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浙江省台州市椒江区2024-2025学年七年级下学期6月期末考试数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．在图示的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：观察图形可知图案D通过平移后可以得到．
故选：D．
【分析】根据平移的定义“一个图形沿着某一方向移动一定距离，这种变换叫做平移”逐项判断解答即可．
2．某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】根据科学记数法，把改写成的形式 ，确定指数n的方法是：观察原数的小数点移动位数。当原数的绝对值大于1时，n为正数；当原数的绝对值小于1时，n为负数。具体步骤为：1. 将原数转化为符合1≤|a|<10的a值；2. 记录小数点移动的位数，其绝对值即为n的数值；3. 根据原数大小确定n的正负符号。通过这种方法即可得出答案。
3．下列计算中，正确的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】 选项A：根据幂的乘方法则，，故，选项A错误．
选项B：根据同底数幂相乘法则，，故，选项B正确．
选项C：根据积的乘方法则，，且负号的平方为正，故，选项C错误．
选项D：根据同底数幂相除法则，，故，选项D错误．
故选B．
【分析】根据根据幂的乘方运算规则，底数不变，指数相判断A；根据同底数幂的乘法规则，底数不变，指数相加判断B；根据积的乘方运算规则，积中各因式分别乘方判断C；根据同底数幂的除法规则，底数不变，指数相减判断D.．解题的关键在于准确区分并应用不同的幂运算法则，避免混淆指数的运算方式（如乘方、相加、相减）．
4． 下列采用的调查方式中，合适的为（　　）
A．了解全市学生观看“开学第一课”的情况，采用抽样调查
B．高铁站对乘坐高铁的旅客进行安检，采用抽样调查
C．出版社审核书稿中的错别字，采用抽样调查
D．调查某池塘中现有鱼的数量，采用全面调查
【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、此种调查为抽样调查，A选项符合；
B、此种调查为全面调查，B选项不符合；
C、此种调查为全面调查，C选项不符合；
D、此种调查为抽样调查，D选项不符合；
故答案为：A .
【分析】根据调查方式去判断，调查方式分为抽样调查和全面调查，对A、B、C、D选项进行判断.
5．下列各式变形中，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、，等式右边是整式与整式的差，并非几个整式相乘的形式，不满足因式分解的要求，故不合题意；
B、，等式右边的是分式，不是整式，不符合因式分解中“几个整式的积”的要求，故不合题意；
C、，这是整式的乘法运算，是把几个整式的积转化为多项式，和因式分解的变形方向完全相反，故不合题意；
D、，把多项式转化成了两个整式(x+1)与(x-1)的乘积形式，符合因式分解的定义，故符合题意；
故选：D．
【分析】要解决这道题，核心是掌握因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形才叫做因式分解.
6． 将分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，则分式的值（　　）
A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的2倍
C．扩大为原来的3倍 D．缩小为原来的3倍
【答案】C
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：∵ 将分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，
∴，
∵
故答案为：C .
【分析】根据已知条件，对原式的未知数x，y扩大到原来的3倍，得到的代数式再与原来的代数式相比，比值就是扩大原来的数.
7． 若多项式 是完全平方式，则 k 的值为（　　）
A．5或1 B． C．5 D．2
【答案】A
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵ 多项式 是完全平方式，
∴k-3=±2，
∴k=5或k=1
故答案为：A .
【分析】根据完全平方式，，确定k-3的值，计算出k的值.
8．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：“五只雀、六只燕，共重斤（等于两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，则列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，
根据题意得：，
又因为互换其中一只，恰好一样重，
则，即，
联立方程组得，，
故选：．
【分析】这道题的核心是根据古代重量单位换算和实际等量关系列二元一次方程组，首先要明确单位换算：1斤=16两，这是列第一个方程的基础；其次要准确理解“互换其中一只，恰好一样重”的含义.
9．长方形按如图所示折叠，，若的度数增大，则的度数变化情况为（　　）
A．增大 B．减小 C．增大 D．减小
【答案】D
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：设，
∵，根据两直线平行，同位角相等，
∴，
由折叠的性质可得，
又∵四边形是长方形，
∴，根据两直线平行，内错角相等，
∴，
若的度数增大，则，
∴若的度数增大，则减小．
故选：D．
【分析】这道题综合考查了折叠的性质和平行线的性质，解题的关键是用字母表示角度，再通过角度关系推导变化规律，整个过程的核心是用代数表示角度，通过几何性质建立关系，再分析变化，这样能清晰地看出角度的增减规律.
10．将长方形和长方形按如图所示摆放，由图中信息可知，“？”的值为（　　）
A．6.75 B．6.5 C．6.25 D．6
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长方形A的长为x，宽为y，则长方形B的长为x，宽为，
根据题意得，第一种摆放方式的总高度为5，可列方程：x+y=5
第二种摆放方式的总高度为5.5，可列方程x+(3-y)=5.5
联立得到方程组，，
解得：，
则．
故选：A．
【分析】这道题是二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据两种摆放方式的高度条件，找到等量关系并列方程组.
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式= .
故答案为：a ( a 2 )
【分析】观察此多项式有公因式a，因此提取公因式，即可解答。
12．若关于的方程有一组解是，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：已知关于的方程有一组解是，
把x=-1，y=2代入方程，
解：，
故填： ．
【分析】这道题考查的是二元一次方程的解的概念，方程的解一定满足方程，因此只需要把给定的x、y的值代入原方程，就可以得到关于a的一元一次方程，进而求出a的值.
13． 某班对50名同学的“上学方式”进行了调查，绘制了扇形统计图.调查发现，步行上学的共有10人，则步行上学的学生人数所对应的扇形的圆心角的度数为　 　.
【答案】72°
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：根据已知条件可知，
步行上学的学生人数所对应的扇形的圆心角 =10÷50×360°=72°
故答案为：72° .
【分析】根据步行上学的人数与总人数的比值，根据扇形统计图，确定出扇形的圆心角的度数.
14． 若，则分式的值为　 　.
【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵x-2y=0，
∴x=2y，
将x=2y代入 得，
∴
故答案为： .
【分析】根据已知条件，可以推断出x与2y之间的关系，在分式中，用2y代替x，这样可以计算出分式的值.
15．如图，某民航飞机在起飞阶段，先从跑道水平加速滑行（段），后抬头拉升飞行至，因仰角过大，系统软件自动启动“机动特性增强系统”压低机头，减少仰角到安全角度，然后攀升至后，开始水平巡航（EF段），已知，则减少的仰角的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点作，
由题意可知，，根据平行公理的推论，可得：，
∴，，
∴，
由CG∥EF，根据两直线平行，同旁内角互补，得：∠ECG+∠CEF=180°
已知∠CEF=165°，代入得：，
故填：．
【分析】这道题的核心考点是平行线的判定与性质，解题的关键在于通过添加辅助线，构造出平行线的“三线八角”模型，从而利用平行线的性质进行角度转换，这类“折线+平行线”的题目，通用的解题思路就是通过作辅助线，将复杂的折线问题，转化为基础的平行线性质问题来解决.
16．图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁前掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形ABCD和OPDQ分别是边长为和的正方形，中间处是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3两块阴影部分的面积都是60，则未裁剪前大正方形红布的面积为　 　．
【答案】100
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【解答】根据图2所示的阴影部分面积为60可得：
，
展开化简：，
，
，则．
根据图3所示的阴影部分面积为60可得：．
∴大正方形面积：．
故填：100．
【分析】这道题的核心是利用图形面积关系列代数式，再通过代数化简求值解决问题，首先需要准确识别图2中阴影部分的构成：用大正方形面积减去空白长方形面积，加上4个小正方形面积，再减去右下角空白小正方形面积，从而列出关于a，b的等式，化简后得到ab=10；接着从图3的阴影部分直接得到，最后利用完全平方公式，将前面得到的两个结果整体代入，就能算出大正方形的面积.
三、解答题（本题有8小题，第 17~21题每小题8分，第 22~23题每小题10分，第24题12分，共72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【分析】本题的核心考点是零指数幂、乘方运算以及整式的混合运算，想要正确解答，熟练掌握对应的运算法则是核心前提.
（1）对于这类包含零次幂、乘方的计算，需要遵循“先乘方、后加减”的运算顺序，先分别算出零次幂与乘方的结果，再进行加减运算.
（2）涉及完全平方公式公式、多项式除以单项式的运算，要先利用完全平方公式展开、通过整式除法去括号，再将同类项进行合并，完成化简.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．化简代数式：，判断它的值能否等于0，并说明理由．
【答案】解：原式
．
判断代数式的值能否为0：
若化简结果 x+1=0，解得 x=-1
但当 x=-1 时，原式中分母 为0，分式无意义
同时，原分式的分母还需满足 x-1≠ 0、x ≠ 0，即 x≠1 且 x≠ 0
因此，不存在使原代数式值为0的 x，该代数式的值不能为0.
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】这道题考查分式的混合运算与分式有意义的条件，核心考点包括分式的四则运算法则、因式分解和约分，这类题目容易忽略“分母不为0”的隐含条件，直接用化简结果判断值能否为0，解题时必须先明确原分式的定义域，再结合化简结果分析.
19．解方程或方程组：
(1)
(2)．
【答案】（1）解：，
由方程②变形得：x=-5y+3③，
把③代入①得：-10y+6-3y=-7，
解得：y=1，
把y=1代入③得：x=-2，
则方程组的解为；
（2）解：去分母得：3-x=4x-8，
合并同类项：5x=11
解得：，
经检验是分式方程的解．
【知识点】解分式方程；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）本题核心解法为代入消元法，优先选择系数简单的方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，将变形后的表达式代入另一方程，实现“消元”，把二元问题转化为一元一次方程求解；求出一个未知数的值后，回代求另一个未知数，最终得到方程组的解.
（2）分式方程的核心解题思路是转化为整式方程求解，先去分母，后按整式方程的解法求出未知数的值，最后检验解是否会使原分式方程的分母为0，若分母不为0，则为原方程的解；若分母为0，则该解为增根，原方程无解.
20．如图，，求的度数．
解：因为（已知），
所以（_________）；
因为（已知），
所以_________（等量代换），
所以_________（_________），
所以_________；
因为（已知），
所以_________．
【答案】两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；；.
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：因为（已知），
所以（两直线平行，同位角相等）；
因为（已知），
所以（等量代换），
所以（内错角相等，两直线平行），
所以，
因为（已知），
所以．
故填：两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；；
【分析】本题以平行线为核心载体，综合考查了平行线的判定定理与性质定理的灵活运用，由平行推角等，由角等推平行，再由平行求角度，这类题目体现了“性质”与“判定”的双向转化，解题关键是理清“平行关系”和“角的等量或互补关系”之间的逻辑链条，避免混淆判定与性质的使用条件.
21．为进一步加强国防教育，激发学生的爱国情怀，某学校组织了全校学生参加“国防达人知识竞赛”，并从中抽取了部分学生成绩（成绩取正整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频数表和频数直方图，解答下列问题：
某校部分学生成绩频数表
组别/分 组中值/分 频数 频率
16
40
50
m
24 n
（1）学校共抽取了______名学生的竞赛成绩进行统计，其中：______，______；
（2）补全频数直方图；
（3）若该校共有2000名学生参与此次竞赛，且成绩在90分以上的学生被评为“国防达人”，则该校获得“国防达人”称号的学生约有多少人？
【答案】（1）200，70，；
（2）解：根据（1）的频数分布表补图如下：
（3）解：由样本估计总体得：（人）
答：该校荣获“国防达人”称号的学生约有240人．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：学校共抽取的学生数为（名），
（名），．
故填：200，70，．
【分析】这道题是典型的统计应用问题，核心考点围绕频数、频率、总数三者的关系展开，解题的关键是理清三者的数量关系，避免混淆“频数”和“频率”的概念，同时注意统计计算中结果的规范表达.
（1） 求样本总数，可利用已知的一组“频数+频率”数据，先算出抽取的总人数，这是后续计算的基础.
（2）双向计算频数与频率，在总数确定后，既可以通过“总数×频率”反推频数，也可以通过“频数÷总数”反推频率.
（3）利用样本数据补全频数分布直方图，或用样本中90分以上的频率，估计全校该分数段的人数，体现了“用样本估计总体”的统计思想.
（1）解：根据题意得：学校共抽取的学生数为（名），
（名），．
故答案为：200，70，．
（2）解：根据（1）的频数分布表补图如下：
（3）解：由样本估计总体得：（人）．
答：该校荣获“国防达人”称号的学生约有240人．
22．如图，，点E，F分别在上，且和互余．
（1）比较和的大小关系，并说明理由；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：．
理由：∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∵（已知），
∴（垂直的定义）．
∵（角的和的定义），
∴，
∴．
又∵（已知），
∴（同角的余角相等）．
（2）解：∵，，
∴．
由（1）得，
∵（平角的定义），
∴．
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】本题是平行线与垂直、余角的综合应用题，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、垂直的定义、余角的性质，理清角与角之间的和差、互余、互补关系，避免混淆不同角的位置与数量关系．
（1）先利用平行线的同旁内角互补，得到∠AEF与∠CFE的和为180°，再结合垂直的定义得到∠GFE=90°，推导出∠1与∠AEF互余；最后结合已知∠1与∠2互余，通过同角的余角相等，证明∠AEF=∠2.
（2）先利用余角的定义，由∠1的度数求出∠2的度数；再结合(1)的结论得到∠AEF的度数；最后根据平角为180°，计算出∠BEP的度数．
（1）解：．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
（2）解：∵，，
∴．
由（1）得，
∵，
∴．
23．小聪观察等式（按降幂排序），发现如下规律：
①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和：
左边，右边，左边=右边；
②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数：
左边，右边为3，左边=右边：
左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数：
左边，右边为2，左边=右边．
（1）类比探究：
请通过展开计算，判断规律（1）和规律（2）是否成立；（类比小聪的表述写出必要的过程）
（2）基础应用：
请根据上述规律填空：
①若m，n为常数，则的展开式中各项系数之和为__________；
②若t，r为常数，满足，则__________；
（3）拓展应用：
若p，q为常数，且，请用上述发现规律列方程（组）求p，q的值．
【答案】（1）成立；
解：多项式展开计算：
．
验证规律：
规律一（系数和验证）：
左侧两个多项式的系数和分别为 2 + (-1) = 1 与 -1 + 2 = 1，其乘积为 1 × 1 = 1；
右侧多项式的系数和为 -2 + 5 + (-2) = 1，二者相等，规律成立.
规律二（首末项系数验证）：
首项系数：左侧两个多项式首项系数的乘积为 2× (-1) = -2，与右侧多项式的首项系数 -2 相等
末项系数：左侧两个多项式末项系数的乘积为 (-1) × 2 = -2，与右侧多项式的末项系数 -2 相等，规律成立.
（2）①0；②；
（3）解：依据“左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和”、“左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数”这两条规律列方程组：整理得：
解得．
答：p的值为-2；q的值为3.
【知识点】多项式乘多项式；代入消元法解二元一次方程组；探索规律-系数规律
【解析】【解答】（2）①设左侧两个多项式分别为 A(x) 和 B(x)，
它们的各项系数和分别为 1-1=0 与 m+n+1，
根据多项式乘法中“系数和的乘积等于积的系数和”这一规律，可得：0×（m+n+1)=0
因此展开式各项系数之和为0；
故填：0．
②由首项系数乘积：，得；
由末项系数乘积：，得；
验证中间项：（与右边中间项系数一致），
因此，
故填：．
【分析】本题考查了多项式乘法的系数规律探究及应用，解题的关键是理解并运用“系数之和的乘积相等”“首末项系数乘积对应相等”的规律，简化计算过程．
（1）这类题目不仅考查了多项式乘法的计算能力，更引导我们通过具体运算，发现和总结系数层面的通用规律，为后续快速检验计算结果提供了实用方法.
（2）是多项式乘法系数规律的综合应用，解题核心在于理解并灵活运用多项式乘法的三个关键性质，通过规律简化计算过程，提升解题效率与准确性.
（3）拓展应用：根据首末项系数列方程求p，再代入中间项系数关系求q．
（1）展开计算：
．
验证规律：
左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和：
左边，右边，左边右边；．
左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数：
左边，右边为，左边=右边：
左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数：
左边，右边为，左边右边．
（2）①∵左边两个多项式各项系数之和的乘积为，
∴故展开式各项系数之和为0；
故答案为：0．
②由首项系数乘积：，得；
由末项系数乘积：，得；
验证中间项：（与右边中间项系数一致），
∴，
故答案为：．
（3）依据“左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和”、“左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数”这两条规律列方程组：整理得：
解得．
24．近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实.一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况.
大无人机运输次数(单) 小无人机运输次数(单) 营收(元)
第一天 4 20 3600
第二天 8 28 5760
（1）求大小两款无人机的单次运输价格；
（2）正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣；
（3）在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营a单，小无人机共运营b单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元.
①求a和b的数量关系；
②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？
【答案】（1）解：设大无人机单次运输价格为x元，小无人机单次运输价格为y元.
根据题意，得
①×2，得③
③-②，得，解得.
把代入①，得，解得.
所以原方程组的解是
答：大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元
（2）解：设小无人机实行折优惠.
由题意，得.
解这个方程，得.
经检验，是所列方程的根，且符合题意.
答：小无人机实行九折优惠
（3）解：①.
得.
②.
因为471是3的倍数，471a是120的倍数.
所以a最小为40，
所以471a最小为18840，
即这两天总营收的最小值为18840元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）根据已知条件，按照等量关系，根据表格，列二元一次方程组，计算出方程组的解；
（2）根据已知条件，按照 小无人机运输次数是大无人机的两倍等量关系，列分式方程，计算出 小无人机的优惠折扣 ；
（3）根据（1）①可知大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元，根据已知条件， 这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元. 这个等量关系列方程，计算出a与b之间的关系；
②根据①b=2a，代入到代数式得到a的最小值，这样可以计算出这两天总营收的最小值.
1 / 1浙江省台州市椒江区2024-2025学年七年级下学期6月期末考试数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．在图示的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（　　）
A． B．
C． D．
2．某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算中，正确的为（　　）
A． B．
C． D．
4． 下列采用的调查方式中，合适的为（　　）
A．了解全市学生观看“开学第一课”的情况，采用抽样调查
B．高铁站对乘坐高铁的旅客进行安检，采用抽样调查
C．出版社审核书稿中的错别字，采用抽样调查
D．调查某池塘中现有鱼的数量，采用全面调查
5．下列各式变形中，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
6． 将分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，则分式的值（　　）
A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的2倍
C．扩大为原来的3倍 D．缩小为原来的3倍
7． 若多项式 是完全平方式，则 k 的值为（　　）
A．5或1 B． C．5 D．2
8．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：“五只雀、六只燕，共重斤（等于两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，则列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．长方形按如图所示折叠，，若的度数增大，则的度数变化情况为（　　）
A．增大 B．减小 C．增大 D．减小
10．将长方形和长方形按如图所示摆放，由图中信息可知，“？”的值为（　　）
A．6.75 B．6.5 C．6.25 D．6
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解： 　 　.
12．若关于的方程有一组解是，则的值为　 　．
13． 某班对50名同学的“上学方式”进行了调查，绘制了扇形统计图.调查发现，步行上学的共有10人，则步行上学的学生人数所对应的扇形的圆心角的度数为　 　.
14． 若，则分式的值为　 　.
15．如图，某民航飞机在起飞阶段，先从跑道水平加速滑行（段），后抬头拉升飞行至，因仰角过大，系统软件自动启动“机动特性增强系统”压低机头，减少仰角到安全角度，然后攀升至后，开始水平巡航（EF段），已知，则减少的仰角的度数为　 　．
16．图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁前掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形ABCD和OPDQ分别是边长为和的正方形，中间处是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3两块阴影部分的面积都是60，则未裁剪前大正方形红布的面积为　 　．
三、解答题（本题有8小题，第 17~21题每小题8分，第 22~23题每小题10分，第24题12分，共72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．化简代数式：，判断它的值能否等于0，并说明理由．
19．解方程或方程组：
(1)
(2)．
20．如图，，求的度数．
解：因为（已知），
所以（_________）；
因为（已知），
所以_________（等量代换），
所以_________（_________），
所以_________；
因为（已知），
所以_________．
21．为进一步加强国防教育，激发学生的爱国情怀，某学校组织了全校学生参加“国防达人知识竞赛”，并从中抽取了部分学生成绩（成绩取正整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频数表和频数直方图，解答下列问题：
某校部分学生成绩频数表
组别/分 组中值/分 频数 频率
16
40
50
m
24 n
（1）学校共抽取了______名学生的竞赛成绩进行统计，其中：______，______；
（2）补全频数直方图；
（3）若该校共有2000名学生参与此次竞赛，且成绩在90分以上的学生被评为“国防达人”，则该校获得“国防达人”称号的学生约有多少人？
22．如图，，点E，F分别在上，且和互余．
（1）比较和的大小关系，并说明理由；
（2）若，求的度数．
23．小聪观察等式（按降幂排序），发现如下规律：
①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和：
左边，右边，左边=右边；
②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数：
左边，右边为3，左边=右边：
左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数：
左边，右边为2，左边=右边．
（1）类比探究：
请通过展开计算，判断规律（1）和规律（2）是否成立；（类比小聪的表述写出必要的过程）
（2）基础应用：
请根据上述规律填空：
①若m，n为常数，则的展开式中各项系数之和为__________；
②若t，r为常数，满足，则__________；
（3）拓展应用：
若p，q为常数，且，请用上述发现规律列方程（组）求p，q的值．
24．近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实.一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况.
大无人机运输次数(单) 小无人机运输次数(单) 营收(元)
第一天 4 20 3600
第二天 8 28 5760
（1）求大小两款无人机的单次运输价格；
（2）正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣；
（3）在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营a单，小无人机共运营b单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元.
①求a和b的数量关系；
②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：观察图形可知图案D通过平移后可以得到．
故选：D．
【分析】根据平移的定义“一个图形沿着某一方向移动一定距离，这种变换叫做平移”逐项判断解答即可．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】根据科学记数法，把改写成的形式 ，确定指数n的方法是：观察原数的小数点移动位数。当原数的绝对值大于1时，n为正数；当原数的绝对值小于1时，n为负数。具体步骤为：1. 将原数转化为符合1≤|a|<10的a值；2. 记录小数点移动的位数，其绝对值即为n的数值；3. 根据原数大小确定n的正负符号。通过这种方法即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】 选项A：根据幂的乘方法则，，故，选项A错误．
选项B：根据同底数幂相乘法则，，故，选项B正确．
选项C：根据积的乘方法则，，且负号的平方为正，故，选项C错误．
选项D：根据同底数幂相除法则，，故，选项D错误．
故选B．
【分析】根据根据幂的乘方运算规则，底数不变，指数相判断A；根据同底数幂的乘法规则，底数不变，指数相加判断B；根据积的乘方运算规则，积中各因式分别乘方判断C；根据同底数幂的除法规则，底数不变，指数相减判断D.．解题的关键在于准确区分并应用不同的幂运算法则，避免混淆指数的运算方式（如乘方、相加、相减）．
4．【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、此种调查为抽样调查，A选项符合；
B、此种调查为全面调查，B选项不符合；
C、此种调查为全面调查，C选项不符合；
D、此种调查为抽样调查，D选项不符合；
故答案为：A .
【分析】根据调查方式去判断，调查方式分为抽样调查和全面调查，对A、B、C、D选项进行判断.
5．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、，等式右边是整式与整式的差，并非几个整式相乘的形式，不满足因式分解的要求，故不合题意；
B、，等式右边的是分式，不是整式，不符合因式分解中“几个整式的积”的要求，故不合题意；
C、，这是整式的乘法运算，是把几个整式的积转化为多项式，和因式分解的变形方向完全相反，故不合题意；
D、，把多项式转化成了两个整式(x+1)与(x-1)的乘积形式，符合因式分解的定义，故符合题意；
故选：D．
【分析】要解决这道题，核心是掌握因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形才叫做因式分解.
6．【答案】C
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：∵ 将分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，
∴，
∵
故答案为：C .
【分析】根据已知条件，对原式的未知数x，y扩大到原来的3倍，得到的代数式再与原来的代数式相比，比值就是扩大原来的数.
7．【答案】A
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵ 多项式 是完全平方式，
∴k-3=±2，
∴k=5或k=1
故答案为：A .
【分析】根据完全平方式，，确定k-3的值，计算出k的值.
8．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，
根据题意得：，
又因为互换其中一只，恰好一样重，
则，即，
联立方程组得，，
故选：．
【分析】这道题的核心是根据古代重量单位换算和实际等量关系列二元一次方程组，首先要明确单位换算：1斤=16两，这是列第一个方程的基础；其次要准确理解“互换其中一只，恰好一样重”的含义.
9．【答案】D
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：设，
∵，根据两直线平行，同位角相等，
∴，
由折叠的性质可得，
又∵四边形是长方形，
∴，根据两直线平行，内错角相等，
∴，
若的度数增大，则，
∴若的度数增大，则减小．
故选：D．
【分析】这道题综合考查了折叠的性质和平行线的性质，解题的关键是用字母表示角度，再通过角度关系推导变化规律，整个过程的核心是用代数表示角度，通过几何性质建立关系，再分析变化，这样能清晰地看出角度的增减规律.
10．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长方形A的长为x，宽为y，则长方形B的长为x，宽为，
根据题意得，第一种摆放方式的总高度为5，可列方程：x+y=5
第二种摆放方式的总高度为5.5，可列方程x+(3-y)=5.5
联立得到方程组，，
解得：，
则．
故选：A．
【分析】这道题是二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据两种摆放方式的高度条件，找到等量关系并列方程组.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式= .
故答案为：a ( a 2 )
【分析】观察此多项式有公因式a，因此提取公因式，即可解答。
12．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：已知关于的方程有一组解是，
把x=-1，y=2代入方程，
解：，
故填： ．
【分析】这道题考查的是二元一次方程的解的概念，方程的解一定满足方程，因此只需要把给定的x、y的值代入原方程，就可以得到关于a的一元一次方程，进而求出a的值.
13．【答案】72°
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：根据已知条件可知，
步行上学的学生人数所对应的扇形的圆心角 =10÷50×360°=72°
故答案为：72° .
【分析】根据步行上学的人数与总人数的比值，根据扇形统计图，确定出扇形的圆心角的度数.
14．【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵x-2y=0，
∴x=2y，
将x=2y代入 得，
∴
故答案为： .
【分析】根据已知条件，可以推断出x与2y之间的关系，在分式中，用2y代替x，这样可以计算出分式的值.
15．【答案】
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点作，
由题意可知，，根据平行公理的推论，可得：，
∴，，
∴，
由CG∥EF，根据两直线平行，同旁内角互补，得：∠ECG+∠CEF=180°
已知∠CEF=165°，代入得：，
故填：．
【分析】这道题的核心考点是平行线的判定与性质，解题的关键在于通过添加辅助线，构造出平行线的“三线八角”模型，从而利用平行线的性质进行角度转换，这类“折线+平行线”的题目，通用的解题思路就是通过作辅助线，将复杂的折线问题，转化为基础的平行线性质问题来解决.
16．【答案】100
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【解答】根据图2所示的阴影部分面积为60可得：
，
展开化简：，
，
，则．
根据图3所示的阴影部分面积为60可得：．
∴大正方形面积：．
故填：100．
【分析】这道题的核心是利用图形面积关系列代数式，再通过代数化简求值解决问题，首先需要准确识别图2中阴影部分的构成：用大正方形面积减去空白长方形面积，加上4个小正方形面积，再减去右下角空白小正方形面积，从而列出关于a，b的等式，化简后得到ab=10；接着从图3的阴影部分直接得到，最后利用完全平方公式，将前面得到的两个结果整体代入，就能算出大正方形的面积.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【分析】本题的核心考点是零指数幂、乘方运算以及整式的混合运算，想要正确解答，熟练掌握对应的运算法则是核心前提.
（1）对于这类包含零次幂、乘方的计算，需要遵循“先乘方、后加减”的运算顺序，先分别算出零次幂与乘方的结果，再进行加减运算.
（2）涉及完全平方公式公式、多项式除以单项式的运算，要先利用完全平方公式展开、通过整式除法去括号，再将同类项进行合并，完成化简.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】解：原式
．
判断代数式的值能否为0：
若化简结果 x+1=0，解得 x=-1
但当 x=-1 时，原式中分母 为0，分式无意义
同时，原分式的分母还需满足 x-1≠ 0、x ≠ 0，即 x≠1 且 x≠ 0
因此，不存在使原代数式值为0的 x，该代数式的值不能为0.
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】这道题考查分式的混合运算与分式有意义的条件，核心考点包括分式的四则运算法则、因式分解和约分，这类题目容易忽略“分母不为0”的隐含条件，直接用化简结果判断值能否为0，解题时必须先明确原分式的定义域，再结合化简结果分析.
19．【答案】（1）解：，
由方程②变形得：x=-5y+3③，
把③代入①得：-10y+6-3y=-7，
解得：y=1，
把y=1代入③得：x=-2，
则方程组的解为；
（2）解：去分母得：3-x=4x-8，
合并同类项：5x=11
解得：，
经检验是分式方程的解．
【知识点】解分式方程；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）本题核心解法为代入消元法，优先选择系数简单的方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，将变形后的表达式代入另一方程，实现“消元”，把二元问题转化为一元一次方程求解；求出一个未知数的值后，回代求另一个未知数，最终得到方程组的解.
（2）分式方程的核心解题思路是转化为整式方程求解，先去分母，后按整式方程的解法求出未知数的值，最后检验解是否会使原分式方程的分母为0，若分母不为0，则为原方程的解；若分母为0，则该解为增根，原方程无解.
20．【答案】两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；；.
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：因为（已知），
所以（两直线平行，同位角相等）；
因为（已知），
所以（等量代换），
所以（内错角相等，两直线平行），
所以，
因为（已知），
所以．
故填：两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；；
【分析】本题以平行线为核心载体，综合考查了平行线的判定定理与性质定理的灵活运用，由平行推角等，由角等推平行，再由平行求角度，这类题目体现了“性质”与“判定”的双向转化，解题关键是理清“平行关系”和“角的等量或互补关系”之间的逻辑链条，避免混淆判定与性质的使用条件.
21．【答案】（1）200，70，；
（2）解：根据（1）的频数分布表补图如下：
（3）解：由样本估计总体得：（人）
答：该校荣获“国防达人”称号的学生约有240人．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：学校共抽取的学生数为（名），
（名），．
故填：200，70，．
【分析】这道题是典型的统计应用问题，核心考点围绕频数、频率、总数三者的关系展开，解题的关键是理清三者的数量关系，避免混淆“频数”和“频率”的概念，同时注意统计计算中结果的规范表达.
（1） 求样本总数，可利用已知的一组“频数+频率”数据，先算出抽取的总人数，这是后续计算的基础.
（2）双向计算频数与频率，在总数确定后，既可以通过“总数×频率”反推频数，也可以通过“频数÷总数”反推频率.
（3）利用样本数据补全频数分布直方图，或用样本中90分以上的频率，估计全校该分数段的人数，体现了“用样本估计总体”的统计思想.
（1）解：根据题意得：学校共抽取的学生数为（名），
（名），．
故答案为：200，70，．
（2）解：根据（1）的频数分布表补图如下：
（3）解：由样本估计总体得：（人）．
答：该校荣获“国防达人”称号的学生约有240人．
22．【答案】（1）解：．
理由：∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∵（已知），
∴（垂直的定义）．
∵（角的和的定义），
∴，
∴．
又∵（已知），
∴（同角的余角相等）．
（2）解：∵，，
∴．
由（1）得，
∵（平角的定义），
∴．
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】本题是平行线与垂直、余角的综合应用题，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、垂直的定义、余角的性质，理清角与角之间的和差、互余、互补关系，避免混淆不同角的位置与数量关系．
（1）先利用平行线的同旁内角互补，得到∠AEF与∠CFE的和为180°，再结合垂直的定义得到∠GFE=90°，推导出∠1与∠AEF互余；最后结合已知∠1与∠2互余，通过同角的余角相等，证明∠AEF=∠2.
（2）先利用余角的定义，由∠1的度数求出∠2的度数；再结合(1)的结论得到∠AEF的度数；最后根据平角为180°，计算出∠BEP的度数．
（1）解：．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
（2）解：∵，，
∴．
由（1）得，
∵，
∴．
23．【答案】（1）成立；
解：多项式展开计算：
．
验证规律：
规律一（系数和验证）：
左侧两个多项式的系数和分别为 2 + (-1) = 1 与 -1 + 2 = 1，其乘积为 1 × 1 = 1；
右侧多项式的系数和为 -2 + 5 + (-2) = 1，二者相等，规律成立.
规律二（首末项系数验证）：
首项系数：左侧两个多项式首项系数的乘积为 2× (-1) = -2，与右侧多项式的首项系数 -2 相等
末项系数：左侧两个多项式末项系数的乘积为 (-1) × 2 = -2，与右侧多项式的末项系数 -2 相等，规律成立.
（2）①0；②；
（3）解：依据“左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和”、“左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数”这两条规律列方程组：整理得：
解得．
答：p的值为-2；q的值为3.
【知识点】多项式乘多项式；代入消元法解二元一次方程组；探索规律-系数规律
【解析】【解答】（2）①设左侧两个多项式分别为 A(x) 和 B(x)，
它们的各项系数和分别为 1-1=0 与 m+n+1，
根据多项式乘法中“系数和的乘积等于积的系数和”这一规律，可得：0×（m+n+1)=0
因此展开式各项系数之和为0；
故填：0．
②由首项系数乘积：，得；
由末项系数乘积：，得；
验证中间项：（与右边中间项系数一致），
因此，
故填：．
【分析】本题考查了多项式乘法的系数规律探究及应用，解题的关键是理解并运用“系数之和的乘积相等”“首末项系数乘积对应相等”的规律，简化计算过程．
（1）这类题目不仅考查了多项式乘法的计算能力，更引导我们通过具体运算，发现和总结系数层面的通用规律，为后续快速检验计算结果提供了实用方法.
（2）是多项式乘法系数规律的综合应用，解题核心在于理解并灵活运用多项式乘法的三个关键性质，通过规律简化计算过程，提升解题效率与准确性.
（3）拓展应用：根据首末项系数列方程求p，再代入中间项系数关系求q．
（1）展开计算：
．
验证规律：
左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和：
左边，右边，左边右边；．
左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数：
左边，右边为，左边=右边：
左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数：
左边，右边为，左边右边．
（2）①∵左边两个多项式各项系数之和的乘积为，
∴故展开式各项系数之和为0；
故答案为：0．
②由首项系数乘积：，得；
由末项系数乘积：，得；
验证中间项：（与右边中间项系数一致），
∴，
故答案为：．
（3）依据“左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和”、“左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数”这两条规律列方程组：整理得：
解得．
24．【答案】（1）解：设大无人机单次运输价格为x元，小无人机单次运输价格为y元.
根据题意，得
①×2，得③
③-②，得，解得.
把代入①，得，解得.
所以原方程组的解是
答：大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元
（2）解：设小无人机实行折优惠.
由题意，得.
解这个方程，得.
经检验，是所列方程的根，且符合题意.
答：小无人机实行九折优惠
（3）解：①.
得.
②.
因为471是3的倍数，471a是120的倍数.
所以a最小为40，
所以471a最小为18840，
即这两天总营收的最小值为18840元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）根据已知条件，按照等量关系，根据表格，列二元一次方程组，计算出方程组的解；
（2）根据已知条件，按照 小无人机运输次数是大无人机的两倍等量关系，列分式方程，计算出 小无人机的优惠折扣 ；
（3）根据（1）①可知大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元，根据已知条件， 这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元. 这个等量关系列方程，计算出a与b之间的关系；
②根据①b=2a，代入到代数式得到a的最小值，这样可以计算出这两天总营收的最小值.
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