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广东佛山市南海区瀚文外国语学校2025-2026学年九年级下学期3月综评数学试题
1．在四个数中，最大的数是（　　）
A．-3 B． C． D．2
2．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．不透明袋子中有红、黄小球各2个，四个小球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球不放回，再从剩余的小球中随机摸出一个，则两次摸出的都是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．将等腰直角三角形和直角三角形（其中）按如图所示的方式摆放，点在上，若，则的度数是（　　）
A．12° B．15° C．20° D．25°
6．某种电器的电阻R（单位：Ω）为定值，使用此电器时，电压U（单位：V）与电流I（单位：A）是正比例函数关系．当时，，则当时，I的值是（　　）
A．4 B．5 C．10 D．15
7．如图，在正六边形中，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．已知菱形的周长为，两条对角线的比为，则菱形的面积为（　　）
A．48 B．24 C．12 D．384
9．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（　　）
A．9 B．5 C．4 D．
10．已知点，点均在二次函数的图像上，若，则n的取值范围是（　　）
A．或 B．
C．或 D．
11．若，，，则　 　．
12．在平面直角坐标系中，点所在的象限是 　 　．
13．计算的结果为　 　．
14．如图，两根竹竿和斜靠在与地面垂直的墙上，量得，，则的值为　 　．
15．如图，在中，，，，点为边上一动点，交于点，将沿直线折叠，点的对应点为，当是直角三角形时，的长为　 　 ．
16．已知，求的值．
17．如图，在中，．小文、小博两人想在上取一点，连接，使得，具体作法如下．
（1）作法正确的是__________（填“小文”或“小博”）；
（2）根据（）选出的正确作法，请用无刻度的直尺和圆规将下图补充完整，并对说明理由．
18．某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买种食材和种食材共需元，购买种食材和种食材共需元．
（1）求，两种食材的单价．
（2）该小吃店计划购买两种食材共，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
19．学校国防教育是全民国防教育的基础，为了落实《国防教育进中小学课程教材指南》，学校组织各班以小组为单位开展了“心系国防，爱我中华”为主题的知识竞赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．小亮将本班甲、乙两组同学（每组8人）比赛的成绩统计整理，分析如下：
平均数 中位数 众数 方差 优秀率
甲组 7.625 7 4.48
乙组 7.625 7 0.73
根据上述图表，回答下列问题：
（1）表格中 ， ， ；
（2）小华认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小亮认为小华的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小亮说明理由（写出一条即可）．
20．配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题．
【材料一】我们定义：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，(x，y是整数)，所以也是“完美数”．
【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值．
解：；
当时，的最小值为2．
请通过阅读以上材料，解决以下问题∶
【解决问题】
(1)下列各数中，“完美数”有 (只填序号)；
①； ②； ③．
【探究问题】
(2)若可配方成，为正整数），则的值为 ；
(3)已知，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由；
【拓展应用】
(4)已知实数，均满足，求代数式 的最小值．
21．如图，是圆O的切线，切点为A，是圆O的直径，连接交圆O于E．过A点作 于点D，交圆O于B，连接．
（1）求证：；
（2）求证：是圆O的切线；
（3）若，求的长．
22．【情境】数学课上，老师引导同学们用三角板探究四边形的判定和性质，老师先将两个全等的三角板和在同一平面内按如图所示的位置摆放．保持点A，，，在同一直线上，三角板可以沿直线平移（点，不重合）．已知，，，连接和．
【发现】证明：四边形是平行四边形；
【探究】移动三角板的过程中，当点和点重合时，求证：四边形是菱形；
【拓展】当四边形是矩形时，其周长是多少？
23．如图1，平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点是的中点，直线过定点，交轴于点．
（1）求点的坐标；
（2）如图2，当时， 过点C作，交于点F，在直线上是否存在点，使得是等腰直角三角形，若存在，请求出所有满足条件的点P；若不存在，请说明理由．
（3）点N在直线上，且，连接，点M为的中点，连接．求线段的长度的最大值，并直接写出此时点N的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵正数大于负数，
∴中，最大的数为；
故答案为：C．
【分析】
根据实数的大小比较：负数正数，即可得到最大的数，解答即可．
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意，A错误；
、，故此选项不符合题意，B错误；
、，故此选项不符合题意，C错误；
、，故此选项符合题意，D正确；
故选：．
【分析】本题考查积的乘方、同底数幂的乘法、乘法分配律、合并同类项．A选项根据同类项的定义可进行判断；根据积的乘方的运算法则：可判断B选项；利用乘法分配律可判断C选项；根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘底数不变，指数相加可判断D选项．
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D不符合题意．
故答案为：B
【分析】
根据轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；逐一判断即可解答.
4．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：列表如下：
红 红 黄 黄
红 （红，红） （红，黄） （红，黄）
红 （红，红） （红，黄） （红，黄）
黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄）
黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄）
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的都是红球的结果有2种，
两次摸出的都是红球的概率为，
故答案为：D．
【分析】先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
5．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B.
【分析】先利用平行线的性质求出，再利用角的运算求出的度数即可.
6．【答案】C
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：设电压U（单位：V）与电流I（单位：A）的关系式为，
当时，，
∴，，
当，，
解得：
故答案为：C．
【分析】设电压U（单位：V）与电流I（单位：A）的关系式为，求出函数关系式，再代入求解即可．
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正多边形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠B=120°，BC=AB，
∴∠BAC=∠BCA=30°，
∵AB∥CF，
∴∠CAB=∠ACF=30°．
故答案为：A．
【分析】
根据正六边形的性质得出∠B=120°，BC=AB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠BAC=∠BCA=30°，根据两直线平行内错角相等得到∠CAB=∠ACF=30°逐一解答即可．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：设两条对角线长分别为，，
由题意得：菱形的边长为，
根据勾股定理可得，
解得，
则两条对角线长分别为、，
∴菱形的面积．
故答案为：B．
【分析】设两条对角线长分别为，，利用菱形的性质和勾股定理求出x的值，最后求出菱形的面积即可.
9．【答案】A
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：有两个相等的实数根，
故答案为：A．
【分析】根据有两个相等的实数根，得，解出即可.
10．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵点在二次函数的图像上，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵点在二次函数的图像上，
∴，
令，则，
∴，
∵该函数二次项系数为，且，
∴该函数图象开口向下，
又∵该函数图象的对称轴为，
∴当时，函数随的增大而增大，
当时，可有，
当时，可有，
∴．
故答案为：B．
【分析】
根据由点N在二次函数上得到， 结合，求得m的取值范围为， 再根据点M的横坐标为，代入函数解析式中得到得n关于m的表达式，结合m的取值范围可得n的取值范围，解答即可．
11．【答案】
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：．
【分析】
根据立方根的性质：，再代入数据计算即可求解．
12．【答案】二
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在第二象限．
故答案为：二．
【分析】
根据各象限内点的坐标的符号特征：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，判断即可解答．
13．【答案】1
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式==1.
故答案为：1.
【分析】根据同分母的分式加减法法则计算即可求解.
14．【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：在中，
∴；
中，
∴；
∴，
故答案为：．
【分析】先利用解直角三角形的方法可得，，再求出即可.
15．【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；分类讨论
【解析】【解答】解：沿直线折叠，点的对应点为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
当是直角三角形且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：；
当点与点重合时，是直角三角形且，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：或者．
【分析】根据折叠的性质可得，，根据角度的运算得到，要使是直角三角形，但不明确哪个角是直角只能确定是锐角，因而分两种情况讨论：当时，根据同角的余角相等得到，根据等腰三角形的判定得到 ，再计算表示出AC=8，DC=8-DF，再根据勾股定理计算得出即可解答；当点与点重合时，，根据勾股定理得计算得出的值，即可解答．
16．【答案】解：∵，
∴，
∴

【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】
根据等式的性质将方程变形得，再将所求式子展开化简得到，再整体代入计算即可解答．
17．【答案】（1）小博
（2）解：图形补充如下：
理由如下：
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
即．
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）作法正确的是小博，
故答案为：小博；
【分析】
（）根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及三角形外角性质可判断小博的做法是正确，解答即可；
（）根据尺规作线段垂直平分线的作法补全图形，再根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形得到，根据三角形外角性质得到解答即可.
（1）解：作法正确的是小博，
故答案为：小博；
（2）解：图形补充如下：
理由如下：
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
即．
18．【答案】（1）解：设种食材的单价为元千克，种食材的单价为元千克，
由题意得，
解得，
种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元；
（2）解：设种食材购买千克，种食材购买千克，总费用为元，由题意得：
，
且
解得：
，
随的增大而增大，
当时，有最小值为：元，
种食材购买千克，种食材购买千克时，总费用最少，为元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的性质；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设种食材的单价为元千克，种食材的单价为元千克，根据 购买种食材和种食材共需元列方程得x+y=68，根据购买种食材和种食材共需元列方程得5x+3y=280， 解方程组即可求解；
（2）设种食材购买千克，种食材购买千克，总费用为元，根据题意列出总费用得函数关系式，然后根据题意得出m的取值范围，根据一次函数的性质，当时，有最小值为元，解答即可．
（1）解：设种食材的单价为元千克，种食材的单价为元千克，
由题意得，
解得，
种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元；
（2）解：设种食材购买千克，种食材购买千克，总费用为元，由题意得：
，
且
解得：
，
随的增大而增大，
当时，有最小值为：元，
种食材购买千克，种食材购买千克时，总费用最少，为元．
19．【答案】（1）7.5，7，
（2）解：小华的观点比较片面．理由不唯一，例如：
①甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率，
∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；
②甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数，
∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小华的观点比较片面．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：
（分），
（分），
，
故答案为：7.5，7，；
【分析】
（1）根据中位数的定义：将一组数据从小大到大排列后奇数个数据取中间两个数的平均数可得a的值，根据众数的定义：次数出现最多的那个数，根据优秀率的定义和计算公式计算即可解答；
（2）从优秀率，中位数，众数和方差等角度中选出两个进行分析即可解答．
（1）解：根据题意得：
（分），
（分），
，
故答案为：7.5，7，；
（2）解：小华的观点比较片面．
理由不唯一，例如：
①甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率，
∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；
②甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数，
∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小华的观点比较片面．
20．【答案】（1）②；
（2）9；
（3），理由如下：
，
要使为“完美数”，
则需为完全平方式，
故，
此时，符合“完美数”定义，
；
（4），
，
，
，
当时，的最小值为2025．
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）由于②，所以②是完美数，
；
所以，不能表示成 (a，b是整数)的形式，不是完美数
故答案为：②；
（2）由，
可配方成，
，，
，
故答案为：9.
【分析】（1）利用“完美数”的定义分析求解即可；
（2）参照题干中的定义及配方法的计算方法分析求解即可；
（3）利用“完美数”的定义及完全平方式的特征分析求解即可；
（4）利用配方法将代数式变形为，再求解即可.
21．【答案】（1）证明：为的直径，
，即，
，
.
（2）证明：连接，如图，
，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
为的切线，
，
，
，
为的半径，
是的切线.
（3）解：，，
，
，
在中，
，
，
．
是的直径，
，
．
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先利用直径所对的圆周角可得，再结合，证出即可；
（2）连接OB，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再证出，结合OB为的半径， 即可证出PB是的切线；
（3）先证出， 再利用相似三角形的性质可得，将数据代入可得，最后求出PO的长即可.
22．【答案】发现：证明：∵三角板和是两个全等的三角板，
∴，
．
又，
，
四边形是平行四边形．
探究：证明：由（1）知，四边形为平行四边形．
当点和点重合时，
∴，
四边形为菱形．
拓展：解：如图，当四边形为矩形时，．
，
在中，
，，设，则．
由勾股定理，得，
即，
解得（负值舍去），
．
∵，，，
∴，
∴
在中，
设，则．
由勾股定理，得，
即，
解得（负值舍去），
∴，
矩形的周长为．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定；矩形的判定；平移的性质
【解析】【分析】发现：先利用全等三角形的性质可得AB=DE，再结合AB//DE，即可证出四边形是平行四边形；
探究：先求出， 再结合四边形是平行四边形，从而可证出四边形为菱形；
拓展：设，则，再利用勾股定理列出方程求出x的值，求出AB的长，再设，则，利用勾股定理求出y的值，求出BD的长，最后求出矩形的周长即可.
23．【答案】（1）解：∵
∴当时，，
∴直线过定点，
∴；
（2）解：存在：当时，直线为：，
当时，，
∴，
∵正方形的边在轴上，点是的中点，，
∴，，
∴，
过点作，则：，，
∵过点C作，交于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵点在直线上，且是等腰直角三角形，
∴当点与点重合时，满足题意，
此时：；
当点在点上方时，则：时，满足题意，
即点为的中点，
∴，
综上：或；
（3）解：取点，连接，则：，
∴为的中点，，
∵点M为的中点，
∴，
∵，
∴当三点共线时，即在的延长线上时，有最大值为的长，此时的值最大，如图：
∵，
∴的最大值为，
∴的最大值为：；
过点作轴，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理；一次函数中的线段周长问题
【解析】【分析】（1）先对直线方程进行变形：，然后再根据直线方程的特征，发现，当x=2时，方程经过定点（2，4），据此即可求解
（2）先将K的值代入直线方程中，求出方程的解析式，然后再求出点的坐标，进而求出正方形的边长，过点作，通过证明，进而推出三角形CEF为等腰直角三角形，然后再分别从两个方面：得到当点与点重合，再根据对称性求出点在点上方时，点的坐标即可；
（3）先根据题意，取点，然后再连接，根据“ ”和“点M为 的中点”，易得为的中点，得到，进而即可得到最大时，最大，最后再根据，即三点共线时，有最大值为的长，据此即可求解
（1）解：∵，
∴当时，，
∴直线过定点，
∴；
（2）存在：
当时，直线为：，
当时，，
∴，
∵正方形的边在轴上，点是的中点，，
∴，，
∴，
过点作，则：，，
∵过点C作，交于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵点在直线上，且是等腰直角三角形，
∴当点与点重合时，满足题意，
此时：；
当点在点上方时，则：时，满足题意，
即点为的中点，
∴，
综上：或；
（3）取点，连接，
则：，
∴为的中点，，
∵点M为的中点，
∴，
∵，
∴当三点共线时，即在的延长线上时，有最大值为的长，此时的值最大，如图：
∵，
∴的最大值为，
∴的最大值为：；
过点作轴，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
1 / 1广东佛山市南海区瀚文外国语学校2025-2026学年九年级下学期3月综评数学试题
1．在四个数中，最大的数是（　　）
A．-3 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵正数大于负数，
∴中，最大的数为；
故答案为：C．
【分析】
根据实数的大小比较：负数正数，即可得到最大的数，解答即可．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意，A错误；
、，故此选项不符合题意，B错误；
、，故此选项不符合题意，C错误；
、，故此选项符合题意，D正确；
故选：．
【分析】本题考查积的乘方、同底数幂的乘法、乘法分配律、合并同类项．A选项根据同类项的定义可进行判断；根据积的乘方的运算法则：可判断B选项；利用乘法分配律可判断C选项；根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘底数不变，指数相加可判断D选项．
3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D不符合题意．
故答案为：B
【分析】
根据轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；逐一判断即可解答.
4．不透明袋子中有红、黄小球各2个，四个小球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球不放回，再从剩余的小球中随机摸出一个，则两次摸出的都是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：列表如下：
红 红 黄 黄
红 （红，红） （红，黄） （红，黄）
红 （红，红） （红，黄） （红，黄）
黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄）
黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄）
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的都是红球的结果有2种，
两次摸出的都是红球的概率为，
故答案为：D．
【分析】先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
5．将等腰直角三角形和直角三角形（其中）按如图所示的方式摆放，点在上，若，则的度数是（　　）
A．12° B．15° C．20° D．25°
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B.
【分析】先利用平行线的性质求出，再利用角的运算求出的度数即可.
6．某种电器的电阻R（单位：Ω）为定值，使用此电器时，电压U（单位：V）与电流I（单位：A）是正比例函数关系．当时，，则当时，I的值是（　　）
A．4 B．5 C．10 D．15
【答案】C
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：设电压U（单位：V）与电流I（单位：A）的关系式为，
当时，，
∴，，
当，，
解得：
故答案为：C．
【分析】设电压U（单位：V）与电流I（单位：A）的关系式为，求出函数关系式，再代入求解即可．
7．如图，在正六边形中，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正多边形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠B=120°，BC=AB，
∴∠BAC=∠BCA=30°，
∵AB∥CF，
∴∠CAB=∠ACF=30°．
故答案为：A．
【分析】
根据正六边形的性质得出∠B=120°，BC=AB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠BAC=∠BCA=30°，根据两直线平行内错角相等得到∠CAB=∠ACF=30°逐一解答即可．
8．已知菱形的周长为，两条对角线的比为，则菱形的面积为（　　）
A．48 B．24 C．12 D．384
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：设两条对角线长分别为，，
由题意得：菱形的边长为，
根据勾股定理可得，
解得，
则两条对角线长分别为、，
∴菱形的面积．
故答案为：B．
【分析】设两条对角线长分别为，，利用菱形的性质和勾股定理求出x的值，最后求出菱形的面积即可.
9．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（　　）
A．9 B．5 C．4 D．
【答案】A
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：有两个相等的实数根，
故答案为：A．
【分析】根据有两个相等的实数根，得，解出即可.
10．已知点，点均在二次函数的图像上，若，则n的取值范围是（　　）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵点在二次函数的图像上，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵点在二次函数的图像上，
∴，
令，则，
∴，
∵该函数二次项系数为，且，
∴该函数图象开口向下，
又∵该函数图象的对称轴为，
∴当时，函数随的增大而增大，
当时，可有，
当时，可有，
∴．
故答案为：B．
【分析】
根据由点N在二次函数上得到， 结合，求得m的取值范围为， 再根据点M的横坐标为，代入函数解析式中得到得n关于m的表达式，结合m的取值范围可得n的取值范围，解答即可．
11．若，，，则　 　．
【答案】
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：．
【分析】
根据立方根的性质：，再代入数据计算即可求解．
12．在平面直角坐标系中，点所在的象限是 　 　．
【答案】二
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在第二象限．
故答案为：二．
【分析】
根据各象限内点的坐标的符号特征：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，判断即可解答．
13．计算的结果为　 　．
【答案】1
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式==1.
故答案为：1.
【分析】根据同分母的分式加减法法则计算即可求解.
14．如图，两根竹竿和斜靠在与地面垂直的墙上，量得，，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：在中，
∴；
中，
∴；
∴，
故答案为：．
【分析】先利用解直角三角形的方法可得，，再求出即可.
15．如图，在中，，，，点为边上一动点，交于点，将沿直线折叠，点的对应点为，当是直角三角形时，的长为　 　 ．
【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；分类讨论
【解析】【解答】解：沿直线折叠，点的对应点为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
当是直角三角形且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：；
当点与点重合时，是直角三角形且，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：或者．
【分析】根据折叠的性质可得，，根据角度的运算得到，要使是直角三角形，但不明确哪个角是直角只能确定是锐角，因而分两种情况讨论：当时，根据同角的余角相等得到，根据等腰三角形的判定得到 ，再计算表示出AC=8，DC=8-DF，再根据勾股定理计算得出即可解答；当点与点重合时，，根据勾股定理得计算得出的值，即可解答．
16．已知，求的值．
【答案】解：∵，
∴，
∴

【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】
根据等式的性质将方程变形得，再将所求式子展开化简得到，再整体代入计算即可解答．
17．如图，在中，．小文、小博两人想在上取一点，连接，使得，具体作法如下．
（1）作法正确的是__________（填“小文”或“小博”）；
（2）根据（）选出的正确作法，请用无刻度的直尺和圆规将下图补充完整，并对说明理由．
【答案】（1）小博
（2）解：图形补充如下：
理由如下：
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
即．
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）作法正确的是小博，
故答案为：小博；
【分析】
（）根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及三角形外角性质可判断小博的做法是正确，解答即可；
（）根据尺规作线段垂直平分线的作法补全图形，再根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形得到，根据三角形外角性质得到解答即可.
（1）解：作法正确的是小博，
故答案为：小博；
（2）解：图形补充如下：
理由如下：
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
即．
18．某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买种食材和种食材共需元，购买种食材和种食材共需元．
（1）求，两种食材的单价．
（2）该小吃店计划购买两种食材共，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
【答案】（1）解：设种食材的单价为元千克，种食材的单价为元千克，
由题意得，
解得，
种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元；
（2）解：设种食材购买千克，种食材购买千克，总费用为元，由题意得：
，
且
解得：
，
随的增大而增大，
当时，有最小值为：元，
种食材购买千克，种食材购买千克时，总费用最少，为元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的性质；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设种食材的单价为元千克，种食材的单价为元千克，根据 购买种食材和种食材共需元列方程得x+y=68，根据购买种食材和种食材共需元列方程得5x+3y=280， 解方程组即可求解；
（2）设种食材购买千克，种食材购买千克，总费用为元，根据题意列出总费用得函数关系式，然后根据题意得出m的取值范围，根据一次函数的性质，当时，有最小值为元，解答即可．
（1）解：设种食材的单价为元千克，种食材的单价为元千克，
由题意得，
解得，
种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元；
（2）解：设种食材购买千克，种食材购买千克，总费用为元，由题意得：
，
且
解得：
，
随的增大而增大，
当时，有最小值为：元，
种食材购买千克，种食材购买千克时，总费用最少，为元．
19．学校国防教育是全民国防教育的基础，为了落实《国防教育进中小学课程教材指南》，学校组织各班以小组为单位开展了“心系国防，爱我中华”为主题的知识竞赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．小亮将本班甲、乙两组同学（每组8人）比赛的成绩统计整理，分析如下：
平均数 中位数 众数 方差 优秀率
甲组 7.625 7 4.48
乙组 7.625 7 0.73
根据上述图表，回答下列问题：
（1）表格中 ， ， ；
（2）小华认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小亮认为小华的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小亮说明理由（写出一条即可）．
【答案】（1）7.5，7，
（2）解：小华的观点比较片面．理由不唯一，例如：
①甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率，
∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；
②甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数，
∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小华的观点比较片面．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：
（分），
（分），
，
故答案为：7.5，7，；
【分析】
（1）根据中位数的定义：将一组数据从小大到大排列后奇数个数据取中间两个数的平均数可得a的值，根据众数的定义：次数出现最多的那个数，根据优秀率的定义和计算公式计算即可解答；
（2）从优秀率，中位数，众数和方差等角度中选出两个进行分析即可解答．
（1）解：根据题意得：
（分），
（分），
，
故答案为：7.5，7，；
（2）解：小华的观点比较片面．
理由不唯一，例如：
①甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率，
∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；
②甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数，
∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小华的观点比较片面．
20．配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题．
【材料一】我们定义：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，(x，y是整数)，所以也是“完美数”．
【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值．
解：；
当时，的最小值为2．
请通过阅读以上材料，解决以下问题∶
【解决问题】
(1)下列各数中，“完美数”有 (只填序号)；
①； ②； ③．
【探究问题】
(2)若可配方成，为正整数），则的值为 ；
(3)已知，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由；
【拓展应用】
(4)已知实数，均满足，求代数式 的最小值．
【答案】（1）②；
（2）9；
（3），理由如下：
，
要使为“完美数”，
则需为完全平方式，
故，
此时，符合“完美数”定义，
；
（4），
，
，
，
当时，的最小值为2025．
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）由于②，所以②是完美数，
；
所以，不能表示成 (a，b是整数)的形式，不是完美数
故答案为：②；
（2）由，
可配方成，
，，
，
故答案为：9.
【分析】（1）利用“完美数”的定义分析求解即可；
（2）参照题干中的定义及配方法的计算方法分析求解即可；
（3）利用“完美数”的定义及完全平方式的特征分析求解即可；
（4）利用配方法将代数式变形为，再求解即可.
21．如图，是圆O的切线，切点为A，是圆O的直径，连接交圆O于E．过A点作 于点D，交圆O于B，连接．
（1）求证：；
（2）求证：是圆O的切线；
（3）若，求的长．
【答案】（1）证明：为的直径，
，即，
，
.
（2）证明：连接，如图，
，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
为的切线，
，
，
，
为的半径，
是的切线.
（3）解：，，
，
，
在中，
，
，
．
是的直径，
，
．
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先利用直径所对的圆周角可得，再结合，证出即可；
（2）连接OB，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再证出，结合OB为的半径， 即可证出PB是的切线；
（3）先证出， 再利用相似三角形的性质可得，将数据代入可得，最后求出PO的长即可.
22．【情境】数学课上，老师引导同学们用三角板探究四边形的判定和性质，老师先将两个全等的三角板和在同一平面内按如图所示的位置摆放．保持点A，，，在同一直线上，三角板可以沿直线平移（点，不重合）．已知，，，连接和．
【发现】证明：四边形是平行四边形；
【探究】移动三角板的过程中，当点和点重合时，求证：四边形是菱形；
【拓展】当四边形是矩形时，其周长是多少？
【答案】发现：证明：∵三角板和是两个全等的三角板，
∴，
．
又，
，
四边形是平行四边形．
探究：证明：由（1）知，四边形为平行四边形．
当点和点重合时，
∴，
四边形为菱形．
拓展：解：如图，当四边形为矩形时，．
，
在中，
，，设，则．
由勾股定理，得，
即，
解得（负值舍去），
．
∵，，，
∴，
∴
在中，
设，则．
由勾股定理，得，
即，
解得（负值舍去），
∴，
矩形的周长为．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定；矩形的判定；平移的性质
【解析】【分析】发现：先利用全等三角形的性质可得AB=DE，再结合AB//DE，即可证出四边形是平行四边形；
探究：先求出， 再结合四边形是平行四边形，从而可证出四边形为菱形；
拓展：设，则，再利用勾股定理列出方程求出x的值，求出AB的长，再设，则，利用勾股定理求出y的值，求出BD的长，最后求出矩形的周长即可.
23．如图1，平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点是的中点，直线过定点，交轴于点．
（1）求点的坐标；
（2）如图2，当时， 过点C作，交于点F，在直线上是否存在点，使得是等腰直角三角形，若存在，请求出所有满足条件的点P；若不存在，请说明理由．
（3）点N在直线上，且，连接，点M为的中点，连接．求线段的长度的最大值，并直接写出此时点N的坐标．
【答案】（1）解：∵
∴当时，，
∴直线过定点，
∴；
（2）解：存在：当时，直线为：，
当时，，
∴，
∵正方形的边在轴上，点是的中点，，
∴，，
∴，
过点作，则：，，
∵过点C作，交于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵点在直线上，且是等腰直角三角形，
∴当点与点重合时，满足题意，
此时：；
当点在点上方时，则：时，满足题意，
即点为的中点，
∴，
综上：或；
（3）解：取点，连接，则：，
∴为的中点，，
∵点M为的中点，
∴，
∵，
∴当三点共线时，即在的延长线上时，有最大值为的长，此时的值最大，如图：
∵，
∴的最大值为，
∴的最大值为：；
过点作轴，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理；一次函数中的线段周长问题
【解析】【分析】（1）先对直线方程进行变形：，然后再根据直线方程的特征，发现，当x=2时，方程经过定点（2，4），据此即可求解
（2）先将K的值代入直线方程中，求出方程的解析式，然后再求出点的坐标，进而求出正方形的边长，过点作，通过证明，进而推出三角形CEF为等腰直角三角形，然后再分别从两个方面：得到当点与点重合，再根据对称性求出点在点上方时，点的坐标即可；
（3）先根据题意，取点，然后再连接，根据“ ”和“点M为 的中点”，易得为的中点，得到，进而即可得到最大时，最大，最后再根据，即三点共线时，有最大值为的长，据此即可求解
（1）解：∵，
∴当时，，
∴直线过定点，
∴；
（2）存在：
当时，直线为：，
当时，，
∴，
∵正方形的边在轴上，点是的中点，，
∴，，
∴，
过点作，则：，，
∵过点C作，交于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵点在直线上，且是等腰直角三角形，
∴当点与点重合时，满足题意，
此时：；
当点在点上方时，则：时，满足题意，
即点为的中点，
∴，
综上：或；
（3）取点，连接，
则：，
∴为的中点，，
∵点M为的中点，
∴，
∵，
∴当三点共线时，即在的延长线上时，有最大值为的长，此时的值最大，如图：
∵，
∴的最大值为，
∴的最大值为：；
过点作轴，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
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