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广东省深圳市2025-2026学年第二学期九年级3月测试数学试卷
1．下列图形为轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，，若，，则（　　）
A． B． C． D．
5．抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，用直尺和圆规作菱形，作图过程如下：①作锐角；②以点为圆心，以任意长度为半径作弧，与的两边分别交于点，；③分别以点，为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点，分别连接，，则四边形即为菱形，其依据是（　　）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
7．如图，已知反比例函数y（x＞0）的图象经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为6，则k的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．如图，已知四边形的外接圆的半径是，对角线与的交点为，，，，则四边形的面积是（　　）
A． B． C． D．
9．因式分解　 　．
10．从拼音“zhong kao”中随机抽取一个字母，抽中字母的概率为　 　.
11．已知：，，则　 　．
12．已知一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数）和y2＝﹣x＋1．若无论x取何值，总有y1＞y2，则k的值是　 　．
13．在平行四边形中，，，，点，分别在边，上运动，且，以为边作等边，且使点在四边形的内部或边上．当的面积最大时，的长为　 　．
14．计算：．
15．先化简：，然后在1，2，3中选一个你认为合适的数代入求值．
16．《国家学生体质健康标准（2014年修订）》将九年级男生的立定跳远测试成绩分为四个等级：优秀，良好，及格，不及格，其中x表示测试成绩（单位：cm）．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试成绩的相关情况，便于精准找出差距，进行合理的训练规划，特整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息如下：
．本校测试成绩频数（人数）分布表：
等级 优秀 良好 及格 不及格
频数（人数） 40 70 60 30
．本校测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
228 p
．本校所在区县测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
223
请根据所给信息，解答下列问题
（1）______；
（2）本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是230cm，请你计算出乙同学的测试成绩；
（3）若该学校所在区县九年级学生约有11万人，求该区县九年级约有多少人达到优秀．
17．已知，矩形．
（1）若点E为边上一点，且，请在图1中用尺规作图确定点E的位置，并将图形补充完整；（不写作法，保留作图痕迹，并将痕迹描粗加黑）
（2）在（1）的条件下，已知线段，线段，求的长．（请用图2进行探究）
18．以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美，万州区某中学开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买A、B两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生，已知A种笔记本的单价比B种笔记本的单价便宜3元，已知用1800元购买A种笔记本的数量是用1350元购买B种笔记本的数量的2倍．
（1）求A种笔记本的单价；
（2）根据需要，年级组准备购买A，B两种笔记本共100本，其中购买A种笔记本的数量不超过B种笔记本的倍．设购买A种笔记本m本，所需经费为W元，试写出W与m的函数关系式，并请你根据函数关系式求所需的最少经费．
19．定义：在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象关于直线（为常数）对称，我们称这个函数为“函数”．“函数”满足以下性质：
①若点在函数图象上，则点也在这个函数图象上；
②点与点称为一对对应点，对应点的连线段称为对称弦．
例如：函数的图像关于直线（轴）对称，则称它是“函数”，若在它的图像上，则也在它的图像上，线段为它的一条对称弦．
（1）在下列关于的函数中，是“函数”的是__________（填序号）；
①；②；③．
（2）若关于的函数（为常数）是“（2）函数”，则
①__________；
②请用描点法在平面直角坐标系下作出的图象．
第一步：列表如下：
0 2 4 6 8
8 6 4 2 0 2 4 6
第二步：请在平面直角坐标系下完成余下作图步骤，并描述函数的增减性___________；
③函数与为常数，相交于两点，在的左边，，求的值；
（3）已知关于的二次函数（b，c为常数）是“（4）函数”，试判断该函数在内是否存在长度为3的对称弦？直接写出你的判断__________（填“存在”或“不存在”）．
20．问题背景：在数学课堂上小组讨论过程中，探究小组发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．探究小组的证明思路是：如图2，过点C作，交的延长线于点E，通过构造相似三角形来证明．
【问题初探】
（1）①如图2，请直接写出和的数量关系：________；
②请参照探究小组提供的思路，利用图2证明：．
【结论运用】
（2）如图3，在中，，，．求的长度．
【拓展提升】
（3）如图4，在平行四边形中，E、F分别是、上的点，、的交点为P，若平分，求证：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意；
B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】 本题考查了轴对称图形， 根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形进行判断即可．
2．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意可得；
解得．
故答案为：C．
【分析】本题主要考查函数自变量的取值范围和分式有意义的条件，是分式，要使分式有意义，则分母不为零，即，求出的取值范围即可．
3．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方，完全平方公式，合并同类项，分别根据积的乘方和幂的乘方运算法则，完全平方公式，合并同类项法则对相应选项进行计算和判断即可得出答案．
4．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，由可得，再代入相关数据进行计算即可得到答案．
5．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵ 抛物线为 ，与顶点式 对比，
得 ， ，
∴ 顶点坐标为 ，
故选： A．
【分析】根据抛物线的顶点式即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】菱形的判定；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：由作图过程可知，，
所以依据是“四条边相等的四边形是菱形”．
故选：B．
【分析】由作图过程可知，根据菱形判定定理即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：过D点作x轴的垂线交x轴于E点，
∵△ODE的面积和△OAC的面积相等．
∴△OBC的面积和四边形DEAB的面积相等且为6．
设D点的横坐标为x，纵坐标就为，
∵D为OB的中点．
∴EA＝x，AB，
∴四边形DEAB的面积可表示为：）x＝6，
∴k＝4．
故选：C．
【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义．根据点和点在反比例函数的图象上，可过D点作x轴的垂线交x轴于E点，得到△ODE的面积和△OAC的面积相等．得到△OBC的面积和四边形DEAB的面积相等且为6．根据面积关系可得出，求解方程即可得到的值．
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
，
，
∵，
∴，
，
如图，连接，交于点．连接，
，
，，
，，
，
，
，，
，
∴.
故答案为：C.
【分析】 本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，先证明 ，结合可证明，得出，进而得出；连接，交于点．连接，求出，计算出，根据计算即可.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：．
【分析】本题考查运用公式法分解因式，可以变形为，符合完全平方公式的结构特征，直接套用公式分解即可.
10．【答案】.
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：因为字母“O”占全部拼音的，
所以抽取到字母“O”的概率为：
故答案为：.
【分析】简单随机事件的概率等于要求出现的结果在所有等可能结果中的占比。
11．【答案】
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题主要考查幂的乘方逆运算以及同底数幂的除法的逆运算， 先将32化为，再将化为 ，从而可得，再把 转化为 ，再代入计算即可．
12．【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：无论取何值，总有，
函数的图象始终在函数的图象的上方，
这两个函数的图象平行，
，
故答案为：．
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由题意得的图象始终在的图象的上方可得这两个函数的图象不相交，即平行，可得．
13．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，作的平分线交于点，
∵在平行四边形中，，则，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴垂直平分，
∴平分，
∵平分，
∴与重合，即点在上运动，
∵是等边三角形，
∴，
∴当取最大值时，的面积最大，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴最大时，最大，
∵点在四边形的内部或边上，
∴当与重合时，最大，
∵，，
∴是等边三角形，
∴
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识．连接，作的平分线交于点，由是等边三角形可得，可得当取最大值时，的面积最大，再推出，，则与重合时，最大，再证明是等边三角形，即可求得的长．
14．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别计算，，，再进行加减运算即可．
15．【答案】解：，
，
∵，，
∴，且，
当时，．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式，平方差公式化简，再根据分式有意义的条件择值计算即可求出答案.
16．【答案】（1）；
（2）解：根据题意知，第100名、第101名是200个数据中间两个数，
设第101名成绩为x，
根据题意得：，
解得，
答：乙同学的测试成绩为；
（3）解：人，
答：该区县九年级约有20900人达到优秀．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据表a数据可知，该校九年级男生人数为：人，
本校测试成绩优秀率，
故答案为：；
【分析】 本题考查了频数（率）分布表，中位数，平均数． 用样本估计总体．
（1）由频数分布表可得优秀的人数为40人，总人数为200人，再用优秀的人数除以总人数即可求出p的值；
（2）根据中位数的定义，设第101名成绩为x，可列式，求解即可
（3）用即可得出结论．
（1）根据表a数据可知，该校九年级男生人数为：人，
本校测试成绩优秀率，
故答案为：；
（2）根据题意知，第100名、第101名是200个数据中间两个数，
设第101名成绩为x，
根据题意得：，
解得，
答：乙同学的测试成绩为；
（3）人，
答：该区县九年级约有20900人达到优秀．
17．【答案】（1）解：如图，以点B为圆心，长为半径画弧交于点E，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
∴点E即为所求；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知：，
在中，根据勾股定理得：
∴
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）以点B为圆心，长为半径画弧交于点即可.
（2）根据矩形性质可得，根据边之间的关系可得AE，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
18．【答案】解：（1）设A种笔记本的单价是x元，则B种笔记本的单价是（x+3）元，根据题意得：
解得x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，
答：A种笔记本的单价为6元；
（2）由（1）知B种笔记本的单价为9元，
W＝6m+9（100-m）＝-3m+900，
又∵，
∴m≤60，
∴0≤m≤60，且m为整数，
又∵﹣3＜0，
∴W随m的增大而减小，
当m＝60时，W取最小值，最小值为720元．
所以所需的最少经费为720元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-方案问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，正确的理解题意，找出相应的数量关系是解题的关键．（1）设A种笔记本的单价是x元，则B种笔记本的单价是（x+3）元，根据 用1800元购买A种笔记本的数量是用1350元购买B种笔记本的数量的2倍列分式方程并求解即可得到结论；
（2）由（1）知B种笔记本的单价为9元，可求出，结合0≤m≤60，且m为整数， 根据一次函数的性质解答即可．
19．【答案】（1）②③
（2）①2；
②函数图象如图所示：
当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
③由①得，
设与x轴交于C点，与y轴交于D点，
当时，，当时，，
∴，
作轴交于M点，轴交于N点，
由图得：，
由对称性可知，，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∴；
（3）不存在
【知识点】反比例函数的性质；描点法画函数图象；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：①，
找不到图象关于直线（为常数）对称，不是“函数”；
②
关于直线（轴）对称，是“函数”；
③，对称轴为，
关于直线对称，是“函数”；
故答案为：②③；
（2）①∵关于的函数（为常数）是“（2）函数”，
∴函数关于对称，
∴，
故答案为：2；
（3）∵关于的二次函数（b，c为常数）是“（4）函数”，
∴关于对称，
∴，
解得：，
∴抛物线上关于对称轴对称的两点，横坐标满足，
∵长度为3的对称弦，
∴，
设对称点为，，
∴，
解得：或，
当时，，不符合题意；
，不符合题意；
∴该函数在内不存在长度为3的对称弦，
故答案为：不存在．
【分析】（1）根据函数的定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）①根据函数的定义即可求出答案.
②根据描点法作出函数图象，结合函数图象即可求出答案.
③设与x轴交于C点，与y轴交于D点，根据坐标轴上点的坐标特征可得，作轴交于M点，轴交于N点，根据对称性质可得，则，根据两点间距离可得MN，设，则，则，，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据函数的定义可得关于对称，根据二次函数的对称轴公式雕刻b=-8，则抛物线上关于对称轴对称的两点，横坐标满足，设对称点为，，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：①，
找不到图象关于直线（为常数）对称，不是“函数”；
②
关于直线（轴）对称，是“函数”；
③，对称轴为，
关于直线对称，是“函数”；
故答案为：②③；
（2）①∵关于的函数（为常数）是“（2）函数”，
∴函数关于对称，
∴，
故答案为：2；
②函数图象如图所示：
当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
故答案为：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；
③由①得，
设与x轴交于C点，与y轴交于D点，
当时，，当时，，
∴，
作轴交于M点，轴交于N点，
由图得：，
由对称性可知，，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∴；
（3）∵关于的二次函数（b，c为常数）是“（4）函数”，
∴关于对称，
∴，
解得：，
∴抛物线上关于对称轴对称的两点，横坐标满足，
∵长度为3的对称弦，
∴，
设对称点为，，
∴，
解得：或，
当时，，不符合题意；
，不符合题意；
∴该函数在内不存在长度为3的对称弦，
故答案为：不存在．
20．【答案】（1）①；
②证明：∵，
∴，
∴，
由①知，，
∴；
（2）解：如图1，
作平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由②知，，
∴，
∴；
（3）证明：如图2，
延长，交的延长线于点G，
∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（1）①解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】 本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造角平分线性质的基本图形．
（1）①由得，由角平分线定义得，从而得，再根据等角对等边可得；
②由可证得，得出，由可得结论；
（2）作平分，得，可证明 ，得，求得， ，代入，可求出；
（3）延长，交的延长线于点G，证明，，从而，，进而得出，从而得出．
1 / 1广东省深圳市2025-2026学年第二学期九年级3月测试数学试卷
1．下列图形为轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意；
B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】 本题考查了轴对称图形， 根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形进行判断即可．
2．函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意可得；
解得．
故答案为：C．
【分析】本题主要考查函数自变量的取值范围和分式有意义的条件，是分式，要使分式有意义，则分母不为零，即，求出的取值范围即可．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方，完全平方公式，合并同类项，分别根据积的乘方和幂的乘方运算法则，完全平方公式，合并同类项法则对相应选项进行计算和判断即可得出答案．
4．如图，，若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，由可得，再代入相关数据进行计算即可得到答案．
5．抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵ 抛物线为 ，与顶点式 对比，
得 ， ，
∴ 顶点坐标为 ，
故选： A．
【分析】根据抛物线的顶点式即可求出答案.
6．如图，用直尺和圆规作菱形，作图过程如下：①作锐角；②以点为圆心，以任意长度为半径作弧，与的两边分别交于点，；③分别以点，为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点，分别连接，，则四边形即为菱形，其依据是（　　）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
【答案】B
【知识点】菱形的判定；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：由作图过程可知，，
所以依据是“四条边相等的四边形是菱形”．
故选：B．
【分析】由作图过程可知，根据菱形判定定理即可求出答案.
7．如图，已知反比例函数y（x＞0）的图象经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为6，则k的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：过D点作x轴的垂线交x轴于E点，
∵△ODE的面积和△OAC的面积相等．
∴△OBC的面积和四边形DEAB的面积相等且为6．
设D点的横坐标为x，纵坐标就为，
∵D为OB的中点．
∴EA＝x，AB，
∴四边形DEAB的面积可表示为：）x＝6，
∴k＝4．
故选：C．
【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义．根据点和点在反比例函数的图象上，可过D点作x轴的垂线交x轴于E点，得到△ODE的面积和△OAC的面积相等．得到△OBC的面积和四边形DEAB的面积相等且为6．根据面积关系可得出，求解方程即可得到的值．
8．如图，已知四边形的外接圆的半径是，对角线与的交点为，，，，则四边形的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
，
，
∵，
∴，
，
如图，连接，交于点．连接，
，
，，
，，
，
，
，，
，
∴.
故答案为：C.
【分析】 本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，先证明 ，结合可证明，得出，进而得出；连接，交于点．连接，求出，计算出，根据计算即可.
9．因式分解　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：．
【分析】本题考查运用公式法分解因式，可以变形为，符合完全平方公式的结构特征，直接套用公式分解即可.
10．从拼音“zhong kao”中随机抽取一个字母，抽中字母的概率为　 　.
【答案】.
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：因为字母“O”占全部拼音的，
所以抽取到字母“O”的概率为：
故答案为：.
【分析】简单随机事件的概率等于要求出现的结果在所有等可能结果中的占比。
11．已知：，，则　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题主要考查幂的乘方逆运算以及同底数幂的除法的逆运算， 先将32化为，再将化为 ，从而可得，再把 转化为 ，再代入计算即可．
12．已知一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数）和y2＝﹣x＋1．若无论x取何值，总有y1＞y2，则k的值是　 　．
【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：无论取何值，总有，
函数的图象始终在函数的图象的上方，
这两个函数的图象平行，
，
故答案为：．
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由题意得的图象始终在的图象的上方可得这两个函数的图象不相交，即平行，可得．
13．在平行四边形中，，，，点，分别在边，上运动，且，以为边作等边，且使点在四边形的内部或边上．当的面积最大时，的长为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，作的平分线交于点，
∵在平行四边形中，，则，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴垂直平分，
∴平分，
∵平分，
∴与重合，即点在上运动，
∵是等边三角形，
∴，
∴当取最大值时，的面积最大，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴最大时，最大，
∵点在四边形的内部或边上，
∴当与重合时，最大，
∵，，
∴是等边三角形，
∴
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识．连接，作的平分线交于点，由是等边三角形可得，可得当取最大值时，的面积最大，再推出，，则与重合时，最大，再证明是等边三角形，即可求得的长．
14．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别计算，，，再进行加减运算即可．
15．先化简：，然后在1，2，3中选一个你认为合适的数代入求值．
【答案】解：，
，
∵，，
∴，且，
当时，．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式，平方差公式化简，再根据分式有意义的条件择值计算即可求出答案.
16．《国家学生体质健康标准（2014年修订）》将九年级男生的立定跳远测试成绩分为四个等级：优秀，良好，及格，不及格，其中x表示测试成绩（单位：cm）．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试成绩的相关情况，便于精准找出差距，进行合理的训练规划，特整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息如下：
．本校测试成绩频数（人数）分布表：
等级 优秀 良好 及格 不及格
频数（人数） 40 70 60 30
．本校测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
228 p
．本校所在区县测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
223
请根据所给信息，解答下列问题
（1）______；
（2）本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是230cm，请你计算出乙同学的测试成绩；
（3）若该学校所在区县九年级学生约有11万人，求该区县九年级约有多少人达到优秀．
【答案】（1）；
（2）解：根据题意知，第100名、第101名是200个数据中间两个数，
设第101名成绩为x，
根据题意得：，
解得，
答：乙同学的测试成绩为；
（3）解：人，
答：该区县九年级约有20900人达到优秀．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据表a数据可知，该校九年级男生人数为：人，
本校测试成绩优秀率，
故答案为：；
【分析】 本题考查了频数（率）分布表，中位数，平均数． 用样本估计总体．
（1）由频数分布表可得优秀的人数为40人，总人数为200人，再用优秀的人数除以总人数即可求出p的值；
（2）根据中位数的定义，设第101名成绩为x，可列式，求解即可
（3）用即可得出结论．
（1）根据表a数据可知，该校九年级男生人数为：人，
本校测试成绩优秀率，
故答案为：；
（2）根据题意知，第100名、第101名是200个数据中间两个数，
设第101名成绩为x，
根据题意得：，
解得，
答：乙同学的测试成绩为；
（3）人，
答：该区县九年级约有20900人达到优秀．
17．已知，矩形．
（1）若点E为边上一点，且，请在图1中用尺规作图确定点E的位置，并将图形补充完整；（不写作法，保留作图痕迹，并将痕迹描粗加黑）
（2）在（1）的条件下，已知线段，线段，求的长．（请用图2进行探究）
【答案】（1）解：如图，以点B为圆心，长为半径画弧交于点E，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
∴点E即为所求；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知：，
在中，根据勾股定理得：
∴
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）以点B为圆心，长为半径画弧交于点即可.
（2）根据矩形性质可得，根据边之间的关系可得AE，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
18．以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美，万州区某中学开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买A、B两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生，已知A种笔记本的单价比B种笔记本的单价便宜3元，已知用1800元购买A种笔记本的数量是用1350元购买B种笔记本的数量的2倍．
（1）求A种笔记本的单价；
（2）根据需要，年级组准备购买A，B两种笔记本共100本，其中购买A种笔记本的数量不超过B种笔记本的倍．设购买A种笔记本m本，所需经费为W元，试写出W与m的函数关系式，并请你根据函数关系式求所需的最少经费．
【答案】解：（1）设A种笔记本的单价是x元，则B种笔记本的单价是（x+3）元，根据题意得：
解得x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，
答：A种笔记本的单价为6元；
（2）由（1）知B种笔记本的单价为9元，
W＝6m+9（100-m）＝-3m+900，
又∵，
∴m≤60，
∴0≤m≤60，且m为整数，
又∵﹣3＜0，
∴W随m的增大而减小，
当m＝60时，W取最小值，最小值为720元．
所以所需的最少经费为720元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-方案问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，正确的理解题意，找出相应的数量关系是解题的关键．（1）设A种笔记本的单价是x元，则B种笔记本的单价是（x+3）元，根据 用1800元购买A种笔记本的数量是用1350元购买B种笔记本的数量的2倍列分式方程并求解即可得到结论；
（2）由（1）知B种笔记本的单价为9元，可求出，结合0≤m≤60，且m为整数， 根据一次函数的性质解答即可．
19．定义：在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象关于直线（为常数）对称，我们称这个函数为“函数”．“函数”满足以下性质：
①若点在函数图象上，则点也在这个函数图象上；
②点与点称为一对对应点，对应点的连线段称为对称弦．
例如：函数的图像关于直线（轴）对称，则称它是“函数”，若在它的图像上，则也在它的图像上，线段为它的一条对称弦．
（1）在下列关于的函数中，是“函数”的是__________（填序号）；
①；②；③．
（2）若关于的函数（为常数）是“（2）函数”，则
①__________；
②请用描点法在平面直角坐标系下作出的图象．
第一步：列表如下：
0 2 4 6 8
8 6 4 2 0 2 4 6
第二步：请在平面直角坐标系下完成余下作图步骤，并描述函数的增减性___________；
③函数与为常数，相交于两点，在的左边，，求的值；
（3）已知关于的二次函数（b，c为常数）是“（4）函数”，试判断该函数在内是否存在长度为3的对称弦？直接写出你的判断__________（填“存在”或“不存在”）．
【答案】（1）②③
（2）①2；
②函数图象如图所示：
当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
③由①得，
设与x轴交于C点，与y轴交于D点，
当时，，当时，，
∴，
作轴交于M点，轴交于N点，
由图得：，
由对称性可知，，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∴；
（3）不存在
【知识点】反比例函数的性质；描点法画函数图象；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：①，
找不到图象关于直线（为常数）对称，不是“函数”；
②
关于直线（轴）对称，是“函数”；
③，对称轴为，
关于直线对称，是“函数”；
故答案为：②③；
（2）①∵关于的函数（为常数）是“（2）函数”，
∴函数关于对称，
∴，
故答案为：2；
（3）∵关于的二次函数（b，c为常数）是“（4）函数”，
∴关于对称，
∴，
解得：，
∴抛物线上关于对称轴对称的两点，横坐标满足，
∵长度为3的对称弦，
∴，
设对称点为，，
∴，
解得：或，
当时，，不符合题意；
，不符合题意；
∴该函数在内不存在长度为3的对称弦，
故答案为：不存在．
【分析】（1）根据函数的定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）①根据函数的定义即可求出答案.
②根据描点法作出函数图象，结合函数图象即可求出答案.
③设与x轴交于C点，与y轴交于D点，根据坐标轴上点的坐标特征可得，作轴交于M点，轴交于N点，根据对称性质可得，则，根据两点间距离可得MN，设，则，则，，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据函数的定义可得关于对称，根据二次函数的对称轴公式雕刻b=-8，则抛物线上关于对称轴对称的两点，横坐标满足，设对称点为，，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：①，
找不到图象关于直线（为常数）对称，不是“函数”；
②
关于直线（轴）对称，是“函数”；
③，对称轴为，
关于直线对称，是“函数”；
故答案为：②③；
（2）①∵关于的函数（为常数）是“（2）函数”，
∴函数关于对称，
∴，
故答案为：2；
②函数图象如图所示：
当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
故答案为：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；
③由①得，
设与x轴交于C点，与y轴交于D点，
当时，，当时，，
∴，
作轴交于M点，轴交于N点，
由图得：，
由对称性可知，，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∴；
（3）∵关于的二次函数（b，c为常数）是“（4）函数”，
∴关于对称，
∴，
解得：，
∴抛物线上关于对称轴对称的两点，横坐标满足，
∵长度为3的对称弦，
∴，
设对称点为，，
∴，
解得：或，
当时，，不符合题意；
，不符合题意；
∴该函数在内不存在长度为3的对称弦，
故答案为：不存在．
20．问题背景：在数学课堂上小组讨论过程中，探究小组发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．探究小组的证明思路是：如图2，过点C作，交的延长线于点E，通过构造相似三角形来证明．
【问题初探】
（1）①如图2，请直接写出和的数量关系：________；
②请参照探究小组提供的思路，利用图2证明：．
【结论运用】
（2）如图3，在中，，，．求的长度．
【拓展提升】
（3）如图4，在平行四边形中，E、F分别是、上的点，、的交点为P，若平分，求证：．
【答案】（1）①；
②证明：∵，
∴，
∴，
由①知，，
∴；
（2）解：如图1，
作平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由②知，，
∴，
∴；
（3）证明：如图2，
延长，交的延长线于点G，
∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（1）①解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】 本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造角平分线性质的基本图形．
（1）①由得，由角平分线定义得，从而得，再根据等角对等边可得；
②由可证得，得出，由可得结论；
（2）作平分，得，可证明 ，得，求得， ，代入，可求出；
（3）延长，交的延长线于点G，证明，，从而，，进而得出，从而得出．
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