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2026年河北保定市部分学校中考二模九年级数学试卷
一、单选题
1．如图，在数轴上表示的结果是（ ）
A．a B．b C．c D．d
2．如图是由3个相同的小正方形组成的图形，若再补画一个相同的小正方形，使补画后的图形是轴对称图形，则不同的补画方法一共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
3．某快递中心每小时能分拣件包裹，为提升效率，在优化流程后每小时分拣量为原来的倍．若将优化后每小时的分拣量用科学记数法表示为，则a的值是（ ）
A．8 B．4.375 C．3.5 D．35
4．将一根质地均匀的细铁丝，裁剪成三段或四段，不可以围成三角形或四边形的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知点和在反比例函数（）的图象上，直线（）与该反比例函数的图象交于A，C两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点A在点B的下方 B．点C在点A的上方
C．点B在点C的上方 D．点A，B均在x轴的下方
6．化简分式的结果为（ ）
A． B． C． D．
7．若一元二次方程的两根之和为m，两根之积为n，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方形中，，E为边上一点，连接，过点C作于点F，记，．当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图是某地某月1日－5日的每天最高气温．若该月1日－7日每天最高气温的中位数与前五天每天最高气温的中位数相同，则6日与7日的最高气温可能是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
10．如图是的网格，其中每个小正方形的边长均为1．与是一对位似三角形，且点B和点是对应点，现给出了点A和点C的位置，则点B的位置（ ）
A．有2个，一个在网格中，一个在网格外 B．有且只有1个，在网格外
C．有2个，均在网格中 D．没有在网格中的
11．如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图是某外卖平台统计的甲，乙，丙三名骑手的某天的配送数据，甲，乙，丙上午配送数据分别用，，表示，下午配送数据分别用，，表示．若定义一天的配送效率，则下列说法正确的是（ ）
A．甲的配送效率最高 B．丙的配送效率最高
C．甲的配送效率最低 D．乙的配送效率最低
二、填空题
13．计算______．
14．“燕几”（宴几）是世界上最早的一套组合桌，全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面可以排列组合，按需设席．如图，给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面组合方式，若长桌的宽为x，则一张小桌的面积为______．
15．如图，在中，是边上的中线，F是的中点，连接并延长交于点E，则的值为______．
16．如图，菱形的对角线、的长分别为6、8，点P、Q分别在边、上（均不与边的端点重合），连接，请写出一个长的整数值为______．
三、解答题
17．计算及解不等式组：
(1)计算：；
(2)解不等式组：
18．一道习题及其错误的解答过程如下：
化简：．
解：原式第一步
第二步
．第三步
(1)以上化简过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______；
(2)请写出正确的化简过程．
19．如图，在中，点D，E分别在边，上，连接，相交于点O，，．
(1)求证：；
(2)连接，求证：．
20．某学校开展数字创作实践活动，每次任务系统会从“标准创作”和“创意创作”两种任务等级中随机确定一种，且每种创作中有“绘画类”和“文案类”任务，每次只完成其中一种任务．任务等级与创作类型随机分配，每种结果可能性相同．
(1)嘉淇参与一次数字创作．
①分配到“标准创作”的概率为______；
②请利用列表或画树状图的方法，求分配的是“创意创作”且任务是“文案类”的概率；
(2)为鼓励学生，活动设置创作积分（积分可用于兑换学习资料），完成不同类型的创作，可获得对应积分，具体得分规则如下表：
文案类 绘画类
标准创作 3 4
创意创作 4 5
嘉淇在一周内共完成18次创作任务．系统统计显示，她完成的“绘画类”任务是“文案类”任务次数的2倍，求她在这些“文案类”任务中，能获得的最大得分是多少分？
21．如图，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，已知点．
(1)如图，过点C作直线：．
①用含k的代数式表示b；
②若直线与线段有交点（不包含A，B两点），求k的取值范围；
(2)平行于x轴的直线分别交，于D，E两点，点E在点D的右侧，点E的横坐标为m，若，且k，m均为整数，求m的值．
22．综合与实践
【问题情境】在学分矩形周长的方法后，嘉嘉和淇淇探究将如图1所示的一个五边形铁板余料（部分数据已标出）切割成面积相等的两部分．
【操作探究】
(1)嘉嘉认为利用尺规作边的垂直平分线，直线即可将五边形面积平分．请用尺规作图根据嘉嘉的想法作出直线（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)如图2，淇淇考虑到图形所具有的性质，认为利用直尺连接，交于点O，作直线，直线即为切割线，求的长；
【拓展探究】
(3)如图3，点P，Q分别在边，上，直线平分五边形的面积，当线段长最大时，过点作于点F，直接写出的长．
23．如图，在平行四边形中，，，点P在边上（不与点B，C重合），连接，是的外接圆．
(1)若．
①当时，的度数为______；
②当P是的中点时，求的长；
(2)若，当与边或边所在直线相切时，求的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于点，，与y轴交于点C，抛物线：（）经过A，B两点，与y轴交于点D．
(1)求m与n的值；
(2)若抛物线的顶点为E，连接，当直线恰好经过点C时，求b的值；
(3)点P在线段上（不与点A，B重合），过点P作垂直于x轴的直线，分别交抛物线，于点M，N，且M是的中点．
①求的最大值；
②设，，若实数d满足关于t的方程在内有实数根，求d的取值范围．
参考答案
1．B
解：∵，
∴在数轴上表示的结果的是b．
2．C
解：如图，要使补画后的图形是轴对称图形，补画的小正方形的位置有①，②，③，④，共4种．
3．C
解：．
故．
4．B
【详解】A选项：由图可知，分成三段的长分别为3，4，5，由三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”可得A选项能围成三角形；
B选项：由图可知，分成三段的长分别为2，6，4，由三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”可得B选项无法围成三角形；
C选项：由图可知，分成四段的长分别为3，3，3，3，可以围成菱形；
D选项：由图可知，分成四段的长分别为2，4，2，4，可以围成平行四边形．
5．C
解：根据题意，画出大致图象如图，由图可得C选项正确．
6．C
解：原式
．
7．D
解：∵一元二次方程，即的两根之和为m，两根之积为n，
∴，，
∴，．
8．A
解：如图，连接，
由面积公式得，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴．
9．B
解：从折线图可得1日－5日的每天最高气温的中位数为，而1日－7日这七天的每天最高气温的中位数与前五天每天最高气温的中位数相同，
∴6日与7日的温度既不能同时大于，也不能同时小于，
四个选项中，A选项中的两个温度都小于，C和D选项中的两个温度都大于，只有B选项符合．
10．C
解：画出如图，
由图可得C选项符合题意．
11．D
解：如图，补全折叠前的矩形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质得，
∴，故A选项正确，不符合题意；
过点B作交于点E，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由折叠的性质得，
∴，
∴，故B选项正确，不符合题意；
∵，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
化简得，故C选项正确，不符合题意；
由于点M，N位置不确定，因此不一定是，
∴不一定是，
∴不一定平行，故D选项错误，符合题意．
12．A
解：如图，
连接，，，分别取，，的中点，，，连接，，，设，，则，则甲一天的配送效率为，
同理可表示出乙的配送效率和丙的配送效率，
由图可得的倾斜程度的倾斜程度的倾斜程度（直线的倾斜程度表示配送效率，倾斜程度越大，配送效率越高），即甲一天的配送效率乙一天的配送效率丙一天的配送效率．
13．2
解：．
14．
解：∵长桌的宽为x，每张桌面的宽都相等，
∴小桌的宽为x，
由题图可得小桌的长为2x，
∴一张小桌的面积为．
15．
解：如图，过点D作交于点G，
∴，
∵是边上的中线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
16．5（或填6或7）
解：如图，设与交于点O，
在菱形中，，，，
∴，
∵，
∴，
当时，即时，取得最小值，
∴，
当与重合时，取得最大值，，
∴，故长的整数值为5或6或7．
17．(1)
(2)
（1）解：原式
；
（2）解：
解不等式①，得
，
解不等式②，得
，
∴原不等式组的解集为．
18．(1)一，完全平方公式运用错误
(2)见解析
（1）解：∵，
∴第一步开始出现错误，错误原因是完全平方公式运用错误；
（2）解：正确化简过程如下：
原式
．
19．(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：由（1）得，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
20．(1)①；②
(2)“文案类”任务最大得分是24分
（1）解：①共有“标准创作”和“创意创作”2种等可能的分配情况，故概率为；
②画树状图如图，
由树状图可得，共有4种等可能的结果，其中分配的是“创意创作”且任务是“文案类”的有1种，
∴分配的是“创意创作”且任务是“文案类”的概率为；
（2）解：设“文案类”的个数为x个，则“绘画类”的个数为个，
依题意得，
解得，
∵完成“标准创作文案类”得3分，“创意创作文案类”得4分，
∴当“文案类”都是“创意创作文案类”时，获得最大得分，最大得分是分．
21．(1)①；②；
(2)2或4或16或
（1）解：①∵点在直线：上，
∴，
∴；
②∵直线：交x轴于点A，交y轴于点B，
∴，，
由①得，
∴直线：，
当直线：经过点时，，解得，
当直线：经过点时，，解得，
∴直线与线段有交点（不包含A，B两点）时，k的取值范围为；
（2）解：∵平行于x轴的直线分别交，于D，E两点，点E在点D的右侧，点E的横坐标为m，，
∴设，，
又∵点D在直线上，点E在直线上，
∴，，
∴，
∴，
∵k，m均为整数，
∴，
∴m的值为2或4或16或．
22．(1)见解析
(2)
(3)
（1）解：直线如下图所示即为所求；
（2）解：在五边形中，，，
∵五边形的内角和为，
∴，
如解图②，延长，交于点G，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴；
（3）解：的长为．
由（2）可得，五边形的面积为，
∵平分五边形的面积，
∴四边形的面积为28，
如图③，连接，，
∵的面积为，
∴点P不能与点E重合，
设，则，
∴，
∵，，
∴当，即点Q与点B重合时，最大，此时，如图④，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
23．(1)①；②
(2)当与边所在直线相切时，的长为，当与边所在直线相切时，的长为
（1）解：①在平行四边形中，，
∴，
当时，，
∴；
②∵P是的中点，
∴，
又由（1），得，
∴是等边三角形，
∴，
如解图①，连接，，过点O作于点E，
∵，，
∴，，
∴，
∴的长为；
（2）解：分两种情况，
第一种：当与边所在直线相切时，A是切点，如解图②，连接并延长，交于点M，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
由垂径定理，可知，
∵，
∴，
设，则，
由，得，
∴，，
∴；
第二种：当与所在直线相切时，如解图③，设切点为Q，连接并延长，交于点N，过点A作于点H，连接，，
同第一种情况，可得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理，得，即，
解得，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
综上，当与边所在直线相切时，的长为，当与边所在直线相切时，的长为．
24．(1)
(2)
(3)①的最大值是2；②
（1）解：∵抛物线：与x轴交于点，，
∴
解得；
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为，
∵抛物线：与y轴交于点C，当时，
∴，
设直线的解析式为：，
∴，解得
∴直线的解析式为，
∵抛物线：（）经过点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴设点，
∵点E在直线上，
∴，
∴
∴设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴；
（3）解：①∵抛物线：，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴的最大值是2，
∵点M是的中点，
∴的最大值是2；
②∵设，，
∴点，点，
∵抛物线：（）经过点，，
∴抛物线的解析式为，
∴点，
∵点M是的中点，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴当或时，，
∴当时，，
∵关于t的方程，即，在内有实数根，
∴，
解得，
∴d的取值范围为．

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