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2025-2026学年第二学期八年级数学期中素养评价
　　　　　　　　　　 （满分：120分）
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若，，则可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则代数式的值为（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
4．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
第4题图 第6题图 第8题图 第9题图 第10题图
A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④
5．在中，，，，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．
6．如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（ ）
A．30 B．32 C．36 D．40
7． ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断 ABC是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，，
8．如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．如图，五边形是正五边形，以为边向内作等边，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
二、填空题
11．若式子有意义，则的取值范围是_____．
12．计算：________，________，________．
13．一个面积为的三角形，若其底边长为，则该底边上的高为_________．
14．如图，等边 ABC中，是上一点，且，点为AB边上一动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转至，连接、，则的最小值为__________．
第14题图 第15题图 第16题图 第17题图 第18题图
15．如图，在 ABC中，，为上一点．若，，，则的长为__________．
16．如图，，，点为射线上的动点，则的最小值为_____．
17．已知正方形，连接、，平分交于点E，则______．
18．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交边于点．已知，的周长为48，则的长是___________．
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）计算
(1) (2)
20．（本题6分）我国南宋时期数学家秦九韶提出“利用三角形的三边可以求这个三角形的面积”．他的方法大致如下：如图， ABC，作于，此时为，的公共边，则运用勾股定理，先求，再求，从而求出 ABC的面积．若，，，请根据以上信息，求 ABC的面积．
21．（本题6分）如图，在中，对角线AC、BD交于点O，，，．
(1)求证：；(2)求的周长．
22．（本题6分）如图，已知一架梯子斜靠在墙角处，竹梯，梯子底端离墙角的距离．
(1)求这个梯子顶端A距地面有多高；
(2)如果梯子的顶端A下滑到点C，那么梯子的底部B在水
平方向上滑动的距离吗？为什么？
23．（本题6分）出入相补原理是中国古代数学家刘徽提出的一个基本原理，指一个几何图形被分割成若干部分后其面积的总和保持不变，请利用出入相补原理完成下列问题
(1)如图1，已知边长为m的正方形与边长为的正方形剪拼后拼成大正方形，则图1中的阴影部分面积_____
(2)图2中有一个由8个边长为1的小正方形所组成的图形，请将该图形剪两刀后拼成一个大正方形，在图2中画出裁剪线和拼接后的大正方形．
24．（本题8分）有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形．
(1)求长方形木板的面积；
(2)木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行．
25．（本题8分）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行海里，乙船每小时航行海里．
(1)若甲乙两船离开港口一个半小时后分别位于、处（图1），且相距海里，如果知道甲船沿北偏东方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由．
(2)若甲船沿北偏东方向航行（图2），从港口离开经过两个小时后位于点处，此时船上有名乘客需要以最快的速度回到海岸线上，若他从处出发，乘坐的快艇的速度是每小时海里，他能在分钟内回到海岸线吗？请说明理由．（提示：）
26．（本题8分）材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，像、．两个有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同时乘以分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：
，
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)请写出的有理化因式：________；请将此式分母有理化________．
(2)化简：；
(3)当时，直接写出代数式的最大值：________．
27．（本题10分）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．某兴趣小组围绕该定义进行探究活动，请解决下列问题：
(1)如图1，点分别为任意四边形的边的中点．该小组发现任意四边形的中点四边形都是平行四边形，证明思路如下：
请指出上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？
依据1：________________________；依据2：____________________________；
(2)该小组从特殊四边形出发，判断以下图形中，一定属于“中方四边形”的是______（填序号）．
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
(3)如图2，该小组深入探究发现，要使得四边形为“中方四边形”，则其对角线与应满足特殊的数量关系和位置关系．请写出与应满足的条件，并证明你的结论．
(4)如图3，以锐角 ABC的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，求证：四边形是“中方四边形”．参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C C D C D B D A
11．且
12．解：①，
②，
③∵，
∴．
13．
14．
15．
16．
17．
18．4
19．（1）解：
；
（2）解：
．
20．解：如图，作于，
∴，
设的长为x，则的长为，
∴，，
∴，
∵， ，
∴，
解得，
∴，，
∴，
解得，
∴；
即 ABC的面积是84．
21．（1）∵四边形为平行四边形，
∴，．
∴．
又，
∴．
∴．
（2）在中，
．
在中，
．
∵四边形为平行四边形，
∴，．
∴的周长．
22．（1）解：根据勾股定理：
∴梯子距离地面的高度为：；
（2）解：梯子的底部B在水平方向上滑动的距离不等于，理由如下：
∵梯子的顶端A下滑到点C，
∴，，
∴，
根据勾股定理得到，
∴，
∴梯子的底部B在水平方向上滑动的距离不等于．
23．（1）解：如图，设交于点M，交于点N，
根据题意得：正方形的面积为，正方形的面积为，大正方形的面积为，，，，，
∴阴影部分面积，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴阴影部分面积；
（2）解：如图，即为所求．
24．（1）解：∵长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形．
∴正方形的边长为，
∴，，
∴长方形木板的面积为；
（2）解：木工乙的想法可行，理由如下：
∵要从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，
∴裁出的长方形的长为，
由（1）得长方形的长为，宽为，
，， ，
∴，，
∴可以裁出所求的长方形木料，即木工乙的想法可行．
25．（1）解：乙船沿南偏东方向航行； 理由如下：
由题意可得：，（海里），（海里），
在中， ，，
，
是直角三角形，且，
，
乙船沿南偏东方向航行；
（2）解：他能在分钟内到海岸线．理由如下：
如图，过点作于，
由题意可得：，（海里），
，
（海里），
（海里），
（海里）， ，
他能在分钟内到海岸线．
26．（1）解：，
的有理化因式为；
分母有理化的结果为
（2）解：原式
；
（3）解：，
，
当时，有最小值，最小值为，
此时的值最大，最大值为，
即代数式的最大值为．
27．（1）解：由题意得，依据1是三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边长的一半；
依据2是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）解：如图所示，连接，
同理可得，
当四边形是平行四边形时，与不一定垂直，
故此时与不一定垂直，
∴四边形不一定是正方形，即此时四边形不是“中方四边形”；
当四边形是矩形时，与不一定垂直，
故此时与不一定垂直，
∴四边形不一定是正方形，即此时四边形不是“中方四边形”；
当四边形是菱形时，与不一定相等，
故此时与不一定相等，
∴四边形不一定是正方形，即此时四边形不是“中方四边形”；
当四边形是正方形时，，
故此时，
∴四边形是正方形，即此时四边形是“中方四边形”；
（3）解：，证明如下：
∵四边形是“中方四边形”，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴；
（4）证明：如图所示，连接，设分别交于点H，点O，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴且，
∴由（3）可得四边形是“中方四边形”．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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