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贵州省黔东南苗族侗族自治州台江县第一中学2025年中考三模数学试题
一、选择题（本大题共12小题，共36分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．下面计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列命题不正确的是（　　）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．负数的立方根是负数
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．五边形的外角和是360°
5．小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30～40之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
6．如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（　　）
A． B． C． D．
7．佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为(　　)
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，将函数y=3x +2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（　　）
A．y=3x+5 B．y=3x﹣5 C．y=3x+1 D．y=3x﹣1
9．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（　　）
A． B． C． D．
10．已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：
（1）体育场离该同学家2.5千米；
（2）该同学在体育场锻炼了15分钟；
（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；
（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75；
其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
12．如图，在正方形中，点为边的中点，连接，过点作于点，连接交于点．则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13．因式分解： 　 　.
14．已知，则的值是　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在轴上的影长为　 　．
16．如图，在中，，，，为的中点，点为内一动点，且，若点为中点，则当的和最小时，的度数为　 　°．
三、解答题（本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：；
（2）有如下式子：①；②；请用“”中的1种运算符号将2个式子组成一道易化简的运算题并化简，同时从、1中选择一个你喜欢的数代入求值．
18．在我们的住房中，很多楼梯的扶手美轮美奂，呈现多种图形，如图，把构成扶手材料的相关部分看成线段，可以抽象出平面图形．经过测量，，米．解决下列问题：
（1）在抽象出来的平面图形中，请你列举两个四边形___________，___________、
（2）选择列举两个四边形中一个，证明是平行四边形．
19．在一次户外研学活动中，同学们来到梵净山金顶下方的一个休息区，为测量金顶到休息区的垂直高度，小李拿出了随身带的测角仪与同学们一起测量，
测角仪高度为米，当他们把测角仪放在处时，他观测到金顶处的仰角为，然后沿着与休息区成水平直线的方向走了米到达处，再次观测金顶处，仰角为，如图所示．请根据以上数据，计算金顶到休息区的垂直高度（即：的长度）（结果精确到）．
20．某校为了解学生对体育活动的喜爱程度的，随机抽取了部分学生进行第1次问卷调查．在“双减”政策来了之后，又进行了第2次问卷调查，在《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，明确要求要开展丰富多彩的科普、文体、艺术、劳动、阅读、兴趣小组及社团活动，以促进学生全面发展．在2次调查选项中只有“篮球、足球、乒乓球、羽毛球、不喜欢”共5项，每人限选一项，仅限一项，统计如下：
第1次问卷调查
球类 频数 频率
篮球 60
足球 50
乒乓球 m
羽毛球 20
不喜欢 30 n
（1）在第1次问卷调查中，___________，___________．
（2）在第1次调查问卷中，篮球、足球、乒乓球、羽毛球、不喜欢共5个选项中，哪两个选项的频率之和是？在第2次调查问卷中，哪两个选项的人数最接近？请简单的说明一下．
（3）从两次问卷调查表中，变化较为明显的是什么，请你结合数据简述一下．
21．为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地．最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥．已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元．
（1）甲、乙两种有机肥每吨各多少元？
（2）若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，且总费用不能超过5600元，则小姣最多能购买甲种有机肥多少吨？
22．如图1，在平面直角坐标系中中，一次函数的图象上与反比例函数的图象交于点A，与x轴负半轴交于点B，其中点A的坐标为．
（1）求直线的表达式．
（2）如图2，若另外有一反比例函数与直线有交点，求取值范围．
23．图1是手拉式翻斗两轮车，这种车在生活中随处可见，其用途很广，它的造型包括大量的零部件和工艺，所彰显的智慧让人叹服，如图2是拖斗车的侧面示意图，为车轮的直径，手把为点C．、、三点在同一条直线上．点（且不与点、重合）为上的一点，连接．当时，
（1）求证：是的切线；
（2），，求的面积．
24．赵州桥又称安济桥，坐落在河北省石家庄市赵县的洨河上，横跨在河面上，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，以此时水平面为横坐标建立坐标，水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米．
（1）请你求出二次函数的表达式．
（2）在二次函数的对称轴上，是否存在一点，使得的值最小，若有，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）春夏之季，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面以上部分近似的看成长14米，宽4米，高2.5米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点的高度7米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明．
25．如图，在矩形中，，动点从点出发，沿边、向点运动，、关于直线的对称点分别为，连接．
（1）如图①，当点运动到边的中点位置时，请补全图形；
（2）如图②，当在的延长线上时，求的长，并判断直线与直线的位置关系，说明理由；
（3）当直线恰好经过点时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：A．
【分析】利用只有符号不同的两个数互为相反数解题．
2．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴sinα=，
∴BC= sinαAB=12 sinα（米），
故答案为：A．
【分析】根据正弦定义即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. 2a a=a，故原选项计算错误，不符合题意；
B. ，不是同类项不能合并，故原选项计算错误，不符合题意；
C. ，故原选项计算错误，不符合题意；
D. (-a3)2=a6，故原选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A；根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项可判断B；积的乘方，先对每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断C；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断D.
4．【答案】C
【知识点】立方根及开立方；平行公理及推论；多边形内角与外角；菱形的判定
【解析】【解答】解：A、 根据平行公理“ 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 ”这个命题正确，故此选项不符合题意；
B、根据立方根的定义，“ 负数的立方根是负数 ”这个命题正确，故此选项不符合题意；
C、根据菱形的判定定理，“ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ”可知原说法错误，故此选项符合题意；
D、根据多边形的外角性质，任何一个凸多边形的外角和都是360°，可知“ 五边形的外角和是360° ”这个命题正确，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，可判断A选项；根据立方根的定义，如果一个数x的立方
等于a，则这个数x就是a的立方根，故一个正数的立方根是一个正数，一个负数的立方根是一个负数，0的立方根是0，据此可判断B选
项；根据菱形的判定定理， 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断C选项；根据多边形的外角性质，任何一个凸多边形的外角和都是360°，可判断D选项.
5．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、∵一组数据“12，12，28，35，■”，“■” 在30～40之间，
∴这几个数据的和随“■”的变化而变化，
∴平均数是变化的，此选项不符合题意；
B、若“■”是35，则众数发生变化，此选项不符合题意；
C、∵一组数据“12，12，28，35，■”，“■” 在30～40之间，
∴这几个数据的中位数不会随“■”的变化而变化，
∴中位数不会变化，此选项符合题意；
D、由A可知，平均数发生了变化，
∴方差随着改变，此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；方差是指每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数；根据定义即可判断求解.
6．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵垂直平分，
∴，
∴的周长，
故答案为：．
【分析】利用垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式及等量代换求解即可.
7．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
由题意得(n-2)×180°=1080°，
解得n=8，
∴这个正多边形的每一个外角的度数为：360°÷8=45°.
故答案为：C.
【分析】设这个正多边形的边数为n，由多边形的内角和公式(n-2)×180°并结合该多边形的内角和为1080°列出方程，求解得出n的值，进而根据正多边形的每一个外角度数都相等且外角和为360°可算出每一个外角的度数.
8．【答案】D
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：将函数y=3x +2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是y=3x﹣1.
故答案为：D.
【分析】一次函数y=kx+b向下平移m个单位长度，可得y=kx+b-m，据此解答.
9．【答案】D
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，
圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5，
扇形的弧长为，
圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等，
，
，
圆锥的高为，
圆锥的体积为，
故答案为：D．
【分析】设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，再根据勾股定理，求出圆锥的高，代入体积公式求解即可.
10．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知：体育场离该同学家2.5千米，故（1）正确；
该同学在体育场锻炼了（分钟），故（2）正确；
该同学的跑步速度为（千米/分钟），步行速度为（千米/分钟），则跑步速度是步行速度的倍，故（3）错误；
若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则该同学骑行的平均速度为（千米/分钟），所以，故（4）正确，
故答案为：C．
【分析】此题是分段函数，第一段该同学从家跑步去体育场，该同学离家的距离随时间x的增大而增大，从图象看当时间x为15分钟时， 离家的距离y为2.5km，从而说明体育场离该同学家2.5千米，据此可判断（1）；第二段该同学在体育场锻炼，从图象得，该同学在15分时到达体育场，在30分钟时开始离开，从而可求出在体育场锻炼的时间，据此可判断（2）；根据路程除以时间等于速度，结合图象提供的信息，分别求出该同学跑步、步行的速速，即可判断（3）；求出该同学的骑行速度，然后根据路程等于速度乘以时间可求出a的值，从而可判断（4）.
11．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工1.2x个零件，
由题意得：.
故答案为：D.
【分析】设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工1.2x个零件，根据题中的相等关系“乙加工120个零件所用的时间-甲加工120个零件所用的时间=”可列方程求解.
12．【答案】B
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
设正方形的边长为，
∵四边形为正方形，
，
∵点为边的中点，
，
在中，，
∵，
，
，
又
，
，
，
，
，
， 即，
，
，
，
∴，
故答案为：B．
【分析】设正方形的边长为，由勾股定理求得等于，根据已知条件可证明、相似，根据相似性质得等于，即可得等于，再证相似，根据相似三角形的性质得等于 即可得根据计算得，最后即可得的比值.
13．【答案】（1+x）（1-x）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】对 用平方差公式，得
【分析】利用平方差公式因式分解即可。
14．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设，
∴，
故答案为：．
【分析】利用可设，再将其代入计算即可.
15．【答案】12
【知识点】坐标与图形性质；相似三角形的判定；中心投影；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
过作轴于，交于，
，，．
，，，轴，
，，
，，
，
，
.
故答案为：12．
【分析】过作轴于，交于，根据，，得，，，轴，即可证明相似，相似，根据相似性质得
相等，相等，即可得相等，代入数据即可得影长为12.
16．【答案】50
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，
取中点，连接，
∵为的中点，，
∴，
∴，
∵点为中点，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点三点共线时最小，且为的长，
∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】取中点，连接，进一步根据条件证明全等，根据全等性质得相等，即可得，当点三点共线时最小，且为的长，即可证明是等腰三角形，根据等腰三角形性质得当的和最小时，的度数为.
17．【答案】解：（1）
.
（2）
，
使分母为0，
当1时，原式.
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）先计算的零指数幂，特殊角三角函数值，再计算算术平方根和绝对值得，最后计算加减法即可.
（2）选择乘法组成式子得，先计算小括号内的分式加法得，再计算乘法化简得，最后根据分式有意义的条件选择当1时，原式.
18．【答案】（1）四边形；四边形.
（2）解：选四边形是平行四边形，
证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】（1）解：根据图形得四边形有：四边形，四边形.
故答案为：四边形；四边形.
【分析】（）根据四边形的概念即可得四边形，四边形.
（）选四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定方法，结合得，再根据即可得四边形是平行四边形．
（1）解：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，
故答案为：四边形，四边形（答案不唯一，写出个即可），
（2）解：选四边形是平行四边形（答案不唯一，只要证明过程正确即可，其他证明相同）
证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
19．【答案】解：如图，
根据题意得：
米，米，
设米，则米，
在中，，，
∴米，
在中，，，，
∴米．
∵，
∴，解得：，
∴金顶到休息区的垂直高度约为米．
【知识点】求特殊角的三角函数值；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意得相等，等于米，相等，等于米，设米，则米，再中，根据正切定义得到米，再中，根据正切定义得到米，即可得，解出即可得答案.
20．【答案】（1）40；.
（2）解：根据频数和频率表可知：第1次问卷调查中，
∴篮球和乒乓球频率之和是，
在第2次调查问卷中，足球和乒乓球人数都是50人，
∴足球和乒乓球两个选项的人数最接近．
（3）解：两次调查中第一次不喜欢的人数是10人，频率为，
第二次不喜欢的人数是30人，频率为，变化最大，
∴两次问卷调查表中，变化较为明显的是选择不喜欢选项．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：
调查的学生人数为：（人），
，.
故答案为：40；.
【分析】（1）根据频数、频率表，先求出总数，即可求出m、n的值.
（2）根据频数、频率表和频数分布直方图进行解答即可.
（3）根据两次调查问卷的频数和频率分布表，频数分布直方图进行求解即可．
（1）解：调查的学生人数为：（人），
，；
（2）解：根据频数和频率表可知：第1次问卷调查中，因此篮球和乒乓球频率之和是；
在第2次调查问卷中，足球和乒乓球人数都是50人，因此足球和乒乓球两个选项的人数最接近．
（3）解：两次调查中第一次不喜欢的人数是10人，频率为，第二次不喜欢的人数是30人，频率为，变化最大，因此两次问卷调查表中，变化较为明显的是选择不喜欢选项．
21．【答案】（1）解：设甲种有机肥每吨x元，乙种有机肥每吨y元，
根据题意，得，
解得，
答：甲种有机肥每吨600元，乙种有机肥每吨500元．
（2）解：设沟买甲种有机肥m呠，则购买乙种有机肥吨，
根据题意，得，
解得．
答：小姣最多能购买甲种有机用6吨．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种有机肥每吨x元，乙种有机肥每吨y元，利用“ 甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元 ”列出方程组求解即可；
（2）设沟买甲种有机肥m呠，则购买乙种有机肥吨，利用“ 总费用不能超过5600元 ”列出不等式求解即可.
22．【答案】（1）解：如图，
点在反比例函数的图像上，
∴
，
点的坐标为，
过点作轴，垂足为
，
，
点的坐标为，
把点代入得：解得：
一次函数的解析式为：.
（2）解：联立得到整理的：，
∴，解得：，
．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）把代入求出点的坐标为，过点作轴，垂足为，根据勾股定理求出的长，进而可得点的坐标为，再把点代入列方程组求解即可得一次函数的解析式为：.
（2）联立直线解析式和反比例函数解析式，得到，根据判别式求解即可得即可.
（1）解；点在反比例函数的图像上，
∴
，
点的坐标为，
过点作轴，垂足为
，
，
点的坐标为，
把点代入得：
解得：
一次函数的解析式为：；
（2）解：联立得到
整理的：，
∴，
解得：，
．
23．【答案】（1）证明：如图，
连接，
是的直径，
，则．
，
，
，
，
则，
即，
．
又是的半径，
是的切线.
（2）解：，
，
由相似三角形的性质相得：，
又，，
，
，
，
，
设，则，
是的直径，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据是的直径，得，即可得加等于，即可得相等，进一步得，即可证明是的切线
（2）根据相等，是公共角，即可证明相似，即可得相等，进一步得，设，则，根据勾股定理列式计算即可.
（1）证明：连接，
是的直径，
，则．
，
，
，
，
则，
即，
．
又是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
由相似三角形的性质相得：，
又，，
，
，
，
，
设，则，
是的直径，
，
，
，
．
24．【答案】（1）解：水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米．
，
可设二次函数的表达式为，
将代入得，，解得：，
二次函数的表达式为.
（2）解：存在，理由如下：
如图，
由、关于对称轴对称，连接交对称轴于，连接，此时的值最小．由题意得，
设直线的解析式为，则有，解得，
直线的解析式为．
抛物线的对称轴，
将代入，得，
.
（3）解：水面离桥拱顶点的高度为7米，即水面。
将代入得：，
解得：，
水面宽度：，
船高2.5米，水面， 桥拱，
船顶高度：，
桥拱在(船半宽)处的高度：，
，且，
游船能正常通过.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的实际应用-拱桥问题；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米，得，可设二次函数的表达式为，根据坐标列方程解出即可.
（2）由、关于对称轴对称，连接交对称轴于，连接，此时的值最小，设直线的解析式为，则有，解得，将代入，得，即可.
（3）水面离桥拱顶点的高度为7米，即水面，代入解析式解得，求出船高2.5米，水面， 桥拱，求出船顶高度-4.5，桥拱在(船半宽)处的高度：，即可得游船能正常通过.
（1）解：水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米．
，
可设二次函数的表达式为，
将代入得，，解得：，
二次函数的表达式为
（2）解：存在，理由如下：
如图，由、关于对称轴对称，连接交对称轴于，连接，此时的值最小．
由题意得，
设直线的解析式为，则有，
解得，
直线的解析式为．
抛物线的对称轴，
将代入，得，
；
（3）解：水面离桥拱顶点的高度为7米，即水面。
将代入得：
，
，
水面宽度：，
船高2.5米，水面， 桥拱。
船顶高度：，
桥拱在(船半宽)处的高度：，
，且，
游船能正常通过，
25．【答案】（1）解：根据题意作图①如下：
（2）解：，，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，，
，
当落在延长线上时，由对称性可得，
．
由对称性得，，
设长为，则，
∵，
∴由勾股定理得：，
∴，解得，
∴，
由对称性可得：，，
，
，
.
（3）解：如图③，
当在边上时，连接，
由对称性可得，
∴，
，
四边形是矩形，
，
；
如图④，当在边上时，连接，
，
，
∴，
，
∴，
∴，
，
，
，
．
综上所述，的长为或．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）过点D作直线的垂线，垂足为O，连接并延长到N，使得，连接即可.
（2）根据矩形的性质得到相等，，相等，等于，等于，等于，即可求出等于，根据对称性可得相等，等于，即可得等于2，根据对称性得，相等，设长为，则，由勾股定理得，解方程可得，进一步可证明全等，根据全等性质得到相等，即可得到平行.
（3）当在边上时，连接，根据对称性可得，即可得，进一步根据勾股定理求出，根据矩形性质，结合条件得全等，即可得，同理得当在边上时，连接，即可求出，综合即可得答案.
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：，，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，，
，
当落在延长线上时，由对称性可得，
．
由对称性得，，
设长为，则，
∵，
∴由勾股定理得：
∴，
解得，
∴；
由对称性可得：，，
，
，
；
（3）解：如图③，当在边上时，连接，
由对称性可得，
∴，
，
四边形是矩形，
，
；
如图④，当在边上时，连接，
，
，
∴，
，
∴，
∴，
，
，
，
．
综上所述，的长为或．
1 / 1贵州省黔东南苗族侗族自治州台江县第一中学2025年中考三模数学试题
一、选择题（本大题共12小题，共36分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：A．
【分析】利用只有符号不同的两个数互为相反数解题．
2．如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴sinα=，
∴BC= sinαAB=12 sinα（米），
故答案为：A．
【分析】根据正弦定义即可求出答案.
3．下面计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. 2a a=a，故原选项计算错误，不符合题意；
B. ，不是同类项不能合并，故原选项计算错误，不符合题意；
C. ，故原选项计算错误，不符合题意；
D. (-a3)2=a6，故原选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A；根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项可判断B；积的乘方，先对每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断C；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断D.
4．下列命题不正确的是（　　）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．负数的立方根是负数
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．五边形的外角和是360°
【答案】C
【知识点】立方根及开立方；平行公理及推论；多边形内角与外角；菱形的判定
【解析】【解答】解：A、 根据平行公理“ 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 ”这个命题正确，故此选项不符合题意；
B、根据立方根的定义，“ 负数的立方根是负数 ”这个命题正确，故此选项不符合题意；
C、根据菱形的判定定理，“ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ”可知原说法错误，故此选项符合题意；
D、根据多边形的外角性质，任何一个凸多边形的外角和都是360°，可知“ 五边形的外角和是360° ”这个命题正确，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，可判断A选项；根据立方根的定义，如果一个数x的立方
等于a，则这个数x就是a的立方根，故一个正数的立方根是一个正数，一个负数的立方根是一个负数，0的立方根是0，据此可判断B选
项；根据菱形的判定定理， 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断C选项；根据多边形的外角性质，任何一个凸多边形的外角和都是360°，可判断D选项.
5．小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30～40之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、∵一组数据“12，12，28，35，■”，“■” 在30～40之间，
∴这几个数据的和随“■”的变化而变化，
∴平均数是变化的，此选项不符合题意；
B、若“■”是35，则众数发生变化，此选项不符合题意；
C、∵一组数据“12，12，28，35，■”，“■” 在30～40之间，
∴这几个数据的中位数不会随“■”的变化而变化，
∴中位数不会变化，此选项符合题意；
D、由A可知，平均数发生了变化，
∴方差随着改变，此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；方差是指每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数；根据定义即可判断求解.
6．如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵垂直平分，
∴，
∴的周长，
故答案为：．
【分析】利用垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式及等量代换求解即可.
7．佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
由题意得(n-2)×180°=1080°，
解得n=8，
∴这个正多边形的每一个外角的度数为：360°÷8=45°.
故答案为：C.
【分析】设这个正多边形的边数为n，由多边形的内角和公式(n-2)×180°并结合该多边形的内角和为1080°列出方程，求解得出n的值，进而根据正多边形的每一个外角度数都相等且外角和为360°可算出每一个外角的度数.
8．在平面直角坐标系中，将函数y=3x +2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（　　）
A．y=3x+5 B．y=3x﹣5 C．y=3x+1 D．y=3x﹣1
【答案】D
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：将函数y=3x +2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是y=3x﹣1.
故答案为：D.
【分析】一次函数y=kx+b向下平移m个单位长度，可得y=kx+b-m，据此解答.
9．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，
圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5，
扇形的弧长为，
圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等，
，
，
圆锥的高为，
圆锥的体积为，
故答案为：D．
【分析】设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，再根据勾股定理，求出圆锥的高，代入体积公式求解即可.
10．已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：
（1）体育场离该同学家2.5千米；
（2）该同学在体育场锻炼了15分钟；
（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；
（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75；
其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知：体育场离该同学家2.5千米，故（1）正确；
该同学在体育场锻炼了（分钟），故（2）正确；
该同学的跑步速度为（千米/分钟），步行速度为（千米/分钟），则跑步速度是步行速度的倍，故（3）错误；
若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则该同学骑行的平均速度为（千米/分钟），所以，故（4）正确，
故答案为：C．
【分析】此题是分段函数，第一段该同学从家跑步去体育场，该同学离家的距离随时间x的增大而增大，从图象看当时间x为15分钟时， 离家的距离y为2.5km，从而说明体育场离该同学家2.5千米，据此可判断（1）；第二段该同学在体育场锻炼，从图象得，该同学在15分时到达体育场，在30分钟时开始离开，从而可求出在体育场锻炼的时间，据此可判断（2）；根据路程除以时间等于速度，结合图象提供的信息，分别求出该同学跑步、步行的速速，即可判断（3）；求出该同学的骑行速度，然后根据路程等于速度乘以时间可求出a的值，从而可判断（4）.
11．甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工1.2x个零件，
由题意得：.
故答案为：D.
【分析】设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工1.2x个零件，根据题中的相等关系“乙加工120个零件所用的时间-甲加工120个零件所用的时间=”可列方程求解.
12．如图，在正方形中，点为边的中点，连接，过点作于点，连接交于点．则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
设正方形的边长为，
∵四边形为正方形，
，
∵点为边的中点，
，
在中，，
∵，
，
，
又
，
，
，
，
，
， 即，
，
，
，
∴，
故答案为：B．
【分析】设正方形的边长为，由勾股定理求得等于，根据已知条件可证明、相似，根据相似性质得等于，即可得等于，再证相似，根据相似三角形的性质得等于 即可得根据计算得，最后即可得的比值.
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13．因式分解： 　 　.
【答案】（1+x）（1-x）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】对 用平方差公式，得
【分析】利用平方差公式因式分解即可。
14．已知，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设，
∴，
故答案为：．
【分析】利用可设，再将其代入计算即可.
15．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在轴上的影长为　 　．
【答案】12
【知识点】坐标与图形性质；相似三角形的判定；中心投影；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
过作轴于，交于，
，，．
，，，轴，
，，
，，
，
，
.
故答案为：12．
【分析】过作轴于，交于，根据，，得，，，轴，即可证明相似，相似，根据相似性质得
相等，相等，即可得相等，代入数据即可得影长为12.
16．如图，在中，，，，为的中点，点为内一动点，且，若点为中点，则当的和最小时，的度数为　 　°．
【答案】50
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，
取中点，连接，
∵为的中点，，
∴，
∴，
∵点为中点，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点三点共线时最小，且为的长，
∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】取中点，连接，进一步根据条件证明全等，根据全等性质得相等，即可得，当点三点共线时最小，且为的长，即可证明是等腰三角形，根据等腰三角形性质得当的和最小时，的度数为.
三、解答题（本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：；
（2）有如下式子：①；②；请用“”中的1种运算符号将2个式子组成一道易化简的运算题并化简，同时从、1中选择一个你喜欢的数代入求值．
【答案】解：（1）
.
（2）
，
使分母为0，
当1时，原式.
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）先计算的零指数幂，特殊角三角函数值，再计算算术平方根和绝对值得，最后计算加减法即可.
（2）选择乘法组成式子得，先计算小括号内的分式加法得，再计算乘法化简得，最后根据分式有意义的条件选择当1时，原式.
18．在我们的住房中，很多楼梯的扶手美轮美奂，呈现多种图形，如图，把构成扶手材料的相关部分看成线段，可以抽象出平面图形．经过测量，，米．解决下列问题：
（1）在抽象出来的平面图形中，请你列举两个四边形___________，___________、
（2）选择列举两个四边形中一个，证明是平行四边形．
【答案】（1）四边形；四边形.
（2）解：选四边形是平行四边形，
证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】（1）解：根据图形得四边形有：四边形，四边形.
故答案为：四边形；四边形.
【分析】（）根据四边形的概念即可得四边形，四边形.
（）选四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定方法，结合得，再根据即可得四边形是平行四边形．
（1）解：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，
故答案为：四边形，四边形（答案不唯一，写出个即可），
（2）解：选四边形是平行四边形（答案不唯一，只要证明过程正确即可，其他证明相同）
证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
19．在一次户外研学活动中，同学们来到梵净山金顶下方的一个休息区，为测量金顶到休息区的垂直高度，小李拿出了随身带的测角仪与同学们一起测量，
测角仪高度为米，当他们把测角仪放在处时，他观测到金顶处的仰角为，然后沿着与休息区成水平直线的方向走了米到达处，再次观测金顶处，仰角为，如图所示．请根据以上数据，计算金顶到休息区的垂直高度（即：的长度）（结果精确到）．
【答案】解：如图，
根据题意得：
米，米，
设米，则米，
在中，，，
∴米，
在中，，，，
∴米．
∵，
∴，解得：，
∴金顶到休息区的垂直高度约为米．
【知识点】求特殊角的三角函数值；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意得相等，等于米，相等，等于米，设米，则米，再中，根据正切定义得到米，再中，根据正切定义得到米，即可得，解出即可得答案.
20．某校为了解学生对体育活动的喜爱程度的，随机抽取了部分学生进行第1次问卷调查．在“双减”政策来了之后，又进行了第2次问卷调查，在《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，明确要求要开展丰富多彩的科普、文体、艺术、劳动、阅读、兴趣小组及社团活动，以促进学生全面发展．在2次调查选项中只有“篮球、足球、乒乓球、羽毛球、不喜欢”共5项，每人限选一项，仅限一项，统计如下：
第1次问卷调查
球类 频数 频率
篮球 60
足球 50
乒乓球 m
羽毛球 20
不喜欢 30 n
（1）在第1次问卷调查中，___________，___________．
（2）在第1次调查问卷中，篮球、足球、乒乓球、羽毛球、不喜欢共5个选项中，哪两个选项的频率之和是？在第2次调查问卷中，哪两个选项的人数最接近？请简单的说明一下．
（3）从两次问卷调查表中，变化较为明显的是什么，请你结合数据简述一下．
【答案】（1）40；.
（2）解：根据频数和频率表可知：第1次问卷调查中，
∴篮球和乒乓球频率之和是，
在第2次调查问卷中，足球和乒乓球人数都是50人，
∴足球和乒乓球两个选项的人数最接近．
（3）解：两次调查中第一次不喜欢的人数是10人，频率为，
第二次不喜欢的人数是30人，频率为，变化最大，
∴两次问卷调查表中，变化较为明显的是选择不喜欢选项．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：
调查的学生人数为：（人），
，.
故答案为：40；.
【分析】（1）根据频数、频率表，先求出总数，即可求出m、n的值.
（2）根据频数、频率表和频数分布直方图进行解答即可.
（3）根据两次调查问卷的频数和频率分布表，频数分布直方图进行求解即可．
（1）解：调查的学生人数为：（人），
，；
（2）解：根据频数和频率表可知：第1次问卷调查中，因此篮球和乒乓球频率之和是；
在第2次调查问卷中，足球和乒乓球人数都是50人，因此足球和乒乓球两个选项的人数最接近．
（3）解：两次调查中第一次不喜欢的人数是10人，频率为，第二次不喜欢的人数是30人，频率为，变化最大，因此两次问卷调查表中，变化较为明显的是选择不喜欢选项．
21．为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地．最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥．已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元．
（1）甲、乙两种有机肥每吨各多少元？
（2）若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，且总费用不能超过5600元，则小姣最多能购买甲种有机肥多少吨？
【答案】（1）解：设甲种有机肥每吨x元，乙种有机肥每吨y元，
根据题意，得，
解得，
答：甲种有机肥每吨600元，乙种有机肥每吨500元．
（2）解：设沟买甲种有机肥m呠，则购买乙种有机肥吨，
根据题意，得，
解得．
答：小姣最多能购买甲种有机用6吨．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种有机肥每吨x元，乙种有机肥每吨y元，利用“ 甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元 ”列出方程组求解即可；
（2）设沟买甲种有机肥m呠，则购买乙种有机肥吨，利用“ 总费用不能超过5600元 ”列出不等式求解即可.
22．如图1，在平面直角坐标系中中，一次函数的图象上与反比例函数的图象交于点A，与x轴负半轴交于点B，其中点A的坐标为．
（1）求直线的表达式．
（2）如图2，若另外有一反比例函数与直线有交点，求取值范围．
【答案】（1）解：如图，
点在反比例函数的图像上，
∴
，
点的坐标为，
过点作轴，垂足为
，
，
点的坐标为，
把点代入得：解得：
一次函数的解析式为：.
（2）解：联立得到整理的：，
∴，解得：，
．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）把代入求出点的坐标为，过点作轴，垂足为，根据勾股定理求出的长，进而可得点的坐标为，再把点代入列方程组求解即可得一次函数的解析式为：.
（2）联立直线解析式和反比例函数解析式，得到，根据判别式求解即可得即可.
（1）解；点在反比例函数的图像上，
∴
，
点的坐标为，
过点作轴，垂足为
，
，
点的坐标为，
把点代入得：
解得：
一次函数的解析式为：；
（2）解：联立得到
整理的：，
∴，
解得：，
．
23．图1是手拉式翻斗两轮车，这种车在生活中随处可见，其用途很广，它的造型包括大量的零部件和工艺，所彰显的智慧让人叹服，如图2是拖斗车的侧面示意图，为车轮的直径，手把为点C．、、三点在同一条直线上．点（且不与点、重合）为上的一点，连接．当时，
（1）求证：是的切线；
（2），，求的面积．
【答案】（1）证明：如图，
连接，
是的直径，
，则．
，
，
，
，
则，
即，
．
又是的半径，
是的切线.
（2）解：，
，
由相似三角形的性质相得：，
又，，
，
，
，
，
设，则，
是的直径，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据是的直径，得，即可得加等于，即可得相等，进一步得，即可证明是的切线
（2）根据相等，是公共角，即可证明相似，即可得相等，进一步得，设，则，根据勾股定理列式计算即可.
（1）证明：连接，
是的直径，
，则．
，
，
，
，
则，
即，
．
又是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
由相似三角形的性质相得：，
又，，
，
，
，
，
设，则，
是的直径，
，
，
，
．
24．赵州桥又称安济桥，坐落在河北省石家庄市赵县的洨河上，横跨在河面上，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，以此时水平面为横坐标建立坐标，水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米．
（1）请你求出二次函数的表达式．
（2）在二次函数的对称轴上，是否存在一点，使得的值最小，若有，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）春夏之季，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面以上部分近似的看成长14米，宽4米，高2.5米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点的高度7米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明．
【答案】（1）解：水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米．
，
可设二次函数的表达式为，
将代入得，，解得：，
二次函数的表达式为.
（2）解：存在，理由如下：
如图，
由、关于对称轴对称，连接交对称轴于，连接，此时的值最小．由题意得，
设直线的解析式为，则有，解得，
直线的解析式为．
抛物线的对称轴，
将代入，得，
.
（3）解：水面离桥拱顶点的高度为7米，即水面。
将代入得：，
解得：，
水面宽度：，
船高2.5米，水面， 桥拱，
船顶高度：，
桥拱在(船半宽)处的高度：，
，且，
游船能正常通过.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的实际应用-拱桥问题；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米，得，可设二次函数的表达式为，根据坐标列方程解出即可.
（2）由、关于对称轴对称，连接交对称轴于，连接，此时的值最小，设直线的解析式为，则有，解得，将代入，得，即可.
（3）水面离桥拱顶点的高度为7米，即水面，代入解析式解得，求出船高2.5米，水面， 桥拱，求出船顶高度-4.5，桥拱在(船半宽)处的高度：，即可得游船能正常通过.
（1）解：水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米．
，
可设二次函数的表达式为，
将代入得，，解得：，
二次函数的表达式为
（2）解：存在，理由如下：
如图，由、关于对称轴对称，连接交对称轴于，连接，此时的值最小．
由题意得，
设直线的解析式为，则有，
解得，
直线的解析式为．
抛物线的对称轴，
将代入，得，
；
（3）解：水面离桥拱顶点的高度为7米，即水面。
将代入得：
，
，
水面宽度：，
船高2.5米，水面， 桥拱。
船顶高度：，
桥拱在(船半宽)处的高度：，
，且，
游船能正常通过，
25．如图，在矩形中，，动点从点出发，沿边、向点运动，、关于直线的对称点分别为，连接．
（1）如图①，当点运动到边的中点位置时，请补全图形；
（2）如图②，当在的延长线上时，求的长，并判断直线与直线的位置关系，说明理由；
（3）当直线恰好经过点时，求的长．
【答案】（1）解：根据题意作图①如下：
（2）解：，，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，，
，
当落在延长线上时，由对称性可得，
．
由对称性得，，
设长为，则，
∵，
∴由勾股定理得：，
∴，解得，
∴，
由对称性可得：，，
，
，
.
（3）解：如图③，
当在边上时，连接，
由对称性可得，
∴，
，
四边形是矩形，
，
；
如图④，当在边上时，连接，
，
，
∴，
，
∴，
∴，
，
，
，
．
综上所述，的长为或．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）过点D作直线的垂线，垂足为O，连接并延长到N，使得，连接即可.
（2）根据矩形的性质得到相等，，相等，等于，等于，等于，即可求出等于，根据对称性可得相等，等于，即可得等于2，根据对称性得，相等，设长为，则，由勾股定理得，解方程可得，进一步可证明全等，根据全等性质得到相等，即可得到平行.
（3）当在边上时，连接，根据对称性可得，即可得，进一步根据勾股定理求出，根据矩形性质，结合条件得全等，即可得，同理得当在边上时，连接，即可求出，综合即可得答案.
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：，，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，，
，
当落在延长线上时，由对称性可得，
．
由对称性得，，
设长为，则，
∵，
∴由勾股定理得：
∴，
解得，
∴；
由对称性可得：，，
，
，
；
（3）解：如图③，当在边上时，连接，
由对称性可得，
∴，
，
四边形是矩形，
，
；
如图④，当在边上时，连接，
，
，
∴，
，
∴，
∴，
，
，
，
．
综上所述，的长为或．
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