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参考答案
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11.答案：
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13.答案：
14.答案：
15.答案：
解析：解： 在 中， ， ， ，
根据余弦定理可得 ，
解得 ； ----------------------------------------------------------- 4 分
延长 ， 交于点 ，则 ，
所以 为等边三角形， ， ，
由 ，得 ，
在 中，根据两角和的正弦公式可得：
，
在 中，由正弦定理可得， ，则 ，
在 中，设 ，由 ，
可得 ，
即 ，则 ，
故 的值为 ．-------------------------------------------------------13 分
利用余弦定理即可求出；
延长 ， 交于点 ，先在 中，求出 的值，再利用正弦定理求出 的长，最后设
，由 即可求出．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
16.
解析： 证明：由题意可知， ， ，
点 的路径所在平面的展开图如图，
其中最短路径为 ，
得 ，则点 为 的中点，
因为 ，所以 ，得 ，
则点 为 上靠近点 的四等分点，-----------------------------------------3 分
分别取线段 ， 的中点 ， ，连接 ， ，
易知 平面 ， ，
故以点 为原点， ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，-----4 分
因为等边 的边长为 ，所以 ，
则 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，
则 ，
则 ，
即 ，
又 平面 ，
所以 平面 ；----------------------------------------------------------9 分
解：易得，平面 的法向量为 ，
可得 ， ， ，
可得 ， ，
则平面 和平面 所成的二面角 锐角 的余弦值为 ， ----------------------14 分
故平面 和平面 所成的二面角 锐角 的正切值为 ．------------------------15 分
利用平面展开图求出点 ， 的位置，再取线段 ， 的中点 ， ，以 为原点建系，求出平面
的法向量 ，根据 ，即可求证；
利用坐标计算夹角的余弦值，再根据同角三角函数的关系求出．
本题考查线面平行的证法及两个平面的夹角的正切值，属于中档题．
17.答案：解析：解： 由题意可知 ， ，
， ，
， ，
，
则 的分布列如下：
故 ； -
----------------------------------6 分
当 时记系统 中正常工作的元件数为随机变量 ，则 ，
记 时系统 的可靠性为 ，记 时系统 的可靠性为 ，
故 ，
，
故 ，
故 时增加一个量子芯片元件即 ，能提高系统 的可靠性； ---------------------------11 分
由已知有 ，
故没有 的把握认为元件工作状态与测试环境有关联．------------------------------------15 分
由题意可知 ，利用二项分布可得出随机变量 的分布列，进而可得出 的值；
计算出 时系统 的可靠性 ， 时系统 的可靠性 ，比较大小后可得出结论；
计算出 的观测值，结合临界值表可得出结论．
本题考查二项分布、离散型随机变量的分布列、数学期望、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力，
是中档题．
18.答案：
解析：解： 设“曼哈顿椭圆”上任意一点为 ，则
，
即 ，
即 ，
所以“曼哈顿椭圆”的方程为 ．
将方程中 替换为 ，方程不变，所以“曼哈顿椭圆”关于 轴对称；
将方程中 替换为 ，方程不变，所以“曼哈顿椭圆”关于 轴对称；
同时将方程中 替换为 ， 替换为 ，方程仍不变，
所以“曼哈顿椭圆”也关于原点对称．
只需分析出第一象限的图象即可，当 ， 时，方程为 ；
当 ， 时，方程为 ，“曼哈顿椭圆”图形如图所示，
其面积为 ．-------------------------------------------------------4 分
因为 ， ，
所以椭圆 的左右顶点分别为 ， ．
设椭圆 的方程为 ，过点 ，
则 ，
解得 ，
所以椭圆 的方程为 ．-------------------------------------------------------8 分
(ⅱ)直线 与圆 相切，理由如下：
设过点 与圆 相切的直线方程为 ．
则 ， ，
由 ，
解得 或 ，
设点 ， ．
则 ， ．
所以 ．
故直线 的方程为 ，
又 ，
化简得直线 方程为 ．
因此，圆心 到直线 的距离为 ，
即直线 与圆 相切．-------------------------------------------------------17 分
根据曼哈顿距离定义推导轨迹方程，利用绝对值性质判断对称性，分段讨论第一象限图形并求总面积；
代入顶点坐标求椭圆标准方程；设切线联立方程，用韦达定理与距离公式判断直线与圆的位置关系．
本题考查新定义的应用，考查逻辑推理与运算能力，属于难题．
19.答案：证明见解析；
；
证明见解析．
解析： 证明：由 ，得 ，
要证 ，只需证 ．
令 ，则 ．
当 时， ，则 单调递减，
当 时， ，则 单调递增，
所以 ，故 ，因此 ．---------------------------------3 分
解： ，
令 ，则 ，
当 时，由 ，得 ， ，因此 ，满足题意．
当 时，由 ，得 ， ，
因此 ，则 在 上单调递增．
若 ，则 ，
则 在 上单调递增，所以 ，满足题意；
若 ，则 ，
因此 在 存在唯一的零点 ，且 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，不合题意．
综上， 的取值范围为 ．-------------------------------------------------------8 分
证明：由 知 ，设 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
注意到 ， ， ，
故 在 上存在唯一的零点 ， ，
注意到 ， ，且 在 上单调递增．
要证明 ，只需证 ，
因为 ，所以只需证 ，
即证 ．
因为 ，即 ，
所以只需证 ，
只需证 ， ，
由 得 ，
因此 ，
设 ， ，
则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，
从而 ，即 ，因此 得证，
从而 ．-------------------------------------------------------17 分
由 ，得 ，构造函数 ，求解单调性，证明结果；
求解 ，令 ，则 ，分类讨论求解 的
范围；
由 知 ，设 ，判断 单调性， ，所以只需证 ，由
，即 ，只需证 ， ，进而证明
结果．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，函数恒成立问题，不等式的证明，考查运算求解能力与
逻辑推理能力，属于难题．26届高三5月份质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1.已知集合A={xx<3,x∈N,B=(-1,0,1,2,3,4},则AnB=()
A.0,1,2
B.（-1,0,1,2}
C.0,1,23
D.{xl0≤x<3)
2.若复数z满足(2+)z=4-3i,则复数z虚部为()
A.1
B.i
C.-2
D.-2i
3.为研究某池塘中水生植物覆盖池塘的面积x(单位：dm)与水生植物的株数y(单位：株)之间的相关关
系，收集了4组数据，如表格所示，得到y与x的线性回归方程y=1.2x一2，则m=()
3
4
6
2.5
4.5
m
A.5
B.6
C.7
D.8
4.已知F是抛物线C:x=2y2的焦点，点M(2,m)在抛物线C上，则MF=()
A月
B月
c唱
D.吕
5.己知a,b是两条不同直线，a,B是两个不同的平面，且aca,bcB,a/B,b/a,则“a与b为异
面直线”是“α/B”的()
A充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.在△ABC中，点D为边BC的中点，过点D的直线与AB,AC两边（或其延长线）分别交于点E,F,设
A正=xA正，AC=yA正(x>0,y>0),则+的最小值为()
A+V
B.1+V2
C.+V2
D.2+V2
7.将正整数N分解为两个正整数k1,k2的积，即N=k1·k2,当k1,k2两数差的绝对值最小时，我们称其为
最优分解.如6=1×6=2×3,2×3即为6的最优分解，当k1,k2是N的最优分解时，定义p(n)=k1-k2,
则数列[p(5)的前100项和为()
A59-1
B.50-1
C.50-2
D.59-2
2x-1,0≤x≤1
8.定义在R上的偶函数f)满足f亿-刘=f亿+x,且当x∈[0,2时，f闭={3sim受x-2,1若关于x的方程x=f(x)至少有8个实数解，则实数1的取值范围是()
第1页，共4页
A（-m,-品名U品+)
B.(品
C.【-品60)u(0,点
D.品点制
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数fx)=sin(wx+p)(u>0,ll<)的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有()
A.函数f(x)的最小正周期T=π
B.(-受，0)是函数f)的一个对称中心
C,函数在区间(--)上的值城为(-引
D将函数f()的图象向左平移受后得到g)的图象，则g)=cos2x
10.已知数列(anJ满足a1=2,an+1=
g+2,n=2k-1:k∈N”设b=2a,记数列b,]的前n项和为
2ann=2k,k∈N",
S,则下列说法正确的是()
A.a3=6
B.bn+2是等比数列
C.Sm=-2n-6+3×2n+1
D.a1+a2+ag+a4+…+a20=12214
11.函数f(x)=2x2+的图象（如图）称为牛顿三叉戟曲线，则()
Afx)的极小值点为
B.当x>0时，f(-xlC.过原点且与曲线y=f(x)相切的直线仅有2条
D.若f(x)=fx2),名<0<2，则x2-x1的最小值为3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在二项式(1-3x)的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这个展开式中，x2项的系数
是（用数字作答）
13.已知幂函数fx)=xm2-2m(m∈Z),在区间(0，+o)上是单调减函数.若f(sinx+cosa)=5,
aE(0,n),f(sina-cosa)=_
14已知双曲线x2-苦=1的左、右焦点分别为，乃，过的直线与该双曲线的左、右支分别交于A,
B两点。△识与△M8B的内切圆的半径分别为，2，若号=宁则览的值为一。
第2页，共4页

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