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甘肃陇南市2025-2026学年春季学期学情评价（一） 八年级
数学试卷
一、单选题
1．下列二次根式是最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
2．的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下面计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．图1所示是某教学楼的楼梯扶手侧面图，将扶手最上方的形状抽象成图2所示的平行四边形，其中，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（ ）
1
3 2
6
A． B． C．6 D．
6．如图，在中，，，，在数轴上，在上截取，以原点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点P，则的中点D对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，点D，E分别为，的中点，若，，则的长为（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
8．如图，在中，，，，则的长为（ ）
A．10 B． C．12 D．2
9．如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．图，已知正方形的边长为5，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则的长度是（ ）
A． B．3 C． D．
二、填空题
11．当时，则二次根式_____．
12．已知，那么的值是_____．
13．如图，在直角三角形中，，，，D为直线上一个动点，连接．将沿折叠，若点A恰好落在直线上的点E处，连接，则的长为__________．
14．风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①）．风铎的底部可抽象为正六边形（如图②），连接．则_____．
15．如图，在等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且，，垂足为M，，则______．
16．如图，点A在直线上，以A为顶点，在直线的上方作菱形．若，，则点C到直线的最大距离是___________．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．求出图形中x的值．
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，在甲地到乙地有一块山地正在开发，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且，求点C到公路段的距离？
21．如图，在的网格中，每个小正方形边长为．请按要求作图，使得顶点均在格点上．
(1)在图①中画，使得，；
(2)在图②中画线段，使得，此时_________．
22．如图，在中，点E、F分别在、上，交于点．求证．
23．如图，为推进绿色亚运城市建设，广州市某低碳大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板，，两块光伏发电板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为和．
(1)光伏发电板，的边长分别为_____，_____；（用最简二次根式表示）
(2)计算屋顶中未利用区域（阴影部分）的面积．
24．数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米．
(1)求旗杆的高度；
(2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？
25．如图，在四边形中，，，，垂足分别为，．求证：
(1)；
(2)四边形 是平行四边形．
26．定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根．
(1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b；
(2)若，且a、n为正整数，则______；
(3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由．
27．综合探究
(1)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点，当 时，四边形为正方形；
(2)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点．
当 时，四边形为矩形；
当 时，四边形为菱形．
(3)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点．若，，试判断四边形的形状并加以证明．
参考答案及解析
1．A
解析：∵ 选项A中的被开方数是整数，且不含能开方的因数，满足最简二次根式的条件．
∴ A符合要求．
∵ 选项B中的被开方数是小数，可以化为分数，被开方数含分母，不满足条件．
∴ B不符合要求．
∵ 选项C中==，被开方数含能开方的因数，不满足条件．
∴ C不符合要求．
∵ 选项D中的被开方数含分母，不满足条件．
∴ D不符合要求．
2．A
解析：解：A、∵，
∴，
∴，
又∵，
∴不是直角三角形，故此选项符合题意；
B、∵，，
∴，
∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴，
又∵，
∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．B
解析：解：选项A：，
∴ A错误，该选项不符合题意；
选项B：，计算正确，
∴ B正确，该选项符合题意；
选项C：与不是同类二次根式，不能合并，
∴ C错误，该选项不符合题意；
选项D：，
∴ D错误，该选项不符合题意．
4．C
解析：解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
．
5．C
解析：∵横向三个数乘积相同，第二行三个数已知完整，
∴所有方向的共同乘积为 ，
设第一行第三格的数为a，第三行第一格的数为b，
∵第一行乘积等于共同乘积，
∴，
解得：，
∵第三行乘积等于共同乘积，
∴，
解得：，
∴两个空格中的实数之积为．
6．C
解析：解：∵的直角边，，
∴，
又∵，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
即点D所表示的数为：．
7．D
解析：解：∵E为的中点，，
∴，
∵D为的中点，，
∴，
在中，，
∴．.
8．B
解析：解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
．
9．B
解析：解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵点F是的中点，
∴是斜边上的中线，
∴．
10．A
解析：解：如图：

连接，
四边形是正方形，
，，
，，，
四边形是矩形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
，，，
，
，
故选：A．
11．1
解析：解：依题意，把代入，得．
12．4
解析：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为4
13．或6
解析：解：当点D在上时，如图所示：
在中，，
由勾股定理得：，
由折叠性质得：，，
∴，
设，则，
∵，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
即此时的长为；
当点D在延长线时，如图所示：
根据折叠可得：，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
即此时的长为6；
综上，的长为或6．
14．/30度
解析：解：在正六边形中，
，，
∴，
故答案为：．
15．
解析：解：∵是等边三角形，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
16．6
解析：解：如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴．，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
当时，点C到直线的距离最大，最大值为6．
17．(1)
(2)
解析：（1）解：
；
（2）解：
．
18．
解析：解：由图可知，
解得．
19．，
解析：解：
，
当时，原式.
20．点C到公路段的距离为240米．
解析：解：如图，过点C作于点D．
，，，
∴，
∵，
∴，
，
∴点C到公路段的距离为240米．
21．(1)图见解析
(2)图见解析；
解析：（1）解：如图①，三角形即为所求：
（2）解：如图，线段即为所求：
∵，
∴
∴．
22．见解析
解析：证明：∵四边形是平行四边形，
，，
．
在和中，
，
，
，
，
．
23．(1)，
(2)
解析：（1）解：∵两块正方形的光伏发电板的面积为，
故光伏发电板的边长为；
∵两块正方形的光伏发电板的面积为，
故光伏发电板的边长为．
（2），
根据题意可得，阴影部分是一个长为，宽为的矩形，
故阴影部分的面积为（）．
24．(1)12米
(2)7米
解析：（1）解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米，
由题意知：米，，
在中，
，
，
解得：，
答：旗杆的高度12米；
（2）解：由（1）知，米，则米，
米，
米，
答：珍珍应从A处向东走7米．
25．(1)见解析；
(2)见解析．
解析：（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：由（）得，
∴，
∴，
∵，
∴四边形 是平行四边形．
26．(1)，
(2)
(3)是，理由见解析
解析：（1）解：∵的完整平方根是，
∴．
∴．
∵，，，都是有理数，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∵a、n为正整数，
∴，，
解得，，
故答案为：10；
（3）解：是完整根式的完整平方根，
理由：∵，即，
∴是完整根式，
∴是完整根式的完整平方根．
27．(1)，
(2)；
(3)四边形为正方形，证明见解析
解析：（1）解：∵在四边形中，，，，分别为，，，的中点，
∴，，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形．
故答案为；，；
（2）解：∵在四边形中，，，，分别为，，，的中点，
∴，，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
当时，可得，
∴四边形是矩形；
当时，可得，
∴四边形是菱形；
（3）解：四边形为正方形．
证明：∵在四边形中，，，，分别为，，，的中点
∴，，，，
∴，，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
四边形为菱形，
∵，，，
，
∴，
，
∴菱形为正方形．

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