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广东省深圳市宝安区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．多项式ma2-mb2的公因式是（　　）
A．m B．m2 C．ma D．mb
【答案】A
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：由题意可得：
ma2-mb2=m(a2-b2)
故答案为：A
【分析】根据公因式的定义即可求出答案.
2．下列英文字母中，为中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误.
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故B正确.
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误.
D、轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误.
故答案为：B
【分析】根据中心对称图形的概念分别对A、B、C、D各选项进行判断即可得答案.
3．如图，在中，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质，结合相等，相等，即可得，再根据即可得.
4．如图是一个三叶吊扇的图片，吊扇正常工作（运转）时，其叶片的转动可以看成是一个旋转运动，当第一个叶片转动到第二个叶片的位置时，它转过了（　　）度
A．300 B．240 C．120 D．60
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵三叶吊扇的三个叶片把周角平均分成等份，
∴每一份的角度为，
∴当第一个叶片转动到第二个叶片的位置时，转过了 .
故答案为：C．
【分析】根据题目得三叶吊扇的叶片把周角平均分成份，故每一份的角度为，
即可得当第一个叶片转动到第二个叶片的位置时，转过了 .
5．如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离！先在外选一点，然后步测出的中点，并步测出长约为42米，由此可知间的距离约为（　　）米
A．21 B．42 C．84 D．90
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
，分别是，的中点，
是的中位线，
(米)，
故答案为：C．
【分析】根据，分别是，的中点，得是的中位线，根据三角形中位线定理即可得米.
6．实数与在数轴上的位置如图所示，若，则取值可能为（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】实数在数轴上的表示；不等式的性质
【解析】【解答】解：如图，
根据数轴得：，
∵，
∴，
∴取值可能为.
故答案为：A．
【分析】根据数轴得到，再根据不等式的性质，结合即可得，进一般即可得答案.
7．粤港澳大湾区拥有密集的交通网络，如港珠澳大桥、深中通道、虎门大桥等．一辆跨境货车从珠海前往香港，通过港珠澳大桥（全长约55公里），若货车的平均速度提高，则通行时间可减少小时．设货车原来的平均速度为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设货车原来的平均速度为，则原来的通行时间为小时，平均速度提高后为，则提高后通行时间为小时，
∵若货车的平均速度提高，则通行时间可减少小时，
∴，
故答案为：D．
【分析】设货车原来的平均速度为，则原来的通行时间为小时，平均速度提高后为，则提高后通行时间为小时，根据题目情景列方程即可得答案.
8．如图，点是的平分线上一点，，，垂足分别为，若，则长为（　　）
A．5 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∴，
∵点P是的平分线上一点，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据垂线定义得相等，等于，根据勾股定理得，根据、角平分线的性质，得相等，即可，根据全等三角形的性质得相等，相等，进一步根据垂直平分线的判定得，再根据等面积法列方程解出即可得的长.
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
9．当　 　时（填写一个满足题意的数即可），分式有意义．
【答案】1
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使分式有意义，则，
∴，
∴当时，分式有意义，故时，分式有意义.
故答案为：1.
【分析】根据分式有意义的条件，结合题目得，解出，即当时，分式有意义，即可得答案.
10．已知正方形的面积为，则正方形的边长为　 　（用含的代数式表示）．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
正方形的边长为，
故答案为：．
【分析】先把因式分解得到，即可得正方形的边长.
11．如图，直线与直线相交于点，当时，的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：如图，
∵直线过点，
∴，即，
∴直线为，
∴可转化为，
∴，
∵，
∴，
∴，解得：，
∴的取值范围为．
故答案为： ．
【分析】把点代入直线中可得，即可得直线为，进一步得，再根据得，即可得.
12．如图，小明沿一个正多边形广场周围的小路按顺时针方向跑步，从点出发，前进10米后向右转，再前进10米后又向右转这样一直跑下去，直到他第一次回到出发点为止，则这个正多边形的周长为　 　米．
【答案】120
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵小明从O点开始，前进10米后向右转，再前进10米后又向右转，…，
∴运行轨迹是正多边形，且该正多边形外角和为，
设多边形的边数为n，则正多边形边数为，
∴行走距离正多边形正多边形边长（米），
故答案为：．
【分析】根据题目情景得运行轨迹是正多边形，根据正多边形外角和为，每一个外角为即可得正多边形边数为12，再根据运行距离正多边形的边数正多边形边长即可得答案.
13．如图，在中，连接，将绕点顺时针旋转一定角度，得到，点，分别旋转到了点，．已知点在边上，，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；旋转的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，
过点A作于点H，则，
∵绕点顺时针旋转一定角度，得到，
∴，
在中，
，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点A作于点H，则，根据旋转性质得，
再根据平行四边形的性质，等腰三角形的三线合一性质，得，，再根据勾股定理得，即可.
三、解答题（本题共7小题，共61分）
14．解不等式组，并写出所有的非负整数解．
【答案】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
原不等式组的解集为，
所有的非负整数解为0，1，2．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别解出不等式组中的每个不等式，即可得不等式组解集，根据不等式组解集求出它的非负整数解即可.
15．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
．
．
当时，
原式.
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简得，最后把代入计算即可.
16．如图，在方格纸中，每个小方格的边长均为1个单位长度，线段的两个端点都在小方格的格点上．请按照下列要求，仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．
（1）请在图1中将线段向右平移3个单位长度得到线段，点在点的上方；
（2）在第（1）问的条件下，画出平行四边形，并画出其对称中心点；
（3）请在图2中作出线段的中点．
【答案】（1）解：根据题意作图如下：
（2）解：根据题意作图如下：
（3）解：根据题意作图如下：
【知识点】平行四边形的判定与性质；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据平移的概念，结合题目要求作图即可.
（2）连接，可得平行四边形，连接对角线，根据平行四边形性质即可得为所求．
（3）依据平行四边形的判定，先以为对角线找到一个平行四边形，连接对角线即可得交点即为的中点．
（1）解：如图，线段即为所求．
（2）解：如图，平行四边形和点即为所求．
（3）解：如图，点即为所求．
17．为了进一步弘扬和传承我国悠久而丰富的传统节日文化，在端午节即将来临之际，滨海学校精心策划并成功举办了富有意义的包粽子活动.已知包1个大粽子比包1个小粽子多用50克糯米，用800克糯米包大粽子的数量与用400克糯米包小粽子的数量相同.
（1）求包1个大粽子和1个小粽子分别需用多少克糯米？
（2）八年级8班计划包大、小粽子共60个，且所用糯米总量不超过5000克，那么该班级最多可以包多少个大粽子？
【答案】（1）解：设包1个小粽子需用x克糯米，则包1个大粽子需用(x+50)克糯米
解得х=50
经检验x=50是原方程的根
x+50=50+50=100
答：包1个大粽子和1个小粽子分别需用100克和50克糯米。
（2）解：设八年级8班计划包大粽子ａ个
100a+50(60-a)≤5000
解得a≦40
答：该班级最多可以包40个大粽子。
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设包1个小粽子需用x克糯米，则包1个大粽子需用(x+50)克糯米，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设八年级8班计划包大粽子ａ个，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
18．如图，在四边形中，垂直平分，连接并延长，与交于点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：如图，
垂直平分
，即，
又，
四边形是平行四边形．
（2）解：如图，
垂直平分，
，
，
．
．
，．
∴在平行四边形中，，
∴在中，．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得相等，根据相等，即可得平行，再根据平行即可判断四边形是平行四边形.
（2）根据垂直平分线的性质得相等，等于，根据平行，即可得等于，再根据，等于，等于1，即可得，，进一步得等于1，根据勾股定理得，根据平行四边形的性质可得，再根据勾股定理得即可.
（1）证明：垂直平分
，即
又
四边形是平行四边形．
（2）解：垂直平分
．
．
，．
∴在平行四边形中，，
∴在中，．
19．在艺术创作中，“透视”是一种利用数学原理在平面上表现三维空间的方法，“灭点”是指在透视图中，原本平行的直线看起来会汇聚到一个点上．如图1，当我们站在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相交于一个点，这个点就是“灭点”，它帮助我们感受空间的深度和立体感．
【问题探究】在现实中，某条公路的左右边界线互相平行．如图2，将该公路的透视图放置于某平面直角坐标系内，已知公路的左侧边界线经过点和，右侧边界线的函数表达式为，和相交于点，即点为灭点．
（1）求左侧边界线的函数表达式；
（2）求灭点的坐标，并判断灭点是否在区域“”内；
【迁移应用】
（3）为满足艺术创作的需求，艺术家要对该画作进行调整：保持的位置不变，将向上平移个单位长度，使得灭点的纵坐标不小于6，求的取值范围．
【答案】解：（1）设的函数表达式为，根据题意得：
，解得．
的函数表达式为.
（2）根据题意得：，解得
灭点的坐标为．
灭点不在区域“”内.
（3）由题意知平移后的函数表达式为，则有：．解得．
由题意知
.
【知识点】解一元一次不等式；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）设的函数表达式为，根据坐标列方程组，解出即可得的解析式.
（2）联立两直线解析式，求出点P的坐标，再根据灭点区域判断即可．
（3）根据题意求出平移后的函数表达式为，再联立两直线解析式，求出点P的坐标，根据点P的纵坐标大于6列出关于c的一元一次不等式，解出即可得的取值范围．
20．如图1，是的中线，于点，于点．
（1）【初识图形】
①请判断线段的数量关系，并说明你的理由；
②若，则___________，
（2）【特例感知】
如图2，若，试探究是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由；
（3）【综合应用】
如图3，四边形是平行四边形，面积为20，若平面内有一点，满足，请直接写出的长．
【答案】（1）解：①线段的数量关系为，理由如下：
如图1，
∵是的中线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴.
②
（2）解：是定值，且为，理由如下：
如图2，
由（1）得：，，
∴，
设，
∴在中，由勾股定理得，
在中，与勾股定理得，
∴，
整理得，
∴
∴是定值.
（3）解：或.
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）②∵，
∴，
∴，
由①知：，
∴，
∴.
故答案为：.
（3）解：如图3，
当点在上方时，连接交于点，连接，过点作，，垂足为，过作，交延长线于点，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，，
同上可证明：，
∴，，
在中，，
在中，，
∴
化简得：，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（负值已舍）.
如图4，
图4
当点在下方时，构造上述同样辅助线，
同理可得：，
∴，解得：（负值已舍）
综上所述，或．
【分析】（1）①根据三角形中线性质，结合是的中线，得相等，再根据垂直，垂直，得，再根据相等即可证明全等，根据全等的性质得相等.
②根据垂直，得等于，再根据勾股定理得，由①知、等于8，等于，进一步根据勾股定理得，即可根据求得的长.
（2）根据（1）得全等，都等于，即可得
相等，相等，设，根据勾股定理得，
，即可得，整理得，，可得，即是定值.
（3）当点在上方时，连接交于点，连接，过点作，，垂足为，过作，交延长线于点，根据平行四边形的性质，结合条件得，，同上可证明全等，即可得，，根据勾股定理得，，即可得，进一步判断四边形为矩形，可得，再根据得，求出即可，当点在下方时，构造上述同样辅助线，同理可得：，
即可得，解得，综上所述，或．
（1）解：①线段的数量关系为，理由如下：
∵是的中线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴，
由①知：，
∴，
∴；
（2）解：是定值，且为，
由（1）知，，
∴，
设，
∴在中，由勾股定理得，
在中，与勾股定理得，
∴，
整理得，
∴
∴是定值；
（3）解：当点在上方时，连接交于点，连接，过点作，，垂足为，过作，交延长线于点，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，，
同上可证明：，
∴，，
在中，，
在中，，
∴
化简得：，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（舍负）；
当点在下方时，构造上述同样辅助线，如图：
同理可得：，
∴，
解得：（舍负）
综上：或．
1 / 1广东省深圳市宝安区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．多项式ma2-mb2的公因式是（　　）
A．m B．m2 C．ma D．mb
2．下列英文字母中，为中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．如图是一个三叶吊扇的图片，吊扇正常工作（运转）时，其叶片的转动可以看成是一个旋转运动，当第一个叶片转动到第二个叶片的位置时，它转过了（　　）度
A．300 B．240 C．120 D．60
5．如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离！先在外选一点，然后步测出的中点，并步测出长约为42米，由此可知间的距离约为（　　）米
A．21 B．42 C．84 D．90
6．实数与在数轴上的位置如图所示，若，则取值可能为（　　）
A． B．0 C．1 D．2
7．粤港澳大湾区拥有密集的交通网络，如港珠澳大桥、深中通道、虎门大桥等．一辆跨境货车从珠海前往香港，通过港珠澳大桥（全长约55公里），若货车的平均速度提高，则通行时间可减少小时．设货车原来的平均速度为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，点是的平分线上一点，，，垂足分别为，若，则长为（　　）
A．5 B．2 C． D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
9．当　 　时（填写一个满足题意的数即可），分式有意义．
10．已知正方形的面积为，则正方形的边长为　 　（用含的代数式表示）．
11．如图，直线与直线相交于点，当时，的取值范围为　 　．
12．如图，小明沿一个正多边形广场周围的小路按顺时针方向跑步，从点出发，前进10米后向右转，再前进10米后又向右转这样一直跑下去，直到他第一次回到出发点为止，则这个正多边形的周长为　 　米．
13．如图，在中，连接，将绕点顺时针旋转一定角度，得到，点，分别旋转到了点，．已知点在边上，，，则的长为　 　．
三、解答题（本题共7小题，共61分）
14．解不等式组，并写出所有的非负整数解．
15．先化简，再求值：，其中．
16．如图，在方格纸中，每个小方格的边长均为1个单位长度，线段的两个端点都在小方格的格点上．请按照下列要求，仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．
（1）请在图1中将线段向右平移3个单位长度得到线段，点在点的上方；
（2）在第（1）问的条件下，画出平行四边形，并画出其对称中心点；
（3）请在图2中作出线段的中点．
17．为了进一步弘扬和传承我国悠久而丰富的传统节日文化，在端午节即将来临之际，滨海学校精心策划并成功举办了富有意义的包粽子活动.已知包1个大粽子比包1个小粽子多用50克糯米，用800克糯米包大粽子的数量与用400克糯米包小粽子的数量相同.
（1）求包1个大粽子和1个小粽子分别需用多少克糯米？
（2）八年级8班计划包大、小粽子共60个，且所用糯米总量不超过5000克，那么该班级最多可以包多少个大粽子？
18．如图，在四边形中，垂直平分，连接并延长，与交于点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长．
19．在艺术创作中，“透视”是一种利用数学原理在平面上表现三维空间的方法，“灭点”是指在透视图中，原本平行的直线看起来会汇聚到一个点上．如图1，当我们站在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相交于一个点，这个点就是“灭点”，它帮助我们感受空间的深度和立体感．
【问题探究】在现实中，某条公路的左右边界线互相平行．如图2，将该公路的透视图放置于某平面直角坐标系内，已知公路的左侧边界线经过点和，右侧边界线的函数表达式为，和相交于点，即点为灭点．
（1）求左侧边界线的函数表达式；
（2）求灭点的坐标，并判断灭点是否在区域“”内；
【迁移应用】
（3）为满足艺术创作的需求，艺术家要对该画作进行调整：保持的位置不变，将向上平移个单位长度，使得灭点的纵坐标不小于6，求的取值范围．
20．如图1，是的中线，于点，于点．
（1）【初识图形】
①请判断线段的数量关系，并说明你的理由；
②若，则___________，
（2）【特例感知】
如图2，若，试探究是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由；
（3）【综合应用】
如图3，四边形是平行四边形，面积为20，若平面内有一点，满足，请直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：由题意可得：
ma2-mb2=m(a2-b2)
故答案为：A
【分析】根据公因式的定义即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误.
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故B正确.
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误.
D、轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误.
故答案为：B
【分析】根据中心对称图形的概念分别对A、B、C、D各选项进行判断即可得答案.
3．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质，结合相等，相等，即可得，再根据即可得.
4．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵三叶吊扇的三个叶片把周角平均分成等份，
∴每一份的角度为，
∴当第一个叶片转动到第二个叶片的位置时，转过了 .
故答案为：C．
【分析】根据题目得三叶吊扇的叶片把周角平均分成份，故每一份的角度为，
即可得当第一个叶片转动到第二个叶片的位置时，转过了 .
5．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
，分别是，的中点，
是的中位线，
(米)，
故答案为：C．
【分析】根据，分别是，的中点，得是的中位线，根据三角形中位线定理即可得米.
6．【答案】A
【知识点】实数在数轴上的表示；不等式的性质
【解析】【解答】解：如图，
根据数轴得：，
∵，
∴，
∴取值可能为.
故答案为：A．
【分析】根据数轴得到，再根据不等式的性质，结合即可得，进一般即可得答案.
7．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设货车原来的平均速度为，则原来的通行时间为小时，平均速度提高后为，则提高后通行时间为小时，
∵若货车的平均速度提高，则通行时间可减少小时，
∴，
故答案为：D．
【分析】设货车原来的平均速度为，则原来的通行时间为小时，平均速度提高后为，则提高后通行时间为小时，根据题目情景列方程即可得答案.
8．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∴，
∵点P是的平分线上一点，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据垂线定义得相等，等于，根据勾股定理得，根据、角平分线的性质，得相等，即可，根据全等三角形的性质得相等，相等，进一步根据垂直平分线的判定得，再根据等面积法列方程解出即可得的长.
9．【答案】1
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使分式有意义，则，
∴，
∴当时，分式有意义，故时，分式有意义.
故答案为：1.
【分析】根据分式有意义的条件，结合题目得，解出，即当时，分式有意义，即可得答案.
10．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
正方形的边长为，
故答案为：．
【分析】先把因式分解得到，即可得正方形的边长.
11．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：如图，
∵直线过点，
∴，即，
∴直线为，
∴可转化为，
∴，
∵，
∴，
∴，解得：，
∴的取值范围为．
故答案为： ．
【分析】把点代入直线中可得，即可得直线为，进一步得，再根据得，即可得.
12．【答案】120
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵小明从O点开始，前进10米后向右转，再前进10米后又向右转，…，
∴运行轨迹是正多边形，且该正多边形外角和为，
设多边形的边数为n，则正多边形边数为，
∴行走距离正多边形正多边形边长（米），
故答案为：．
【分析】根据题目情景得运行轨迹是正多边形，根据正多边形外角和为，每一个外角为即可得正多边形边数为12，再根据运行距离正多边形的边数正多边形边长即可得答案.
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；旋转的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，
过点A作于点H，则，
∵绕点顺时针旋转一定角度，得到，
∴，
在中，
，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点A作于点H，则，根据旋转性质得，
再根据平行四边形的性质，等腰三角形的三线合一性质，得，，再根据勾股定理得，即可.
14．【答案】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
原不等式组的解集为，
所有的非负整数解为0，1，2．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别解出不等式组中的每个不等式，即可得不等式组解集，根据不等式组解集求出它的非负整数解即可.
15．【答案】解：
．
．
当时，
原式.
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简得，最后把代入计算即可.
16．【答案】（1）解：根据题意作图如下：
（2）解：根据题意作图如下：
（3）解：根据题意作图如下：
【知识点】平行四边形的判定与性质；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据平移的概念，结合题目要求作图即可.
（2）连接，可得平行四边形，连接对角线，根据平行四边形性质即可得为所求．
（3）依据平行四边形的判定，先以为对角线找到一个平行四边形，连接对角线即可得交点即为的中点．
（1）解：如图，线段即为所求．
（2）解：如图，平行四边形和点即为所求．
（3）解：如图，点即为所求．
17．【答案】（1）解：设包1个小粽子需用x克糯米，则包1个大粽子需用(x+50)克糯米
解得х=50
经检验x=50是原方程的根
x+50=50+50=100
答：包1个大粽子和1个小粽子分别需用100克和50克糯米。
（2）解：设八年级8班计划包大粽子ａ个
100a+50(60-a)≤5000
解得a≦40
答：该班级最多可以包40个大粽子。
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设包1个小粽子需用x克糯米，则包1个大粽子需用(x+50)克糯米，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设八年级8班计划包大粽子ａ个，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
18．【答案】（1）证明：如图，
垂直平分
，即，
又，
四边形是平行四边形．
（2）解：如图，
垂直平分，
，
，
．
．
，．
∴在平行四边形中，，
∴在中，．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得相等，根据相等，即可得平行，再根据平行即可判断四边形是平行四边形.
（2）根据垂直平分线的性质得相等，等于，根据平行，即可得等于，再根据，等于，等于1，即可得，，进一步得等于1，根据勾股定理得，根据平行四边形的性质可得，再根据勾股定理得即可.
（1）证明：垂直平分
，即
又
四边形是平行四边形．
（2）解：垂直平分
．
．
，．
∴在平行四边形中，，
∴在中，．
19．【答案】解：（1）设的函数表达式为，根据题意得：
，解得．
的函数表达式为.
（2）根据题意得：，解得
灭点的坐标为．
灭点不在区域“”内.
（3）由题意知平移后的函数表达式为，则有：．解得．
由题意知
.
【知识点】解一元一次不等式；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）设的函数表达式为，根据坐标列方程组，解出即可得的解析式.
（2）联立两直线解析式，求出点P的坐标，再根据灭点区域判断即可．
（3）根据题意求出平移后的函数表达式为，再联立两直线解析式，求出点P的坐标，根据点P的纵坐标大于6列出关于c的一元一次不等式，解出即可得的取值范围．
20．【答案】（1）解：①线段的数量关系为，理由如下：
如图1，
∵是的中线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴.
②
（2）解：是定值，且为，理由如下：
如图2，
由（1）得：，，
∴，
设，
∴在中，由勾股定理得，
在中，与勾股定理得，
∴，
整理得，
∴
∴是定值.
（3）解：或.
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）②∵，
∴，
∴，
由①知：，
∴，
∴.
故答案为：.
（3）解：如图3，
当点在上方时，连接交于点，连接，过点作，，垂足为，过作，交延长线于点，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，，
同上可证明：，
∴，，
在中，，
在中，，
∴
化简得：，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（负值已舍）.
如图4，
图4
当点在下方时，构造上述同样辅助线，
同理可得：，
∴，解得：（负值已舍）
综上所述，或．
【分析】（1）①根据三角形中线性质，结合是的中线，得相等，再根据垂直，垂直，得，再根据相等即可证明全等，根据全等的性质得相等.
②根据垂直，得等于，再根据勾股定理得，由①知、等于8，等于，进一步根据勾股定理得，即可根据求得的长.
（2）根据（1）得全等，都等于，即可得
相等，相等，设，根据勾股定理得，
，即可得，整理得，，可得，即是定值.
（3）当点在上方时，连接交于点，连接，过点作，，垂足为，过作，交延长线于点，根据平行四边形的性质，结合条件得，，同上可证明全等，即可得，，根据勾股定理得，，即可得，进一步判断四边形为矩形，可得，再根据得，求出即可，当点在下方时，构造上述同样辅助线，同理可得：，
即可得，解得，综上所述，或．
（1）解：①线段的数量关系为，理由如下：
∵是的中线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴，
由①知：，
∴，
∴；
（2）解：是定值，且为，
由（1）知，，
∴，
设，
∴在中，由勾股定理得，
在中，与勾股定理得，
∴，
整理得，
∴
∴是定值；
（3）解：当点在上方时，连接交于点，连接，过点作，，垂足为，过作，交延长线于点，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，，
同上可证明：，
∴，，
在中，，
在中，，
∴
化简得：，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（舍负）；
当点在下方时，构造上述同样辅助线，如图：
同理可得：，
∴，
解得：（舍负）
综上：或．
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