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广东省广州市天河区华南师范大学附属中学2025年中考三模数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：A．
【分析】利用只有符号不同的两个数互为相反数解题．
2．2025年中国动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全球．以下四图是某校美术社团绘制的哪吒风火轮的简笔画，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：四个选项中，只有C选项对应的图形是中心对称图形，其余三个选项均不是中心对称图形。
故答案为：C
【分析】如果一个图形绕一个点旋转后，能和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。本题根据中信对称图形的定义，逐个选项进行图形分析即可得出答案。
3．某中学组织的全校师生迎“五四”诗词大赛中，来自不同年级的26名参赛同学的得分情况如图所示．这些成绩的中位数和众数分别是（　　）
A．分和分 B．分和分 C．分和分 D．分和分
【答案】B
【知识点】条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：结合图中信息，将分数从高到低排列，依次是100、100、100、98、98、98、98、98、98、98、98、98、98、96、96、96、96、96、96、96、96、94、94、94、94、94；
分，
这名同学成绩的中位数是分，
这名同学成绩的众数是分，
故答案为：B．
【分析】中位数，即将一组数据从小到大或者从大到小排列，中间的数就是中位数，如果中间有两个数，则中位数就是这两个数的平均数。众数，就是一组数据中出现次数最多的数。本题结合图中信息，将分数从高到低或者从低到高排列，即可得出中位数和众数。
4．若，根据不等式的性质，下列变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、，则，，无法得出，错误；
B、，则，错误；
C、，则，正确；
D、，当时，；当时，；当时，，错误；
故答案为：C．
【分析】不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，据此即可判断AC选项；不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，据此可以判断B选项；不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此可以判断D选项。
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．与不是同类项，因此不能合并计算，错误；
B．，错误；
C．，错误；
D．，正确．
故答案为：D．
【分析】本题根据合并同类项的法则可以判断A选项；同底数幂乘法法则可以计算判断B选项；幂的乘方运算法则可以计算并判断C选项；单项式乘多项式法则可以计算并判断D选项。
6．《孙子算经》中有一道题，原文：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问人和车各是多少？设共有人，可列方程（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设共有人，则列式为，
故答案为：C．
【分析】本题根据条件“每4人共乘一车，最终剩余1辆车”，即可列式得出车的数量为，根据“3人共乘一车，最终剩余9个人无车”，即可列式得出车的数量为，据此列出方程，从而得出答案。
7．如图，在中，，，，把绕直线旋转一周，所得几何体的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆锥的计算
【解析】【解答】解：将绕所在直线旋转一周，得到的几何体为圆锥，
圆锥的底面圆的半径为1，母线长，
所以圆锥的侧面积．
故选：B．
【分析】
由于圆锥的侧面展开图是扇形，因此先利用勾股定理计算母线长，再利用扇形的面积公式计算即可．
8．如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（　　）
A．
B．当时，的值随值的增大而增大
C．点的坐标为
D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即，故该选项不符合题意；
B、根据图像开口向下，对称轴为，当，随的增大而减小；当，随的增大而增大，故当时，随的增大而增大；当，随的增大而减小，故该选项不符合题意；
C、根据二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，可得对称轴，解得，即，故该选项不符合题意；
D、根据可知，当时，，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系即可求出答案.
9．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点，连接．则下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；内错角相等，两直线平行；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵绕A点逆时针旋转得到，∴，故A结论正确；
∵，
∴=，
∴．故B结论正确；
在中，，
∴．
∴．
∴与不垂直，C结论错误；
在中，，
∴=，D结论正确．
故答案为：C．
【分析】本题先根据旋转的性质得出，，，即可先判断A选项；再根据角的和差关系计算出=，从而根据“内错角相等、两直线平行”得出，即可判断B选项；根据等腰三角形的性质以及三角形内角和计算得出，从而判断C选项；根据等腰三角形的性质以及三角形内角和计算得出=，从而判断D选项。
10．如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（　　）
A．（，） B．（，）
C．（，） D．（，）
【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转；正多边形的性质；探索规律-图形的循环规律；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：连接，，如图
在正六边形中，
∴∠C=∠ABC=，且CD=BC，
∴∠CBD=，
∴，
而，，
，
在中，，，
，
，
，
，，
将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，360°÷60=6次，
次一个循环，
，
即经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第3次旋转得到的的坐标相同，
与关于原点对称，
，，
经过第2025次旋转后，顶点的坐标，，
故答案为：A．
【分析】根据多边形内角和、正多边形的性质、等腰三角形的性质，计算得出，此时利用勾股定理即可得出，
然后利用“含30°直角三角形的性质”计算出，从而得出，此时即可得出D点的坐标；再根计算出6次一个循环，推出经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第3次旋转得到的的坐标相同，最后结合图中信息以及关于原点对称的点的性质，即可得出答案。
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．已知水星的半径约为24400000米，数据24400000用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据24400000用科学记数法表示为．
故答案为：．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.
12．因式分解： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提取公因式a，再利用公式法继续分解.
13．如图，是的半径，弦于点，已知，，则弦　 　．
【答案】8
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵是的半径，弦，
∴，
在中，，
。
故答案为：8．
【分析】本题结合图中信息，利用垂径定理得出，然后利用勾股定理求出=4，最后代入计算即可得到答案．
14．如图，，若，，则　 　．
【答案】60°
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵ ，
∴，
故答案为：．
【分析】本题先利用“两直线平行、同位角相等”得出，然后利用“三角形外角等于和它不相邻的两个内角和”，列式，最后代入数值计算即可。
15．如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯（沿台阶从点A铺到点C），则地毯的长度需要　 　米．
【答案】
【知识点】直角三角形的性质；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：∵BC⊥AC，
∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形，
∴（米），
∴地毯的长度=米．
故答案为：．
【分析】本题结合图中信息和条件，首先得出△ABC是直角三角形，然后利用正切定义求得米，最后根据地毯的长度=，代入计算即可．
16．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点．
（1）若，则　 　°．
（2）若，则的值是　 　．
【答案】75；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形是正方形，
∴
即，
．
（2）如下图，过点作于点．
．
四边形为正方形，
．
，
∴与均为等腰直角三角形．
．
．
设，
．
由题意，知，
．
，
∴，
∴，
．
，
解得（负值舍去）．
故答案为：（1）75；（2）．
【分析】（1）根据正方形的性质得，运用三角形外角性质列式计算即可；
（2）根据正方形的性质得，结合AAS证明，再结合，综合得出，接着利用平行来证明，得出，最后把数值代入进行化简即可．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．解下面不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：不等式，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
不等式的解集在数轴上表示如下：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】本题按照不等式的性质以及移项、合并同类项、系数化为1的步骤，即可求解不等式，然后在数轴上表示不等式的解集即可．
18．如图所示，，，，求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
在与中
，
∴.
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先得到，然后根据全等三角形判定定理“”得证结论.
19．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求该函数的表达式；
（2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到）
【答案】（1）解：∵气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，
∴设，
将代入，得，解得，
∴函数的表达式为；
（2）解：结合（1）的计算结果，
∵k=，
∴反比例函数在第一象限内，p随V的增大而减小，
当时，．
即为了安全起见，气体的体积应不小于．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）结合条件，先假设出反比例函数关系式，再结合图中信息将点A的坐标代入反比例函数关系式中，求出l即可得出函数表达式；
（2）结合（1）的计算结果，将代入关系式，求解进行分析即可。
（1）设，
将代入，得，解得，
∴所求函数的表达式为；
（2）∵，
∴在第一象限内，p随V的增大而减小．
当时，．
∴为了安全起见，气体的体积应不小于．
20．已知：．
（1）化简；
（2）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：或，
，
，
，

【知识点】分式有无意义的条件；分式的混合运算；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简即可求出答案.
（2）根据二次方程有两个相等的实数根，则判别式，解方程可得a值，再代入代数式即可求出答案.
21．在某次物理实验中，需要在图中的1、2、3个位置处安装3个元件形成电路，现有A、B、C三个元件，其中有一个元件在上一次实验操作中被烧坏掉，现将三个元件分别任意安装到1、2、3处；
（1）位置1处安装被烧坏的元件概率为　 　；
（2）请用合适的方法分析并求出闭合开关后，小灯泡能亮的概率．
【答案】（1）
（2）解：根据并联电路的特点可知，位置1处必须放完好的元件才能保证形成电路，假设A、B、C中烧坏的元件为A，列树状图如下所示：
由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，其中小灯泡能亮的结果数有4种，
∴小灯泡能亮的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）∵烧坏的元件安装到1、2、3处的概率一样，
∴位置1处安装被烧坏的元件概率为，
故答案为：；
【分析】（1）根据烧坏的元件安装到1、2、3处的概率一样即可得到答案；
（2）根据并联电路的特点可知，位置1处必须放完好的元件才能保证形成电路，假设A、B、C中烧坏的元件为A，画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出小灯泡能亮的结果，再根据概率公式即可求出答案.
22．如图，在中，，点O在边上，以为半径作，交于点D，连接．
（1）尺规作图：在边上作一点E，使，再作直线；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）是的切线吗？请说明理由．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：是的切线，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，即，
又是的半径，
是的切线
【知识点】切线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义作图即可.
（2）根据等边对等角可得，，再根据三角形内角和定理可得，则，即，即，再根据切线判定定理即可求出答案.
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：是的切线，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，即，
又是的半径，
是的切线．
23．2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，某科技公司计生产和两款机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件．月日，公司采购部门调研市场后得知，花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是．
（1）求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？
（2）求制作一个机器人和一个机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？
（3）市场优惠促销，购买个主控芯片赠送个传感器模块．该公司发放活动经费元，采购部门向市场采购主控芯片、传感器模块采用来制作、机器人，由于市场库存数量有限，主控芯片仅剩个．如果一个和一个机器人配成一套，请问最多可以生产多少套机器人？
【答案】（1）解：设传感器模块单价为元，则主控芯片单价为元，
则列式为，
解得：，
经检验，是原方程的解，
主控芯片单价=（元）
即主控芯片单价为元，传感器模块单价为元；
（2）解：设制作一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，
根据题意列式，，解得：，
7×3=21个，9×3=27个，
∴制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个，
（3）解：采购515个主控芯片，花费5150元，赠送171个传感器模块．需要额外购买3970个传感器模块，
主控芯片可制作85套，传感器可制作86套，最多可生产85套机器人．
答：最多可生产85套机器人．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）花费元购买的主控芯片数量为个，花元购买的传感器模块数量为个，而“花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片”，即可列分式方程，求解后进行检验，然后即可求出主控芯片单价；
（2）分别根据用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是，列出二元一次方程组，求解a和b之后，进一步计算即可；
（3）采购515个主控芯片，花费5150元，赠送171个传感器模块．需要额外购买3970个传感器模块，主控芯片可制作85套，传感器可制作86套，最多可生产85套机器人．
（1）解：设传感器模块单价为元，则主控芯片单价为元，根据题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴主控芯片单价为（元）
答：主控芯片单价为元，传感器模块单价为元；
（2）解：设制作一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，则一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，分别根据题意得，
解得：，
故制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个，
答：制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个；
（3）解：采购515个主控芯片，花费5150元，赠送171个传感器模块．需要额外购买3970个传感器模块，
主控芯片可制作85套，传感器可制作86套，最多可生产85套机器人．
答：最多可生产85套机器人．
24．已知抛物线，其中n，m为常数，且．
（1）若，，求抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线的对称轴为，且抛物线经过点．请你用含m的式子表示p，并求出p的取值范围；
（3）若，点，抛物线与y轴负半轴交于点G，过点G作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，，点H是的中点，当的最小值是时，求在的图象的最低点的坐标．
【答案】（1）解：，，
，
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：，
抛物线与x轴交点坐标为，，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
抛物线经过点，
，
，且，
，
，
即，；
（3）解：，
抛物线为，
抛物线与x轴交点坐标为，，与y轴交点坐标为，
，点H是的中点，，
，
如图，由题意得，点H在以点G为圆心，为半径的圆上，
由，，可得，，
在中，，
当，即时，满足条件的点H落在线段上，
的最小值为，
解得，
抛物线为，
抛物线的对称轴为直线，
当时，y随x的增大而增大，
，即，
图象最低点的横坐标为，
当时，，
图象最低点的坐标为；
当，即时，满足条件的点H落在线段的延长线上，
的最小值为，
解得，
抛物线为，
抛物线的对称轴为直线，
当时，y随x的增大而增大，
，即，
图象最低点的横坐标为，
当时，，
图象最低点的坐标为；
综上可得，图象最低点的坐标为或．
【知识点】圆的相关概念；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）将解析式转换为顶点式即可得顶点坐标.
（2）求出抛物线与x轴交点坐标为，，根据抛物线对称性可得，再将点代入解析式可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）求出抛物线与x轴交点坐标为，，与y轴交点坐标为，根据线段中点可得，由题意得，点H在以点G为圆心，为半径的圆上，根据两点间距离可得，，根据勾股定理可得MG，分情况讨论：当，即时，满足条件的点H落在线段上，的最小值为，解方程可得，则抛物线为，结合二次函数性质即可求出答案；当，即时，满足条件的点H落在线段的延长线上，的最小值为，解方程可得，则抛物线为，结合二次函数性质即可求出答案.
25．如图1，已知正方形边长为，点、点分别是边，上的动点，且，连接，过点作交边于点，连接，设．
（1）猜想的形状并证明；
取中点，连接，则 ；的面积 ；（用含的代数式表示）
（2）如图，在上方作等边，，分别交边于点，，且点始终处在两平行直线，之间的区域内，
直接写出的范围 ；
计算的值．（结果用含的代数式表示）
【答案】（1）解：是等腰直角三角形，理由如下，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
，
（2）；
如图，过作于点，
则，
∴，，
∴，，
由题意可知在平行得直线上运动，且，
设，则，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）连接，如图
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴三点共线，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
（2）解：当时，有最小值，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，即的最小值为，
当与重合时，有最大值，如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
∴，
即，解得：，
∵点始终处在两平行直线，之间的区域内，
∴的范围是；
故答案为：（1）②，；（2）①；
【分析】（）由正方形的性质得，，然后利用ASA证明，从而得出，结合等腰直角三角形的判定即可求证；
连接，由得出，利用SAS证明，从而得出，，，此时有三点共线，计算出，由勾股定理列式整理得，再根据代入计算即可求解；
（）当时，有最小值，当与重合时，有最大值，又点始终处在两平行直线，之间的区域内，从而求出的范围；
过作于点，通过相似三角形的判定可得，，所以，，由题意可知在平行得直线上运动，且，设，则，然后代入即可求解．
（1）解：是等腰直角三角形，理由，
如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
连接，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴三点共线，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，即，
∴
，
故答案为：，；
（2）解：当时，有最小值，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，即的最小值为，
当与重合时，有最大值，如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
∴，
即，解得：，
∵点始终处在两平行直线，之间的区域内，
∴的范围是；
故答案为：；
如图，过作于点，
则，
∴，，
∴，，
由题意可知在平行得直线上运动，且，
设，则，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
1 / 1广东省广州市天河区华南师范大学附属中学2025年中考三模数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．2025年中国动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全球．以下四图是某校美术社团绘制的哪吒风火轮的简笔画，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．某中学组织的全校师生迎“五四”诗词大赛中，来自不同年级的26名参赛同学的得分情况如图所示．这些成绩的中位数和众数分别是（　　）
A．分和分 B．分和分 C．分和分 D．分和分
4．若，根据不等式的性质，下列变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．《孙子算经》中有一道题，原文：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问人和车各是多少？设共有人，可列方程（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，，把绕直线旋转一周，所得几何体的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（　　）
A．
B．当时，的值随值的增大而增大
C．点的坐标为
D．
9．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点，连接．则下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（　　）
A．（，） B．（，）
C．（，） D．（，）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．已知水星的半径约为24400000米，数据24400000用科学记数法表示为　 　．
12．因式分解： 　 　.
13．如图，是的半径，弦于点，已知，，则弦　 　．
14．如图，，若，，则　 　．
15．如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯（沿台阶从点A铺到点C），则地毯的长度需要　 　米．
16．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点．
（1）若，则　 　°．
（2）若，则的值是　 　．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．解下面不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来．
18．如图所示，，，，求证：．
19．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求该函数的表达式；
（2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到）
20．已知：．
（1）化简；
（2）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值．
21．在某次物理实验中，需要在图中的1、2、3个位置处安装3个元件形成电路，现有A、B、C三个元件，其中有一个元件在上一次实验操作中被烧坏掉，现将三个元件分别任意安装到1、2、3处；
（1）位置1处安装被烧坏的元件概率为　 　；
（2）请用合适的方法分析并求出闭合开关后，小灯泡能亮的概率．
22．如图，在中，，点O在边上，以为半径作，交于点D，连接．
（1）尺规作图：在边上作一点E，使，再作直线；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）是的切线吗？请说明理由．
23．2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，某科技公司计生产和两款机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件．月日，公司采购部门调研市场后得知，花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是．
（1）求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？
（2）求制作一个机器人和一个机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？
（3）市场优惠促销，购买个主控芯片赠送个传感器模块．该公司发放活动经费元，采购部门向市场采购主控芯片、传感器模块采用来制作、机器人，由于市场库存数量有限，主控芯片仅剩个．如果一个和一个机器人配成一套，请问最多可以生产多少套机器人？
24．已知抛物线，其中n，m为常数，且．
（1）若，，求抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线的对称轴为，且抛物线经过点．请你用含m的式子表示p，并求出p的取值范围；
（3）若，点，抛物线与y轴负半轴交于点G，过点G作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，，点H是的中点，当的最小值是时，求在的图象的最低点的坐标．
25．如图1，已知正方形边长为，点、点分别是边，上的动点，且，连接，过点作交边于点，连接，设．
（1）猜想的形状并证明；
取中点，连接，则 ；的面积 ；（用含的代数式表示）
（2）如图，在上方作等边，，分别交边于点，，且点始终处在两平行直线，之间的区域内，
直接写出的范围 ；
计算的值．（结果用含的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：A．
【分析】利用只有符号不同的两个数互为相反数解题．
2．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：四个选项中，只有C选项对应的图形是中心对称图形，其余三个选项均不是中心对称图形。
故答案为：C
【分析】如果一个图形绕一个点旋转后，能和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。本题根据中信对称图形的定义，逐个选项进行图形分析即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：结合图中信息，将分数从高到低排列，依次是100、100、100、98、98、98、98、98、98、98、98、98、98、96、96、96、96、96、96、96、96、94、94、94、94、94；
分，
这名同学成绩的中位数是分，
这名同学成绩的众数是分，
故答案为：B．
【分析】中位数，即将一组数据从小到大或者从大到小排列，中间的数就是中位数，如果中间有两个数，则中位数就是这两个数的平均数。众数，就是一组数据中出现次数最多的数。本题结合图中信息，将分数从高到低或者从低到高排列，即可得出中位数和众数。
4．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、，则，，无法得出，错误；
B、，则，错误；
C、，则，正确；
D、，当时，；当时，；当时，，错误；
故答案为：C．
【分析】不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，据此即可判断AC选项；不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，据此可以判断B选项；不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此可以判断D选项。
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．与不是同类项，因此不能合并计算，错误；
B．，错误；
C．，错误；
D．，正确．
故答案为：D．
【分析】本题根据合并同类项的法则可以判断A选项；同底数幂乘法法则可以计算判断B选项；幂的乘方运算法则可以计算并判断C选项；单项式乘多项式法则可以计算并判断D选项。
6．【答案】C
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设共有人，则列式为，
故答案为：C．
【分析】本题根据条件“每4人共乘一车，最终剩余1辆车”，即可列式得出车的数量为，根据“3人共乘一车，最终剩余9个人无车”，即可列式得出车的数量为，据此列出方程，从而得出答案。
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆锥的计算
【解析】【解答】解：将绕所在直线旋转一周，得到的几何体为圆锥，
圆锥的底面圆的半径为1，母线长，
所以圆锥的侧面积．
故选：B．
【分析】
由于圆锥的侧面展开图是扇形，因此先利用勾股定理计算母线长，再利用扇形的面积公式计算即可．
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即，故该选项不符合题意；
B、根据图像开口向下，对称轴为，当，随的增大而减小；当，随的增大而增大，故当时，随的增大而增大；当，随的增大而减小，故该选项不符合题意；
C、根据二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，可得对称轴，解得，即，故该选项不符合题意；
D、根据可知，当时，，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；内错角相等，两直线平行；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵绕A点逆时针旋转得到，∴，故A结论正确；
∵，
∴=，
∴．故B结论正确；
在中，，
∴．
∴．
∴与不垂直，C结论错误；
在中，，
∴=，D结论正确．
故答案为：C．
【分析】本题先根据旋转的性质得出，，，即可先判断A选项；再根据角的和差关系计算出=，从而根据“内错角相等、两直线平行”得出，即可判断B选项；根据等腰三角形的性质以及三角形内角和计算得出，从而判断C选项；根据等腰三角形的性质以及三角形内角和计算得出=，从而判断D选项。
10．【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转；正多边形的性质；探索规律-图形的循环规律；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：连接，，如图
在正六边形中，
∴∠C=∠ABC=，且CD=BC，
∴∠CBD=，
∴，
而，，
，
在中，，，
，
，
，
，，
将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，360°÷60=6次，
次一个循环，
，
即经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第3次旋转得到的的坐标相同，
与关于原点对称，
，，
经过第2025次旋转后，顶点的坐标，，
故答案为：A．
【分析】根据多边形内角和、正多边形的性质、等腰三角形的性质，计算得出，此时利用勾股定理即可得出，
然后利用“含30°直角三角形的性质”计算出，从而得出，此时即可得出D点的坐标；再根计算出6次一个循环，推出经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第3次旋转得到的的坐标相同，最后结合图中信息以及关于原点对称的点的性质，即可得出答案。
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据24400000用科学记数法表示为．
故答案为：．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提取公因式a，再利用公式法继续分解.
13．【答案】8
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵是的半径，弦，
∴，
在中，，
。
故答案为：8．
【分析】本题结合图中信息，利用垂径定理得出，然后利用勾股定理求出=4，最后代入计算即可得到答案．
14．【答案】60°
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵ ，
∴，
故答案为：．
【分析】本题先利用“两直线平行、同位角相等”得出，然后利用“三角形外角等于和它不相邻的两个内角和”，列式，最后代入数值计算即可。
15．【答案】
【知识点】直角三角形的性质；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：∵BC⊥AC，
∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形，
∴（米），
∴地毯的长度=米．
故答案为：．
【分析】本题结合图中信息和条件，首先得出△ABC是直角三角形，然后利用正切定义求得米，最后根据地毯的长度=，代入计算即可．
16．【答案】75；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形是正方形，
∴
即，
．
（2）如下图，过点作于点．
．
四边形为正方形，
．
，
∴与均为等腰直角三角形．
．
．
设，
．
由题意，知，
．
，
∴，
∴，
．
，
解得（负值舍去）．
故答案为：（1）75；（2）．
【分析】（1）根据正方形的性质得，运用三角形外角性质列式计算即可；
（2）根据正方形的性质得，结合AAS证明，再结合，综合得出，接着利用平行来证明，得出，最后把数值代入进行化简即可．
17．【答案】解：不等式，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
不等式的解集在数轴上表示如下：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】本题按照不等式的性质以及移项、合并同类项、系数化为1的步骤，即可求解不等式，然后在数轴上表示不等式的解集即可．
18．【答案】证明：∵，
∴，
在与中
，
∴.
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先得到，然后根据全等三角形判定定理“”得证结论.
19．【答案】（1）解：∵气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，
∴设，
将代入，得，解得，
∴函数的表达式为；
（2）解：结合（1）的计算结果，
∵k=，
∴反比例函数在第一象限内，p随V的增大而减小，
当时，．
即为了安全起见，气体的体积应不小于．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）结合条件，先假设出反比例函数关系式，再结合图中信息将点A的坐标代入反比例函数关系式中，求出l即可得出函数表达式；
（2）结合（1）的计算结果，将代入关系式，求解进行分析即可。
（1）设，
将代入，得，解得，
∴所求函数的表达式为；
（2）∵，
∴在第一象限内，p随V的增大而减小．
当时，．
∴为了安全起见，气体的体积应不小于．
20．【答案】（1）解：
；
（2）解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：或，
，
，
，

【知识点】分式有无意义的条件；分式的混合运算；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简即可求出答案.
（2）根据二次方程有两个相等的实数根，则判别式，解方程可得a值，再代入代数式即可求出答案.
21．【答案】（1）
（2）解：根据并联电路的特点可知，位置1处必须放完好的元件才能保证形成电路，假设A、B、C中烧坏的元件为A，列树状图如下所示：
由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，其中小灯泡能亮的结果数有4种，
∴小灯泡能亮的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）∵烧坏的元件安装到1、2、3处的概率一样，
∴位置1处安装被烧坏的元件概率为，
故答案为：；
【分析】（1）根据烧坏的元件安装到1、2、3处的概率一样即可得到答案；
（2）根据并联电路的特点可知，位置1处必须放完好的元件才能保证形成电路，假设A、B、C中烧坏的元件为A，画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出小灯泡能亮的结果，再根据概率公式即可求出答案.
22．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：是的切线，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，即，
又是的半径，
是的切线
【知识点】切线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义作图即可.
（2）根据等边对等角可得，，再根据三角形内角和定理可得，则，即，即，再根据切线判定定理即可求出答案.
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：是的切线，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，即，
又是的半径，
是的切线．
23．【答案】（1）解：设传感器模块单价为元，则主控芯片单价为元，
则列式为，
解得：，
经检验，是原方程的解，
主控芯片单价=（元）
即主控芯片单价为元，传感器模块单价为元；
（2）解：设制作一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，
根据题意列式，，解得：，
7×3=21个，9×3=27个，
∴制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个，
（3）解：采购515个主控芯片，花费5150元，赠送171个传感器模块．需要额外购买3970个传感器模块，
主控芯片可制作85套，传感器可制作86套，最多可生产85套机器人．
答：最多可生产85套机器人．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）花费元购买的主控芯片数量为个，花元购买的传感器模块数量为个，而“花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片”，即可列分式方程，求解后进行检验，然后即可求出主控芯片单价；
（2）分别根据用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是，列出二元一次方程组，求解a和b之后，进一步计算即可；
（3）采购515个主控芯片，花费5150元，赠送171个传感器模块．需要额外购买3970个传感器模块，主控芯片可制作85套，传感器可制作86套，最多可生产85套机器人．
（1）解：设传感器模块单价为元，则主控芯片单价为元，根据题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴主控芯片单价为（元）
答：主控芯片单价为元，传感器模块单价为元；
（2）解：设制作一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，则一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，分别根据题意得，
解得：，
故制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个，
答：制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个；
（3）解：采购515个主控芯片，花费5150元，赠送171个传感器模块．需要额外购买3970个传感器模块，
主控芯片可制作85套，传感器可制作86套，最多可生产85套机器人．
答：最多可生产85套机器人．
24．【答案】（1）解：，，
，
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：，
抛物线与x轴交点坐标为，，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
抛物线经过点，
，
，且，
，
，
即，；
（3）解：，
抛物线为，
抛物线与x轴交点坐标为，，与y轴交点坐标为，
，点H是的中点，，
，
如图，由题意得，点H在以点G为圆心，为半径的圆上，
由，，可得，，
在中，，
当，即时，满足条件的点H落在线段上，
的最小值为，
解得，
抛物线为，
抛物线的对称轴为直线，
当时，y随x的增大而增大，
，即，
图象最低点的横坐标为，
当时，，
图象最低点的坐标为；
当，即时，满足条件的点H落在线段的延长线上，
的最小值为，
解得，
抛物线为，
抛物线的对称轴为直线，
当时，y随x的增大而增大，
，即，
图象最低点的横坐标为，
当时，，
图象最低点的坐标为；
综上可得，图象最低点的坐标为或．
【知识点】圆的相关概念；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）将解析式转换为顶点式即可得顶点坐标.
（2）求出抛物线与x轴交点坐标为，，根据抛物线对称性可得，再将点代入解析式可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）求出抛物线与x轴交点坐标为，，与y轴交点坐标为，根据线段中点可得，由题意得，点H在以点G为圆心，为半径的圆上，根据两点间距离可得，，根据勾股定理可得MG，分情况讨论：当，即时，满足条件的点H落在线段上，的最小值为，解方程可得，则抛物线为，结合二次函数性质即可求出答案；当，即时，满足条件的点H落在线段的延长线上，的最小值为，解方程可得，则抛物线为，结合二次函数性质即可求出答案.
25．【答案】（1）解：是等腰直角三角形，理由如下，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
，
（2）；
如图，过作于点，
则，
∴，，
∴，，
由题意可知在平行得直线上运动，且，
设，则，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）连接，如图
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴三点共线，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
（2）解：当时，有最小值，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，即的最小值为，
当与重合时，有最大值，如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
∴，
即，解得：，
∵点始终处在两平行直线，之间的区域内，
∴的范围是；
故答案为：（1）②，；（2）①；
【分析】（）由正方形的性质得，，然后利用ASA证明，从而得出，结合等腰直角三角形的判定即可求证；
连接，由得出，利用SAS证明，从而得出，，，此时有三点共线，计算出，由勾股定理列式整理得，再根据代入计算即可求解；
（）当时，有最小值，当与重合时，有最大值，又点始终处在两平行直线，之间的区域内，从而求出的范围；
过作于点，通过相似三角形的判定可得，，所以，，由题意可知在平行得直线上运动，且，设，则，然后代入即可求解．
（1）解：是等腰直角三角形，理由，
如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
连接，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴三点共线，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，即，
∴
，
故答案为：，；
（2）解：当时，有最小值，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，即的最小值为，
当与重合时，有最大值，如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
∴，
即，解得：，
∵点始终处在两平行直线，之间的区域内，
∴的范围是；
故答案为：；
如图，过作于点，
则，
∴，，
∴，，
由题意可知在平行得直线上运动，且，
设，则，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
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