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数列解答题 高频考点预测练 2026届年高中数学高考冲刺练
1．已知等差数列的公差为，前项和为，且，，，其中．
(1)求公差及的值；
(2)设数列，数列的前项和为，求．
2．已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)已知，求.
3．已知数列的前项和为，，．
(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式：
(2)求数列的前项和；
(3)若，求的取值范围．
4．已知数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前90项和．
注意：这里表示角度，
5．已知数列的前项和为，等差数列满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记为在区间内项的个数，为数列的前项和，求.
6．数列的前三项均为，是公比为3的等比数列，且.
(1)求的前项和；
(2)求.
7．已知数列的各项均为正数，，其前项和满足其中为常数且．
(1)求证：数列为等比数列
(2)若，数列满足，数列满足，求数列的前项和
8．已知数列的前项和为，且成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列是公差为2的等差数列，且．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值．
9．已知数列的前n项和为，满足，为等比数列，首项为1，且公比为2.
(1)若，求数列的前n项和；
(2)若不等式对恒成立，求实数k的取值范围.
10．数列为等差数列，数列为各项不为零的等比数列，公比为2，，．
(1)证明：；
(2)求集合中元素的个数；
(3)当时，将数列的每相邻两项，之间插入一个数，构造新数列，即，，，，…，数列的前项和为，求及满足的最小正整数．
11．已知数列的首项，且满足．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
12．已知是数列的前项和，，
(1)命题：若 （i） ，则 （ii） .
①是以2为公差的等差数列；
②对任意，.
从①②中选择一个填在（i），另一个填在（ii），使得命题为真命题，并证明.（若写两种选择，则按第一种选择给分）
(2)在（1）的条件下，求数列的通项.
13．已知数列满足，．
(1)令，求数列的通项公式；
(2)设的前n项和为，若，求n的最大值．
14．在数列中，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)令，数列的前n项和为，证明：．
15．记数列的前项和为，若满足，，且．
(1)求证：是等差数列，并求的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
16．已知等差数列的公差为4，其前8项之和为144．等比数列的公比为，且．
(1)求和的通项公式；
(2)记．
（i）证明：数列是等比数列；
（ii）证明：．
参考答案
1．(1)，
(2)
（1）代入已知条件，计算即可解决问题；
（2）利用三角函数的周期性，将数列进行分组，然后进行分组求和，先求出一个周期内的和，最后求出全部和.
（1）解：（1），
，，．
，，，．
（2）解：由（1）得，，，
．
又的周期，当时，；
当时，；当时，；
当时，，其中．
在一个周期内，，，
，，
，
数列的前20项为5个完整的周期，．
2．(1)
(2)
（1）降次作差求解数列的的通项公式即可；
（2）根据（1）中的结果先确定数列，再运用裂项相消法求和.
（1）当时，
当时，，且，
两式作差得，所以
显然符合上式，
∴
（2）根据（1）中的结果得，，
，
则
.
3．(1)证明见详解；
(2)
(3)
（1）由与关系结合题意可得，据此可完成证明；进而求出的通项公式；
（2）由（1）结合错位相减法可得答案；
（3）根据（1）得到，根据作差法得到数列的单调性，再求范围即可.
（1）已知，故，当时，.
因为，代入，
整理得.
因此是首项为、公比为的等比数列，
所以，故.
（2）
两边同乘 得
得，，
整理得.
（3）由 得，设 ，对任意正整数恒成立，
只需的最大值.
，
当时，，即；
当时，，即，
故最大值为.
因此的取值范围为.
4．(1)
(2)45
（1）根据求出数列的通项公式即可.
（2）先列出数列的前90项和，然后利用三角函数的二倍角公式进行化简，进而求出结果.
（1）当时，，
当时，，
当时满足，故.
（2）设数列的前90项和为，又，
则
因为，
所以
，
所以.
5．(1)；
(2)
（1）根据题意，利用，求得，设等差数列的公差为，列出方程组，求得，进而得到数列；
（2）由（1）得，根据题意，得到，求得，结合等比数列的求和公式，即可求解.
（1）解：因为数列的前项和为，
当时，；
当时，，
当时，上式也成立，所以，
又由，
设等差数列的公差为，可得，即，解得，
所以，
因此，数列的通项公式为，数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知：，，可得，
因为为在区间内项的个数，
又由，可得，即，
所以，
所以数列是以为首项，公比的等比数列，
所以数列的前项和为
6．(1)
(2)
（1）根据题意结合等比数列通项公式可得，，结合等差数列求和公式运算求解；
（2）整理可得，利用累加法结合等比数列求和公式运算求解.
（1）因为是公比为3的等比数列，且，
又因为，则，
可得，则，
可得，
所以.
（2）因为，即，则，
可得，
则
，
所以.
7．(1)证明见解析
(2)
（1）利用等比数列的定义即可得证；
（2）由题意得，利用等比数列前项和公式和等差数列前项和公式即可求解.
（1）由，得，
两式相减得：，
又，则，
又，则，其中为常数且，
所以数列为等比数列；
（2）当时，
由知：
当时；当时，
所以，
当时，，
当时，，
即.
8．(1)
(2)1176
（1）根据等差中项的性质以及和的关系即可求解；
（2）首先求出的通项公式，然后令，可得所有的都在中，最后根据去掉的项利用分组求和即可求解.
（1）由等差数列性质得： ①，
当时，，解得，
当时，有： ②，
①-②得：，
整理得： ，
因此是首项为，公比为2的等比数列，
故.
（2）设，代入得： ，
因此，是首项为，公差为的等差数列，
令，即，得，为正整数，
故所有的都在中（小于，不在中），
要得到的前30项，即从前项中去掉个属于的项，满足，
去掉的项为，共个（，故不在的前35项中），
故，即的前30项和等于前35项和减去5个的和，
前35项和：，
去掉的5个的和：，
因此.
9．(1)
(2)
（1）利用与的关系，求出的通项公式；利用等比数列通项公式求出的通项公式，再结合错位相减法求；
（2）将、的通项代入不等式，整理得到关于的恒成立问题，所以构造新数列，通过研究新数列的单调性求出其最大值，进而确定的取值范围.
（1）已知：时，；
时，，
验证也满足，故.
是首项为1、公比为2的等比数列，故，.
，则：①
两边同乘得：②.
①-②得：
中间等比数列求和得，
代入整理得：.
（2）不等式，对恒成立，
代入得：.
设，作差得：
时，；
时，；
时，，
故的最大值为，因此，即.
10．(1)证明见解析
(2)元素个数为9
(3)，最小正整数
（1）由等差数列，等比数列基本量的计算，结合已知即可证明；
（2）由等差数列，等比数列基本量的计算，结合得出，再根据的范围即可求解；
（3）由分组求和，错位相减法求得，再根据单调性即可求解最小正整数．
（1）设的通项公式为，，的通项公式为
因为，所以，则，
因为，所以，则，
所以．
（2）由，得，，所以，
又因为，所以，
因为函数在上单调递增，
所以，元素个数为9．
（3）由已知得，，，
设，
设①
②
①-②得：，
，
所以，
因为，，
所以单调递增，
又，，，，
所以最小正整数．
11．(1)
(2)证明见解析
（1）根据累加法及等差数列的前项和公式求解即可.
（2）结合裂项相消法证明即可.
（1）当时，，
则，，，，
所以，即.
所以.
当时，满足上式，
故的通项公式为.
（2）由（1）知，，则，
所以，
因为，所以，则，因此，
故.
12．(1)答案见解析
(2)
情形一：（1）首先根据等差数列的定义可求出，然后根据与的关系即可证明；
（2）根据与的关系即可求解.
情形二：（1）首先根据与的关系求出，然后根据等差数列的定义即可证明；
（2）根据与的关系即可求解.
（1）情形一：选择证明：若是以2为公差的等差数列，则.
若是以2为公差的等差数列，
则，
得到，当时，，
对任意，，.
情形二：选择证明：若对任意，，则是以2为公差的等差数列.
由，得，化简得，
得到是以1为首项，4为公比的等比数列，，
，，
故是以2为公差的等差数列.
（2）情形一：当时，，
当时，，不满足，
.
情形二：当时，，
当时，，不满足，
.
13．(1)
(2)7
（1）先应用累加法及等比数列求和公式计算得出通项公式；
（2）应用分组求和及等比数列求和公式计算得出，最后应用指数函数单调性计算求解.
（1）由，可得，即，
当时，有，
累加，得
，
又，所以，
验证可知也符合上式，
所以．
（2）因为，且，所以，
所以，
则，
令，得，解得，
所以n的最大值为7．
14．(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）由递推公式得到，利用等差数列的定义进行证明；
（2）根据（1）求出，，利用错位相减法求出，进行证明.
（1）由，可得，又因为，所以，所以是首项为1，公差为3的等差数列．
（2）由（1）知，，所以，
，①
，②
①-②得，
，所以，
又，即．
15．(1)证明见解析，
(2)
（1）由，得，将这两个等式作差结合等差中项法可证得结论成立，在等式中令，可求出的值，结合可求得该数列的公差，再利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用裂项求和法可求得的表达式，得出，结合题意得出对恒成立，于是得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.
（1）由①，得②，
② ①得③，则④，
④ ③得，即，
所以是等差数列，设其公差为，
由，得，所以．
因为，所以公差，
所以．
（2）
，
所以．
由对恒成立，得，即．
设，由对恒成立，
得，解得或，故的范围为．
16．(1)，
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
（1）利用等差数列前项和公式，代入已知条件求出首项，即可得到的通项；利用等比数列通项公式，代入得到关于的方程，结合解出，进而得到的通项；
（2）（i）：求出的表达式，再分别计算的表达式，然后计算，若该比值为非零常数，则可证明数列是等比数列；
（ii）根据（1），（2）（i）的结果化简的表达式，结合放缩法，将其放缩为可求和的数列形式，再对放缩后的数列求和.
（1）设数列的前项和为，则，
又，.
（2）（i），
又，
，
∵对任意，有，且，
∴数列是以为首项，4为公比的等比数列．
（ii）由，，
则，
由于，
又．
从而，证毕．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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