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广东省惠州市仲恺第七学校2025--2026学年下学期九年级数学课堂练习
1．“音符是连接作曲家与听众心灵的桥梁．”下列音符图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但旋转 180° 后无法与自身重合，不是中心对称图形，A不符合题意；B、不是轴对称图形，但旋转 180° 后能与自身重合，是中心对称图形，B不符合题意；
C、沿某条直线折叠后两旁部分可重合，同时绕中心旋转 180° 也能与自身重合，既是轴对称图形，也是中心对称图形，C符合题意；
D、既无法找到对称轴使折叠后重合，也无法在旋转 180° 后与自身重合，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断各选项是否同时满足 “沿一条直线折叠后重合” 和 “绕某点旋转 180° 后重合” 的条件，从而选出符合题意的选项。
2．以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能组成三角形，A不符合题意；
B、因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能组成三角形，B不符合题意；
C、因为 ，，满足三角形三边关系，能组成三角形，C符合题意；
D、因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能组成三角形，D不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据三角形三边关系，逐一判断各选项中的线段长度是否满足“任意两边之和大于第三边”，以此确定能组成三角形的选项。
3．4月 8日，为期三天的邵东第八届五金机电博览会圆满落幕，博览会参展人数达万余人次，现场交易额亿元，签约供销项目133亿元，总成交额共计165亿元，创历史新高.165亿元用科学记数法可以表示为（　　）
A．元 B．元
C．元 D．元
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：165亿元元元，
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
4．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≤2 D．x≥2
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 二次根式有意义，
∴3x-6≥0
解之：x≥2.
故答案为：D.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；幂的乘方运算
【解析】【解答】A、，原式展开错误，A不符合题意；
B、根据同底数幂的除法法则，，计算正确，B符合题意；
C、根据积的乘方运算法则，，原式计算错误，C不符合题意；
D、与不是同类项，不能直接合并，D不符合题意；
故答案为：B。
【分析】本题考查整式的运算，解题关键是熟练掌握完全平方公式、同底数幂的除法、积的乘方以及同类项合并的法则，逐一判断各选项的计算是否正确。
6．已知某企业2019年年营业收入为2500万元，2021年年营业收入达到3600万元，求这两年该企业年营业收入的平均增长率．设这两年年营业收入的平均增长率为x，根据题意列方程为（　　）
A．2500x2＝3600
B．2500（1+x）＝3600
C．2500（1+x）2＝3600
D．2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝3600
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意所列方程为：，
故答案为：C．
【分析】 设这两年年营业收入的平均增长率为x，利用“ 2019年年营业收入为2500万元，2021年年营业收入达到3600万元 ”列出方程即可.
7．若点，，在二次函数（）的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：（），
抛物线开口向下，对称轴为直线，
，
，
故答案为：D．
【分析】
由抛物线解析式可得抛物线开口方向向下可得离对称轴越近所对的函数值越大，即可根据，，三点到对称轴的距离大小关系求解.
8．如图，在中，，，，，根据尺规作图痕迹可知，的周长是（　　）
A．17 B．18.5 C．20 D．25
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：由作图痕迹可知，AD 平分∠BAC，且 DP 垂直于 AB。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠DAC = ∠DAB；又因为∠C = ∠APD = 90°，AD 为公共边，所以
△ACD ≌ △APD（AAS）。
由全等三角形性质可得：AP = AC = 5，CD = PD。因此 BP = AB - AP = 13 - 5 = 8。
△BPD 的周长为 PD + DB + PB，将 PD 替换为 CD，可得：周长=CD+DB+PB=BC+PB。
代入 BC=12、PB=8，得周长=12+8=20。
故答案为：C。
【分析】先识别作图痕迹得到角平分线与垂直条件，通过证明全等三角形实现线段等量替换，再将三角形周长转化为已知线段之和，从而简化计算。
9．在平面直角坐标系内，的顶点分别为，，，以点为位似中心，在第一象限作与位似，如图，位似比为，则点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵与位似，点为位似中心，且位似比为，，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据位似变换，可得点的坐标等于点的横纵坐标都乘以，据此即可得到答案.
10．若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】由x-4<0，可得x<4，由x+m≥6，可得x≥6-m，
∵不等式组有解，
∴6-m＜4，
解得：.
故答案为：C.
【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有解可得6-m＜4，再求出m的取值范围即可。
11．如下图，在中，，的度数是　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由题意，.
故答案为：；
【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此直接用圆心角∠AOC 的度数乘以，即可求出圆周角∠ABC 的度数。
12．若，为实数，且，则的值为　 　．
【答案】1
【知识点】有理数的乘方法则；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：1．
【分析】利用非负数之和为0的性质可得，再求出x、y的值，最后将其代入计算即可.
13．生命在于运动，黄老师每天都坚持锻炼身体，某一周黄老师每天锻炼的时间情况统计如下：
星期 一 二 三 四 五 六 日
时间/
则这一周黄老师每天锻炼时间的中位数是　 　．
【答案】60
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组锻炼时间数据从小到大排列为：
则这一周黄老师每天锻炼时间的中位数是．
故答案为：60；
【分析】先将一周的锻炼时间按从小到大的顺序排列，再根据数据个数为奇数，取位于中间位置的数，即为这组数据的中位数。
14．当　 　时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴．
故答案为：；
【分析】根据一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，判别式 ；将方程系数 、、 代入判别式，解不等式即可求出 的取值范围。
15．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：设AC与BD相交于点O，连接OP，过D作DM⊥AC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，∠ADC=90°，OA=OD．
∵AB=3，AD=4，
∴由勾股定理得：AC= ．
∵ ，
∴DM=．
∵，
∴ ．
∴PE+PF=DM=．
故答案为：.
【分析】设AC与BD相交于点O，连接OP，过D作DM⊥AC于M，先利用勾股定理求出AC的长，再利用等面积法求出DM的长，再结合，列出算式求出PE+PF=DM=即可．
16．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先分别计算特殊角的三角函数值、负指数幂、二次根式和零次幂，再按实数混合运算法则依次计算加减，得出最终结果。
17．如图，，平分，交于点E．
（1）实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点O，交于点F，连接（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）猜想与证明：试猜想四边形的形状，并加以证明．
【答案】（1）解：以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接点与这点交于点，即为的平分线，作图如下：
（2）解：猜想：四边形是菱形，
证明如下：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接点与这点交于点，即为的平分线；
（2）先证出四边形是平行四边形，再结合AC=AE，即可证出四边形是菱形．
（1）解：以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接点与这点交于点，即为的平分线，作图如下：
（2）解：猜想：四边形是菱形，证明如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
18．央行推出数字货币，支付方式即将变革，调查结果显示，目前支付方式有：A微信、B支付宝、Ｃ现金、D其他，调查组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了多少名购买者？
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，C种支付方式所对应的圆心角为______度；
（4）在一次购物中，小明利小亮都想从“微信”、“支付宝”、“现金”三种付款方式中选一种方式进行付款，请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种付款方式的概率．
【答案】解：（1）44÷22%=200（名）
答：本次一共调查了200名购买者．
（2）A种支付方式的有：200×30%=60人，
D种支付方式的有：200-56-44-60=40人
补全统计图如图所示：
（3）79.2；
（4）由题意可得：
一共产生了9种等可能的结果，
其中两人恰好选择同一种付款方式的结果有3种，
所以两人恰好选择同一种付款方式的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（3）C种支付方式所对应的圆心角为360°×22%=79.2°
故答案为：79.2；
【分析】（1）利用 “部分量 ÷ 对应百分比” 求出调查的总人数；
（2）根据总人数和对应百分比求出 A、D 的人数，补全条形统计图；
（3）用 360° 乘以 C 方式的占比，求出对应扇形圆心角的度数；
（4）通过画树状图列出所有等可能结果，再结合概率公式计算两人选择同一种付款方式的概率。
19．某企业为开启网络直播带货的新篇章，计划购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台．
（1）求A，B型设备单价分别是多少元；
（2）该企业计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用．
【答案】（1）解：设B型设备的单价为x元，A型设备的单价为元；
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：A型设备的单价为240元，B型设备的单价为200元；
（2）解：∵，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，
∴，
∴，
由题意得，，
∵，
∴w随a增大而增大，
∴当时，w有最小值，最小值为，
∴，最小购买费用为12800元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的性质；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先设 B 型设备单价为x元、A 型设备单价为1.2x元，再根据 “4800 元购买 A 型设备的数量比 3000 元购买 B 型设备的数量多 5 台” 列出分式方程求解；
（2）先根据 “A 型设备数量不少于 B 型设备数量的一半” 列出不等式求出a的取值范围，再列出费用w关于a的一次函数，利用一次函数的单调性求出最小费用。
（1）解：设B型设备的单价为x元，A型设备的单价为元；
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：A型设备的单价为240元，B型设备的单价为200元；
（2）解：∵，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，
∴，
∴，
由题意得，，
∵，
∴w随a增大而增大，
∴当时，w有最小值，最小值为，
∴，最小购买费用为12800元．
20．项目化学习
项目主题：测量校园古槐的高度．
项目背景：古树因城而增色，古城因树而厚重，山西人对槐树有着特殊的感情，槐香处处，是这座城市温馨的名片之一，在我校校园里也有着一棵历经沧桑的古槐，我班数学实践小组想要测量这棵古槐树的高度．
研究步骤：
（1）小组成员讨论后，设计了如下两种测量方案，并画出相应的测量草图．
备注：两位同学的观测点C、D到地面的距离相等，线段长表示该树的高度，点均在同一竖直平面内；
（2）准备测量工具：测角仪，皮尺；
（3）实地测量并记录数据；
方案一
方案二
问题解决：请你选择一种方案计算这棵古愧树的高度．（结果精确到）（参考数据：）
【答案】解：方案一：
设交于点，
，
由题意得．且，
四边形都是矩形，
设，
在中，，
，
在中，，
∴
∵
∴
解得，
∴，
答：这棵古槐树的高度为．
方案二：
如图，延长交于点，
，
由题意得．且，
四边形都是矩形，
设，
在中，，
，
在中，
，
，
，解得，
，
答：这棵古槐树的高度约为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】方案一：通过构造两个含特殊角的直角三角形，利用30°和45°角的三角函数关系，用未知数x表示出水平距离，再根据水平总距离列方程求出EG，最后加上人的身高得到树高；
方案二：通过构造两个含特殊角的直角三角形，利用30°和45°角的三角函数关系，用未知数x表示出水平距离差，再根据水平距离差列方程求出EG，最后加上人的身高得到树高。
21．如图，D是直径延长线上一点，点B在上，且．
（1）求证：是的切线．
（2）若E是劣弧上一点，与相交于点F，的面积为9，且，求的面积．
【答案】解：(1)证明：连接，
方法一：∵，
∴，
∵.
∴.
又在中，
即.
∴是的切线；
方法二：∵，.
∴.
∴为等边三角形
又
即，
∴是的切线；
方法三：∵，
∴点O、B、D在以为直径的上，
即，
∴是的切线；
(2)∵，，
∴，
∵是的直径.
在中，
又
【知识点】三角形的面积；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）通过证明∠OBD=90°，得到 BD⊥BO，从而证明 BD 是⊙O 的切线；
（2）先利用圆周角相等证明△ACF∽△BEF，再结合三角函数求出相似比，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，计算出△ACF 的面积。
22．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点．
（1）求反比例函数的关系式和一次函数的关系式；
（2）如图1，点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧，若的面积为6，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M是坐标轴上的点，点N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数的关系式为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴，
∵一次函数的图象过点，
∴，解得，
∴一次函数的关系式为；
（2）解：设点，过点作轴的垂线交直线于，
∴点，
∵，
∴，
整理得，
解得或，
∵点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧，
∴，
∴点C的坐标为；
（3）解：①当点在轴上时，
如图：过作直线轴交轴于点，过作于点，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，，
∴点N的坐标为；
②当点在轴上时，
同理，点N的坐标为；
综上，点N的坐标为或．
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；平移的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先利用点 A 的坐标求出反比例函数的参数 m，再求出点 B 的坐标，最后根据点 A 的坐标求出一次函数的参数 k，得到两个函数的表达式；
（2）设出点 C 的坐标，通过作垂线构造三角形的高，利用三角形面积公式列方程求出点 C 的横坐标，再结合点 C 的位置条件确定其坐标；
（3）分点 M 在 y 轴和 x 轴上两种情况，通过构造相似三角形求出点 M 的坐标，再利用矩形对边平行且相等的性质求出点 N 的坐标。
（1）解：∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数的关系式为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴，
∵一次函数的图象过点，
∴，解得，
∴一次函数的关系式为；
（2）解：设点，过点作轴的垂线交直线于，
∴点，
∵，
∴，
整理得，
解得或，
∵点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧，
∴，
∴点C的坐标为；
（3）解：①当点在轴上时，
如图：过作直线轴交轴于点，过作于点，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，，
∴点N的坐标为；
②当点在轴上时，
同理，点N的坐标为；
综上，点N的坐标为或．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与y轴交于点A，与x轴的一个交点为B，点是抛物线上的一点．
（1）求m的值；
（2）轴于点D，与交于点E，求的值；
（3）在（2）的条件下，在x轴上找一点P，使，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵点是抛物线上一点，
∴；
（2）解：对于，
当时，，
解得或，
当时，，
∴，，
∴，，
由（1）知，
∵轴于点D，
∴，，
方法一：如图（1），过点B作轴交于点Q，
∵，，
∴所在直线的解析式为，
当时，，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴；
方法二：如图（1），过点E作轴于点F，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：∵在中，，，
∴，
可分点P在点B右侧和左侧两种情况进行讨论：
①当点P在点B右侧时，
，
，
，
，
，即，
此时点P与点D重合，如图（2），
点P的坐标为；
②当点P在点B左侧时，如图（3），过点P作于点H，
设，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
点P的坐标是．
综上，点P的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）将点的横坐标代入抛物线解析式，直接计算纵坐标，得到，从而确定点的坐标；
（2）先求抛物线与坐标轴的交点，得到、和，求出直线的解析式；再通过构造平行线，利用或、，结合相似三角形的对应边成比例，求出线段的长度，最后计算的值；
（3）分点在点右侧和左侧两种情况：右侧时，通过计算与的值相等，推得，结合角的正切关系判断点与点重合，得到坐标；左侧时，设，过作，利用三角函数表示出、和，再根据列方程求解，进而得到点的坐标。
（1）解：∵点是抛物线上一点，
∴；
（2）解：对于，
当时，，
解得或，
当时，，
∴，，
∴，，
由（1）知，
∵轴于点D，
∴，，
方法一：如图（1），过点B作轴交于点Q，
∵，，
∴所在直线的解析式为，
当时，，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴；
方法二：如图（1），过点E作轴于点F，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：∵在中，，，
∴，
可分点P在点B右侧和左侧两种情况进行讨论：
①当点P在点B右侧时，
，
，
，
，
，即，
此时点P与点D重合，如图（2），
点P的坐标为；
②当点P在点B左侧时，如图（3），过点P作于点H，
设，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
点P的坐标是．
综上，点P的坐标为或．
1 / 1广东省惠州市仲恺第七学校2025--2026学年下学期九年级数学课堂练习
1．“音符是连接作曲家与听众心灵的桥梁．”下列音符图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．4月 8日，为期三天的邵东第八届五金机电博览会圆满落幕，博览会参展人数达万余人次，现场交易额亿元，签约供销项目133亿元，总成交额共计165亿元，创历史新高.165亿元用科学记数法可以表示为（　　）
A．元 B．元
C．元 D．元
4．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≤2 D．x≥2
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．已知某企业2019年年营业收入为2500万元，2021年年营业收入达到3600万元，求这两年该企业年营业收入的平均增长率．设这两年年营业收入的平均增长率为x，根据题意列方程为（　　）
A．2500x2＝3600
B．2500（1+x）＝3600
C．2500（1+x）2＝3600
D．2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝3600
7．若点，，在二次函数（）的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，，，根据尺规作图痕迹可知，的周长是（　　）
A．17 B．18.5 C．20 D．25
9．在平面直角坐标系内，的顶点分别为，，，以点为位似中心，在第一象限作与位似，如图，位似比为，则点坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
11．如下图，在中，，的度数是　 　．
12．若，为实数，且，则的值为　 　．
13．生命在于运动，黄老师每天都坚持锻炼身体，某一周黄老师每天锻炼的时间情况统计如下：
星期 一 二 三 四 五 六 日
时间/
则这一周黄老师每天锻炼时间的中位数是　 　．
14．当　 　时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
15．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于　 　．
16．计算：．
17．如图，，平分，交于点E．
（1）实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点O，交于点F，连接（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）猜想与证明：试猜想四边形的形状，并加以证明．
18．央行推出数字货币，支付方式即将变革，调查结果显示，目前支付方式有：A微信、B支付宝、Ｃ现金、D其他，调查组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了多少名购买者？
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，C种支付方式所对应的圆心角为______度；
（4）在一次购物中，小明利小亮都想从“微信”、“支付宝”、“现金”三种付款方式中选一种方式进行付款，请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种付款方式的概率．
19．某企业为开启网络直播带货的新篇章，计划购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台．
（1）求A，B型设备单价分别是多少元；
（2）该企业计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用．
20．项目化学习
项目主题：测量校园古槐的高度．
项目背景：古树因城而增色，古城因树而厚重，山西人对槐树有着特殊的感情，槐香处处，是这座城市温馨的名片之一，在我校校园里也有着一棵历经沧桑的古槐，我班数学实践小组想要测量这棵古槐树的高度．
研究步骤：
（1）小组成员讨论后，设计了如下两种测量方案，并画出相应的测量草图．
备注：两位同学的观测点C、D到地面的距离相等，线段长表示该树的高度，点均在同一竖直平面内；
（2）准备测量工具：测角仪，皮尺；
（3）实地测量并记录数据；
方案一
方案二
问题解决：请你选择一种方案计算这棵古愧树的高度．（结果精确到）（参考数据：）
21．如图，D是直径延长线上一点，点B在上，且．
（1）求证：是的切线．
（2）若E是劣弧上一点，与相交于点F，的面积为9，且，求的面积．
22．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点．
（1）求反比例函数的关系式和一次函数的关系式；
（2）如图1，点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧，若的面积为6，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M是坐标轴上的点，点N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与y轴交于点A，与x轴的一个交点为B，点是抛物线上的一点．
（1）求m的值；
（2）轴于点D，与交于点E，求的值；
（3）在（2）的条件下，在x轴上找一点P，使，求点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但旋转 180° 后无法与自身重合，不是中心对称图形，A不符合题意；B、不是轴对称图形，但旋转 180° 后能与自身重合，是中心对称图形，B不符合题意；
C、沿某条直线折叠后两旁部分可重合，同时绕中心旋转 180° 也能与自身重合，既是轴对称图形，也是中心对称图形，C符合题意；
D、既无法找到对称轴使折叠后重合，也无法在旋转 180° 后与自身重合，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断各选项是否同时满足 “沿一条直线折叠后重合” 和 “绕某点旋转 180° 后重合” 的条件，从而选出符合题意的选项。
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能组成三角形，A不符合题意；
B、因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能组成三角形，B不符合题意；
C、因为 ，，满足三角形三边关系，能组成三角形，C符合题意；
D、因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能组成三角形，D不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据三角形三边关系，逐一判断各选项中的线段长度是否满足“任意两边之和大于第三边”，以此确定能组成三角形的选项。
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：165亿元元元，
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
4．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 二次根式有意义，
∴3x-6≥0
解之：x≥2.
故答案为：D.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；幂的乘方运算
【解析】【解答】A、，原式展开错误，A不符合题意；
B、根据同底数幂的除法法则，，计算正确，B符合题意；
C、根据积的乘方运算法则，，原式计算错误，C不符合题意；
D、与不是同类项，不能直接合并，D不符合题意；
故答案为：B。
【分析】本题考查整式的运算，解题关键是熟练掌握完全平方公式、同底数幂的除法、积的乘方以及同类项合并的法则，逐一判断各选项的计算是否正确。
6．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意所列方程为：，
故答案为：C．
【分析】 设这两年年营业收入的平均增长率为x，利用“ 2019年年营业收入为2500万元，2021年年营业收入达到3600万元 ”列出方程即可.
7．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：（），
抛物线开口向下，对称轴为直线，
，
，
故答案为：D．
【分析】
由抛物线解析式可得抛物线开口方向向下可得离对称轴越近所对的函数值越大，即可根据，，三点到对称轴的距离大小关系求解.
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：由作图痕迹可知，AD 平分∠BAC，且 DP 垂直于 AB。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠DAC = ∠DAB；又因为∠C = ∠APD = 90°，AD 为公共边，所以
△ACD ≌ △APD（AAS）。
由全等三角形性质可得：AP = AC = 5，CD = PD。因此 BP = AB - AP = 13 - 5 = 8。
△BPD 的周长为 PD + DB + PB，将 PD 替换为 CD，可得：周长=CD+DB+PB=BC+PB。
代入 BC=12、PB=8，得周长=12+8=20。
故答案为：C。
【分析】先识别作图痕迹得到角平分线与垂直条件，通过证明全等三角形实现线段等量替换，再将三角形周长转化为已知线段之和，从而简化计算。
9．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵与位似，点为位似中心，且位似比为，，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据位似变换，可得点的坐标等于点的横纵坐标都乘以，据此即可得到答案.
10．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】由x-4<0，可得x<4，由x+m≥6，可得x≥6-m，
∵不等式组有解，
∴6-m＜4，
解得：.
故答案为：C.
【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有解可得6-m＜4，再求出m的取值范围即可。
11．【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由题意，.
故答案为：；
【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此直接用圆心角∠AOC 的度数乘以，即可求出圆周角∠ABC 的度数。
12．【答案】1
【知识点】有理数的乘方法则；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：1．
【分析】利用非负数之和为0的性质可得，再求出x、y的值，最后将其代入计算即可.
13．【答案】60
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组锻炼时间数据从小到大排列为：
则这一周黄老师每天锻炼时间的中位数是．
故答案为：60；
【分析】先将一周的锻炼时间按从小到大的顺序排列，再根据数据个数为奇数，取位于中间位置的数，即为这组数据的中位数。
14．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴．
故答案为：；
【分析】根据一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，判别式 ；将方程系数 、、 代入判别式，解不等式即可求出 的取值范围。
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：设AC与BD相交于点O，连接OP，过D作DM⊥AC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，∠ADC=90°，OA=OD．
∵AB=3，AD=4，
∴由勾股定理得：AC= ．
∵ ，
∴DM=．
∵，
∴ ．
∴PE+PF=DM=．
故答案为：.
【分析】设AC与BD相交于点O，连接OP，过D作DM⊥AC于M，先利用勾股定理求出AC的长，再利用等面积法求出DM的长，再结合，列出算式求出PE+PF=DM=即可．
16．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先分别计算特殊角的三角函数值、负指数幂、二次根式和零次幂，再按实数混合运算法则依次计算加减，得出最终结果。
17．【答案】（1）解：以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接点与这点交于点，即为的平分线，作图如下：
（2）解：猜想：四边形是菱形，
证明如下：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接点与这点交于点，即为的平分线；
（2）先证出四边形是平行四边形，再结合AC=AE，即可证出四边形是菱形．
（1）解：以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接点与这点交于点，即为的平分线，作图如下：
（2）解：猜想：四边形是菱形，证明如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
18．【答案】解：（1）44÷22%=200（名）
答：本次一共调查了200名购买者．
（2）A种支付方式的有：200×30%=60人，
D种支付方式的有：200-56-44-60=40人
补全统计图如图所示：
（3）79.2；
（4）由题意可得：
一共产生了9种等可能的结果，
其中两人恰好选择同一种付款方式的结果有3种，
所以两人恰好选择同一种付款方式的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（3）C种支付方式所对应的圆心角为360°×22%=79.2°
故答案为：79.2；
【分析】（1）利用 “部分量 ÷ 对应百分比” 求出调查的总人数；
（2）根据总人数和对应百分比求出 A、D 的人数，补全条形统计图；
（3）用 360° 乘以 C 方式的占比，求出对应扇形圆心角的度数；
（4）通过画树状图列出所有等可能结果，再结合概率公式计算两人选择同一种付款方式的概率。
19．【答案】（1）解：设B型设备的单价为x元，A型设备的单价为元；
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：A型设备的单价为240元，B型设备的单价为200元；
（2）解：∵，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，
∴，
∴，
由题意得，，
∵，
∴w随a增大而增大，
∴当时，w有最小值，最小值为，
∴，最小购买费用为12800元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的性质；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先设 B 型设备单价为x元、A 型设备单价为1.2x元，再根据 “4800 元购买 A 型设备的数量比 3000 元购买 B 型设备的数量多 5 台” 列出分式方程求解；
（2）先根据 “A 型设备数量不少于 B 型设备数量的一半” 列出不等式求出a的取值范围，再列出费用w关于a的一次函数，利用一次函数的单调性求出最小费用。
（1）解：设B型设备的单价为x元，A型设备的单价为元；
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：A型设备的单价为240元，B型设备的单价为200元；
（2）解：∵，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，
∴，
∴，
由题意得，，
∵，
∴w随a增大而增大，
∴当时，w有最小值，最小值为，
∴，最小购买费用为12800元．
20．【答案】解：方案一：
设交于点，
，
由题意得．且，
四边形都是矩形，
设，
在中，，
，
在中，，
∴
∵
∴
解得，
∴，
答：这棵古槐树的高度为．
方案二：
如图，延长交于点，
，
由题意得．且，
四边形都是矩形，
设，
在中，，
，
在中，
，
，
，解得，
，
答：这棵古槐树的高度约为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】方案一：通过构造两个含特殊角的直角三角形，利用30°和45°角的三角函数关系，用未知数x表示出水平距离，再根据水平总距离列方程求出EG，最后加上人的身高得到树高；
方案二：通过构造两个含特殊角的直角三角形，利用30°和45°角的三角函数关系，用未知数x表示出水平距离差，再根据水平距离差列方程求出EG，最后加上人的身高得到树高。
21．【答案】解：(1)证明：连接，
方法一：∵，
∴，
∵.
∴.
又在中，
即.
∴是的切线；
方法二：∵，.
∴.
∴为等边三角形
又
即，
∴是的切线；
方法三：∵，
∴点O、B、D在以为直径的上，
即，
∴是的切线；
(2)∵，，
∴，
∵是的直径.
在中，
又
【知识点】三角形的面积；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）通过证明∠OBD=90°，得到 BD⊥BO，从而证明 BD 是⊙O 的切线；
（2）先利用圆周角相等证明△ACF∽△BEF，再结合三角函数求出相似比，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，计算出△ACF 的面积。
22．【答案】（1）解：∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数的关系式为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴，
∵一次函数的图象过点，
∴，解得，
∴一次函数的关系式为；
（2）解：设点，过点作轴的垂线交直线于，
∴点，
∵，
∴，
整理得，
解得或，
∵点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧，
∴，
∴点C的坐标为；
（3）解：①当点在轴上时，
如图：过作直线轴交轴于点，过作于点，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，，
∴点N的坐标为；
②当点在轴上时，
同理，点N的坐标为；
综上，点N的坐标为或．
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；平移的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先利用点 A 的坐标求出反比例函数的参数 m，再求出点 B 的坐标，最后根据点 A 的坐标求出一次函数的参数 k，得到两个函数的表达式；
（2）设出点 C 的坐标，通过作垂线构造三角形的高，利用三角形面积公式列方程求出点 C 的横坐标，再结合点 C 的位置条件确定其坐标；
（3）分点 M 在 y 轴和 x 轴上两种情况，通过构造相似三角形求出点 M 的坐标，再利用矩形对边平行且相等的性质求出点 N 的坐标。
（1）解：∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数的关系式为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴，
∵一次函数的图象过点，
∴，解得，
∴一次函数的关系式为；
（2）解：设点，过点作轴的垂线交直线于，
∴点，
∵，
∴，
整理得，
解得或，
∵点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧，
∴，
∴点C的坐标为；
（3）解：①当点在轴上时，
如图：过作直线轴交轴于点，过作于点，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，，
∴点N的坐标为；
②当点在轴上时，
同理，点N的坐标为；
综上，点N的坐标为或．
23．【答案】（1）解：∵点是抛物线上一点，
∴；
（2）解：对于，
当时，，
解得或，
当时，，
∴，，
∴，，
由（1）知，
∵轴于点D，
∴，，
方法一：如图（1），过点B作轴交于点Q，
∵，，
∴所在直线的解析式为，
当时，，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴；
方法二：如图（1），过点E作轴于点F，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：∵在中，，，
∴，
可分点P在点B右侧和左侧两种情况进行讨论：
①当点P在点B右侧时，
，
，
，
，
，即，
此时点P与点D重合，如图（2），
点P的坐标为；
②当点P在点B左侧时，如图（3），过点P作于点H，
设，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
点P的坐标是．
综上，点P的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）将点的横坐标代入抛物线解析式，直接计算纵坐标，得到，从而确定点的坐标；
（2）先求抛物线与坐标轴的交点，得到、和，求出直线的解析式；再通过构造平行线，利用或、，结合相似三角形的对应边成比例，求出线段的长度，最后计算的值；
（3）分点在点右侧和左侧两种情况：右侧时，通过计算与的值相等，推得，结合角的正切关系判断点与点重合，得到坐标；左侧时，设，过作，利用三角函数表示出、和，再根据列方程求解，进而得到点的坐标。
（1）解：∵点是抛物线上一点，
∴；
（2）解：对于，
当时，，
解得或，
当时，，
∴，，
∴，，
由（1）知，
∵轴于点D，
∴，，
方法一：如图（1），过点B作轴交于点Q，
∵，，
∴所在直线的解析式为，
当时，，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴；
方法二：如图（1），过点E作轴于点F，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：∵在中，，，
∴，
可分点P在点B右侧和左侧两种情况进行讨论：
①当点P在点B右侧时，
，
，
，
，
，即，
此时点P与点D重合，如图（2），
点P的坐标为；
②当点P在点B左侧时，如图（3），过点P作于点H，
设，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
点P的坐标是．
综上，点P的坐标为或．
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