费用更低．
19．【项目主题】合理设计，实用便民
【项目背景】为了提升交通安全，南山某城市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯．现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动：
素材1 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似的看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，以左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合．最高点离地面，照明灯安装轴右侧的点，距轴．
素材2 为测量素材1的点到地面的距离的长度，小组参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．（共线，共线）
素材3 为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2所示，灯架，，均平行于轴，共线，且所在直线平行于轴，，的坐标为．为加强稳固性，还需在每个灯架上端加装两个长度为的支架．记灯架和支架总长．
根据提供素材，完成下列问题：
（1）数学小组计算出的长度，具体如下：
解：设，步， ， ， ______①， 又， ， ， ， ______②， ______③．
请补全上述求解过程中①②③所缺的内容：
（2）根据已知条件，求出抛物线的解析式（不需要写出x的取值范围）．
（3）求出素材3中l的值，并判断长的材料能否完成灯架和支架的安装．
【答案】（1）①，②，③；
（2）解：抛物线：的最高点离地面，
，
把代入得，
解得：，
抛物线的解析式为；

（3）解：的坐标为，，
的横坐标依次为，
的横坐标依次为，
设的坐标依次为
把代入得，
解得：，
，
同理可得，，；
，；
，
，
，
长的材料能完成灯架和支架的安装．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
（1）
解：设，步，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：①，②，③；
【分析】
（1）根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△CMG∽△HMI，△CNG∽△JNK，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解；
（2）根据抛物线的顶点式并结合题意可得，将代入解析式求出，即可求解；
（3）根据题意得到的横坐标依次为，得到的横坐标依次为，设的坐标依次为
求出的值，得到的值，求出，即可求解.
（1）解：设，步，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：①，②，③；
（2）解：抛物线：的最高点离地面，
，
把代入得，
解得：，
抛物线的解析式为；
（3）解：的坐标为，，
的横坐标依次为，
的横坐标依次为，
设的坐标依次为
把代入得，
解得：，
，
同理可得，，；
，；
，
，
，
长的材料能完成灯架和支架的安装．
20．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”．如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“比中项妙点”．
（1）①在中，，于点D，则点D______（填“是”或“不是”）中边上的“比中项妙点”；
②如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“比中项妙点”点M（的中点除外）．
（2）如图3，平行四边形中，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项妙点”．
①求证：点F也是中边上的“比中项妙点”；
②连接并延长交于点G，若点F是中边上的“比中项妙点”，且，求的值．
【答案】（1）解：①∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点D是中边上的“比中项妙点”，
故答案为：是；
②如图2，点M即为所求，
理由：
由网格图可得：，，，
在△ACB和△DEC中
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴由①知：点M是中边上的“比中项妙点”；
（2）①证明：∵点F恰好是中边上的“比中项妙点”
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F也是中边上的“比中项妙点”；
②解：如图3，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
∵点是中边上的“比中项妙点”，
∴，即，
又∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，即，
，
∴，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）①证明，根据相似三角形的性质可得出，然后根据“比中项妙点”的定义判断即可；
②取格点D，连接交于M即可；
（2）①根据“比中项妙点”的定义可得出，证明，可得出，则，，然后据“比中项妙点”的定义即可得证；
②由题意易得，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△CGF∽△ABF，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，根据“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”可得△EFB∽△GFD，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式可求解.
（1）解：①∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点D是中边上的“比中项妙点”，
故答案为：是；
②如图2，点M即为所求，
理由：
由网格知：，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴由①知：点M是中边上的“比中项妙点”；
（2）①证明：∵点F恰好是中边上的“比中项妙点”
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F也是中边上的“比中项妙点”；
②解：如图3，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
∵点是中边上的“比中项妙点”，
∴，即，
又∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，即，
，
∴，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
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