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辽宁省实验中学 2025—2026 学年度下学期期中阶段测试
高一数学参考答案
一、单项选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
C A D A A D B B
二、多项选择题
9 10 11
AD BCD BCD
三、填空题
2 13
12. 13. 14. 2
2 7
四．解答题
3
15.（1） …….6 分
2
（2） sin( ) 4 ,且 ( , )， cos( 3 ) . …….8 分
5 2 5
又 sin( 4 ) , 3 且 ( ,2 )， cos( ) 3 . ……10 分
5 2 5
sin 2 sin[( ) ( )]
则 sin( ) cos( ) cos( )sin( ) …….13 分
4 3 3 4 24
( )( )
5 5 5 5 25
16.（1）函数 f (x) 2sin(wx )且图像上相邻两个最高点的距离为 ，函数的最小正周
w 2, f (x) ,0 2 期为 ，则 又 关于点（ ）中心对称， f ( ) sin( ) 0,则 ,3 3 3 3
f (x) 2sin(2x ). …….4 分
3
5 5
当 x [0, ]时， 2x [ , ]，当 2x ,即 x 时， f (x)
4 3 3 6 3 6 4 取得最小值 1.
要使的m f (x)恒成立，则m的取值范围是 ( ,1). …….7 分

（2）由题意，函数 g(x) 2sin(4x ). ……11 分
3
x [0, t], 4x [ ,4t ],要使函数 g(x)有且仅有 4 个零点，
3 3 3
则3 4t 5 13 5 13 4 ,解得 t ,所以 t的取值范围是[ , ). …….15 分
3 6 12 6 12
高一期中数学参考答案 第 1 页 共 4 页

17.（1）设 a, b ，则 a 3, b 2.
= + + = + +
1 1 1
所以 = ( + ) a b. …….4 分
2 6 3
1

而 a 2 b , = 1 ，则直线MN 与 AF 平行。 …….7 分3 3 2

（2） a

b MN BC, (1 a 1, b ) ( a

b ) 0,
6 3
2 2
整理得： a 2b a b 0,则 a b 1,

又 a
b a b cos A, cos A 6 . …….15 分
6

18.（1）由图可得 f (x) 2sin(2x )， …….2 分
6
函数 f (x) 的单调递增区间为[k ,k ](k Z ) . …….4 分
3 6
（2） I (x) 2sin(2x ) 2sin(2x 3 ) 2sin(2x 4 )
6 4 3
3 sin 2x cos 2x 2 sin 2x 2 cos 2x sin 2x 3 cos 2x
(1 2 3)(cos 2x sin 2x) (2 2 6)cos(2x )
4
所以函数 I (x)的值域为[ 2 2 6,2 2 6]. …….9 分
（3） I (x) 2sin(2x ) 2sin(2x ) 2sin(2x )
6
3 sin 2x cos 2x 2cos sin 2x 2sin cos 2x 2cos sin 2x 2sin cos 2x
( 3 2cos 2cos )sin 2x (1 2sin 2sin ) cos 2x
若 I (x) 0，则： 3 2cos 2cos 0,1 2sin 2sin 0. …….11 分
3 2cos 2cos
,两式平方相加可得： 3 cos sin 1,
1 2sin 2sin
cos( 1 ) ,同理可得： cos( ) 1 . …….15 分
6 2 6 2
2 , 11 又 则 ,
2 3 6 6 6
2 4 所以 , , 5 3 则所求的 , . …….17 分
6 3 6 3 6 2
高一期中数学参考答案 第 2 页 共 4 页
f (x) (1 sin x 3 cos x ) cos x 1 sin x 3 cos x - 319.（1） 2 2 2 2 2 4 4 4
1
sin x 3 1 (1 cos x) sin x 3 cos x 3
4 4 4 4 4
1
sin x 3 cos x ……2 分
2 2
f (x) 1 3 的“相伴向量”为 a ( , )，a 1. ……4 分
2 2

（2）（ⅰ）函数 g(x)为“相伴函数”，设其“相伴向量”b (a,b),
1 3
则由定义可得 g(x) a sin x bcos x,所以 f (x) g(x) (a )sin x (b ) cos x,
2 2
则 f (x) g(x)为“相伴函数”， ……6 分
f (x) g(x) 的“相伴向量” c (a 1 3 ,b )，
2 2

b c a(a 1) b(b 3 ) a2 1 a b2 3 b (a 1)2 (b 3 1 )2
2 2 2 2 4 4 4
a 1 ,b 3 1所以当 时，取得最小值 . ……10 分
2 2 4
h(x) f ( x )g( x ) (1 sin x 3（ⅱ） cos x )(a sin x bcos x )
2 2 2 2 2 2 2 2
a sin 2 x 3 bcos2 x ( 3 a b )sin x x cos
2 2 2 2 2 2 2 2
a 1 cos x 3 b1 cos x 3a b sin x
2 2 2 2 4
3a b sin x 3b a cos x a 3b ……①
4 4 4
要使得 h(x)为“相伴函数”，则需 a 3b 0， ……14 分
b 3b
将其带入①式，可得：h(x) sin x cos x,则 h(x) b 3b的“相伴向量”d ( , ),
2 2 2 2
高一期中数学参考答案 第 3 页 共 4 页

d a b 1 3 3 ( , b ),
2 2 2 2

d a b 1 3 3 1 ( )2 ( b )2 b2 b 1 (b )2 3
2 2 2 2 2 4

当b 1 3 时， d a 取得最小值，其最小值为 . ……17 分
2 2
高一期中数学参考答案 第 4 页 共 4 页

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