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高三数学
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1. 已知集合 A 0,1,2,3,4,5 , B x x 3k 1, k Z ，则 A B
A． 2, 5 B． 1,4 C． 0,3 D． 1, 5
2. 样本数据 2，8，14，16， 20， 24的中位数是
A．14 B．15 C．16 D．18
3. 已知圆台O1O2，其上底面圆O1半径为 1，下底面圆O2半径为 4，体积为 28π，则该圆台的表
面积为
A． 20π B． 25π C．37π D． 42π
4. 已知点M 0, a ， N 6,4 到同一直线的距离分别为 7和 3，若这样的直线恰有 2条，则 a的
取值范围为
A． 12,4 B． 6,4 C． 4,12 D． 6,12
5. 某班一天上午有 4节课，下午有 2节课，现要安排语文、数学、英语、物理、政治、体育 6
节课各一节的课程表，要求数学、物理课都在上午且不相邻，体育课在下午，则不同的排课
方法数有
A．36种 B．72种 C．96种 D．144种
6. 已知等差数列 an 的公差为 d，前 n项和为 Sn，则“ d 0”是“ Sn 为单调递增数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7. 在△ABC中， tan
B
4 tan C ，双曲线 以 B，C为焦点，且经过点 A，则 的离心率为
2 2
4 5 8
A． B． C．2 D．
3 3 3
π
8. 已知函数 f x sin x （ 0， ），如图 A，B，C是
2
曲线 y f x 与坐标轴的三个交点，直线 BC交曲线 y f x 于点
4
M，若直线 AM ， BM 的斜率分别为 ，4，则
7
π 2π 4π
A． B． C． D． 2π
3 3 3
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二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9. 1 3已知复数 z1，z2在复平面上对应的点分别为 A，B，且 O为复平面原点．若 z1 i（i2 2

为虚数单位），向量OA 绕原点逆时针方向旋转 90°，且模长变为原来的 2倍后与向量OB 重
合，则
A． z31 1
B．点 B在第三象限
C． z1 z2 2 5
z
D 2． z 的虚部是 21
10. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 3 加 1；若是偶数，就将该数除以 2．反复进行上
述运算，经过有限次步骤，必进入循环圈 1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”
（又称“角谷猜想”）．如果对于正整数m，经过 n步变换，第一次到达 1，就称为 n步“雹
程”．如取m 3，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过 7 个步骤
变成 1，得 n 7．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列 an 满足：a1 m（m为正整
a
n ,当an为偶数时
数）， an 1 2 ，前 n项和为 Sn．则
3an 1,当an为奇数时
A．m 1，则 an an 4
B．m 4时， S2026 4729
C．m 10时，使得 an 1要 6步雹程
D．使得 a5 4的m的值有 5个
11. 如图，四面体 ABCD中， AD BD, AD CD, BD CD ， AD BD CD 1， P为该四面
体表面上一点（包含边界），则
A．若 PA PD， PB PC，则点 P存在且唯一
B．若 PD 6 3π ，则点 P在△ABC 内的轨迹长度为
3 6
5
C．若 PB PC ，则 PA PD的最小值为 1
2
7
D． PA2 PB2 PC2 PD2的最小值为 3
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三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12. 已知由样本数据点集合 xi , yi i 1,2, ,6 ，求得的回归直线方程为 y 1.5x 2，且 x 3，
现发现其中一个样本数据点 3.5, 6 误差较大，去除后重新求得的回归直线 l : y 2x a ，则
a ________．
x2 1 1 13. 椭圆 y2 1的左焦点为 F ， A ,2 2 ， P为椭圆上的一个动点，则
PF PA 的最小值
2
为________．
14. a 1 *已知数列 a 满足 a e n n N ，且 a a 9x ，其中 x 是函数 f x ex 1 2n n 1 2 3 0 0 4x 在
1, 上的极值点，则 a3 a1 7a2 _________．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （13分）
在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，且 a tan B 2c a tan A．
（1）求角 B的大小；
（2）若 b 14 ，△ABC 的面积为 3 3，求△ABC 的周长．
16. （15分）
已知函数 f x ex 1, g x ax （ a R ，且 a 0）．
（1）直线 l : y x m与曲线 y f x 和曲线 y g x 都相切，求 a的值；
（2）若 f x g x ，求 a的取值范围．
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17. （15分）
如图 1，边长为 2的正方形 ABCD， E、F 分别为 BC、CD的中点，沿 AE、AF、EF 翻折，使
得 B、C、D三点重合于点 P（图 2）．M为棱 EF 的中点， AE上有一动点Q．
（图 1） （图 2）
（1）证明： AP 平面 PEF；
5
（2） AQ AE 0 1 ，若 AM 与平面 PQF 所成角的正弦值为 ，求 的值．
6
18. （17分）
甲、乙、丙、丁四人进行台球游戏，约定游戏规则如下：
①每轮游戏均将四人分成两组，进行一对一对打；
②第一轮甲乙对打，丙丁对打；
③每轮游戏结束后，两名胜者组成一组在下一轮对打，两名负者组成一组在下一轮对打；
1
④每组比赛均无平局出现，且每组比赛结果相互独立．甲胜乙、丙胜丁的概率均为 ，甲胜
2
3
丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率均为 ．
4
（1）在前三轮游戏中，甲乙对打的次数为 X ，求 X 的数学期望；
（2）求在第 n轮游戏中，甲乙对打的概率；
（3）求在第 n轮游戏中，甲获胜的概率．
19. （17分）
在直角坐标系 xOy中，动点 P到点 F 2,0 的距离比它到 x 1的距离多1．记 P的轨迹为 ．
（1）求轨迹 的方程；
（2）过 x 2 2 y2 4上一点M （异于原点）作曲线 的切线，切点为 A．
（i）求 FA 的最大值；
FM
（ii）求 FA 的取值范围．
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11. BCD
【详解】对 A: 若 PA PD，PB PC，则 P为线段 AD的中垂面与线段 BC的
中垂面的交线与表面的交点，如图，有两个点 P1,P2，故 A错误；
对 B：记 ABC 的中心为O，则OD 平面 ABC 3 6，且OD ，要使得 PD ，
3 3
3 3
只需OP ，即 P在 ABC 内是以O为圆心， 为半径的圆在 ABC 内的
3 3
3π
部分，点 P在 ABC 内的轨迹长度为 ，故 B正确；
6
5
对 C:若点 P在面 BCD上， PB PC BC 2 ，
2
5 5
故点 P在以 B,C为焦点， 为长轴长的椭圆上，即 2a , 2c 2 .
2 2
而 DB DC 2 2a，故点D在椭圆内，
5
在空间中将该椭圆绕 BC旋转一周得到椭球面，则椭球面上任一点Q都有 QB QC ，
2
而 AB AC 2 2 2a，故点 A在椭球面外，
因此 AD与椭球面必有交点，
根据两点之间线段距离最短，故 PA PD的最小值为 1，故 C正确；
对 D:如图建立空间直角坐标系，则 A 0,0,1 ,B 1,0,0 ,C 0,1,0 ,D 0,0,0 ，
设 P x, y, z ，则
PA2 PB2 PC2 PD2 4x2 2x 1 4y2 2y 1 4z2 2z 1 .
①若点 P在坐标平面上，由对称性，不妨设 P 平面 ACD，则
x 0,0 y 1,0 z 1， 0 y z 1，此时
2 2
PA2 PB2 PC2 PD2 1 1 5 5 4y2 2y 4z2 2z 3 4 y
4 z

4 4
，
2 2
1 1
当且仅当 P 0, , 时取等号；
4 4

②若点 P 平面 ABC，平面 ABC的法向量为 n 1,1,1 ，由 n AP 0 得 x y z 1，且
0 x 1,0 y 1,0 z 1，消去 x整理得
PA2 PB2 PC2 PD2 8 y2 z2 yz y z 5 8 (y z)2 y z yz 5
y z 2 2yz PA2 PB2 PC2 PD2 6(y z)2 8 y z 5 6 y z 2 7 7因 ，则 ，
2 3 3 3
P 1 , 1 , 1 当且仅当 时取等号．
3 3 3
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16．【详解】（1）设直线 l : y x m与曲线 y f x ex 1的切点坐标为 x0 , y0 ，
由于 f x ex 1，则 f x ex0 10 1，解得 x0 1, y0 1，则切点坐标为 1,1 ．
直线 l : y x 2． 3分
y x 2
由 得 x2 4 a x 4 0，
y ax
由Δ (4 a)2 16 0，解得 a 8或 a 0（舍去），当 a 8时，得 x 2，符合题意，
所以 a 8． 7分
（2）①当 a 0时，则函数 g x ax 的定义域为 ,0 .
由于 x ， f x 0， g x ， f x g x 不成立，所以 a 0不符合题意．
8分
②当 a 0时，则函数 g x ax 的定义域为 0, ．显然 f 0 g 0 .
x 1 2x 2
当 x 0时，由 f x g x ，得 ex 1 ax ，即 a e a e，即 9分
x x
e2x 2 e2x 2h x (x 0)
2x 1
令 ，则 h x
x x2
.
1
当 0 x
1
时， h x 0,h x 在
2
0,
2
上单调递减，

1 1
当 x 时， h x 0,h x 在 , 上单调递增． 13分2 2
1 1 3
则当 x 时， h x 取得最小值，其值为 h 2e ．4 2
故 a 2e3 . 3综上所述， a的取值范围为 0,2e ． 15分
17．【解析】（1）翻折前 AB BE, AD DF ，翻折后 B、C、D三点重合于点 P，
则 AP PE, AP PF ， PE PF P，则 AP 平面 PEF； 5分
（2）由（1），以 P为坐标原点，分别以 PE, PF , PA为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，则
1 1A 0,0,2 ， E 1,0,0 F 0,1,0 ， ，M , ,02 2 ， 6分

则 PQ PA AE 1,0, 2 ，故Q , 0, 2 2 ， 8分

记平面 PQF 的法向量 n x, y, z ， PQ , 0, 2 2 ， PF 0,1, 0 ，

PQ n 0 x 2 2 z 0 2
则 ，即 ，不妨取 z 1，则 x 2 ，
PF n 0 y 0

即 n

2
2
, 0,1 ， 11分

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AM 1 , 1 , 2 ，若 AM 与平面 PQF 所成角为 ，
2 2

1 1 AM n
sin cos AM , n 5
则

AM n 3 2 2 2 6 ， 13分
2

2
1

t 1 1 1令 ，整理得 92t2 216t 117 0，即 2t 3 46t 39 0，又 t 1，
t 3 2解得 ，故 ． 15分
2 3
18．【详解】（1）第 1 轮甲乙对打，故第二轮甲乙不可能对打，则第二轮甲只能和丙或丁对打．若第三轮
甲乙对打，则甲乙在第二轮都胜或者都负；
故 X 所有可能得值为 1,2 1分
1 1 1 1 1
第 2轮甲丙对打，则甲和丙在第 1轮都胜或都负，其概率 P1

1 1
，
2 2 2 2 2
第 3轮甲乙对打，则第 2轮甲和丙打，乙和丁打，此时甲和乙同胜或同负；甲和丁打，乙和丙打，此时甲
和乙同胜或同负；
此时 P X 3 3 1 1 2 P 1
1 P 3 1 1 1 5 ， 3分
4 4 4 4
1
4 4 4 4 8
则 P X 1 1 P X 2 3 4分
8
故 X 的分布列为
X 1 2
3 5
P
8 8
E X 1 3 2 5 13 5分
8 8 8
（2）设在第 n轮游戏中，甲乙对打的概率为 pn，甲丙对打的概率为 qn，甲丁对打的概率为 rn 1 pn qn ，
6分
在第 n 1轮游戏中，甲和乙对打，则第 n轮游戏中，甲丙对打，或者甲丁对打，
p 5 5 5故 n 1 qn 1 pn qn ，即 pn 1 1 pn ， 8分8 8 8
p 5 5 5 5故 n 1
8 5
pn ，又 p1 1 ，所以 pn 是以 为首项， 为公比的等比数列，13 8 13 13 13 8
5 8 5 n 1p n ； 11分13 13 8
1 3 1 3 3
（3）同理 qn 1 p r2 n 8 n
， rn 1 pn qn ，故 qn 1 rn 1 q2 8 8 n rn ，又 p1 1，则 q1 r1 0，
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1 p 4 4 5 n 1
故 qn r nn

2 13 13 8
， 14分

1 3 3 17 2 5 n 1
在第 n轮游戏中，甲获胜的概率为 P p q r ．
2 n 4 n 4 n 26 13 8
17分
19．【详解】（1）设动点 P x, y x 2 2，由 y2 x 1 1，
当 x 1时，化简得 y2 8x；当 x 1时， y2 4 1 x 0，轨迹不存在；
故轨迹 的方程为： y2 8x． 3分
2
（2 y）（i）设 A x1, y1 ，根据对称性，不妨设 y 0，则 FA x 2 11 1 2．8
则在 A处的切线方程为 y k x x y ，与 y21 1 8x联立得 ky2 8y 8kx1 8y1 0，
4
由 64 32k y1 kx1 0 ，即 ky1 4 0，即 k y ，1
所以直线MA的方程为 y1y 4 x x1 ， 6分
2 2 4
y 2
k
或：因为 A在曲线 1 : y 2 2 x 上，则 ，故 1在 A处的切线的斜率 x 2x 1 y
y
1 1
，所以
8 8
直线 AT的方程为 y1y 4 x x1 ．（切线方程不证明扣 2分）
N ( 2,0) x 2 2记 ，在 y2 4上一点 M ，使得 MN 2等价于直线 MA到 N 的距离不大于 2，所以
y21 8
4x 2
d 1
8 2
2，解得 y1 48． 8分
y2 16 y21 1 16
y2
因此 FA 1 2 8，即 FA 的最大值为 8． 9分
8
（ii）设过点M的另一条切线与 相切于 B x2 , y2 ，
由（i）同理可得切线MB : y2 y 4x 4x2，记M (x0 , y0 )，
则 y1y0 4x0 4x1， y2 y0 4x0 4x2 ，
故直线 AB的方程为： y0 y 4(x x0 )． 10分
2
先证明 FM FA FB ．
y0 y 4(x x0 ) y1 y2 2y0
联立 2 ，整理得 y
2 2y y 8x 0， ，
y 8x
0 0
y1y2 8x0
2 2 2 2 2 2
FA FB x 2 x 2 y1 2 y2 2 y1 y2 y 1 y21 2 4
8 8 64 4
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y y 2 2y y
x2 1 2 1 20 4 x
2 y2 4x 4 (x 2)2 y2 MF 2 ．
4 0 0 0 0 0
12分
FM 2 FA FB FB
所以 ． 13分
FA 2 FA 2 FA
FA FB x1 2 x2 2
可得 2 (x x )
1 1

FB FA x 2 x 2 1 2

2 1 x2 2 x 2

1
x x 21 2 x1 x
2 2 2
2 2 2 2 (y1 y ) (y y ) 2 1 2
x1 2 x2 2 FA FB 64 FM 2
4y2 2 2 20 4y0 32x0 y0 y0 8x0
2 2
64 x 2 2 y 2 4 2 2
， 15分
0 0 x0 2 y0
y2 (y2 8x )
结合 y20 4 (x0 2)
2 4故 2 0 0 0 316 1 2x ．当且仅当
2
y0 4时等号成立．0
FA FB FM 2
因此 3
3 5 3 5
，解得 ，
FB FA 2 FA 2 2
5 1 FM 5 1
故 2 FA 2 ． 17分
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