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2025年九下数学第16周《相似三角形判定与性质》
【知识梳理】
在相似形的问题中出现的有比例式，还有等积式、平方式，甚至是线段乘积的和差、线段比的和差. 证明这类问题，常常要通过命题的转换或中间量的过渡.
熟悉下面这些“A”型、“X”型，子母型等相似三角形.
相似判定定理： （类比全等！）
课本上规定平行线不能直接得到相似，必须要由平行得到角等再得相似！！！！
1．（2024 秦淮区二模）已知，△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：2，当BC＝1，对应边EF的长是（　　）
A． B．2 C．3 D．4
2．（2025 栖霞区校级三模）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，过点O的直线与AB，CD分别相交于点E，F，若AB＝2，CD＝4，则下列关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023秋 南京期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上．若DE∥BC，DF∥AC，则下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023秋 鼓楼区期末）如图，将等边三角形纸片ABC折叠，使点A落在边BC上的D处，MN为折痕．若，的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025春 建邺区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点P在对角线AC上，过点P作AC的垂线分别交AD，BC于点E，F，则EF＝　 　 ．
6．（2024秋 南京期末）在四边形ABCD中，AD∥EF∥BC，∠A＝90°，．若AD＝3，BC＝6，则　 　 ．
7．（2024秋 建邺区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，矩形DEFG的顶点G，F分别在AC，BC上，DE在AB上．若AG＝5，AD＝4，则BE的长为　 　 ．
8．（2025 浦口区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，以矩形的边AD为边，向上作等边△ADE．点P为AE上一点，过点P分别作矩形相邻两边的平行线，交BC、DE于点M、Q，以PM、PQ为一组邻边作矩形PMNQ，则矩形PMNQ的面积的最大值为 　 　 ．（结果保留根号）
9．（2023秋 南京期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥AB，交∠ACB的平分线于点D，AB与CD相交于点E．若BE＝3，BD＝6，则AC的长为 　 　 ．
10．（2024 南京模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是边BC上的动点，连接AE，过点E作EF⊥AE，与CD边交于点F，连接AF，则AF的最小值为 　 　 ．
11．（2024 玄武区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点P是△ABC内一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F，连接AP，若PE2＝PD PF，则AP的最小值为 　 　 ．
12．（2021秋 建邺区期末）如图，在Rt△ABC中，P是斜边AB边上一点，且BP＝2AP，分别过点A、B作l1、l2平行于CP，若CP＝4，则l1与l2之间的最大距离为 　 　 ．
13．（2025春 南京校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AE⊥CD，垂足为F．
（1）求证：△CAE∽△CBA；
（2）若CD＝4，AE＝6，则线段AC的长度为　 　 ．
14．（2024秋 鼓楼区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是△ABC的角平分线．
（1）求证△CBD∽△CAB；
（2）若AB＝1，求AD的长．
【典型例题】
1．如图，AD是△ABC的中线，E是线段AD上的一点，且AEAD，CE交AB于点F．若AF＝2cm，
（1）求AE：DE的值；
（2）求AB的长．
2．（2025 秦淮区二模）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BA2＝BC BD．
（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）△ACD可以经过怎样的图形变换得到△BAD？请用文字语言描述变换过程．
3．（2018 玄武区二模）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D、E分别在AB、AC上，连接DE，设BD＝x（0＜x＜6），CE＝y（0＜y＜8）．
（1）当x＝2，y＝5时，求证：△AED∽△ABC；
（2）若△ADE和△ABC相似，求y与x的函数表达式．
4．（2024秋 鼓楼区校级月考）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点P、D分别是边BC、AC上的点，且∠APD＝∠B．
（1）求证：AB CD＝CP BP；
（2）如图2，若PD∥AB时，求BP的长；
（3）当点P在边BC上运动时，线段AD长有最小值，最小值为 　 　 ．
5．（2024 秦淮区二模）在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是BC、AB的点，且∠ADE＝∠C．
（1）求证：△ACD∽△DBE；
（2）求证：4BE AC≤BC2．
6．（2018 南京一模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），点E是AD边上一定点，且AE＝1．
（1）当m＝3时，AB上存在点F，使△AEF与△BCF相似，求AF的长度．
（2）如图②，当m＝3.5时．用直尺和圆规在AB上作出所有使△AEF与△BCF相似的点F．（不写作法，保留作图痕迹）
（3）对于每一个确定的m的值，AB上存在几个点F，使得△AEF与△BCF相似？
【巩固练习】
1．（2024秋 南京期末）如图，若AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 南京模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，，BF＝8，则DE的长为（　　）
A． B． C．2 D．3
3．（2024秋 南京期末）如图，在△ABC中，AC＝BC＝2AB，D是BC上一点，且AB＝AD．若BD＝1，则AB的长为 　 　 ．
4．（2024 秦淮区校级模拟）如图，点D在线段BC上移动（不含B点），Rt△ABC∽Rt△ADE，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，若S△CDE＝3.6时，则BD＝　 　 ．
5．（2019春 溧水区期末）如图，在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AG⊥BC
于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD＝BE＝4，AE＝3，求CD的值．
6．（2017秋 玄武区期末）如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，连接GD．
（1）求证：△ADC∽△BGC；
（2）求证：CG AB＝CB DG．
A． B． C． D．
【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，
∴△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，
∴，，，，
故A，B，C错误，D正确，
故选：D．
4．（2023秋 鼓楼区期末）如图，将等边三角形纸片ABC折叠，使点A落在边BC上的D处，MN为折痕．若，的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
由折叠可知：△AMN与△DMN关于MN对称，
∴AM＝DM，AN＝DN，∠A＝∠MDN＝60°，
∴∠BDM+∠CDN＝120°，
∵∠BDM+∠BMD＝120°，
∴∠BMD＝∠CDN，
∵∠B＝∠C，
∴△BDM∽△CND，
∴，
∵，
设BD＝x，
∴CD＝2x，
∴BC＝AB＝AC＝3x，
设AM＝DM＝k，
∴BM＝3x﹣k，
∴，
∴CN，
∴，
∴DN，
∵DN+CN＝AN+CN＝AC＝3x，
∴3x，
∴kx，
∴DNx，
∴，
故选：C．
5．（2025春 建邺区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点P在对角线AC上，过点P作AC的垂线分别交AD，BC于点E，F，则EF＝　　 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，AD＝4，
∴CB∥AD，CB＝AD＝4，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴AC5，
作BH⊥AC于点L，交AD于点H，则∠ALB＝∠ALH＝90°，
∵EF⊥AC分别交AD，BC于点E，F，
∴BH∥EF，
∵BF∥EH，
∴四边形BFEH是平行四边形，
∴BH＝EF，
∵S△ABC5BL3×4，
∴BL，
∴AL，LH＝BH﹣BL＝EF，
∵AH2＝BH2﹣AB2＝AL2+LH2，
∴EF2﹣32，
解得EF，
故答案为：．
6．（2024秋 南京期末）在四边形ABCD中，AD∥EF∥BC，∠A＝90°，．若AD＝3，BC＝6，则　　 ．
【解答】解：如图，连接AC交EF于G，
∵AD∥EF∥BC，∠A＝90°，
∴∠AEG＝∠ABC＝90°，，
∴，，
∵EG∥BC，
∴△AEG∽△ABC，
∴，即，
解得：EG＝2，
∵FG∥AD，
∴△CFG∽△CDA，
∴，即，
解得：FG＝2，
∴EF＝2+2＝4，
∴，
故答案为：．
7．（2024秋 建邺区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，矩形DEFG的顶点G，F分别在AC，BC上，DE在AB上．若AG＝5，AD＝4，则BE的长为　　 ．
【解答】解：∵矩形DEFG的顶点G，F分别在AC，BC上，DE在AB上，
∴∠ADG＝∠EDG＝90°，∠FEB＝∠DEF＝90°，
∴∠ADG＝∠FEB，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠BFE+∠B＝90°，
∴∠A＝∠BFE，
∴△ADG∽△FEB，
∴，
∵AG＝5，AD＝4，
∴FE＝GD3，
∴BE，
故答案为：．
8．（2025 浦口区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，以矩形的边AD为边，向上作等边△ADE．点P为AE上一点，过点P分别作矩形相邻两边的平行线，交BC、DE于点M、Q，以PM、PQ为一组邻边作矩形PMNQ，则矩形PMNQ的面积的最大值为 　．　 ．（结果保留根号）
【解答】解：如图，∵四边形ABCD和四边形PMNQ都是矩形，
∴AD∥BC，PQ∥BC，AD＝BC＝2，
∴AD∥PQ，
∴∠PHR＝∠PMN＝90°，
∵∠PQR＝∠HPQ＝90°，
∴四边形PQRH是矩形，
∴PH＝QR，
∵∠AHM＝∠PHR＝90°，∠HAB＝∠B＝90°，
∴四边形ABMH是矩形，
∴HM＝AB＝1，
∵∠AHP＝∠HPQ＝90°，∠DRQ＝∠PQR＝90°，
∴∠AHP＝∠DRQ，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠PAH＝∠QDR＝60°，
∴△PAH≌△QDR（AAS），
∴AH＝DR，
设AH＝DR＝x，则PQ＝HR＝2﹣2x，
∵PH＝AH tan∠PAH＝AH tan60°x，
∴PM＝1x，
∴S矩形PMNQ＝（2﹣2x）（1x）＝﹣2x2+（22）x+2，
∵﹣20，
∴当x时，S矩形PMNQ最大．
故答案为：．
9．（2023秋 南京期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥AB，交∠ACB的平分线于点D，AB与CD相交于点E．若BE＝3，BD＝6，则AC的长为 　4　 ．
【解答】解：作EF⊥CB于点F，DH⊥CB交CB的延长线于点H，则∠H＝∠BFE＝∠CFE＝90°，
∵BD⊥AB，BE＝3，BD＝6，
∴∠EBD＝90°，
∴∠BDH＝∠EBF＝90°﹣∠DBH，
∴△BDH∽△EBF，
∴2，
∴BH＝2EF，DH＝2BF，
∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，
∴∠FCE＝∠ACE∠ACB＝45°，
∴∠FEC＝∠HDC＝∠FCE＝45°，
∴CF＝EF，CH＝DH＝2BF，
∴BH＝2CF，
∴CF+BF+2CF＝2BF，
∴BF＝3CF＝3EF，
∴BEEF＝3，
∴CF＝EF＝3，BF＝3EF＝3×3＝9，
∴BC＝BF+CF＝9+3＝12，
∵∠ACB＝∠EFB＝90°，∠ABC＝∠EBF，
∴△ABC∽△EBF，
∴，
∴ACEF3＝4，
故答案为：4．
10．（2024 南京模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是边BC上的动点，连接AE，过点E作EF⊥AE，与CD边交于点F，连接AF，则AF的最小值为 　　 ．
【解答】解：BE的长为x，则CE＝BC﹣BE＝8﹣x，CF的长为y，
∵AB⊥BC，EF⊥AE，DC⊥BC，
∴∠ABE＝∠ECF＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴，即，
∴yx2x（x﹣4）2，（0＜x＜8）
∴y最大，
当CF时，DF＝6，此时AF为最小，
AF．
故答案为：．
11．（2024 玄武区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点P是△ABC内一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F，连接AP，若PE2＝PD PF，则AP的最小值为 　　 ．
【解答】解：连接DE，EF，PB，PC，如图，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，
∴∠DPE＝∠FPE．
∵PE2＝PD PF，
∴，
∴△DPE∽△EPF，
∴∠PDE＝∠PEF．
∵∠BDP+∠BEP＝180°，∠PEC+∠PFC＝180°，
∴BDPE，CEPF四点共圆，
∴∠PBC＝∠PDE，∠PCA＝∠PEF，
∴∠PBC＝∠PCA．
∴∠BPC为定值，
∴点P在以BC为弦，所含圆周角为∠BPC的圆弧上运动，
∴当AP⊥BC时，AP取得最小值，如图，
∵AB＝AC＝5，AP⊥BC，
∴BE＝ECBC＝3，∠BAE＝∠CAE，
∴AE4．
∵PD⊥AB，PF⊥AC，
∴PD＝PF，
∵PE2＝PD PF，
∴PE2＝PD2，
∴PD＝PE．
设PD＝PE＝x，则AP＝AE﹣PE＝4﹣x，
∵∠ADP＝∠AEB＝90°，∠DAP＝∠EAB，
∴△ADP∽△AEB，
∴，
∴，
∴x．
∴AP＝4．
故答案为：．
12．（2021秋 建邺区期末）如图，在Rt△ABC中，P是斜边AB边上一点，且BP＝2AP，分别过点A、B作l1、l2平行于CP，若CP＝4，则l1与l2之间的最大距离为 　9　 ．
【解答】解：方法一：如图，当点A在P的左侧时，以AB为直径作圆，延长AC交l2于点D，过点C作CG⊥l2于点G，取BD的中点E，连接CE，
∵CP∥BD，BP＝2AP，CP＝4，
∴，
∴BD＝12，
∵∠BCD＝90°，E是BD的中点，
∴CEBD＝6，
设l1与l2之间的距离为d，
则dCG6＝9，
则l1与l2之间的最大距离为9；
如图，当点A在P的右侧时，过点A作AG⊥l2于点G，延长CP交AG于点F，
∴PF∥BG，
∴△APF∽△ABG，
∴，
∵BP＝2AP，
设BP＝2x，AP＝x，PF＝a，
∴BG＝3a，AG＝3AF，
过点C作CD⊥l1于点D，
∵l1∥l2，
∴CE⊥l2，
得矩形CEGF，
∴EG＝CF＝CP+PF＝4+a，
∴BE＝EG﹣BG＝4+a﹣3a＝4﹣2a，
在Rt△APF中，根据勾股定理，得
AF，
∴FG＝2AF＝2，
∴CE＝FG＝2，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠CCB＝90°，
∴∠CAD＝∠ECB，
∴△CAD∽△ECB，
∴，
∵AD＝EG＝4+a，CE＝2，BE＝4﹣2a，CD＝AF，
∴，
∴（）2＝（2﹣a）（4+a）＝﹣a2﹣2a+8，
∴AF2＝﹣a2﹣2a+8＝﹣（a+1）2+9，
因为二次函数开口向下，当对称轴a＝﹣1时，AF取最大值是9，
a＝﹣1反映的是A在B正上方的左边，
∴a＝﹣1时，AF2取得最大值为9，
∴AF＝3，
∴AG＝3AF＝9，
∴l1与l2之间的最大距离为9．
方法二：如图，延长AC交l2于M点，
∴2CD＝AB＝8，
又∵AE＝6，
∴，
设AC＝4k，则CE＝3k，
在 Rt△ACE中，∠ACE＝90°，
∴AC2+CE2＝AE2，
即（3k）2+（4k）2＝62．
∴，
∴．
14．（2024秋 鼓楼区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是△ABC的角平分线．
（1）求证△CBD∽△CAB；
（2）若AB＝1，求AD的长．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C（180°﹣36°）＝72°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠ABD∠ABC＝36°，
∴∠CBD＝∠A，
∵∠C＝∠C，
∴△CBD∽△CAB．
（2）解：由（1）得∠ABD＝∠A＝36°，∠C＝72°，△CBD∽△CAB，
∴BD＝AD，∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴BC＝AD，
∵AB＝AC＝1，
∴DC＝1﹣AD，
∵，
∴BC2＝AC DC，
∴AD2＝1﹣AD，即AD2+AD﹣1＝0，
解得AD或AD（不符合题意，舍去），
∴AD的长是．
15．如图，AD是△ABC的中线，E是线段AD上的一点，且AEAD，CE交AB于点F．若AF＝2cm，
（1）求AE：DE的值；
（2）求AB的长．
【解答】解：（1）∵AEAD，
∴DE＝AD﹣AE＝ADADAD，
∴AE：DEAD：AD＝1：2；
（2）过点D作DM∥CF，交AB于点M，如图所示．
∵AD是△ABC的中线，
∴点D是BC的中点，
∴BD＝DC．
∵DM∥CF，
∴1，
即BM＝MF．
∵DM∥CF，
∴2，
∴MF＝2AF＝2×2＝4（cm），
∴BM＝MF＝4cm，
∴AB＝AF+MF+BM＝2+4+4＝10（cm），
∴AB的长为10cm．
16．（2025 秦淮区二模）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BA2＝BC BD．
（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）△ACD可以经过怎样的图形变换得到△BAD？请用文字语言描述变换过程．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵BA2＝BC BD，
∴，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△DBA，
∴∠CAB＝∠ADB＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
（2）解：方法一：△ACD先以点D逆时针旋转90°，再以点D为位似中心放大一定比例即可得△BAD；
方法二：△ACD先以点D为位似中心放大一定比例后，再以点D为旋转中心逆时针旋转90°即可得△BAD．
17．（2018 玄武区二模）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D、E分别在AB、AC上，连接DE，设BD＝x（0＜x＜6），CE＝y（0＜y＜8）．
（1）当x＝2，y＝5时，求证：△AED∽△ABC；
（2）若△ADE和△ABC相似，求y与x的函数表达式．
【解答】解：（1）∵AB＝6，BD＝2，
∴AD＝4，
∵AC＝8，CE＝5，
∴AE＝3，
∴，，
∴，∵∠EAD＝∠BAC，
∴△AED∽△ABC；
（2）①若△ADE∽△ABC，则，
∴yx（0＜x＜6）．
②若△ADE∽△ACB，则，
∴yx（0＜x＜6）．
18．（2024秋 鼓楼区校级月考）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点P、D分别是边BC、AC上的点，且∠APD＝∠B．
（1）求证：AB CD＝CP BP；
（2）如图2，若PD∥AB时，求BP的长；
（3）当点P在边BC上运动时，线段AD长有最小值，最小值为 　　 ．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠APD＝∠B，
∴∠CPD+∠APB＝180°﹣∠APD＝180°﹣∠B，
∵∠BAP+∠APB＝180°﹣∠B，
∴∠BAP+∠APB＝∠CPD+∠APB，
∴∠BAP＝∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
∴AB CD＝CP BP；
（2）解：∵△ABP∽△PCD，
∴，即，
∵PD∥AB，
∴△CDP∽△CAB，
∴，即，
∴，
∵AB＝AC＝6，BC＝8，
∴AC＝5，
∴，
∴BP．
（3）解：∵∠APD＝∠B＝C．∠PAD＝∠CAD，
∴△PAD∽△CAP，
∴，
∴AD，
当PA最小时，AD最小，
若PA⊥BC，AD有最小值，此时AP2，
∴AD．
故答案为：．
19．（2024 秦淮区二模）在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是BC、AB的点，且∠ADE＝∠C．
（1）求证：△ACD∽△DBE；
（2）求证：4BE AC≤BC2．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BDA＝∠DAC+∠C＝∠BDE+∠ADE，∠ADE＝∠C，
∴∠BDE＝∠DAC，
∴△ACD∽△DBE；
（2）∵△ACD∽△DBE，
∴，即BE AC＝BD CD，
设BC＝m，BD＝x，则CD＝m﹣x，
∴4BE AC＝4BD CD＝4x（m﹣x）＝﹣（2x﹣m）2+m2，
∴4BE AC≤m2，即4BE AC≤BC2．
20．（2018 南京一模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），点E是AD边上一定点，且AE＝1．
（1）当m＝3时，AB上存在点F，使△AEF与△BCF相似，求AF的长度．
（2）如图②，当m＝3.5时．用直尺和圆规在AB上作出所有使△AEF与△BCF相似的点F．（不写作法，保留作图痕迹）
（3）对于每一个确定的m的值，AB上存在几个点F，使得△AEF与△BCF相似？
【解答】解：（1）当∠AEF＝∠BFC时，
要使△AEF∽△BFC，需，即，
解得AF＝1或3；
当∠AEF＝∠BCF时，
要使△AEF∽△BCF，需，即，
解得AF＝1；
综上所述AF＝1或3．
（2）延长DA，作点E关于AB的对称点E′，连接CE′，交AB于点F1；
连接CE，以CE为直径作圆交AB于点F2、F3．
（3）当1＜m＜4且m≠3时，有3个；
当m＝3时，有2个；
当m＝4时，有2个；
当m＞4时，有1个．
21．（2024秋 南京期末）如图，若AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
故选项A，C，D错误，
故选：B．
22．（2025 南京模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，，BF＝8，则DE的长为（　　）
A． B． C．2 D．3
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴DE＝CF，
设DE＝CF＝x，
∵BF＝8，
∴BC＝BF+CF＝8+x，
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得x，
故选：A．
23．（2024秋 南京期末）如图，在△ABC中，AC＝BC＝2AB，D是BC上一点，且AB＝AD．若BD＝1，则AB的长为 　2　 ．
【解答】解：由题知，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB．
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
则∠B＝∠B，∠CAB＝∠ADB，
∴△ABD∽△CBA，
∴，
又∵BC＝2AB，BD＝1，
∴AB＝2．
故答案为：2．
24．（2024 秦淮区校级模拟）如图，点D在线段BC上移动（不含B点），Rt△ABC∽Rt△ADE，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，若S△CDE＝3.6时，则BD＝　3或5　 ．
【解答】解：过点E作EF⊥BC于F，
∵△ABD∽△ACE，
∴，
设BD＝x，则，
∵EF⊥BC，AC⊥BC，
∴EF∥AC，
∴∠CEF＝∠ACE，
∵tan∠CEF＝tan∠ACE，
∴sin∠CEF，
∴，
S△CDECD×EF（8﹣x）3.6，
∴x2﹣8x+15＝0，
∴x1＝3，x2＝5．
故答案为：3或5．
25．（2019春 溧水区期末）如图，在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AG⊥BC
于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD＝BE＝4，AE＝3，求CD的值．
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