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贵州省铜仁市印江县2025年6月九年级三模测试数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．计算2﹣3的结果是（　　）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
【答案】B
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：2﹣3=2+（﹣3）=﹣1．
故答案为：B．
【分析】利用有理数的减法的计算方法分析求解即可.
2．中国刺绣是文化与经济相互交融、相互促进、相得益彰的生动体现，是中国古代礼制的象征和文化的体现．下列刺绣图案既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A：既是轴对称图形也是中心对称图形，故Ａ错误.
B：既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故Ｂ正确.
C：是轴对称图形但不是中心对称图形，故Ｃ错误.
D：既是轴对称图形也是中心对称图形，故Ｄ错误.
故答案为：B ．
【分析】根据轴对称图形的概念分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ进行判断即可得答案.
3．下列运算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不是同类项，不能合并，故Ａ错误.
B、，故Ｂ错误.
C、，故Ｃ错误.
D、，故Ｄ正确.
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的除法法则，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，法则计算Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项进行计算为不是同类项，不能合并，，，即可得答案.
4．某地3月1日至7日每天的最高气温（单位：）依次为：10，8，9，9，10，10，11关于这组数据下列说法正确的是（　　）
A．中位数是9 B．众数是10 C．平均数是9 D．方差是1
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：整理：8，9，9，10，10，10，11，
中位数：10；
众数：10；
平均数：，
方差：；
故答案为：B．
【分析】先将数据从小到大排列，再利用中位数、众数、平均数和方差的定义及计算方法分析求解即可.
5．如图，在中，、分别是、边上的中点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵、分别是、边上的中点，
∴是的中位线，
∴，又，
∴，
故答案为：A．
【分析】先根据三角形的中位线定理，结合、分别是、边上的中点，得，根据平行线的性质即可得等于.
6．方程的根是，，则的值为（　　）
A．2 B． C． D．24
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程的根是，，
∴，
∴的值为．
故答案为：C．
【分析】根据方程的根是，，得，代入数据求解即可．
7．著名建筑常用黄金分割设计，缘由为建筑物的某部分高度与整体高度的比值接近黄金分割比时，视觉效果较好．已知某旅游城市一建筑整体高度为20米，若想达到较好视觉效果，其上部高度大约应为（结果保留整数，黄金分割比取，其中）（　　）
A．11米 B．19米 C．18米 D．12米
【答案】D
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意，得其上部高度大约应为：米．
故答案为：D．
【分析】利用黄金分割的定义及计算方法列出算式求解即可.
8．小星在网格中绘制了“数学之星”图案，若“数”字的坐标为，“学”字的坐标为，则“星”字的点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：根据“数”字的坐标为，“学”字的坐标为，建如下坐标系：
根据坐标系得：“星”字的点坐标为.
故答案为：A．
【分析】根据“数”字的坐标为，“学”字的坐标为，建坐标系，根据坐标系得：“星”字的点坐标为即可.
9．在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量、已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：当，时，
，
∵，，且，
∴，
∴E的值在3和4之间．
故答案为：B．
【分析】将，数值代入得，根据，，且，得即可得答案.
10．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：求100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x匹大马，y匹小马，根据题意得 ，
故选C
【分析】设有x匹大马，y匹小马，根据100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，列方程组即可．本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
11．如图，在四边形ABCD中，，，，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为（秒），以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（　　）秒．
A．2或 B． C．或 D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；分类讨论
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，
当P从B运动到C时，且P在上，
，，
，
解得，
当秒时，四边形是平行四边形；
当点P在延长线上时，
如图：
，
解得，
秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形．
故答案为：C．
【分析】先求出，，再利用平行四边形的性质列出方程求解即可.
12．小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动．如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象．根据图中提供的信息，你认为正确的结论是（　　）
①小帅的骑车速度为16千米/小时；
②点的坐标为；
③线段对应的函数表达式为；
④当小帅到达乙地时，小泽距乙地还有4千米．
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：根据图像，得（1，8），（2，24）是直线DC上的两点，
设直线DC的解析式为y=kx+b，
∴，
解得，
∴直线DC的解析式为y=16x-8，
∴点C（0.5，0），
∴小帅的速度为=16（千米/小时），
∴①②都正确；
根据图像，得A（0.5，8），B（2.5，24），
设直线AB的解析式为y=mx+n，
∴，
解得，
∴线段AB的解析式为y=8x+4，且0.5x≤2.5，
∴小泽的速度为=8（千米/小时），
∴小泽在小帅达到后，还行走了0.5×8=4（千米）；
∴③④都正确；
∴①②③④都正确；
故答案为：D．
【分析】先利用待定系数法求出直线DC和直线AB的解析式，再利用“速度、路程和时间”的关系逐项分析判断即可.
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．计算的结果为　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：．
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可得答案.
14．某班需要从甲、乙两位同学中选拔一位同学参加学校举办的竞赛，已知甲、乙两位同学的5次选拔成绩如统计图所示，两位同学的平均成绩相等，若从他们的稳定性考虑，应该选择参赛的同学是　 　．
【答案】乙
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：根据题意得：
（分），
，
（分）
由此可得，甲乙同学成绩的平均数相同，乙同学成绩的方差小于甲同学成绩的方差，
∴选择乙参加比赛.
故答案为：乙．
【分析】根据统计图中数据，计算，，，，比较平均数，方差即可得答案.
15．某环保机构计划为社区沙坑制作防尘罩．沙坑中的沙子自然堆积成一个圆锥形，经测量底面半径为4米，垂直高度为3米．现需用防尘布完全覆盖沙堆的侧面以防止扬尘．则所需防尘布的最小面积为　 　（结果保留）．
【答案】平方米
【知识点】勾股定理；圆锥的计算
【解析】【解答】解：根据题意知：
圆锥底面半径米，高米，
由勾股定理米 ．
圆锥侧面积公式，代入，，得
（平方米），
故答案为：平方米.
【分析】根据已知条件先求母线长，再根据圆锥侧面积公式进行计算即可得答案.
16．如图，在矩形中，，，点，分别是，边的中点，和相交于点，连接，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
过点G作于点H，则，
∵在矩形，，，
∴在中，，
设，则，
∴点E是的中点，点F是的中点，
∴，，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴在中，．
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质，运用勾股定理求得等于，平行，即可证明、相似，根据相似三角形的性质求出等于，过点G作于点H，可证明、相似，根据相似性质得相等，即可求出等于，等于1，根据勾股定理求出即可得答案.
三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：；
（2）解不等式组：，通过计算判断该不等式组的解集表示在如图所示的数轴上是否正确．
【答案】解：（1）
（2），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
把解集表示在数轴上如图：
原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简，再进行加减运算即可得答案.
（2）先解不等式①，得，再解不等式②，得，在数轴上找到它们的公共部分，即为不等式组的解集.
18．测量主教学楼高度的方案．
任务驱动 测量主教学楼的高度
测量工具 测角仪，皮尺
模型抽象
测量步骤 ①测量出教学楼前斜坡的长为8米，坡度； ②在距离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为．
数据说明 ①、在同一水平线上 ②点、、、在同一平面内
参考数据 ，，，
模型求解 （1）求台阶底部到教学楼的水平距离； （2）计算教学楼的高度．
结果要求 精确到0.1米
【答案】解：（1）如图，
延长交于点，
的坡度，
，
，
（米），
米.
∴ 台阶底部到教学楼的水平距离 约为6.9米.
（2）在中，
，
∴，
，解得米．
∴教学楼的高度为23.7米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）延长交于点，根据坡度的定义和正切的定义得到等于，即可得等于，即可得，即可得台阶底部到教学楼的水平距离 约为6.9米.
（2）在中，根据正切的定义得到，即可求出教学楼的高度为23.7米．
19．某校举办科技周活动，为了解学生对活动项目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查．
以下问题均为单选题，请根据实际情况填写．
问题1：在以下四类科学“嘉年华”项目中，你最喜爱的是______． A．科普讲座 B．科幻电影 C．应用 D．科学魔术 如果问题1选择C．请继续回答问题2． 问题2：你更关注的应用是______． E．辅助学习 F．虚拟体验 G．智能生活 H．其他
根据以上信息．解答下列问题：
（1）本次调查样本容量为______，最喜爱“应用”的学生中更关注“辅助学习”扇形圆心角为______；
（2）某校共有1200名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱“科幻电影”的学生人数；
（3）小星和小玲在问题1中都选择了“应用”，小慧认为他们在问题2中同时选到“智能生活”的概率是，你认为小慧的判断正确吗？请你作出判断并说明理由．
【答案】（1）200；.
（2）解：根据题意得：
（人）
∴估计该校最喜爱“科幻电影”的学生人数约为180人．
（3）解：小慧的判断不正确，理由如下：
根据题意列表得：
E F G H
E
F
G
H
由表可知，共有16种等可能结果，其中都选中“智能生活”共有1种结果，
∴Ｐ（都选中“智能生活”），
∴小慧的判断不正确．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：
本次调查样本容量为：，
最喜爱“应用”的学生中更关注“辅助学习”扇形圆心角为，
故答案为：200；.
【分析】（1）根据条形统计图中各部分数量之和等于总数即可得本次调查样本容量，再用乘E所占百分比即可“辅助学习”的扇形圆心角.
（2）根据总数乘以喜爱“科幻电影”的百分数即可得该校最喜爱“科幻电影”的人数.
（3）根据题目情境列表，由表可知，共有16种等可能结果，其中都选中“智能生活”共有1种结果，即可得小慧的判断不正确．
（1）解：（1）本次调查样本容量为，
最喜爱“应用”的学生中更关注“辅助学习”扇形圆心角为，
故答案为：200、；
（2）解：（人），
答：估计该校最喜爱“科幻电影”的学生人数约为180人．
（3）小慧的判断不正确，理由如下：
列表得：
E F G H
E
F
G
H
由表可知，共有16种等可能结果，其中都选中“智能生活”共有1种结果，
所以，
所以小慧的判断不正确．
20．如图，在中，，D为中点，以，为一组邻边作，与交于点O，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，
在中，有：，即，
中，，D为中点，
．
，．
∴四边形是平行四边形．
又，
∴四边形是菱形．
（2）解：如图，
∵四边形是菱形，
∴O为中点，．
∴是的中位线．
．
又，
．
∵在中，，
．
．
．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）在中，有平行，相等，即平行，根据直角三角形的性质，得相等，即可得平行且相等，即可得四边形是平行四边形，再根据相等即可得四边形是菱形.
（2）根据菱形的性质，三角形中位线定理，得是的中位线，即可得等于的一半，即可得等于，再根据三角函数定义得，即可得的长．
（1）证明：，
．
即，
中，，D为中点，
．
，．
∴四边形是平行四边形．
又，
∴四边形是菱形．
（2）∵菱形，
∴O为中点，．
∴是的中位线．
．
又，
．
∵在中，，
．
．
．
21．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线与轴交于点，是轴上一点，若的面积等于12，求的值．
【答案】（1）解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
把代入，得，
∴，
把，都代入一次函数，得 ，
解得，
∴一次函数的解析式为：。
（2）解：如图，
对于，当，解得，
∴，
∵，
∴，
∵的面积等于12，
∴，即，
解得：或；
∴或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式：，即可求得反比例函数的解析式，再把B点坐标代入所求得的反比例函数解析式中，即可求出m的值，最后再把A、B的坐标代入一次函数解析式：，然后建立方程组，即可求出一次函数的解析式；
（2）根据一次函数与x轴的交点，令y=0，求出C的坐标，然后再根据P的坐标，求出CP的距离，然后再根据的面积等于12，然后再根据三角形的面积公式，建立方程即可求解。
（1）解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
把代入，得，
∴，
把，都代入一次函数，得 ，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：如图，
对于，当，解得，
∴，
∵，
∴，
∵的面积等于12，
∴，即，
解得：或；
∴或．
22．某水果商店购进甲、乙两种水果进行销售，经了解甲种水果和乙种水果的进价与售价如表所示．
　 甲 乙
进价（元/千克）
售价（元/千克） 18 23
已知用1000元购进甲种水果的重量与用1400元购进乙种水果的重量相同．
（1）求表中的值；
（2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的4倍，从进货到全部卖完两种水果均有的损坏．如果设将所有完好水果卖出会获利元，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）解：根据题意得：
，解得，
经检验，是原方程的解，也满足题意，
的值为10．
（2）解：设购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果，
甲种水果的重量不低于乙种水果重量的4倍，
，解得，
∴，
由（1）可得，甲的进价为10元，乙的进价为14元，则：
，
，
随增大而减小，
当时，取最大值，最大值为（元），
此时，
购进80千克甲种水果，20千克乙种水果，才能获得最大利润，最大利润是630元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据表格数据关系，再根据题目情境得可列方程，求解即可得答案.
（2）设购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果，根据条件列不等式求得m的取值范围，再根据利润等于销售量乘以单件利润列出函数关系式，然后利用一次函数的性质求解即可得答案.
（1）解：根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，也满足题意，
的值为10．
（2）解：设购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果，
甲种水果的重量不低于乙种水果重量的4倍，
，
解得，
则，
由（1）可得，甲的进价为10元，乙的进价为14元，
而，
，
随增大而减小，
当时，取最大值，最大值为（元），
此时，
购进80千克甲种水果，20千克乙种水果，才能获得最大利润，最大利润是630元．
23．如图，已知是的直径，和分别交于、两点，与相交于点，连接．
（1）若，求证：；
（2）若点是半圆的中点，求证：
；
．
【答案】（1）证明：如图，
是的直径，
，
，
，
平分，
，
.
（2）解：如图，
连接，
点是半圆的中点，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
.
如图，
过点作交于，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得等于，即可得垂直，根据等腰三角形的性质，结合相等，得平分，即可得相等，即可得相等.
（2）连接，根据点是半圆的中点，得等于，根据圆周角定理得等于相等，等于，可得相等，根据全等判定定理即可得、全等.
过点作交于，根据圆周角定理得等于，可得等于，根据可证明、全等，可得相等，即可得答案.
（1）证明：是的直径，
，
，
，
平分，
，
；
（2）解：连接，
点是半圆的中点，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
；
过点作交于，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
24．【问题背景】某体育社团开展跳大绳游戏活动，两个摇绳的同学手，之间相距，绳子在摇动过程中呈抛物线形状且轨迹保持不变，当手摇绳子到最上方时，绳子的最高点距地面，握绳的手距离地面，当摇绳两端的手更高时，绳子整体也会相应更高．
【模型抽象】以人站立的地面为轴，绳子最高点垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系．
【问题解决】
（1）求抛物线解析式；
（2）若参加跳绳的人身高均为，人与人之间的距离为，最多能有多少人同时参与跳绳（除摇绳人外）？
（3）在（2）的条件下，由于还有1名同学没能同时参与跳绳，若加入这名同学，在不改变摇绳两端的水平距离和绳长的情况下，只需将两端向上移即可，则的值应满足什么条件？
【答案】（1）解：设抛物线解析式为，
∵抛物线过点和点，
∴解得：，
抛物线解析式为.
（2）解：当时有，解得：，
，
当时，则有一个同学在原点处，其两侧均有4个同学，与最远端同学相距，
此时可有9个同学同时参加跳绳．
（3）解：由（2）可知，再增加1个同学即有10个同学，此时没有人能站在原点处，
∴原点两侧的同学距原点，所以最远端到原点距离为，
，解得：
∴的值应超过即可．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为，把，，代入，列方程组，解出即可得抛物线解析式为.
（2）当，可得，解出x的值，进一步根据条件即可得此时可有9个同学同时参加跳绳．
（3）由（2）可知，再增加1个同学即有10个同学，此时没有人能站在原点处，设出平移后的解析式为，根据条件求出t的取值范围即可.
（1）解：由题意可设抛物线解析式为，且抛物线过点和点，
则有：
解得：
抛物线解析式为
（2）解：当时有，解得：
当时，则有一个同学在原点处，其两侧均有4个同学，与最远端同学相距，
此时可有9个同学同时参加跳绳．
（3）解：由（2）可知，再增加1个同学即有10个同学，此时没有人能站在原点处，
故原点两侧的同学距原点，所以最远端到原点距离为，
解得
即的值应超过即可．
25．（1）问题解决：如图1，点在一条直线上，，求证：；
（2）问题探究：在（1）的条件下，若点为的中点，求证：；
（3）拓展运用：如图2，在中，，点是的内心，若，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵点C为的中点
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点O作交于点E，交于点F，
∵点O是的内心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴为直角三角形，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换求出，再结合，从而可证出；
（2）利用相似三角形的性质可得，再利用中点的性质和等量代换可得，再结合，可证出，最后利用相似三角形的性质可得，从而得解；
（3）过点O作交于点E，交于点F，先证出，可得，证出是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE=AF=2，再证出，可得，再求出，，利用线段的和差求出，，最后利用勾股定理求出BC的长即可.
1 / 1贵州省铜仁市印江县2025年6月九年级三模测试数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．计算2﹣3的结果是（　　）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
2．中国刺绣是文化与经济相互交融、相互促进、相得益彰的生动体现，是中国古代礼制的象征和文化的体现．下列刺绣图案既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列运算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．某地3月1日至7日每天的最高气温（单位：）依次为：10，8，9，9，10，10，11关于这组数据下列说法正确的是（　　）
A．中位数是9 B．众数是10 C．平均数是9 D．方差是1
5．如图，在中，、分别是、边上的中点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．方程的根是，，则的值为（　　）
A．2 B． C． D．24
7．著名建筑常用黄金分割设计，缘由为建筑物的某部分高度与整体高度的比值接近黄金分割比时，视觉效果较好．已知某旅游城市一建筑整体高度为20米，若想达到较好视觉效果，其上部高度大约应为（结果保留整数，黄金分割比取，其中）（　　）
A．11米 B．19米 C．18米 D．12米
8．小星在网格中绘制了“数学之星”图案，若“数”字的坐标为，“学”字的坐标为，则“星”字的点坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量、已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
10．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：求100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，在四边形ABCD中，，，，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为（秒），以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（　　）秒．
A．2或 B． C．或 D．
12．小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动．如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象．根据图中提供的信息，你认为正确的结论是（　　）
①小帅的骑车速度为16千米/小时；
②点的坐标为；
③线段对应的函数表达式为；
④当小帅到达乙地时，小泽距乙地还有4千米．
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．计算的结果为　 　．
14．某班需要从甲、乙两位同学中选拔一位同学参加学校举办的竞赛，已知甲、乙两位同学的5次选拔成绩如统计图所示，两位同学的平均成绩相等，若从他们的稳定性考虑，应该选择参赛的同学是　 　．
15．某环保机构计划为社区沙坑制作防尘罩．沙坑中的沙子自然堆积成一个圆锥形，经测量底面半径为4米，垂直高度为3米．现需用防尘布完全覆盖沙堆的侧面以防止扬尘．则所需防尘布的最小面积为　 　（结果保留）．
16．如图，在矩形中，，，点，分别是，边的中点，和相交于点，连接，则的长为　 　．
三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：；
（2）解不等式组：，通过计算判断该不等式组的解集表示在如图所示的数轴上是否正确．
18．测量主教学楼高度的方案．
任务驱动 测量主教学楼的高度
测量工具 测角仪，皮尺
模型抽象
测量步骤 ①测量出教学楼前斜坡的长为8米，坡度； ②在距离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为．
数据说明 ①、在同一水平线上 ②点、、、在同一平面内
参考数据 ，，，
模型求解 （1）求台阶底部到教学楼的水平距离； （2）计算教学楼的高度．
结果要求 精确到0.1米
19．某校举办科技周活动，为了解学生对活动项目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查．
以下问题均为单选题，请根据实际情况填写．
问题1：在以下四类科学“嘉年华”项目中，你最喜爱的是______． A．科普讲座 B．科幻电影 C．应用 D．科学魔术 如果问题1选择C．请继续回答问题2． 问题2：你更关注的应用是______． E．辅助学习 F．虚拟体验 G．智能生活 H．其他
根据以上信息．解答下列问题：
（1）本次调查样本容量为______，最喜爱“应用”的学生中更关注“辅助学习”扇形圆心角为______；
（2）某校共有1200名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱“科幻电影”的学生人数；
（3）小星和小玲在问题1中都选择了“应用”，小慧认为他们在问题2中同时选到“智能生活”的概率是，你认为小慧的判断正确吗？请你作出判断并说明理由．
20．如图，在中，，D为中点，以，为一组邻边作，与交于点O，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
21．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线与轴交于点，是轴上一点，若的面积等于12，求的值．
22．某水果商店购进甲、乙两种水果进行销售，经了解甲种水果和乙种水果的进价与售价如表所示．
　 甲 乙
进价（元/千克）
售价（元/千克） 18 23
已知用1000元购进甲种水果的重量与用1400元购进乙种水果的重量相同．
（1）求表中的值；
（2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的4倍，从进货到全部卖完两种水果均有的损坏．如果设将所有完好水果卖出会获利元，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
23．如图，已知是的直径，和分别交于、两点，与相交于点，连接．
（1）若，求证：；
（2）若点是半圆的中点，求证：
；
．
24．【问题背景】某体育社团开展跳大绳游戏活动，两个摇绳的同学手，之间相距，绳子在摇动过程中呈抛物线形状且轨迹保持不变，当手摇绳子到最上方时，绳子的最高点距地面，握绳的手距离地面，当摇绳两端的手更高时，绳子整体也会相应更高．
【模型抽象】以人站立的地面为轴，绳子最高点垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系．
【问题解决】
（1）求抛物线解析式；
（2）若参加跳绳的人身高均为，人与人之间的距离为，最多能有多少人同时参与跳绳（除摇绳人外）？
（3）在（2）的条件下，由于还有1名同学没能同时参与跳绳，若加入这名同学，在不改变摇绳两端的水平距离和绳长的情况下，只需将两端向上移即可，则的值应满足什么条件？
25．（1）问题解决：如图1，点在一条直线上，，求证：；
（2）问题探究：在（1）的条件下，若点为的中点，求证：；
（3）拓展运用：如图2，在中，，点是的内心，若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：2﹣3=2+（﹣3）=﹣1．
故答案为：B．
【分析】利用有理数的减法的计算方法分析求解即可.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A：既是轴对称图形也是中心对称图形，故Ａ错误.
B：既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故Ｂ正确.
C：是轴对称图形但不是中心对称图形，故Ｃ错误.
D：既是轴对称图形也是中心对称图形，故Ｄ错误.
故答案为：B ．
【分析】根据轴对称图形的概念分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ进行判断即可得答案.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不是同类项，不能合并，故Ａ错误.
B、，故Ｂ错误.
C、，故Ｃ错误.
D、，故Ｄ正确.
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的除法法则，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，法则计算Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项进行计算为不是同类项，不能合并，，，即可得答案.
4．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：整理：8，9，9，10，10，10，11，
中位数：10；
众数：10；
平均数：，
方差：；
故答案为：B．
【分析】先将数据从小到大排列，再利用中位数、众数、平均数和方差的定义及计算方法分析求解即可.
5．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵、分别是、边上的中点，
∴是的中位线，
∴，又，
∴，
故答案为：A．
【分析】先根据三角形的中位线定理，结合、分别是、边上的中点，得，根据平行线的性质即可得等于.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程的根是，，
∴，
∴的值为．
故答案为：C．
【分析】根据方程的根是，，得，代入数据求解即可．
7．【答案】D
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意，得其上部高度大约应为：米．
故答案为：D．
【分析】利用黄金分割的定义及计算方法列出算式求解即可.
8．【答案】A
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：根据“数”字的坐标为，“学”字的坐标为，建如下坐标系：
根据坐标系得：“星”字的点坐标为.
故答案为：A．
【分析】根据“数”字的坐标为，“学”字的坐标为，建坐标系，根据坐标系得：“星”字的点坐标为即可.
9．【答案】B
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：当，时，
，
∵，，且，
∴，
∴E的值在3和4之间．
故答案为：B．
【分析】将，数值代入得，根据，，且，得即可得答案.
10．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x匹大马，y匹小马，根据题意得 ，
故选C
【分析】设有x匹大马，y匹小马，根据100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，列方程组即可．本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
11．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；分类讨论
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，
当P从B运动到C时，且P在上，
，，
，
解得，
当秒时，四边形是平行四边形；
当点P在延长线上时，
如图：
，
解得，
秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形．
故答案为：C．
【分析】先求出，，再利用平行四边形的性质列出方程求解即可.
12．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：根据图像，得（1，8），（2，24）是直线DC上的两点，
设直线DC的解析式为y=kx+b，
∴，
解得，
∴直线DC的解析式为y=16x-8，
∴点C（0.5，0），
∴小帅的速度为=16（千米/小时），
∴①②都正确；
根据图像，得A（0.5，8），B（2.5，24），
设直线AB的解析式为y=mx+n，
∴，
解得，
∴线段AB的解析式为y=8x+4，且0.5x≤2.5，
∴小泽的速度为=8（千米/小时），
∴小泽在小帅达到后，还行走了0.5×8=4（千米）；
∴③④都正确；
∴①②③④都正确；
故答案为：D．
【分析】先利用待定系数法求出直线DC和直线AB的解析式，再利用“速度、路程和时间”的关系逐项分析判断即可.
13．【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：．
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可得答案.
14．【答案】乙
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：根据题意得：
（分），
，
（分）
由此可得，甲乙同学成绩的平均数相同，乙同学成绩的方差小于甲同学成绩的方差，
∴选择乙参加比赛.
故答案为：乙．
【分析】根据统计图中数据，计算，，，，比较平均数，方差即可得答案.
15．【答案】平方米
【知识点】勾股定理；圆锥的计算
【解析】【解答】解：根据题意知：
圆锥底面半径米，高米，
由勾股定理米 ．
圆锥侧面积公式，代入，，得
（平方米），
故答案为：平方米.
【分析】根据已知条件先求母线长，再根据圆锥侧面积公式进行计算即可得答案.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
过点G作于点H，则，
∵在矩形，，，
∴在中，，
设，则，
∴点E是的中点，点F是的中点，
∴，，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴在中，．
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质，运用勾股定理求得等于，平行，即可证明、相似，根据相似三角形的性质求出等于，过点G作于点H，可证明、相似，根据相似性质得相等，即可求出等于，等于1，根据勾股定理求出即可得答案.
17．【答案】解：（1）
（2），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
把解集表示在数轴上如图：
原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简，再进行加减运算即可得答案.
（2）先解不等式①，得，再解不等式②，得，在数轴上找到它们的公共部分，即为不等式组的解集.
18．【答案】解：（1）如图，
延长交于点，
的坡度，
，
，
（米），
米.
∴ 台阶底部到教学楼的水平距离 约为6.9米.
（2）在中，
，
∴，
，解得米．
∴教学楼的高度为23.7米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）延长交于点，根据坡度的定义和正切的定义得到等于，即可得等于，即可得，即可得台阶底部到教学楼的水平距离 约为6.9米.
（2）在中，根据正切的定义得到，即可求出教学楼的高度为23.7米．
19．【答案】（1）200；.
（2）解：根据题意得：
（人）
∴估计该校最喜爱“科幻电影”的学生人数约为180人．
（3）解：小慧的判断不正确，理由如下：
根据题意列表得：
E F G H
E
F
G
H
由表可知，共有16种等可能结果，其中都选中“智能生活”共有1种结果，
∴Ｐ（都选中“智能生活”），
∴小慧的判断不正确．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：
本次调查样本容量为：，
最喜爱“应用”的学生中更关注“辅助学习”扇形圆心角为，
故答案为：200；.
【分析】（1）根据条形统计图中各部分数量之和等于总数即可得本次调查样本容量，再用乘E所占百分比即可“辅助学习”的扇形圆心角.
（2）根据总数乘以喜爱“科幻电影”的百分数即可得该校最喜爱“科幻电影”的人数.
（3）根据题目情境列表，由表可知，共有16种等可能结果，其中都选中“智能生活”共有1种结果，即可得小慧的判断不正确．
（1）解：（1）本次调查样本容量为，
最喜爱“应用”的学生中更关注“辅助学习”扇形圆心角为，
故答案为：200、；
（2）解：（人），
答：估计该校最喜爱“科幻电影”的学生人数约为180人．
（3）小慧的判断不正确，理由如下：
列表得：
E F G H
E
F
G
H
由表可知，共有16种等可能结果，其中都选中“智能生活”共有1种结果，
所以，
所以小慧的判断不正确．
20．【答案】（1）证明：如图，
在中，有：，即，
中，，D为中点，
．
，．
∴四边形是平行四边形．
又，
∴四边形是菱形．
（2）解：如图，
∵四边形是菱形，
∴O为中点，．
∴是的中位线．
．
又，
．
∵在中，，
．
．
．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）在中，有平行，相等，即平行，根据直角三角形的性质，得相等，即可得平行且相等，即可得四边形是平行四边形，再根据相等即可得四边形是菱形.
（2）根据菱形的性质，三角形中位线定理，得是的中位线，即可得等于的一半，即可得等于，再根据三角函数定义得，即可得的长．
（1）证明：，
．
即，
中，，D为中点，
．
，．
∴四边形是平行四边形．
又，
∴四边形是菱形．
（2）∵菱形，
∴O为中点，．
∴是的中位线．
．
又，
．
∵在中，，
．
．
．
21．【答案】（1）解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
把代入，得，
∴，
把，都代入一次函数，得 ，
解得，
∴一次函数的解析式为：。
（2）解：如图，
对于，当，解得，
∴，
∵，
∴，
∵的面积等于12，
∴，即，
解得：或；
∴或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式：，即可求得反比例函数的解析式，再把B点坐标代入所求得的反比例函数解析式中，即可求出m的值，最后再把A、B的坐标代入一次函数解析式：，然后建立方程组，即可求出一次函数的解析式；
（2）根据一次函数与x轴的交点，令y=0，求出C的坐标，然后再根据P的坐标，求出CP的距离，然后再根据的面积等于12，然后再根据三角形的面积公式，建立方程即可求解。
（1）解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
把代入，得，
∴，
把，都代入一次函数，得 ，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：如图，
对于，当，解得，
∴，
∵，
∴，
∵的面积等于12，
∴，即，
解得：或；
∴或．
22．【答案】（1）解：根据题意得：
，解得，
经检验，是原方程的解，也满足题意，
的值为10．
（2）解：设购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果，
甲种水果的重量不低于乙种水果重量的4倍，
，解得，
∴，
由（1）可得，甲的进价为10元，乙的进价为14元，则：
，
，
随增大而减小，
当时，取最大值，最大值为（元），
此时，
购进80千克甲种水果，20千克乙种水果，才能获得最大利润，最大利润是630元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据表格数据关系，再根据题目情境得可列方程，求解即可得答案.
（2）设购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果，根据条件列不等式求得m的取值范围，再根据利润等于销售量乘以单件利润列出函数关系式，然后利用一次函数的性质求解即可得答案.
（1）解：根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，也满足题意，
的值为10．
（2）解：设购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果，
甲种水果的重量不低于乙种水果重量的4倍，
，
解得，
则，
由（1）可得，甲的进价为10元，乙的进价为14元，
而，
，
随增大而减小，
当时，取最大值，最大值为（元），
此时，
购进80千克甲种水果，20千克乙种水果，才能获得最大利润，最大利润是630元．
23．【答案】（1）证明：如图，
是的直径，
，
，
，
平分，
，
.
（2）解：如图，
连接，
点是半圆的中点，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
.
如图，
过点作交于，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得等于，即可得垂直，根据等腰三角形的性质，结合相等，得平分，即可得相等，即可得相等.
（2）连接，根据点是半圆的中点，得等于，根据圆周角定理得等于相等，等于，可得相等，根据全等判定定理即可得、全等.
过点作交于，根据圆周角定理得等于，可得等于，根据可证明、全等，可得相等，即可得答案.
（1）证明：是的直径，
，
，
，
平分，
，
；
（2）解：连接，
点是半圆的中点，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
；
过点作交于，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
24．【答案】（1）解：设抛物线解析式为，
∵抛物线过点和点，
∴解得：，
抛物线解析式为.
（2）解：当时有，解得：，
，
当时，则有一个同学在原点处，其两侧均有4个同学，与最远端同学相距，
此时可有9个同学同时参加跳绳．
（3）解：由（2）可知，再增加1个同学即有10个同学，此时没有人能站在原点处，
∴原点两侧的同学距原点，所以最远端到原点距离为，
，解得：
∴的值应超过即可．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为，把，，代入，列方程组，解出即可得抛物线解析式为.
（2）当，可得，解出x的值，进一步根据条件即可得此时可有9个同学同时参加跳绳．
（3）由（2）可知，再增加1个同学即有10个同学，此时没有人能站在原点处，设出平移后的解析式为，根据条件求出t的取值范围即可.
（1）解：由题意可设抛物线解析式为，且抛物线过点和点，
则有：
解得：
抛物线解析式为
（2）解：当时有，解得：
当时，则有一个同学在原点处，其两侧均有4个同学，与最远端同学相距，
此时可有9个同学同时参加跳绳．
（3）解：由（2）可知，再增加1个同学即有10个同学，此时没有人能站在原点处，
故原点两侧的同学距原点，所以最远端到原点距离为，
解得
即的值应超过即可．
25．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵点C为的中点
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点O作交于点E，交于点F，
∵点O是的内心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴为直角三角形，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换求出，再结合，从而可证出；
（2）利用相似三角形的性质可得，再利用中点的性质和等量代换可得，再结合，可证出，最后利用相似三角形的性质可得，从而得解；
（3）过点O作交于点E，交于点F，先证出，可得，证出是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE=AF=2，再证出，可得，再求出，，利用线段的和差求出，，最后利用勾股定理求出BC的长即可.
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