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广东省佛山市顺德区2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．的值为（　　）
A．2 B．1 C． D．0
2．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A．线段 B．角
C．等腰三角形 D．有角的直角三角形
3．计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒（），即，将0.000000001用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．天气预报显示，某市明天降水概率是．对此信息，下列说法正确的是（　　）
A．该市明天会有的面积降水 B．该市明天会有的时间降水
C．该市明天不会降水 D．该市明天降水的可能性比较小
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知，要使，那么的度数应为多少（　　）
A． B． C． D．
7．三角形一边长为，另一边长为，它的第三边的长可能是（　　）
A． B． C． D．
8．某学校美术组学生进行户外写生，需要准备如图所示的折叠小椅子．将折叠椅子撑开后，它的侧面木条可简画成如图2所示．已知椅子腿和的长度相等，是它们的中点．为了使折叠椅子坐得舒适，厂家将撑开后的椅子宽度设计为，此时的长度是（　　）
A． B． C． D．
9．下面四幅图象均表示变量之间的关系．按图象从左到右的顺序，选择与之相近的情境，正确的顺序是（　　）
篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系
小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系
一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系
周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系
A． B． C． D．
10．如图，给出下列条件：，，，，选择其中个条件，不能判断的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．　 　．
12．在中，一个锐角为，另一个锐角的度数为　 　．
13．工厂对某批乒乓球的质量进行检查，随机抽查了1000个．发现优等品有825个，估计这批乒乓球中优等品出现的概率为　 　．
14．如图，在中，是的垂直平分线．若，，则的周长为　 　．
15．小明爸爸是个汽车爱好者，想了解一款汽车的耗油量情况．他将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据：
行驶的路程 0 100 200 …
油箱剩余油量 50 44 38 …
可推测，汽车行驶时，油箱中剩余油量为　 　．
三、解答题：本题共8小题，共75分．
16．当，时，求代数式的值．
17．任意掷一枚质地均匀的正方体骰子（每个面的数字分别是1，2，3，4，5，6），求出点数结果是偶数的概率．
18．如图，，线段与相交于点．
（1）添加一个条件： ，使；
（2）说明（1）中结论成立的理由．
19．如图1，在长方形中，动点在边上沿的路径匀速运动．的面积与点走过的路程的关系图象如图2所示．
（1）你能从图中获取哪些信息？（写出三条不同的信息）
（2）探究与之间的关系表达式．
20．如图，点、分别是的边、上的一点．
（1）用尺规作图法作出过点且和平行的直线，该直线交于点（保留作图痕迹，不用写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，，求的度数；
（3）在边上找一点，使得的值最小，画出图形，并说明道理．
21．综合与实践：和是两个全等的等腰直角三角形．，．当点落在中点上时，绕着点旋转，、分别与、分别交于点、，令．
（1）如图1，若点落在边上，则四边形的面积为 ；
（2）如图2，在旋转过程中，求四边形的面积；
（3）在旋转过程中，当是等腰三角形时，求的值．
22．已知，．
（1）化简和．
（2）当时，求的值．
（3）当为满足什么条件的整数时，能被3整除，说明理由．
23．如图1，折叠长方形，使得点、折叠后分别落在点、处．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当落在边上时，与交于点，且．
①写出、与的数量关系，并说明理由；
②若点是内任意一点，连接、、，讨论与的大小关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】本题考查零次幂，根据可直接得出答案．
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、线段是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、角是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、等腰三角形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、有角的直角三角形不是轴对称图形，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】本题主要考查轴对称图形的识别．根据轴对称图形的定义，可判断出线段、角和等腰三角形是轴对称图形， 有角的直角三角形不是轴对称图形．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
4．【答案】D
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解；A、该市明天会有的面积降水，选项A错误，不符合题意；
B、该市明天会有的时间降水，选项B错误，不符合题意；
C、该市明天不会降水，选项C错误，不符合题意；
D、该市明天降水的可能性比较小，选项D正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】本题主要考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，题中明天下雨的概率为，表示下雨的可能性较小，但并不代表一定会下雨或具体区域、时间的分布，据此可得答案．
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，选项错误，不符合题意；
B．，选项错误，不符合题意；
C．，选项错误，不符合题意；
D．，选项正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘除、幂的乘方，分别根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则以及幂的乘方运算法则计算各选项的结果后再进行判断即可得出答案．
6．【答案】A
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】本题考查了平行线的性质、平角的定义．由 得，再由平角的定义求出．
7．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设它的第三边的长为，
∴，
∴，
∴选项中符合题意，
故答案为：．
【分析】本题考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，设三角形第三边的长是，得到，即可得到答案．
8．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵椅子腿和的长度相等，是它们的中点，
∴，，
在与中 ，
，
∴
∴，
故选：．
【分析】由题意可得，，得到，从而得到，即可求解．
9．【答案】B
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：第一个图符合：篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系；
第二个图符合：一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系；
第三个图符合：周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系；
第四个图符合：小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系；
故答案为：．
【分析】本题考查了函数图象的问题，先理解函数图象的横纵坐标表示的量，再根据实际情况来判断函数图象，①是抛物线图象；②是一次函数图象；③是分段函数图象；④是正比例函数图象，进行判断即可．
10．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：、在和中，
，
∴，原选项不符合题意，
、在和中，
，
∴，原选项不符合题意，
、添加，，
不能证明，原选项符合题意，
、在和中，
，
∴，原选项不符合题意，
故答案为：．
【分析】本题考查了全等三角形的判定，若选①②，可根据证明；若选②③，可根据证明；若选②④则无法判断；若选③④，可根据证明．
11．【答案】
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方．根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算，即可求解．
12．【答案】
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：在中，一个锐角为，另一个锐角的度数为，
故答案为：．
【分析】本题考查直角三角形的性质，在中，由直角三角形两个锐角互余，即可得到答案．
13．【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：，
即这批乒乓球中优等品出现的概率为．
故答案为：．
【分析】 本题主要考查利用频率估计概率，用 优等品除以抽查的数量即可得到结果．
14．【答案】14
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长．
故答案为：14．
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质的应用．由 是的垂直平分线可得，再根据三角形周长公式计算即可．
15．【答案】20
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：观察表格得：由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少．
所以汽车行驶时，油箱中剩余油量为．
故答案为：20．
【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系． 根据油箱中剩余油量=油箱加满后的油量-该汽车每千米的油耗×行驶的路程得出Q与s之间的关系，当s=500时，求出对应Q的值即可．
16．【答案】解：
，
当，时，原式．
【知识点】整式的混合运算；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】本题考查整式的四则混合运算，原式先计算中括号内的部分，再进行多项式除以单项式得最简结果，最后把的值代入计算求出结果．
17．【答案】解：由题意可知共有6种等可能结果，分别为，其中点数结果为偶数的有，共3种，
∴（点数结果为奇数）．
【知识点】概率公式
【解析】【分析】本题主要考查概率的计算， 由题意知，共有6种等可能的结果，其中点数结果是偶数的结果有3种，利用概率公式可得答案．
18．【答案】（1）或或（答案不唯一）
（2）解：∵∴，
若，则；
若，则；
若，则；
【知识点】三角形全等的判定；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】（1）解：添加一个条件：或或（答案不唯一）．
故答案为：或或（答案不唯一）；
【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定；掌握全等三角形的判定方法、、、是解题的关键．
（1）由得，，再添加一组对应边相等，根据全等三角形的判定方法、、、，结合已知条件添加即可；
（2）由得，，结合所添加条件证明即可．
（1）添加一个条件：或或（答案不唯一）．
故答案为：或或（答案不唯一）；
（2）∵
∴，
若，则；
若，则；
若，则；
19．【答案】（1）解：根据题意得：，
∴，
∴，
；
（2）解：当点E在边上时，，此时，；
当点E在边上时，此时，
∴；
当点E在边上时，，此时，
∴；
综上所述，．
【知识点】通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质，三角形的面积公式，函数图象的动点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．
（1） 根据点E的运动，结合图2的图象可得出结论；
（2） 根据题意，根据x的值进行分类讨论，根据三角形的面积可求解．
（1）解：根据题意得：，
∴，
∴，
；
（2）解：当点E在边上时，，此时，
；
当点E在边上时，此时，
∴；
当点E在边上时，，此时，
∴；
综上所述，．
20．【答案】（1）解：在的右侧作，交于点，作直线，如图所示：
直线即为所求；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：先过点作的垂线，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接交于点，连接，如图所示：
此时垂直平分，
∴，
∴，即为最小值，
则点即为所求．
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-平行线；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-垂直平分线；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】 本题考查作一个角等于已知角、平行线的判定与性质、作线段垂直平分线，轴对称-最短路线问题， 正确作图是解答本题的关键．（1）根据作一个角等于已知角的方法，在的右侧作即可得到和平行的直线 ；
（2）运用平行线的性质可得结论；
（3）作点关于的对称点，连接交于点，则点即为所求．
（1）解：在的右侧作，交于点，作直线，如图所示：
直线即为所求；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：先过点作的垂线，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接交于点，连接，如图所示：
此时垂直平分，
∴，
∴，即为最小值，
则点即为所求．
21．【答案】（1）16
（2）解：连接，如图所示：
在等腰中，为的中点，即是斜边上的中线，则，
由等腰三角形三线合一性质可得平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，
∵，
∴；
②当时，
∴，
∴；
③当时，；
综上所述，当是等腰三角形时，的值为或或．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：连接，如图所示：
在等腰中，为的中点，即是斜边上的中线，则，
由等腰三角形三线合一性质可得平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】 本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质． 分类讨论思想，中点定义、三角形面积公式、角平分线定义、等腰三角形性质、三角形内角和定理等知识．
（1）连接，证明，由点D是的中点，可得的面积，进而可得四边形的面积；
（2）连接，证明，由点D是的中点，可得的面积，进而可得四边形的面积；
（3）根据题意，进行分类讨论：，分别求解即可．
（1）解：连接，如图所示：
在等腰中，为的中点，即是斜边上的中线，则，
由等腰三角形三线合一性质可得平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）连接，如图所示：
在等腰中，为的中点，即是斜边上的中线，则，
由等腰三角形三线合一性质可得平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当时，
∵，
∴；
②当时，
∴，
∴；
③当时，；
综上所述，当是等腰三角形时，的值为或或．
22．【答案】（1）解：
；
；
（2）解：由（1）知，，
，
，
将代入得；
（3）解：，其中为整数，
理由如下：
由（1）知，
当能被3整除，则能被3整除，
设，其中为整数，则，
当，其中为整数时，能被3整除．
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】本题考查多项式乘以多项式、平方差公式、完全平方差公式、整式加减运算、代数式求值、整除性等知识．（1）根据多项式乘以多项式的运算法则将卑，再合并即可；
（2）先把（1）的结果代入，整理得，再把变形为，再整体代入计算即可；
（3）先化简B为，由能被3整除，则能被3整除，从而得到答案．
（1）解：
；
；
（2）解：由（1）知，，
，
，
将代入得；
（3）解：，其中为整数，
理由如下：
由（1）知，
当能被3整除，则能被3整除，
设，其中为整数，则，
当，其中为整数时，能被3整除．
23．【答案】（1）解：，理由如下：如图，
由折叠的性质得：，
∴；
（2）解：①，理由如下：由折叠的性质得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴；
②当点P在的角平分线上时，；当点P在的角平分线左侧时，；当点P在的角平分线右侧时，；理由如下：
如图，作的角平分线交于点Q，
∴，
当点P在的角平分线上时，
∵，，，
∴，
∴；
当点P在的角平分线左侧时，延长交于点M，交于点N，连接，
∵，，，
∴，
∴，
由三角形外角的性质得：，，
∴，即，
∴；
当点P在的角平分线右侧时，延长交于点J，交于点K，连接，
∵，，，
∴，
∴，
由三角形外角的性质得：，，
∴，即，
∴；
综上所述，当点P在的角平分线上时，；当点P在的角平分线左侧时，；当点P在的角平分线右侧时，．
【知识点】三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质以及三角形外角的性质，
（1）根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”解答即可；
（2）①由折叠的性质可得 ，，再证明，可得到，根据线段和差关系可得结论；
②分三种情况：当点P在的角平分线上时；当点P在的角平分线左侧时；当点P在的角平分线右侧时，结合全等三角形的判定和性质以及三角形外角的性质，即可求解．
（1）解：，理由如下：
如图，
由折叠的性质得：，
∴；
（2）解：①，理由如下：
由折叠的性质得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴；
②当点P在的角平分线上时，；当点P在的角平分线左侧时，；当点P在的角平分线右侧时，；理由如下：
如图，作的角平分线交于点Q，
∴，
当点P在的角平分线上时，
∵，，，
∴，
∴；
当点P在的角平分线左侧时，延长交于点M，交于点N，连接，
∵，，，
∴，
∴，
由三角形外角的性质得：，，
∴，即，
∴；
当点P在的角平分线右侧时，延长交于点J，交于点K，连接，
∵，，，
∴，
∴，
由三角形外角的性质得：，，
∴，即，
∴；
综上所述，当点P在的角平分线上时，；当点P在的角平分线左侧时，；当点P在的角平分线右侧时，．
1 / 1广东省佛山市顺德区2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．的值为（　　）
A．2 B．1 C． D．0
【答案】B
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】本题考查零次幂，根据可直接得出答案．
2．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A．线段 B．角
C．等腰三角形 D．有角的直角三角形
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、线段是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、角是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、等腰三角形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、有角的直角三角形不是轴对称图形，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】本题主要考查轴对称图形的识别．根据轴对称图形的定义，可判断出线段、角和等腰三角形是轴对称图形， 有角的直角三角形不是轴对称图形．
3．计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒（），即，将0.000000001用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
4．天气预报显示，某市明天降水概率是．对此信息，下列说法正确的是（　　）
A．该市明天会有的面积降水 B．该市明天会有的时间降水
C．该市明天不会降水 D．该市明天降水的可能性比较小
【答案】D
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解；A、该市明天会有的面积降水，选项A错误，不符合题意；
B、该市明天会有的时间降水，选项B错误，不符合题意；
C、该市明天不会降水，选项C错误，不符合题意；
D、该市明天降水的可能性比较小，选项D正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】本题主要考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，题中明天下雨的概率为，表示下雨的可能性较小，但并不代表一定会下雨或具体区域、时间的分布，据此可得答案．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，选项错误，不符合题意；
B．，选项错误，不符合题意；
C．，选项错误，不符合题意；
D．，选项正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘除、幂的乘方，分别根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则以及幂的乘方运算法则计算各选项的结果后再进行判断即可得出答案．
6．如图，已知，要使，那么的度数应为多少（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】本题考查了平行线的性质、平角的定义．由 得，再由平角的定义求出．
7．三角形一边长为，另一边长为，它的第三边的长可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设它的第三边的长为，
∴，
∴，
∴选项中符合题意，
故答案为：．
【分析】本题考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，设三角形第三边的长是，得到，即可得到答案．
8．某学校美术组学生进行户外写生，需要准备如图所示的折叠小椅子．将折叠椅子撑开后，它的侧面木条可简画成如图2所示．已知椅子腿和的长度相等，是它们的中点．为了使折叠椅子坐得舒适，厂家将撑开后的椅子宽度设计为，此时的长度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵椅子腿和的长度相等，是它们的中点，
∴，，
在与中 ，
，
∴
∴，
故选：．
【分析】由题意可得，，得到，从而得到，即可求解．
9．下面四幅图象均表示变量之间的关系．按图象从左到右的顺序，选择与之相近的情境，正确的顺序是（　　）
篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系
小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系
一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系
周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：第一个图符合：篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系；
第二个图符合：一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系；
第三个图符合：周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系；
第四个图符合：小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系；
故答案为：．
【分析】本题考查了函数图象的问题，先理解函数图象的横纵坐标表示的量，再根据实际情况来判断函数图象，①是抛物线图象；②是一次函数图象；③是分段函数图象；④是正比例函数图象，进行判断即可．
10．如图，给出下列条件：，，，，选择其中个条件，不能判断的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：、在和中，
，
∴，原选项不符合题意，
、在和中，
，
∴，原选项不符合题意，
、添加，，
不能证明，原选项符合题意，
、在和中，
，
∴，原选项不符合题意，
故答案为：．
【分析】本题考查了全等三角形的判定，若选①②，可根据证明；若选②③，可根据证明；若选②④则无法判断；若选③④，可根据证明．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．　 　．
【答案】
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方．根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算，即可求解．
12．在中，一个锐角为，另一个锐角的度数为　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：在中，一个锐角为，另一个锐角的度数为，
故答案为：．
【分析】本题考查直角三角形的性质，在中，由直角三角形两个锐角互余，即可得到答案．
13．工厂对某批乒乓球的质量进行检查，随机抽查了1000个．发现优等品有825个，估计这批乒乓球中优等品出现的概率为　 　．
【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：，
即这批乒乓球中优等品出现的概率为．
故答案为：．
【分析】 本题主要考查利用频率估计概率，用 优等品除以抽查的数量即可得到结果．
14．如图，在中，是的垂直平分线．若，，则的周长为　 　．
【答案】14
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长．
故答案为：14．
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质的应用．由 是的垂直平分线可得，再根据三角形周长公式计算即可．
15．小明爸爸是个汽车爱好者，想了解一款汽车的耗油量情况．他将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据：
行驶的路程 0 100 200 …
油箱剩余油量 50 44 38 …
可推测，汽车行驶时，油箱中剩余油量为　 　．
【答案】20
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：观察表格得：由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少．
所以汽车行驶时，油箱中剩余油量为．
故答案为：20．
【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系． 根据油箱中剩余油量=油箱加满后的油量-该汽车每千米的油耗×行驶的路程得出Q与s之间的关系，当s=500时，求出对应Q的值即可．
三、解答题：本题共8小题，共75分．
16．当，时，求代数式的值．
【答案】解：
，
当，时，原式．
【知识点】整式的混合运算；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】本题考查整式的四则混合运算，原式先计算中括号内的部分，再进行多项式除以单项式得最简结果，最后把的值代入计算求出结果．
17．任意掷一枚质地均匀的正方体骰子（每个面的数字分别是1，2，3，4，5，6），求出点数结果是偶数的概率．
【答案】解：由题意可知共有6种等可能结果，分别为，其中点数结果为偶数的有，共3种，
∴（点数结果为奇数）．
【知识点】概率公式
【解析】【分析】本题主要考查概率的计算， 由题意知，共有6种等可能的结果，其中点数结果是偶数的结果有3种，利用概率公式可得答案．
18．如图，，线段与相交于点．
（1）添加一个条件： ，使；
（2）说明（1）中结论成立的理由．
【答案】（1）或或（答案不唯一）
（2）解：∵∴，
若，则；
若，则；
若，则；
【知识点】三角形全等的判定；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】（1）解：添加一个条件：或或（答案不唯一）．
故答案为：或或（答案不唯一）；
【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定；掌握全等三角形的判定方法、、、是解题的关键．
（1）由得，，再添加一组对应边相等，根据全等三角形的判定方法、、、，结合已知条件添加即可；
（2）由得，，结合所添加条件证明即可．
（1）添加一个条件：或或（答案不唯一）．
故答案为：或或（答案不唯一）；
（2）∵
∴，
若，则；
若，则；
若，则；
19．如图1，在长方形中，动点在边上沿的路径匀速运动．的面积与点走过的路程的关系图象如图2所示．
（1）你能从图中获取哪些信息？（写出三条不同的信息）
（2）探究与之间的关系表达式．
【答案】（1）解：根据题意得：，
∴，
∴，
；
（2）解：当点E在边上时，，此时，；
当点E在边上时，此时，
∴；
当点E在边上时，，此时，
∴；
综上所述，．
【知识点】通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质，三角形的面积公式，函数图象的动点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．
（1） 根据点E的运动，结合图2的图象可得出结论；
（2） 根据题意，根据x的值进行分类讨论，根据三角形的面积可求解．
（1）解：根据题意得：，
∴，
∴，
；
（2）解：当点E在边上时，，此时，
；
当点E在边上时，此时，
∴；
当点E在边上时，，此时，
∴；
综上所述，．
20．如图，点、分别是的边、上的一点．
（1）用尺规作图法作出过点且和平行的直线，该直线交于点（保留作图痕迹，不用写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，，求的度数；
（3）在边上找一点，使得的值最小，画出图形，并说明道理．
【答案】（1）解：在的右侧作，交于点，作直线，如图所示：
直线即为所求；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：先过点作的垂线，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接交于点，连接，如图所示：
此时垂直平分，
∴，
∴，即为最小值，
则点即为所求．
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-平行线；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-垂直平分线；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】 本题考查作一个角等于已知角、平行线的判定与性质、作线段垂直平分线，轴对称-最短路线问题， 正确作图是解答本题的关键．（1）根据作一个角等于已知角的方法，在的右侧作即可得到和平行的直线 ；
（2）运用平行线的性质可得结论；
（3）作点关于的对称点，连接交于点，则点即为所求．
（1）解：在的右侧作，交于点，作直线，如图所示：
直线即为所求；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：先过点作的垂线，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接交于点，连接，如图所示：
此时垂直平分，
∴，
∴，即为最小值，
则点即为所求．
21．综合与实践：和是两个全等的等腰直角三角形．，．当点落在中点上时，绕着点旋转，、分别与、分别交于点、，令．
（1）如图1，若点落在边上，则四边形的面积为 ；
（2）如图2，在旋转过程中，求四边形的面积；
（3）在旋转过程中，当是等腰三角形时，求的值．
【答案】（1）16
（2）解：连接，如图所示：
在等腰中，为的中点，即是斜边上的中线，则，
由等腰三角形三线合一性质可得平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，
∵，
∴；
②当时，
∴，
∴；
③当时，；
综上所述，当是等腰三角形时，的值为或或．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：连接，如图所示：
在等腰中，为的中点，即是斜边上的中线，则，
由等腰三角形三线合一性质可得平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】 本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质． 分类讨论思想，中点定义、三角形面积公式、角平分线定义、等腰三角形性质、三角形内角和定理等知识．
（1）连接，证明，由点D是的中点，可得的面积，进而可得四边形的面积；
（2）连接，证明，由点D是的中点，可得的面积，进而可得四边形的面积；
（3）根据题意，进行分类讨论：，分别求解即可．
（1）解：连接，如图所示：
在等腰中，为的中点，即是斜边上的中线，则，
由等腰三角形三线合一性质可得平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）连接，如图所示：
在等腰中，为的中点，即是斜边上的中线，则，
由等腰三角形三线合一性质可得平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当时，
∵，
∴；
②当时，
∴，
∴；
③当时，；
综上所述，当是等腰三角形时，的值为或或．
22．已知，．
（1）化简和．
（2）当时，求的值．
（3）当为满足什么条件的整数时，能被3整除，说明理由．
【答案】（1）解：
；
；
（2）解：由（1）知，，
，
，
将代入得；
（3）解：，其中为整数，
理由如下：
由（1）知，
当能被3整除，则能被3整除，
设，其中为整数，则，
当，其中为整数时，能被3整除．
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】本题考查多项式乘以多项式、平方差公式、完全平方差公式、整式加减运算、代数式求值、整除性等知识．（1）根据多项式乘以多项式的运算法则将卑，再合并即可；
（2）先把（1）的结果代入，整理得，再把变形为，再整体代入计算即可；
（3）先化简B为，由能被3整除，则能被3整除，从而得到答案．
（1）解：
；
；
（2）解：由（1）知，，
，
，
将代入得；
（3）解：，其中为整数，
理由如下：
由（1）知，
当能被3整除，则能被3整除，
设，其中为整数，则，
当，其中为整数时，能被3整除．
23．如图1，折叠长方形，使得点、折叠后分别落在点、处．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当落在边上时，与交于点，且．
①写出、与的数量关系，并说明理由；
②若点是内任意一点，连接、、，讨论与的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）解：，理由如下：如图，
由折叠的性质得：，
∴；
（2）解：①，理由如下：由折叠的性质得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴；
②当点P在的角平分线上时，；当点P在的角平分线左侧时，；当点P在的角平分线右侧时，；理由如下：
如图，作的角平分线交于点Q，
∴，
当点P在的角平分线上时，
∵，，，
∴，
∴；
当点P在的角平分线左侧时，延长交于点M，交于点N，连接，
∵，，，
∴，
∴，
由三角形外角的性质得：，，
∴，即，
∴；
当点P在的角平分线右侧时，延长交于点J，交于点K，连接，
∵，，，
∴，
∴，
由三角形外角的性质得：，，
∴，即，
∴；
综上所述，当点P在的角平分线上时，；当点P在的角平分线左侧时，；当点P在的角平分线右侧时，．
【知识点】三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质以及三角形外角的性质，
（1）根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”解答即可；
（2）①由折叠的性质可得 ，，再证明，可得到，根据线段和差关系可得结论；
②分三种情况：当点P在的角平分线上时；当点P在的角平分线左侧时；当点P在的角平分线右侧时，结合全等三角形的判定和性质以及三角形外角的性质，即可求解．
（1）解：，理由如下：
如图，
由折叠的性质得：，
∴；
（2）解：①，理由如下：
由折叠的性质得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴；
②当点P在的角平分线上时，；当点P在的角平分线左侧时，；当点P在的角平分线右侧时，；理由如下：
如图，作的角平分线交于点Q，
∴，
当点P在的角平分线上时，
∵，，，
∴，
∴；
当点P在的角平分线左侧时，延长交于点M，交于点N，连接，
∵，，，
∴，
∴，
由三角形外角的性质得：，，
∴，即，
∴；
当点P在的角平分线右侧时，延长交于点J，交于点K，连接，
∵，，，
∴，
∴，
由三角形外角的性质得：，，
∴，即，
∴；
综上所述，当点P在的角平分线上时，；当点P在的角平分线左侧时，；当点P在的角平分线右侧时，．
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