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浙教版数学七年级下册常考题型分类同步练 5.5 分式方程（2）
一、分式方程同解问题
1．关于x的方程的解与方程的解相同，求a的值．
2．已知关于x的分式方程 与分式方程 的解相同，求a的值.
二、列分式方程
3．榫卯（sǔn mǎo），是中国传统建筑中的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯加固物件，体现出中国古老的文化和智慧.小温制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克.已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同.设制作1个榫需要的木材为x千克，符合题意的方程是（　　）
A． B．
C． D．
4．下面是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程：
15.3分式方程 甲、乙两个工程队，甲队修路400m与乙队修路600m所用的时间相等，乙队每天比甲队多修20m，求甲队每天修路的长度． 冰冰： 庆庆：
方程中的x和y表示的意义，下列说法错误的是（　　）
A．x表示甲队每天修路的长度 B．x表示乙队每天修路的长度
C．y表示甲队修400m所用的时间 D．y表示乙队修600m所用的时间
5．某商场购进了一批白酒，这批白酒包括杏花汾酒和竹叶青酒，且两种白酒的瓶数相同，其中汾酒花费了 4800元，竹叶青酒花费了 3600元，已知一瓶汾酒比一瓶竹叶青酒的价格贵 20元.设每瓶汾酒的价格为 x元，根据题意可列方程为（　　)
A． B．
C． D．
6．用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入1320个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用1小时输完，这两名操作员每分钟各能输入多少个数据 设乙每分钟能输入x个数据，根据题意，下列方程正确的是 （　　)
A． B．
C． D．
7．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（　　）
A．＝2× B．＝2×
C．＝2× D．＝2×
8．某地修高速公路，挖掘一条960m长的隧道，开工后每天比原计划多挖20m，结果提前4天完成了任务，若设原计划每天挖，则根据题意可列出方程（　　）
A． B．
C． D．
三、分式方程的应用
9．《千里江山图》是北宋王希孟创作的绢本设色画，现收藏于北京故宫博物院．如图是小山同学所画的一幅长方形的局部临摹作品，装裱前作品长为，宽为，将其四周装裱上边衬后，整幅作品长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度．
10． 2026马年中央广播电视总台《春节联欢晚会》上，人形机器人凭借在武术、小品、歌曲等多类型节目中的精彩亮相，带动行业销量激增.某公司主推A，B两款人形机器人，已知生产6台A款人形机器人和生产7台B款人形机器人的成本相同；且每台A款人形机器人的成本比每台B款人形机器人的成本多3万元.
（1）该公司生产的A，B两款人形机器人每台的成本各是多少万元
（2）该公司对这两款人形机器人实行网上预约销售，且每台B款人形机器人的定价比每台A款人形机器人的定价少20%，当这两款人形机器人的销售额都为800万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出8台.则该公司每台A款人形机器人在网上销售的定价是多少万元
11．为办好2026跨年音乐节无人机表演，计划租赁一批A型、B型无人机.已知单场租赁一架A型无人机的费用比一架B型无人机贵80元，且用7200元租赁A型无人机的数量与用4800元租赁B型无人机的数量相同.
（1）设一架A型无人机单场租赁费用为x元，则用4800元租赁B型无人机的数量为　 　架（用含x的式子表示）；
（2）求一架A型无人机和一架B型无人机的单场租赁费用分别是多少元
12．某文化科技有限公司为了配合“活力大湾区”宣传活动，共推出A 和B两款文创产品，已知每个A 产品的成本比每个 B产品的成本便宜18元，该公司用 24000元制作A产品的数量和用60000元制作的B产品数量相同.求生产A产品的成本为每个多少元
13．为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人. 已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天. 设一个工人平均每天可采摘x千克茉莉花.
（1）用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘　 　千克茉莉花；一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要　 　天；
（2）求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克.
14．为顺利通过“国家生态文明示范区”验收，璧山政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管道等公用设施全面更新改造.现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需10天完成.
（1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天
（2）市政府决定由甲、乙共同完成此项工程.若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，若工程费用不超过72万元，则甲工程队最少工作多少天
15．随着科技创新发展，人形机器人集成人工智能、高端制造、新材料等先进技术，有望成为继计算机、智能手机、新能源汽车后的颠覆性产品，发展潜力大，应用前景广．为提高工作效率，某工厂使用A，B两种型号机器人搬运原料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，且A型机器人搬运1500千克所用时间与B型机器人搬运1200千克所用时间相等．
（1）求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料；
（2）从生产效率和生产安全考虑，A，B两种型号机器人都要参与原料运输但两种机器人不能同时进行工作．如果要求不超过4小时需完成对560千克原料的搬运，则A型机器人至少要搬运多少千克原料？
16．随着2025年“体重管理年”的正式启动、桂林市举办了“2025桂林漓江徒步大会”，本次活动以“全民健身、山水体验、文化传播”为核心，设计了两条特色路线(如图所示)，路线一：“休闲组”从起点莲花源向终点乌桕滩星空营地出发，全程6km；路线二：“毅行组”从起点莲花源延伸至沙洲村向终点乌桕滩星空营地出发，全程10km.
（1）已知甲选手选择了路线一，乙选手选择了路线二，甲徒步的平均速度是乙徒步的平均速度的1.5倍，甲到达终点所花时间比乙到达终点少用2小时，则乙徒步的平均速度是多少
（2）在(1)的条件下，若甲、乙两人同时从起点莲花源出发，当甲徒步到总路程的一半时，乙恰好走到途中的第一个补给点，求该补给点距离起点莲花源的路程是多少千米
17．小张和小李每天骑自行车上学，骑行路程均为6千米．为确保骑行安全，学校规定骑行中任意时刻车速不得超过15千米/时．某天到校后，两人聊天：
小张：“小李，你骑车的平均速度比我快，比我少用了5分钟．”
小李：“虽然我平均速度比你快，但我在骑车的过程中的最快速度只比我的平均速度快，应该没有超速吧？”
根据以上对话，你认为小李在骑行过程中是否有超速，请说明理由．
18． 用电脑程序控制小型赛车进行100米比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车都进入了决赛，在比赛前的练习中发现：“畅想号”比“和谐号”每秒多跑1米，并且“畅想号”跑80米的时间刚好与“和谐号”跑70米的时间相等.假设两车一直都是匀速行驶.
（1）求“和谐号”的平均速度；
（2）比赛时，若“畅想号”让“和谐号”先跑2秒，最终哪辆赛车能赢得比赛 请说明理由.
19．义务献血利国利民，是每个健康公民应尽的义务．一个采血点通常在规定时间接受献血，采血结束后，再统一送到市中心血库，且采血和送到血库的时间必须在4小时内完成，超过4小时送达，血液将变质．已知A、B两个采血点到市中心血库的路程分别为，经过了解获得A、B两个采血点的运送车辆有如下信息：
信息一：采血点运送车辆的平均速度是采血点运送车辆平均速度的倍；
信息二：A、B两个采血点运送车辆行驶的时间之和为小时．
（1）求A、B两个采血点运送车辆的平均速度各是多少？
（2）若采血点完成采血的时间为3小时，判断血液运送到市中心血库后会不会变质？
20．本学期，我们学习了很多尺规作图的相关知识，数学老师为了激励学生规范作图，决定购买圆规和铅笔奖励给作图优秀的学生．若购买3个圆规和4支铅笔共花费38元；若购买5个圆规和2支铅笔共花费54元．
（1）请问圆规和铅笔的单价分别为多少元？
（2）老师的奖励起到了非常好的效果，越来越多的学生作图规范，老师决定再购买一批圆规和铅笔奖励给学生，并且商家降价优惠卖给老师，其中铅笔的售价降低a元，圆规的售价降低元．老师花30元购买2B铅笔，花180元购买圆规，此次购买圆规和2B铅笔的数量相同，求的值．
21．小文和妈妈去贵州旅游，回来的时候她们买了一些特产，到家后，妈妈和爸爸的对话如图．
设每袋辣椒粉为元．
（1）请你通过计算分析，爸爸为什么说妈妈记错了？
（2）妈妈核实账单后，发现刺梨干和辣椒粉的单价均为整数，每袋刺梨干与辣椒粉的价格的差值算错了，其他都正确．若每袋刺梨干比辣椒粉贵元，求整数的值．
22．如图①， “丰收1号”小麦试验田是边长为 a m(a>1)的正方形去掉一个边长为1m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为(a-1)m的正方形.两块试验田的小麦都收获了 500 kg.
（1）①“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为 ▲ kg/m2， “丰收2 号”小麦试验田的单位面积产量为 ▲ kg/m2， ▲ 小麦试验田的单位面积产量高；
②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍
（2）在试验田四周(图②虚线部分)修建隔离网，“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a 的值.
答案解析部分
1．【答案】解：解方程得；
经检验是方程的解；
∵两方程的解相同；
∴将代入方程中得，
解得，
经检验是方程的解
∴．
【知识点】分式方程-同解问题
【解析】【分析】先将方程的解求出，再将该解代入，得到关于a的方程，最后解方程并在检验后得出结论．
2．【答案】解：解分式方程
方程两边同乘x(x-2)，得
即
解得x=4，
检验：当x=4时，x(x-2)≠0，
∴x=4是原分式方程的解，
∵两个方程的解相同，
∴将x=4代入 得 解得
∴a的值为
【知识点】已知分式方程的解求参数；分式方程-同解问题
【解析】【分析】先解第二个分式方程，根据两个方程的解相同，再将x值代入第一个方程即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，每个榫需要的木材比每个卯多0.5千克，因此制作1个卯需要的木材为x-0.5千克．用30千克木材制作榫的数量为，用25千克木材制作卯的数量为．题目中说明这两个数量相同，因此可得方程：.
故答案为：C.
【分析】先根据题意得出每个卯需要的木材为x-0.5千克，再分别用总木材量除以单个所需木材量，得到制作榫的数量为，制作卯的数量为，最后根据“两者数量相同”的条件，列出方程 ．
4．【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：∵ 冰冰是根据时间相等列出的分式方程，
∴x表示甲队每天修路的长度.
∵庆庆是根据乙队每天比甲队多修20米列出的分式方程，
∴y表示甲队修路400米所需时间或乙队修路600米所需时间.
故答案为：B
【分析】根据题意进行分析判断即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设每瓶汾酒的价格为 x元，
由题意可得：
故答案为：B
【分析】设每瓶汾酒的价格为 x元，根据题意建立方程即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙每分钟能输入x个数据
由题意可得：
故答案为：D
【分析】设乙每分钟能输入x个数据，根据操作需输入1320个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用1小时输完建立方程即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解： 设规定时间为x天，则用慢马的时间为（x+1）天，用快马的时间为（x-3）天，
依题有：＝2× .
故答案为：B.
【分析】设规定时间为x天，则用慢马的时间为（x+1）天，用快马的时间为（x-3）天，根据快马的速度是慢马的2倍列出方程即可.
8．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：依题意，∵挖掘一条960m长的隧道，开工后每天比原计划多挖20m，结果提前4天完成了任务，若设原计划每天挖
∴开工后每天挖
∴
故选：A
【分析】
设原计划每天挖，则开工后每天挖，再由提前4天完成了任务即可方程即可．
9．【答案】解：设边衬的宽度为，
依题意，得．
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：边衬的宽度为．
【知识点】分式方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设边衬的宽度为，根据整幅作品长与宽的比是建立方程，解方程即可求出答案.
10．【答案】（1）解：设每台B款人形机器人的成本为x万元，则每台A款人形机器人的成本为（x+3）万元.根据题意可得6（x+3）=7x，
解得x=18，
则x+3=18+3=21（万元）.
答：A款人形机器人每台成本为21万元，B款人形机器人每台成本为18万元.
（2）解：设每台A款人形机器人的售价为y万元，
则每台B款人形机器人的售价为（1-20%）y=0.8y（万元）.
根据题意可得
解得y=25，
经检验，y=25是原分式方程的解，且符合题意.
答：每台A款人形机器人在网上的售价是25万元.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每台B款人形机器人的成本为x万元，则每台A款人形机器人的成本为（x＋3）万元．根据题意列出方程，解方程即可．
（2）设每台A款人形机器人的售价为y万元，则每台B款人形机器人的售价为（1 20%）y＝0.8y（万元），根据题意列出方程，解方程即可．
11．【答案】（1）
（2）解：根据题意，得
，
解得，
经检验，是原方程的根，
∴，
所以一架A型无人机单场租赁费用为240元，一架B型无人机单场租赁费用为160元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：根据题意可知租赁一架B型无人机元，
∴用4800元租赁B型无人机的数量为架；
故答案为：；
【分析】（1）先表示出B型无人机的租金，再用总金额除以租金解答即可可；
（2）根据题意列分式方程，求出x的值检验解答即可．
12．【答案】解：设生产A产品的成本为每个x元，则每个B产品的成本(x+18)元，
根据题意可得：
解方程得： x=12，
经检验，x=12是分式方程的解，
∴x=12，
答：每个A产品的成本12元.
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设生产A产品的成本为每个x元，则每个B产品的成本(x+18)元，根据该公司用 24000元制作A产品的数量和用60000元制作的B产品数量相同，即可得出方程解方程并进行检验即可得出答案。
13．【答案】（1）5x； (或）
（2）解：依题意可列： ，
方程两边同时乘以20x得，
，
解得x=10.
检验：当x=10时， 20x≠0，所以x=10是原分式方程的解，且符合题意.
∴人工智能机器人平均每天采摘量：5x=50.
答：这台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花50千克.
【知识点】分式方程的实际应用；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】（1）根据“一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍 ”，可知
一台智能采摘机器人平均每天可采摘5x千克；则一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要天，化简为.
故答案为：5x； (或）.
【分析】（1）根据智能采摘机器人与工人的工作效率关系，可用含x的式子表示出智能采摘机器人的工作效率；需明确“时间=工作总量÷工作效率”，分析题干可知：工作总量为“200”，工作效率为“5x”，所以时间为(或）.
（2）根据“用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天”，得到等量关系：“机器人工作的天数=工人工作的天数 1”即“机器人工作的天数+1=工人工作的天数 ”.列出分式方程，并解出x的值，带入求出5x的值；需要注意的是分式方程要检验.
14．【答案】（1）解：设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要1.5x天，由题意得，
解得： x=15，
经检验，x=15是原分式方程的解，且符合题意，
则1.5x=2×15=30.
答：甲工程队单独完成这项工程需要15天，则乙工程队单独完成这项工程要30天.
（2）解：设甲工a天，乙工作b天，则有
化简得b=30-2a
又4.5a+2.5b≤72，代入的a≥6，
∴甲最少工作6天.
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】(1)等量关系为：，甲(乙)的工效×甲(乙)的工作时间=甲(乙)的工作量；
(2)设甲工程队最多工作y天，乙工程队工作z天，甲y天的工作量+乙z天的工作量=1；还需算出甲乙队的工程款，等量关系为：甲y天的工程费用+乙z天的工程费用≤72.
15．【答案】（1）解：设型机器人每小时搬运千克原料，由题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：A型机器人每小时搬运150千克原料，型机器人每小时搬运120千克原料；
（2）解：设A型机器人要搬运千克原料，
由题意得：
解得：
答：A型机器人至少要搬运400千克原料．
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】本题综合考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，解题要点包括：（1）根据题意建立分式方程并求解；（2）根据约束条件建立不等式并求解。
（1）设B型机器人的工作效率为每小时搬运千克原料，则A型机器人的效率为千克/小时。根据"工作时间=工作量÷效率"的关系式，结合题目给出的A型完成1500kg与B型完成1200kg耗时相等的条件，建立关于的分式方程，求解后需验证根的合理性。
（2）设A型机器人承担千克的搬运任务，则B型机器人分担千克。根据总工作时间不超过4小时的限制条件，利用效率参数建立关于的一元一次不等式，求解时需注意取最小值。
（1）解：设型机器人每小时搬运千克原料，
由题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：A型机器人每小时搬运150千克原料，型机器人每小时搬运120千克原料；
（2）设A型机器人要搬运千克原料，
由题意得：
解得：
答：A型机器人至少要搬运400千克原料．
16．【答案】（1）解：设乙徒步的平均速度为x千米/小时，则甲徒步的平均速度为1.5x千米/小时可列方程
解得x =3
经检验：x=3是原分式方程的解且符合题意
答：乙徒步的平均速度是3千米/小时.
（2）解：由(1)可求vφ=3×1.5 =4.5km/h
甲徒步总路程的一半所需时间：
第一个补给点距离起点的路程：
答：第一个补给点距离起点的路程是2千米.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】(1)本题考察分式方程的实际应用，设乙徒步的平均速度为千米/小时，根据题意可知甲的平均速度为千米/小时。根据“时间 = 路程÷速度”，分别表示出甲走完全程的时间为小时，乙走完全程的时间为小时；再根据“甲到达终点所花时间比乙到达终点少用2小时”这一条件，列出分式方程，解方程并检验，即可得到乙的平均速度。
(2)本题考察行程问题的基本计算，由(1)可求出甲的平均速度为千米/小时。当甲徒步到总路程的一半时，甲行走的路程为千米，根据“时间 = 路程÷速度”，可求出甲行走的时间为小时；乙的平均速度已知为3千米/小时，再根据“路程 = 速度×时间”，计算出乙在小时内行走的路程，该路程即为补给点距离起点莲花源的路程。
17．【答案】解：小李在骑行过程中有超速，
理由如下，设小张骑车的平均速度为千米/时，则小李骑车的平均速度为千米/时，
∵小李比小张少用了5分钟，
∴，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
所以，
，
答：小李在骑行过程中有超速．
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设小张骑车的平均速度为千米/时，则小李骑车的平均速度为千米/时，利用“小李比小张少用了5分钟”列出方程，再求解即可.
18．【答案】（1）解：设“和谐号”的平均速度为x米/秒
解得： x=7
经检验：x=7是原分式方程的解
答：“和谐号”的平均速度为7米/秒.
（2）解：“和谐号”能赢得比赛.
理由： 2秒后“和谐号”离终点还有100-2×7=86 (米)
∴ “和谐号”到终点还需86÷7≈12.29 (秒)
而“畅想号”到终点需100÷8=12.5 (秒)
12.29<12.5
∴“和谐号”能赢得比赛
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设“和谐号”的平均速度为x米/秒，根据“畅想号”跑80米的时间刚好与“和谐号”跑70米的时间相等，即可得出方程，解方程并进行检验即可得出答案；
（2）“和谐号”能赢得比赛.首先计算出2秒后“和谐号”离终点的距离，进而根据路程除以速度可求得“和谐号”到终点，再计算出“畅想号”到终点所需时间，再进行比较大小，即可得出答案。
19．【答案】（1）解：设采血点运送车辆的平均速度是，则采血点运送车辆的平均速度为，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
答：采血点运送车辆的平均速度是，采血点运送车辆的平均速度为；
（2）解：采血点运送车辆的行驶时间为．
依题意，，
∴采血点采集的血液不会变质．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设采血点运送车辆的平均速度是，则采血点运送车辆的平均速度为，再根据“A、B两个采血点运送车辆行驶的时间之和为小时”建立分式方程求解即可；
（2）由采血点采集的血液加上运输时间与4小时比较即可．
20．【答案】（1）解：设圆规的单价为x元，2B 铅笔的单价为y元，
依题意得：，
解得，
答：圆规的单价为10元，铅笔的单价为2元；
（2）解：依题意得：，
解得，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
答：a的值为．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设圆规和2B铅笔的单价分别为、元，根据“3个圆规+4支铅笔共38元”和“5个圆规+2支铅笔共54元”列出方程组，解得圆规单价为10元，铅笔单价为2元。
（2）根据“购买圆规和铅笔的数量相同”，列出等式，解出，并检验其合理性。
（1）解：设圆规的单价为x元，2B 铅笔的单价为y元，
依题意得：，
解得，
答：圆规的单价为10元，铅笔的单价为2元；
（2）解：依题意得：，
解得，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
答：a的值为．
21．【答案】（1）解：由题意可得，
解得，
经检验是分式方程的解，
此时辣椒粉的数量为（袋），
辣椒粉的数量为整数，
不合题意，
妈妈搞错了；
（2）解：由题意可得，
解得：
刺梨干和辣椒粉的单价均为整数，，
，
，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
整数的值为3．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由于购买的刺梨干和辣椒粉数量相同，可以建立分式方程来求解，解这个方程后，先求出辣椒粉的数量，进而得到最终答案。
（2）同样基于购买的刺梨干和辣椒粉数量相同，建立分式方程并求解，解方程后，即可求出的值。
（1）解：由题意可得，
解得，
经检验是分式方程的解，
此时辣椒粉的数量为（袋），
辣椒粉的数量为整数，
不合题意，
妈妈搞错了；
（2）解：由题意可得，
解得：
刺梨干和辣椒粉的单价均为整数，，
，
，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
整数的值为3．
22．【答案】（1），，“丰收2号”
解：②因为”丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高，“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量低，
所以计算
，
即高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍
（2）解：“丰收1号”小麦试验田的周长为4am，总造价为1800元，那么其隔离网每米造价为元；
"丰收2号"小麦试验田的周长为4(a-1)m，总造价为3300元，那么其隔离网每米造价为 元.
已知“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，
可列出方程
，
解得：a=12，
经检验，当a=12时，4a=4×12=48≠0，4(a-1)=4×(12-1)-44≠0，所以a=12是原方程的解，且满足题意.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：(1)①丰收1号”小麦的试验田是边长为am的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，根据正方形面积公式，其面积为边长为am的正方形面积减去边长为1m的正方形面积，即a2一12，已知总产量为500g，根据单位面积产量=总产量÷种植面积，可得“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为kg/m2；
“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形，根据正方形面积公式，其面积为(a-1)2m。
已知总产量为500kg，同理可得“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为 kg/m2。
(a2-1)-(a-1)2=a2-1-(a2-2a+1)=a2-1-a2+2a-1=2a-2=2(a-1)，
因为a>1，所以2(a-1)>0，即a2-1>(a-1)2，
可得，
所以丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；
故答案为：，，“丰收2号”；
【分析】(1)①先分别求出两块试验田的面积，再根据单位面积产量=总产量÷种植面积，求出各自的单位面积产量；
②然后比较大小并计算倍数关系；
(2)根据“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每造价的2倍这一关系列出分式方程求解.
1 / 1浙教版数学七年级下册常考题型分类同步练 5.5 分式方程（2）
一、分式方程同解问题
1．关于x的方程的解与方程的解相同，求a的值．
【答案】解：解方程得；
经检验是方程的解；
∵两方程的解相同；
∴将代入方程中得，
解得，
经检验是方程的解
∴．
【知识点】分式方程-同解问题
【解析】【分析】先将方程的解求出，再将该解代入，得到关于a的方程，最后解方程并在检验后得出结论．
2．已知关于x的分式方程 与分式方程 的解相同，求a的值.
【答案】解：解分式方程
方程两边同乘x(x-2)，得
即
解得x=4，
检验：当x=4时，x(x-2)≠0，
∴x=4是原分式方程的解，
∵两个方程的解相同，
∴将x=4代入 得 解得
∴a的值为
【知识点】已知分式方程的解求参数；分式方程-同解问题
【解析】【分析】先解第二个分式方程，根据两个方程的解相同，再将x值代入第一个方程即可求出答案.
二、列分式方程
3．榫卯（sǔn mǎo），是中国传统建筑中的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯加固物件，体现出中国古老的文化和智慧.小温制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克.已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同.设制作1个榫需要的木材为x千克，符合题意的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，每个榫需要的木材比每个卯多0.5千克，因此制作1个卯需要的木材为x-0.5千克．用30千克木材制作榫的数量为，用25千克木材制作卯的数量为．题目中说明这两个数量相同，因此可得方程：.
故答案为：C.
【分析】先根据题意得出每个卯需要的木材为x-0.5千克，再分别用总木材量除以单个所需木材量，得到制作榫的数量为，制作卯的数量为，最后根据“两者数量相同”的条件，列出方程 ．
4．下面是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程：
15.3分式方程 甲、乙两个工程队，甲队修路400m与乙队修路600m所用的时间相等，乙队每天比甲队多修20m，求甲队每天修路的长度． 冰冰： 庆庆：
方程中的x和y表示的意义，下列说法错误的是（　　）
A．x表示甲队每天修路的长度 B．x表示乙队每天修路的长度
C．y表示甲队修400m所用的时间 D．y表示乙队修600m所用的时间
【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：∵ 冰冰是根据时间相等列出的分式方程，
∴x表示甲队每天修路的长度.
∵庆庆是根据乙队每天比甲队多修20米列出的分式方程，
∴y表示甲队修路400米所需时间或乙队修路600米所需时间.
故答案为：B
【分析】根据题意进行分析判断即可求出答案.
5．某商场购进了一批白酒，这批白酒包括杏花汾酒和竹叶青酒，且两种白酒的瓶数相同，其中汾酒花费了 4800元，竹叶青酒花费了 3600元，已知一瓶汾酒比一瓶竹叶青酒的价格贵 20元.设每瓶汾酒的价格为 x元，根据题意可列方程为（　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设每瓶汾酒的价格为 x元，
由题意可得：
故答案为：B
【分析】设每瓶汾酒的价格为 x元，根据题意建立方程即可求出答案.
6．用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入1320个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用1小时输完，这两名操作员每分钟各能输入多少个数据 设乙每分钟能输入x个数据，根据题意，下列方程正确的是 （　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙每分钟能输入x个数据
由题意可得：
故答案为：D
【分析】设乙每分钟能输入x个数据，根据操作需输入1320个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用1小时输完建立方程即可求出答案.
7．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（　　）
A．＝2× B．＝2×
C．＝2× D．＝2×
【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解： 设规定时间为x天，则用慢马的时间为（x+1）天，用快马的时间为（x-3）天，
依题有：＝2× .
故答案为：B.
【分析】设规定时间为x天，则用慢马的时间为（x+1）天，用快马的时间为（x-3）天，根据快马的速度是慢马的2倍列出方程即可.
8．某地修高速公路，挖掘一条960m长的隧道，开工后每天比原计划多挖20m，结果提前4天完成了任务，若设原计划每天挖，则根据题意可列出方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：依题意，∵挖掘一条960m长的隧道，开工后每天比原计划多挖20m，结果提前4天完成了任务，若设原计划每天挖
∴开工后每天挖
∴
故选：A
【分析】
设原计划每天挖，则开工后每天挖，再由提前4天完成了任务即可方程即可．
三、分式方程的应用
9．《千里江山图》是北宋王希孟创作的绢本设色画，现收藏于北京故宫博物院．如图是小山同学所画的一幅长方形的局部临摹作品，装裱前作品长为，宽为，将其四周装裱上边衬后，整幅作品长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度．
【答案】解：设边衬的宽度为，
依题意，得．
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：边衬的宽度为．
【知识点】分式方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设边衬的宽度为，根据整幅作品长与宽的比是建立方程，解方程即可求出答案.
10． 2026马年中央广播电视总台《春节联欢晚会》上，人形机器人凭借在武术、小品、歌曲等多类型节目中的精彩亮相，带动行业销量激增.某公司主推A，B两款人形机器人，已知生产6台A款人形机器人和生产7台B款人形机器人的成本相同；且每台A款人形机器人的成本比每台B款人形机器人的成本多3万元.
（1）该公司生产的A，B两款人形机器人每台的成本各是多少万元
（2）该公司对这两款人形机器人实行网上预约销售，且每台B款人形机器人的定价比每台A款人形机器人的定价少20%，当这两款人形机器人的销售额都为800万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出8台.则该公司每台A款人形机器人在网上销售的定价是多少万元
【答案】（1）解：设每台B款人形机器人的成本为x万元，则每台A款人形机器人的成本为（x+3）万元.根据题意可得6（x+3）=7x，
解得x=18，
则x+3=18+3=21（万元）.
答：A款人形机器人每台成本为21万元，B款人形机器人每台成本为18万元.
（2）解：设每台A款人形机器人的售价为y万元，
则每台B款人形机器人的售价为（1-20%）y=0.8y（万元）.
根据题意可得
解得y=25，
经检验，y=25是原分式方程的解，且符合题意.
答：每台A款人形机器人在网上的售价是25万元.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每台B款人形机器人的成本为x万元，则每台A款人形机器人的成本为（x＋3）万元．根据题意列出方程，解方程即可．
（2）设每台A款人形机器人的售价为y万元，则每台B款人形机器人的售价为（1 20%）y＝0.8y（万元），根据题意列出方程，解方程即可．
11．为办好2026跨年音乐节无人机表演，计划租赁一批A型、B型无人机.已知单场租赁一架A型无人机的费用比一架B型无人机贵80元，且用7200元租赁A型无人机的数量与用4800元租赁B型无人机的数量相同.
（1）设一架A型无人机单场租赁费用为x元，则用4800元租赁B型无人机的数量为　 　架（用含x的式子表示）；
（2）求一架A型无人机和一架B型无人机的单场租赁费用分别是多少元
【答案】（1）
（2）解：根据题意，得
，
解得，
经检验，是原方程的根，
∴，
所以一架A型无人机单场租赁费用为240元，一架B型无人机单场租赁费用为160元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：根据题意可知租赁一架B型无人机元，
∴用4800元租赁B型无人机的数量为架；
故答案为：；
【分析】（1）先表示出B型无人机的租金，再用总金额除以租金解答即可可；
（2）根据题意列分式方程，求出x的值检验解答即可．
12．某文化科技有限公司为了配合“活力大湾区”宣传活动，共推出A 和B两款文创产品，已知每个A 产品的成本比每个 B产品的成本便宜18元，该公司用 24000元制作A产品的数量和用60000元制作的B产品数量相同.求生产A产品的成本为每个多少元
【答案】解：设生产A产品的成本为每个x元，则每个B产品的成本(x+18)元，
根据题意可得：
解方程得： x=12，
经检验，x=12是分式方程的解，
∴x=12，
答：每个A产品的成本12元.
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设生产A产品的成本为每个x元，则每个B产品的成本(x+18)元，根据该公司用 24000元制作A产品的数量和用60000元制作的B产品数量相同，即可得出方程解方程并进行检验即可得出答案。
13．为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人. 已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天. 设一个工人平均每天可采摘x千克茉莉花.
（1）用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘　 　千克茉莉花；一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要　 　天；
（2）求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克.
【答案】（1）5x； (或）
（2）解：依题意可列： ，
方程两边同时乘以20x得，
，
解得x=10.
检验：当x=10时， 20x≠0，所以x=10是原分式方程的解，且符合题意.
∴人工智能机器人平均每天采摘量：5x=50.
答：这台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花50千克.
【知识点】分式方程的实际应用；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】（1）根据“一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍 ”，可知
一台智能采摘机器人平均每天可采摘5x千克；则一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要天，化简为.
故答案为：5x； (或）.
【分析】（1）根据智能采摘机器人与工人的工作效率关系，可用含x的式子表示出智能采摘机器人的工作效率；需明确“时间=工作总量÷工作效率”，分析题干可知：工作总量为“200”，工作效率为“5x”，所以时间为(或）.
（2）根据“用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天”，得到等量关系：“机器人工作的天数=工人工作的天数 1”即“机器人工作的天数+1=工人工作的天数 ”.列出分式方程，并解出x的值，带入求出5x的值；需要注意的是分式方程要检验.
14．为顺利通过“国家生态文明示范区”验收，璧山政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管道等公用设施全面更新改造.现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需10天完成.
（1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天
（2）市政府决定由甲、乙共同完成此项工程.若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，若工程费用不超过72万元，则甲工程队最少工作多少天
【答案】（1）解：设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要1.5x天，由题意得，
解得： x=15，
经检验，x=15是原分式方程的解，且符合题意，
则1.5x=2×15=30.
答：甲工程队单独完成这项工程需要15天，则乙工程队单独完成这项工程要30天.
（2）解：设甲工a天，乙工作b天，则有
化简得b=30-2a
又4.5a+2.5b≤72，代入的a≥6，
∴甲最少工作6天.
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】(1)等量关系为：，甲(乙)的工效×甲(乙)的工作时间=甲(乙)的工作量；
(2)设甲工程队最多工作y天，乙工程队工作z天，甲y天的工作量+乙z天的工作量=1；还需算出甲乙队的工程款，等量关系为：甲y天的工程费用+乙z天的工程费用≤72.
15．随着科技创新发展，人形机器人集成人工智能、高端制造、新材料等先进技术，有望成为继计算机、智能手机、新能源汽车后的颠覆性产品，发展潜力大，应用前景广．为提高工作效率，某工厂使用A，B两种型号机器人搬运原料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，且A型机器人搬运1500千克所用时间与B型机器人搬运1200千克所用时间相等．
（1）求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料；
（2）从生产效率和生产安全考虑，A，B两种型号机器人都要参与原料运输但两种机器人不能同时进行工作．如果要求不超过4小时需完成对560千克原料的搬运，则A型机器人至少要搬运多少千克原料？
【答案】（1）解：设型机器人每小时搬运千克原料，由题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：A型机器人每小时搬运150千克原料，型机器人每小时搬运120千克原料；
（2）解：设A型机器人要搬运千克原料，
由题意得：
解得：
答：A型机器人至少要搬运400千克原料．
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】本题综合考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，解题要点包括：（1）根据题意建立分式方程并求解；（2）根据约束条件建立不等式并求解。
（1）设B型机器人的工作效率为每小时搬运千克原料，则A型机器人的效率为千克/小时。根据"工作时间=工作量÷效率"的关系式，结合题目给出的A型完成1500kg与B型完成1200kg耗时相等的条件，建立关于的分式方程，求解后需验证根的合理性。
（2）设A型机器人承担千克的搬运任务，则B型机器人分担千克。根据总工作时间不超过4小时的限制条件，利用效率参数建立关于的一元一次不等式，求解时需注意取最小值。
（1）解：设型机器人每小时搬运千克原料，
由题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：A型机器人每小时搬运150千克原料，型机器人每小时搬运120千克原料；
（2）设A型机器人要搬运千克原料，
由题意得：
解得：
答：A型机器人至少要搬运400千克原料．
16．随着2025年“体重管理年”的正式启动、桂林市举办了“2025桂林漓江徒步大会”，本次活动以“全民健身、山水体验、文化传播”为核心，设计了两条特色路线(如图所示)，路线一：“休闲组”从起点莲花源向终点乌桕滩星空营地出发，全程6km；路线二：“毅行组”从起点莲花源延伸至沙洲村向终点乌桕滩星空营地出发，全程10km.
（1）已知甲选手选择了路线一，乙选手选择了路线二，甲徒步的平均速度是乙徒步的平均速度的1.5倍，甲到达终点所花时间比乙到达终点少用2小时，则乙徒步的平均速度是多少
（2）在(1)的条件下，若甲、乙两人同时从起点莲花源出发，当甲徒步到总路程的一半时，乙恰好走到途中的第一个补给点，求该补给点距离起点莲花源的路程是多少千米
【答案】（1）解：设乙徒步的平均速度为x千米/小时，则甲徒步的平均速度为1.5x千米/小时可列方程
解得x =3
经检验：x=3是原分式方程的解且符合题意
答：乙徒步的平均速度是3千米/小时.
（2）解：由(1)可求vφ=3×1.5 =4.5km/h
甲徒步总路程的一半所需时间：
第一个补给点距离起点的路程：
答：第一个补给点距离起点的路程是2千米.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】(1)本题考察分式方程的实际应用，设乙徒步的平均速度为千米/小时，根据题意可知甲的平均速度为千米/小时。根据“时间 = 路程÷速度”，分别表示出甲走完全程的时间为小时，乙走完全程的时间为小时；再根据“甲到达终点所花时间比乙到达终点少用2小时”这一条件，列出分式方程，解方程并检验，即可得到乙的平均速度。
(2)本题考察行程问题的基本计算，由(1)可求出甲的平均速度为千米/小时。当甲徒步到总路程的一半时，甲行走的路程为千米，根据“时间 = 路程÷速度”，可求出甲行走的时间为小时；乙的平均速度已知为3千米/小时，再根据“路程 = 速度×时间”，计算出乙在小时内行走的路程，该路程即为补给点距离起点莲花源的路程。
17．小张和小李每天骑自行车上学，骑行路程均为6千米．为确保骑行安全，学校规定骑行中任意时刻车速不得超过15千米/时．某天到校后，两人聊天：
小张：“小李，你骑车的平均速度比我快，比我少用了5分钟．”
小李：“虽然我平均速度比你快，但我在骑车的过程中的最快速度只比我的平均速度快，应该没有超速吧？”
根据以上对话，你认为小李在骑行过程中是否有超速，请说明理由．
【答案】解：小李在骑行过程中有超速，
理由如下，设小张骑车的平均速度为千米/时，则小李骑车的平均速度为千米/时，
∵小李比小张少用了5分钟，
∴，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
所以，
，
答：小李在骑行过程中有超速．
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设小张骑车的平均速度为千米/时，则小李骑车的平均速度为千米/时，利用“小李比小张少用了5分钟”列出方程，再求解即可.
18． 用电脑程序控制小型赛车进行100米比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车都进入了决赛，在比赛前的练习中发现：“畅想号”比“和谐号”每秒多跑1米，并且“畅想号”跑80米的时间刚好与“和谐号”跑70米的时间相等.假设两车一直都是匀速行驶.
（1）求“和谐号”的平均速度；
（2）比赛时，若“畅想号”让“和谐号”先跑2秒，最终哪辆赛车能赢得比赛 请说明理由.
【答案】（1）解：设“和谐号”的平均速度为x米/秒
解得： x=7
经检验：x=7是原分式方程的解
答：“和谐号”的平均速度为7米/秒.
（2）解：“和谐号”能赢得比赛.
理由： 2秒后“和谐号”离终点还有100-2×7=86 (米)
∴ “和谐号”到终点还需86÷7≈12.29 (秒)
而“畅想号”到终点需100÷8=12.5 (秒)
12.29<12.5
∴“和谐号”能赢得比赛
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设“和谐号”的平均速度为x米/秒，根据“畅想号”跑80米的时间刚好与“和谐号”跑70米的时间相等，即可得出方程，解方程并进行检验即可得出答案；
（2）“和谐号”能赢得比赛.首先计算出2秒后“和谐号”离终点的距离，进而根据路程除以速度可求得“和谐号”到终点，再计算出“畅想号”到终点所需时间，再进行比较大小，即可得出答案。
19．义务献血利国利民，是每个健康公民应尽的义务．一个采血点通常在规定时间接受献血，采血结束后，再统一送到市中心血库，且采血和送到血库的时间必须在4小时内完成，超过4小时送达，血液将变质．已知A、B两个采血点到市中心血库的路程分别为，经过了解获得A、B两个采血点的运送车辆有如下信息：
信息一：采血点运送车辆的平均速度是采血点运送车辆平均速度的倍；
信息二：A、B两个采血点运送车辆行驶的时间之和为小时．
（1）求A、B两个采血点运送车辆的平均速度各是多少？
（2）若采血点完成采血的时间为3小时，判断血液运送到市中心血库后会不会变质？
【答案】（1）解：设采血点运送车辆的平均速度是，则采血点运送车辆的平均速度为，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
答：采血点运送车辆的平均速度是，采血点运送车辆的平均速度为；
（2）解：采血点运送车辆的行驶时间为．
依题意，，
∴采血点采集的血液不会变质．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设采血点运送车辆的平均速度是，则采血点运送车辆的平均速度为，再根据“A、B两个采血点运送车辆行驶的时间之和为小时”建立分式方程求解即可；
（2）由采血点采集的血液加上运输时间与4小时比较即可．
20．本学期，我们学习了很多尺规作图的相关知识，数学老师为了激励学生规范作图，决定购买圆规和铅笔奖励给作图优秀的学生．若购买3个圆规和4支铅笔共花费38元；若购买5个圆规和2支铅笔共花费54元．
（1）请问圆规和铅笔的单价分别为多少元？
（2）老师的奖励起到了非常好的效果，越来越多的学生作图规范，老师决定再购买一批圆规和铅笔奖励给学生，并且商家降价优惠卖给老师，其中铅笔的售价降低a元，圆规的售价降低元．老师花30元购买2B铅笔，花180元购买圆规，此次购买圆规和2B铅笔的数量相同，求的值．
【答案】（1）解：设圆规的单价为x元，2B 铅笔的单价为y元，
依题意得：，
解得，
答：圆规的单价为10元，铅笔的单价为2元；
（2）解：依题意得：，
解得，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
答：a的值为．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设圆规和2B铅笔的单价分别为、元，根据“3个圆规+4支铅笔共38元”和“5个圆规+2支铅笔共54元”列出方程组，解得圆规单价为10元，铅笔单价为2元。
（2）根据“购买圆规和铅笔的数量相同”，列出等式，解出，并检验其合理性。
（1）解：设圆规的单价为x元，2B 铅笔的单价为y元，
依题意得：，
解得，
答：圆规的单价为10元，铅笔的单价为2元；
（2）解：依题意得：，
解得，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
答：a的值为．
21．小文和妈妈去贵州旅游，回来的时候她们买了一些特产，到家后，妈妈和爸爸的对话如图．
设每袋辣椒粉为元．
（1）请你通过计算分析，爸爸为什么说妈妈记错了？
（2）妈妈核实账单后，发现刺梨干和辣椒粉的单价均为整数，每袋刺梨干与辣椒粉的价格的差值算错了，其他都正确．若每袋刺梨干比辣椒粉贵元，求整数的值．
【答案】（1）解：由题意可得，
解得，
经检验是分式方程的解，
此时辣椒粉的数量为（袋），
辣椒粉的数量为整数，
不合题意，
妈妈搞错了；
（2）解：由题意可得，
解得：
刺梨干和辣椒粉的单价均为整数，，
，
，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
整数的值为3．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由于购买的刺梨干和辣椒粉数量相同，可以建立分式方程来求解，解这个方程后，先求出辣椒粉的数量，进而得到最终答案。
（2）同样基于购买的刺梨干和辣椒粉数量相同，建立分式方程并求解，解方程后，即可求出的值。
（1）解：由题意可得，
解得，
经检验是分式方程的解，
此时辣椒粉的数量为（袋），
辣椒粉的数量为整数，
不合题意，
妈妈搞错了；
（2）解：由题意可得，
解得：
刺梨干和辣椒粉的单价均为整数，，
，
，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
整数的值为3．
22．如图①， “丰收1号”小麦试验田是边长为 a m(a>1)的正方形去掉一个边长为1m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为(a-1)m的正方形.两块试验田的小麦都收获了 500 kg.
（1）①“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为 ▲ kg/m2， “丰收2 号”小麦试验田的单位面积产量为 ▲ kg/m2， ▲ 小麦试验田的单位面积产量高；
②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍
（2）在试验田四周(图②虚线部分)修建隔离网，“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a 的值.
【答案】（1），，“丰收2号”
解：②因为”丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高，“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量低，
所以计算
，
即高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍
（2）解：“丰收1号”小麦试验田的周长为4am，总造价为1800元，那么其隔离网每米造价为元；
"丰收2号"小麦试验田的周长为4(a-1)m，总造价为3300元，那么其隔离网每米造价为 元.
已知“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，
可列出方程
，
解得：a=12，
经检验，当a=12时，4a=4×12=48≠0，4(a-1)=4×(12-1)-44≠0，所以a=12是原方程的解，且满足题意.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：(1)①丰收1号”小麦的试验田是边长为am的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，根据正方形面积公式，其面积为边长为am的正方形面积减去边长为1m的正方形面积，即a2一12，已知总产量为500g，根据单位面积产量=总产量÷种植面积，可得“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为kg/m2；
“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形，根据正方形面积公式，其面积为(a-1)2m。
已知总产量为500kg，同理可得“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为 kg/m2。
(a2-1)-(a-1)2=a2-1-(a2-2a+1)=a2-1-a2+2a-1=2a-2=2(a-1)，
因为a>1，所以2(a-1)>0，即a2-1>(a-1)2，
可得，
所以丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；
故答案为：，，“丰收2号”；
【分析】(1)①先分别求出两块试验田的面积，再根据单位面积产量=总产量÷种植面积，求出各自的单位面积产量；
②然后比较大小并计算倍数关系；
(2)根据“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每造价的2倍这一关系列出分式方程求解.
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