资源简介

广东省深圳市翠园实验学校2025年中考数学模拟试题
一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．《哪吒之魔童闹海》在2025年春节期间在各大影院上映，广受大家喜爱，成为中国史上票房最高的国产电影，哪吒的莲花宝座可以抽象视为一个“正六边形”，下列选项中俯视图为正六边形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．不等式组的解集是（　　）
A． B． C． D．
3．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（　　）
A． B． C． D．
4．“七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．图①是由该图形组成的正方形，图②是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．已知一次函数的图象与直线平行，且与函数的图象交y轴于同一点，则这个一次函数的解析式是（　　）
A． B． C． D．
6．如果是一个不等于的负整数，那么，，，这几个数从小到大的排列顺序是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，的半径为2，圆心O在坐标原点，正方形的边长为2，点A、B在第二象限，点C、D在上，且点D的坐标为，现将正方形绕点C 按逆时针方向旋转，点B动到了上点处，点A、D分别运动到了点、处，即得到正方形（点与C重合）；再将正方形绕点按逆时针方向旋转，点运动到了上点处，点、分别运动到了点、处，即得到正方形（点与重合），…，按上述方法旋转2024次后，点的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，直线y=2x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例交于C、D两点，直线OD交反比例于点E，连接CE交y轴于点F，若CF：EF=1：4，则△DCE的面积为（　　）
A．8 B．5 C．7.5 D．6
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．分解因式：　 　.
10．如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点，镜子，树底三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为米，米，米，则树高为　 　米．
11．已知抛物线与x轴交于两点，其中一点的坐标为，则方程的根是　 　．
12．如图，若被击打的小球飞行高度（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为　 　s．
13．如图，均为等边三角形，点O、A、B、C在同一条直线上，，则的值为　 　．
三、解答题（共7小题，满分61分）
14．如图，线段，相交于点，，．求证：．
15．每年的6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：A（优秀）；B（良好）；C（中）；D（合格），并将统计结果绘制成如图两幅统计图
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的学生共有_______名；补全条形统计图；
（2）求本次竞赛获得B等级对应的扇形圆心角度数；
（3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛中达到良好和优秀的学生有多少名？
16．如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交于点F，G，连接．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）当时，求的长．
17．如图，某苗圃师傅用木制栅拦设计了一个矩形育苗试验田，一面紧靠围墙，围墙的长度为21米，提供的木制栅栏的总长度为40米，在安装过程中栅栏不重叠使用，且无损耗和浪费．设该矩形育苗试验田的一边长为（单位：），另一边长为（单位：），面积为（单位：）．
（1）直接写出与之间的函数关系式（写出的取值范围）．
（2）该矩形育苗试验田的面积能达到吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由．
（3）当的值是多少时，该矩形育苗试验田的面积最大？最大面积是多少？
18．如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．
（1）求证：是的切线；
（2）求的长．
19．【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）．
【建立模型】
如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．
【问题解决】
（1）若水池2的面积随长度的增加而减小，则长度的取值范围是______（可省略单位），水池2面积的最大值是_______；
（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_______，此时的值是_______；
（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是_______；
（4）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值；
20．已知：在外分别以，为边作与．
（1）如图1，与分别是以，为斜边的等腰直角三角形，连接，以为直角边构造，且，连接，，．
求证：
①；
②四边形是平行四边形．
（2）如图2，在外分别以，为斜边作与，并使，取BC的中点D，连接DE，EF请求出的值及的度数．
（3）如图3，在外分别以，为底边作等腰三角形和等腰三角形，并使与之和为，取的中点D，连接，，当，，，请用含a，b的代数式直接写出的值，用含α的代数式直接表示的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： A．该几何体的俯视图是一个圆，故此选项不符合题意；
B．该几何体的俯视图是一个正方形，故此选项不符合题意；
C．该几何体的俯视图是一个矩形，故此选项不符合题意；
D．该几何体的俯视图是一个正六边形，故此选项符合题意．
故答案为：D。
【分析】根据俯视图的定义：俯视图是指从物体上面向下面正投影得到的投影图，据此即可求解。
2．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，解得：；
，解得：；
∴不等式组的解集为：；
故答案为：C．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可。
3．【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，
∴，
∴点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧，
∴．
故答案为：B．
【分析】先根据勾股定理求出BD，则，故点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧，在根据数轴上两点间的距离即可求解。
4．【答案】C
【知识点】七巧板与拼图制作；几何概率
【解析】【解答】解：由七巧板的特征可知，阴影部分的面积是七巧板面积的，
故飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是．
故答案为：C．
【分析】首先求出阴影部分的面积是七巧板面积的，进而根据概率计算公式，即可得出答案。
5．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：设一次函数为
一次函数的图象与直线平行，
所以一次函数为
由可得函数与轴的交点为：
与函数的图象交y轴于同一点，
所以一次函数的解析式为：
故选A．
【分析】设一次函数为，根据直线平行性质可得一次函数为，再根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】分式的加减法；不等式的性质
【解析】【解答】解：．
∵是一个不等于的负整数，
∴m<0，m+1<0，，．
∴．
∴
∴．
∴．
∴．
故选：B．
【分析】根据作差比较法比较大小，结合分式的加减，不等式的性质即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】点的坐标；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图，由图可知，每12次一个循环，
∵，
∴点的坐标与相同，
由图和题意，可知：；
∴点的坐标为；
故答案为：C．
【分析】首先根据题意找出规律，12次为一个循环，然后通过计算，根据余数为8，即可得出的坐标与相同，进而即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；勾股定理的逆定理；求正切值
【解析】【解答】解：∵直线y=2x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，
令得，令得，
∴，
如图，过点作轴的垂线，垂足分别为，
设，则，
∴，
∵，
∴，设，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵在上，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∴，，
∵关于对称，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴是，
∴，
故选C．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可得，过点作轴的垂线，垂足分别为，设，则，根据两点间距离可得DT，OT，再根据正切定义可得，设，根据相似三角形判定定理可得，则，根据直线平行判定定理可得，则，设，则，解直角三角形可得BL，根据边之间的关系可得OL，OT，根据反比例函数k的几何意义建立方程，解方程可得，再根据点的坐标可得，，根据关于原点对称的点的坐标特征可得，再根据两点间距离可得CD，DE，CE，再根据勾股定理逆定理可得是，再根据三角形面积即可求出答案.
9．【答案】2x（x-4）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：2x（x-4）.
【分析】直接提取公因式2x即可.
10．【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知，
，
，
，
又，
，
，
米，米，米
，
米．
故答案为：．
【分析】点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知，则，由相似三角形的判定定理可得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长．
11．【答案】，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：由题意可得：
，即，
∴，
原方程可化为，
解得：，，
故答案是：，．
【分析】将点(-1，0)代入抛物线可得a=-1，再代入方程，解方程即可求出答案.
12．【答案】5
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题意可知，当时，，
整理得，解得或，
小球飞出时间为s，落地时间为s，
小球从飞出到落地所用的时间为s，
故答案为：．
【分析】根据题意，将h=0代入关系式，解方程即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，过点B作于H，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
同理可得，
∴，
故答案为：．
【分析】过点B作于H，根据边之间的关系可得，再由等边三角形的性质得到，解直角三角形得到，则，根据等边三角形性质可得，，由直线平行判定定理可得，则，可得；同理可得，则，即可求出答案.
14．【答案】证明：在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
15．【答案】（1）60，
补全条形统计图如下：
（2）解：，
∴本次竞赛获得B等级对应的扇形圆心角度为；
（3）解：（人），
∴估计本次竞赛中达到良好和优秀的学生有840人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次抽样调查的学生共有（人），
C项的人数为人），
故答案为：60；
【分析】（1）根据A等级的人数与占比可得总人数，再求出C等级的人数，再补全图形即可.
（2）根据360°乘以B等级的占比即可求出答案.
（3）根据1200乘以良好和优秀的学生占比即可求出答案.
（1）解：本次抽样调查的学生共有（人），
C项的人数为人），
补全条形统计图如下：
故答案为：60；
（2）：，
∴本次竞赛获得B等级对应的扇形圆心角度为；
（3）解：（人），
∴估计本次竞赛中达到良好和优秀的学生有840人．
16．【答案】（1）证明：四边形是菱形，理由如下，
∵矩形的对角线与相交于点O，
∴，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，即是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵直线是线段的垂直平分线，且，
∴，，
由（1）得四边形是菱形，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得，根据垂直平分线性质可得，，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，，根据直线平行性质可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据含30°角的直角三角形性质可得，，根据菱形性质可得，解直角三角形可得GF，再根据边之间的关系即可求出答案.
17．【答案】（1）（）
（2）解：不能．
理由：当时，，
即：．
，故此时方程无解，
该试验田的面积不能达到．
（3）解：，
当时，有最大值，最大值为，
即当时，该矩形育苗试验田的面积最大，最大面积是．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：，
．
，
，
∵，
∴．
【分析】（1）根据矩形周长可得，再根据矩形面积建立函数关系式即可求出答案.
（2）根据题意建立方程，根据二次方程判别式，可得方程无解，即可求出答案.
（3）根据二次函数性质即可求出答案.
（1）解：，
．
，
，
∵，
∴．
（2）不能．
理由：当时，，
即：．
，故此时方程无解，
该试验田的面积不能达到．
（3），
当时，有最大值，最大值为，
即当时，该矩形育苗试验田的面积最大，最大面积是．
18．【答案】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：是直径，是弦，且，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，根据三角形外角性质可得，根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据垂径定理可得，根据勾股定理可得OE，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得OF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：是直径，是弦，且，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
19．【答案】（1）；9
（2）C，E；1或4
（3）或
（4）解：在范围内，两个水池面积差，
∵
∴函数有最大值，
∵
∴当时，函数有最大值，为，
即，当时，面积差的最大值为．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为，
∵水池2的面积随长度的增加而减小，
∴长度的取值范围是；水池2面积的最大值是；
故答案为：；9
（2）解：由图象得，两函数交于点C，E，
所以，表示两个水池面积相等的点是C，E；
联立方程组
解得：
∴x的值为1或4；
故答案为：C，E；1或4
（3）解：由（2）知，，，
又直线在抛物线上方时，或，
所以，水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或；
故答案为：或
【分析】（1）将解析式转换为顶点式，结合二次函数性质即可求出答案.
（2）联立两函数解析式，解方程组即可求出答案.
（3）根据函数图象即可求出答案.
（4）根据题意作差，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：∵
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为，
∵水池2的面积随长度的增加而减小，
∴长度的取值范围是；水池2面积的最大值是；
（2）解：由图象得，两函数交于点C，E，
所以，表示两个水池面积相等的点是C，E；
联立方程组
解得：
∴x的值为1或4；
（3）解：由（2）知，，，
又直线在抛物线上方时，或，
所以，水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或；
（4）解：在范围内，两个水池面积差，
∵
∴函数有最大值，
∵
∴当时，函数有最大值，为，
即，当时，面积差的最大值为．
20．【答案】（1）解：（1）证明：①如图1中，
∵与都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴．
②∵，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图2中，延长到G，使得，连接，．
∵点D是BC的中点，
∴，
∵，
∴，，
在与中，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3），．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】（3）解：如图3中，延长ED到G，使得，连接CG，FG．作于H，连接FD．
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【分析】（1）①根据等腰直角三角形性质可得，，，则，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
②根据全等三角形性质可得，，再根据等腰直角三角形性质可得，，则，根据等腰直角三角形性质可得，根据角之间的关系可得，根据直线平行判定定理可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）延长到G，使得，连接，，根据线段中点可得，解直角三角形可得，，则，再根据角之间的关系，根据相似三角形判定定理可得，则，，再根据正切定义，结合特殊角的三角函数值可得，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）延长ED到G，使得，连接CG，FG．作于H，连接FD，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得∠GCF=∠EAF，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，根据勾股定理可得EH，再根据余弦定义即可求出答案.
（1）解：（1）证明：①如图1中，
∵与都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴．
②∵，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图2中，延长到G，使得，连接，．
∵点D是BC的中点，
∴，
∵，
∴，，
在与中，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：如图3中，延长ED到G，使得，连接CG，FG．作于H，连接FD．
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
1 / 1广东省深圳市翠园实验学校2025年中考数学模拟试题
一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．《哪吒之魔童闹海》在2025年春节期间在各大影院上映，广受大家喜爱，成为中国史上票房最高的国产电影，哪吒的莲花宝座可以抽象视为一个“正六边形”，下列选项中俯视图为正六边形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： A．该几何体的俯视图是一个圆，故此选项不符合题意；
B．该几何体的俯视图是一个正方形，故此选项不符合题意；
C．该几何体的俯视图是一个矩形，故此选项不符合题意；
D．该几何体的俯视图是一个正六边形，故此选项符合题意．
故答案为：D。
【分析】根据俯视图的定义：俯视图是指从物体上面向下面正投影得到的投影图，据此即可求解。
2．不等式组的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，解得：；
，解得：；
∴不等式组的解集为：；
故答案为：C．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可。
3．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，
∴，
∴点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧，
∴．
故答案为：B．
【分析】先根据勾股定理求出BD，则，故点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧，在根据数轴上两点间的距离即可求解。
4．“七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．图①是由该图形组成的正方形，图②是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】七巧板与拼图制作；几何概率
【解析】【解答】解：由七巧板的特征可知，阴影部分的面积是七巧板面积的，
故飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是．
故答案为：C．
【分析】首先求出阴影部分的面积是七巧板面积的，进而根据概率计算公式，即可得出答案。
5．已知一次函数的图象与直线平行，且与函数的图象交y轴于同一点，则这个一次函数的解析式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：设一次函数为
一次函数的图象与直线平行，
所以一次函数为
由可得函数与轴的交点为：
与函数的图象交y轴于同一点，
所以一次函数的解析式为：
故选A．
【分析】设一次函数为，根据直线平行性质可得一次函数为，再根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
6．如果是一个不等于的负整数，那么，，，这几个数从小到大的排列顺序是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分式的加减法；不等式的性质
【解析】【解答】解：．
∵是一个不等于的负整数，
∴m<0，m+1<0，，．
∴．
∴
∴．
∴．
∴．
故选：B．
【分析】根据作差比较法比较大小，结合分式的加减，不等式的性质即可求出答案.
7．如图，的半径为2，圆心O在坐标原点，正方形的边长为2，点A、B在第二象限，点C、D在上，且点D的坐标为，现将正方形绕点C 按逆时针方向旋转，点B动到了上点处，点A、D分别运动到了点、处，即得到正方形（点与C重合）；再将正方形绕点按逆时针方向旋转，点运动到了上点处，点、分别运动到了点、处，即得到正方形（点与重合），…，按上述方法旋转2024次后，点的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图，由图可知，每12次一个循环，
∵，
∴点的坐标与相同，
由图和题意，可知：；
∴点的坐标为；
故答案为：C．
【分析】首先根据题意找出规律，12次为一个循环，然后通过计算，根据余数为8，即可得出的坐标与相同，进而即可得出答案。
8．如图，直线y=2x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例交于C、D两点，直线OD交反比例于点E，连接CE交y轴于点F，若CF：EF=1：4，则△DCE的面积为（　　）
A．8 B．5 C．7.5 D．6
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；勾股定理的逆定理；求正切值
【解析】【解答】解：∵直线y=2x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，
令得，令得，
∴，
如图，过点作轴的垂线，垂足分别为，
设，则，
∴，
∵，
∴，设，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵在上，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∴，，
∵关于对称，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴是，
∴，
故选C．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可得，过点作轴的垂线，垂足分别为，设，则，根据两点间距离可得DT，OT，再根据正切定义可得，设，根据相似三角形判定定理可得，则，根据直线平行判定定理可得，则，设，则，解直角三角形可得BL，根据边之间的关系可得OL，OT，根据反比例函数k的几何意义建立方程，解方程可得，再根据点的坐标可得，，根据关于原点对称的点的坐标特征可得，再根据两点间距离可得CD，DE，CE，再根据勾股定理逆定理可得是，再根据三角形面积即可求出答案.
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．分解因式：　 　.
【答案】2x（x-4）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：2x（x-4）.
【分析】直接提取公因式2x即可.
10．如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点，镜子，树底三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为米，米，米，则树高为　 　米．
【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知，
，
，
，
又，
，
，
米，米，米
，
米．
故答案为：．
【分析】点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知，则，由相似三角形的判定定理可得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长．
11．已知抛物线与x轴交于两点，其中一点的坐标为，则方程的根是　 　．
【答案】，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：由题意可得：
，即，
∴，
原方程可化为，
解得：，，
故答案是：，．
【分析】将点(-1，0)代入抛物线可得a=-1，再代入方程，解方程即可求出答案.
12．如图，若被击打的小球飞行高度（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为　 　s．
【答案】5
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题意可知，当时，，
整理得，解得或，
小球飞出时间为s，落地时间为s，
小球从飞出到落地所用的时间为s，
故答案为：．
【分析】根据题意，将h=0代入关系式，解方程即可求出答案.
13．如图，均为等边三角形，点O、A、B、C在同一条直线上，，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，过点B作于H，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
同理可得，
∴，
故答案为：．
【分析】过点B作于H，根据边之间的关系可得，再由等边三角形的性质得到，解直角三角形得到，则，根据等边三角形性质可得，，由直线平行判定定理可得，则，可得；同理可得，则，即可求出答案.
三、解答题（共7小题，满分61分）
14．如图，线段，相交于点，，．求证：．
【答案】证明：在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
15．每年的6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：A（优秀）；B（良好）；C（中）；D（合格），并将统计结果绘制成如图两幅统计图
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的学生共有_______名；补全条形统计图；
（2）求本次竞赛获得B等级对应的扇形圆心角度数；
（3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛中达到良好和优秀的学生有多少名？
【答案】（1）60，
补全条形统计图如下：
（2）解：，
∴本次竞赛获得B等级对应的扇形圆心角度为；
（3）解：（人），
∴估计本次竞赛中达到良好和优秀的学生有840人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次抽样调查的学生共有（人），
C项的人数为人），
故答案为：60；
【分析】（1）根据A等级的人数与占比可得总人数，再求出C等级的人数，再补全图形即可.
（2）根据360°乘以B等级的占比即可求出答案.
（3）根据1200乘以良好和优秀的学生占比即可求出答案.
（1）解：本次抽样调查的学生共有（人），
C项的人数为人），
补全条形统计图如下：
故答案为：60；
（2）：，
∴本次竞赛获得B等级对应的扇形圆心角度为；
（3）解：（人），
∴估计本次竞赛中达到良好和优秀的学生有840人．
16．如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交于点F，G，连接．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，理由如下，
∵矩形的对角线与相交于点O，
∴，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，即是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵直线是线段的垂直平分线，且，
∴，，
由（1）得四边形是菱形，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得，根据垂直平分线性质可得，，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，，根据直线平行性质可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据含30°角的直角三角形性质可得，，根据菱形性质可得，解直角三角形可得GF，再根据边之间的关系即可求出答案.
17．如图，某苗圃师傅用木制栅拦设计了一个矩形育苗试验田，一面紧靠围墙，围墙的长度为21米，提供的木制栅栏的总长度为40米，在安装过程中栅栏不重叠使用，且无损耗和浪费．设该矩形育苗试验田的一边长为（单位：），另一边长为（单位：），面积为（单位：）．
（1）直接写出与之间的函数关系式（写出的取值范围）．
（2）该矩形育苗试验田的面积能达到吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由．
（3）当的值是多少时，该矩形育苗试验田的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）（）
（2）解：不能．
理由：当时，，
即：．
，故此时方程无解，
该试验田的面积不能达到．
（3）解：，
当时，有最大值，最大值为，
即当时，该矩形育苗试验田的面积最大，最大面积是．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：，
．
，
，
∵，
∴．
【分析】（1）根据矩形周长可得，再根据矩形面积建立函数关系式即可求出答案.
（2）根据题意建立方程，根据二次方程判别式，可得方程无解，即可求出答案.
（3）根据二次函数性质即可求出答案.
（1）解：，
．
，
，
∵，
∴．
（2）不能．
理由：当时，，
即：．
，故此时方程无解，
该试验田的面积不能达到．
（3），
当时，有最大值，最大值为，
即当时，该矩形育苗试验田的面积最大，最大面积是．
18．如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．
（1）求证：是的切线；
（2）求的长．
【答案】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：是直径，是弦，且，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，根据三角形外角性质可得，根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据垂径定理可得，根据勾股定理可得OE，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得OF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：是直径，是弦，且，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
19．【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）．
【建立模型】
如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．
【问题解决】
（1）若水池2的面积随长度的增加而减小，则长度的取值范围是______（可省略单位），水池2面积的最大值是_______；
（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_______，此时的值是_______；
（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是_______；
（4）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值；
【答案】（1）；9
（2）C，E；1或4
（3）或
（4）解：在范围内，两个水池面积差，
∵
∴函数有最大值，
∵
∴当时，函数有最大值，为，
即，当时，面积差的最大值为．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为，
∵水池2的面积随长度的增加而减小，
∴长度的取值范围是；水池2面积的最大值是；
故答案为：；9
（2）解：由图象得，两函数交于点C，E，
所以，表示两个水池面积相等的点是C，E；
联立方程组
解得：
∴x的值为1或4；
故答案为：C，E；1或4
（3）解：由（2）知，，，
又直线在抛物线上方时，或，
所以，水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或；
故答案为：或
【分析】（1）将解析式转换为顶点式，结合二次函数性质即可求出答案.
（2）联立两函数解析式，解方程组即可求出答案.
（3）根据函数图象即可求出答案.
（4）根据题意作差，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：∵
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为，
∵水池2的面积随长度的增加而减小，
∴长度的取值范围是；水池2面积的最大值是；
（2）解：由图象得，两函数交于点C，E，
所以，表示两个水池面积相等的点是C，E；
联立方程组
解得：
∴x的值为1或4；
（3）解：由（2）知，，，
又直线在抛物线上方时，或，
所以，水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或；
（4）解：在范围内，两个水池面积差，
∵
∴函数有最大值，
∵
∴当时，函数有最大值，为，
即，当时，面积差的最大值为．
20．已知：在外分别以，为边作与．
（1）如图1，与分别是以，为斜边的等腰直角三角形，连接，以为直角边构造，且，连接，，．
求证：
①；
②四边形是平行四边形．
（2）如图2，在外分别以，为斜边作与，并使，取BC的中点D，连接DE，EF请求出的值及的度数．
（3）如图3，在外分别以，为底边作等腰三角形和等腰三角形，并使与之和为，取的中点D，连接，，当，，，请用含a，b的代数式直接写出的值，用含α的代数式直接表示的度数．
【答案】（1）解：（1）证明：①如图1中，
∵与都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴．
②∵，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图2中，延长到G，使得，连接，．
∵点D是BC的中点，
∴，
∵，
∴，，
在与中，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3），．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】（3）解：如图3中，延长ED到G，使得，连接CG，FG．作于H，连接FD．
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【分析】（1）①根据等腰直角三角形性质可得，，，则，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
②根据全等三角形性质可得，，再根据等腰直角三角形性质可得，，则，根据等腰直角三角形性质可得，根据角之间的关系可得，根据直线平行判定定理可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）延长到G，使得，连接，，根据线段中点可得，解直角三角形可得，，则，再根据角之间的关系，根据相似三角形判定定理可得，则，，再根据正切定义，结合特殊角的三角函数值可得，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）延长ED到G，使得，连接CG，FG．作于H，连接FD，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得∠GCF=∠EAF，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，根据勾股定理可得EH，再根据余弦定义即可求出答案.
（1）解：（1）证明：①如图1中，
∵与都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴．
②∵，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图2中，延长到G，使得，连接，．
∵点D是BC的中点，
∴，
∵，
∴，，
在与中，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：如图3中，延长ED到G，使得，连接CG，FG．作于H，连接FD．
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
1 / 1

展开更多......

收起↑