资源简介

浙江省绍兴市新昌县2025-2026学年九年级下学期数学素养测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．2026的相反数是（　　）
A．2026 B． C． D．
2． 如图是生活中常用的“空心卷纸”，其俯视图是（　　）
A． B． C． D．
3．新昌县位于浙江省东部，是全国医药强县、中国轴承之乡，2025年新昌的GDP为711.66亿元.将数711.66亿用科学记数法（单位：元）表示为（　　）
A．711.66 B．
C． D．
4．对于反比例函数下列结论正确的是（　　）
A．点（2，1）在该函数的图象上
B．该函数的图象分别位于第二、第四象限
C．y随x的增大而增大
D．y随x的增大而减小
5．如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，AC与BD交于点M，则∠ABM的度数为（　　）
A．120° B．110° C．112.5° D．135°
6．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分别印有甲骨文“文”“明”“新”“昌”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“新”和“昌”两个字的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是以原点O为位似中心的位似图形，若点A（-3，1）的对应点A'（-6，2），则点B（-2，4）的对应点B'的坐标为（　　）
A．（-4，8） B．（8，-4） C．（-8，4） D．（4，-8）
8．在△ABC中，∠BAC=20°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，则∠B的度数不可能为（　　）
A．10° B．40° C．80° D．100°
9．某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯.阶梯电费计价方式如下：
阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度）
第一阶梯 2760度及以下部分 0.538
第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588
第三阶梯 4801度及以上部分 0.838
小聪家去年12月份用电量为500度，电费为274元，则小聪家去年全年用电量为（　　）
A．2810度 B．2860度 C．3060度 D．3210度
10．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E为BC上中点，连结AE.点F在以AE为直径的半圆上，且EF=EB.延长AF，EF分别交CD于点G，H，连结GE，则下列结论错误的是（　　）
A．EA平分∠BEF B．GE⊥AE C．AE=3GE D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．因式分解： 　 　．
12．如图，小明沿着一条东西朝向的河流散步，他在点A的时候，看到了河对面岸边M处有块巨石，在他北偏东45°方向，他沿着河岸继续走了60步，到达点B时，发现M在他北偏东30°方向，假设河的两岸互相平行，且小明的步距是0.6米，估计河流的宽度（即点M到AB所在直线距离）约为　 　米（精确到1米，参考数据
13．某科技公司研发了一批AI机器人，计划分配给甲、乙、丙、丁四家经销商点进行销售.当一家分配到n台机器人全部售出后，科技公司从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下：
　 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 …
甲 4 6 / / / / /
乙 3 5.5 7.5 9 10 10.5 /
丙 2 4 6 7 8 9 …
丁 1.4 3.8 6.2 8.6 11 13.4 …
如果科技公司将5台机器人分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么5台机器人都售出后，该科技公司可获得的总利润的最大值为　 　万元.
14．类比圆面积公式的推导，我们对扇形的面积公式进行如下探究：将扇形均匀分割成n个“小扇形”（如图1），扇形的面积就是这些“小扇形”的面积和，当n无限大时，这些“小扇形”可以近似地看成底边长分别为l1，l2，l3，…，ln，高为r的“小三角形”，它们的面积和为即扇形面积请根据这样的方法继续思考：如图2，扇形ODG与扇形OEF有共同的圆心角，且弧长分别为a和b，DE=h，用含a，b，h的代数式表示图中阴影部分面积　 　.
15．已知x轴的上方有一条直线平行于x轴，点A在这条直线上运动，其横坐标为a，另有一点B，坐标为（0，10.5），在x轴上取点P使得P到A，B两点的距离和最小，记若S的最小值为225，则当S不超过289时，AB的取值范围为　 　.
16．如图，在矩形ABCD中，AD=3，AB=4，对角线BD上有一点E，且BE=BC，在射线CE上有一点F，满足∠FBD=∠ECD，FB，FC分别交AD于点M，N，则MN的长为　 　.
三、解答题（第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分.解答应写出文字说明、计算过程或推演步骤。）
17．在解分式方程时，豆包的解法如下：
第一步：通分 第二步：去分母得2x（x+2）+3（x-2）=8， 第三步：化简得 第四步：因式分解得（（x-2）（2x+7）=0，所以 第五步：检验当x=2时，x-2=0. 第六步：所以原分式方程的解为
判断豆包的解答过程是否正确.若不正确，请指出哪一步开始出现错误，并写出你的解答过程.
18．春节期间，小摊在商场门口售卖糖葫芦，每串糖葫芦的成本为6元.经连续一周的统计，当每串糖葫芦的售价在8元到14元之间（含8元，14元）浮动时，每涨价1元，每天则少卖20串.若售价为每串10元时，每天可卖200串.设售价为每串x元，每天利润为y元.问：
（1）求y关于x的函数表达式.
（2）当售价定为多少元时，每天的利润最大 最大利润是多少元
19．我们在函数的学习过程中，都是通过列表描点的方法来研究函数图象，请用类似方法探究的图象：
（1）观察函数表达式，填写下表：
x … -4 -2 -1 1 2 4 …
y 　 -2 -3 　 　 1 0 …
在平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象：
（2）观察图象，回答下列问题：
①当x>-1时，求y的取值范围；
②函数的图象可由函数的图象如何平移得到
（3）类比探索函数的图象可由函数的图象经过怎样的平移得到
20．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC，点E是线段OB上一点，且OE=OD.
（1）若△ABC是等边三角形，求证：OE=EB.
（2）当∠ABC<∠ACB时，探究∠ABC，∠ACB，∠OED之间的关系.
21．小新和昌昌两个同学在学习了“直角三角形全等的判定”后，对数学中重要的学习方法“构造法”展开了探究。
【情境再现】
已知：如图1，在△ABC和△A'B'C'中，C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.
求证：△ABC≌△A'B'C'.
下面是用“构造法”证明两个三角形全等的部分过程.
证明：如图1，延长BC至点D，使CD=B'C'，连结AD.
因为AC=A'C'（已知），∠ACD=90°=∠C'，
所以△ADC≌△A'B'C'（SAS）.
所以AD=A'B'（全等三角形的对应边相等）.
……
所以△ABC≌△ADC（SSS）.
所以△ABC≌△A'B'C'.
（1）【实践解决】
请结合“情境再现”的证明过程，把“……”的部分补充完整.
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，点D是直角边AC上一动点（不与点C重合），连结BD，以BD为边向左侧作等边△BDE，连结EA，在点D运动的过程中，始终有EA=ED，试证之.
22．
（1）【探究发现】如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，求证：
（2）【拓展运用】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，AD平分∠CAB，E为斜边AB上的中点，连结CE交AD于点F.利用（1）的结论，求EF的值.
（3）【综合提升】如图3，四边形ABCD为圆内接四边形，其中AB=CB，AD=12，CD=8，AC=10，对角线AC，BD交于点E，求DE的长.
23．定义：在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.
请根据以上信息，解答以下问题：
（1）如图，矩形OABC是某一次函数的关联矩形，其中自变量x的取值范围为0≤x≤3，试求出该一次函数的表达式.
（2）若二次函数.的图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，求a与m的值.
24．如图，在菱形ABCD中，对角线BD=6，AC=8，以点A为旋转中心，逆时针旋转记点B，C旋转得到的对应点分别为点E，F.
（1）求菱形的边长.
（2）当EF∥AC时，求FC的长.
（3）若在EF第一次平行于AC时停止旋转，设旋转停止前，直线EF交射线AC于点P，连结BP，求BP-CP的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：2026是一个正数，根据相反数的定义，正数的相反数是在其前面添加负号的负数。因此，2026 的相反数就是 - 2026。
故答案为：B。
【分析】首先明确题目考查的是相反数的定义，即只有符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数。
对给定的正数 2026，只需改变其符号，即可得到它的相反数 - 2026。最后对照选项，选择正确答案。
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：∵俯视是从上往下看得到的正投影，从上往下看，两圆都能看到，
∴生活中常用的“空心卷纸”，其俯视图是大圆内套了一个实线小圆.
故答案为：A.
【分析】俯视是从上往下看得到的正投影，由俯视的特点去观察卷纸，能看到的用实线表示据此判断得出答案.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】结合题意可知将数711.66亿用科学记数法表示为的形式，
因为1亿=，
所以711.66亿元=元，
因为a的取值范围为：，
所以，
故答案为：D.
【分析】本题主要考查用科学记数法表示大于10的数，根据 中a和n的确定方法，即可得到正确的选项。
4．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】选项A：将x=2代入函数，计算对应的y值：，等式不成立，因此点(2，1)不在函数图象上，A错误；
选项B：因为，根据反比例函数性质，k<0时图象在第二、四象限，B正确；
选项C：因反比例函数的增减性必须限定在“每个象限内”，不能直接说”y随x的增大而增大”，因此C错误；
选项D：同理，反比例函数的增减性必须限定象限，且本函数k<0，在每个象限内是”y随x增大而增大”，不是减小，故D错误。
故答案为：B.
【分析】利用反比例函数的图象与性质，对每个选项进行逐一分析，即可确定正确答案.
5．【答案】C
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】根据多边形内角和公式 (n 2)×180°（n=8），计算得正八边形每个内角为 (8 2)×180°÷8 =135°，即∠ABC=∠BCD=135°，由正八边形边长相等，可知 AB=BC=CD，因此 △ABC、△BCD 均为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质，计算得 ∠CBD=(180° 135°)÷2 =22.5°，所以∠ABM=∠ABC ∠CBD=135° 22.5°=112.5°。
故答案为：C
【分析】 首先根据多边形的内角和公式求出正八边形每个内角的度数，然后根据题意可知 △ABC、△BCD 均为等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质求出底角的度数，最后利用角的和差即可求出∠ABM的度数。
6．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】我们把 4 张卡片分别记为：A（文）、B（明）、C（新）、D（昌）。
从 4 张中随机抽 2 张，所有等可能的组合为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6种等可能的结果。
其中恰好抽到“新”和“昌”两个字的结果只有(C，D)这1种，
根据概率公式，
故答案为：B。
【分析】这是一个不放回的古典概型问题，从 4 张不同的卡片中随机抽取 2 张，求抽到指定 2 张（“新” 和 “昌”）的概率。首先计算所有等可能的抽取结果总数（总基本事件数）；然后计算符合条件的结果数（抽到 “新” 和 “昌” 的情况数）；最后根据概率公式计算概率即可。
7．【答案】A
【知识点】位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】已知点A( 3，1)的对应点A'( 6，2)，
横坐标的倍数为2，
纵坐标的倍数为2，
因此位似比k=2，即位似图形与原图形在原点同侧，坐标放大为原来的2倍。
点B( 2，4)，根据位似坐标变换规则(kx，ky)，代入k=2：
横坐标： 2×2= 4，
纵坐标：4×2=8，
因此B'的坐标为( 4，8)。
故答案为：A.
【分析】本题主要考查了以原点为位似中心的位似图形，对应点的坐标满足位似比关系：若位似比为k，则原图形上点(x，y)的对应点坐标为(kx，ky)（位似图形与原图形在原点同侧时，k>0）。
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；分类讨论
【解析】【解答】选项 A：如图，∠B=10°，∠ACB=160° 10°=150°，当AC=CD时，则∠A=∠ADC=20°，则∠BCD=∠B=10°，满足△ACD和△BCD为等腰三角形，故 A 可能；
选项 B：如图，∠B=40°，当BC=CD时，∠B=∠BDC=40°，因为∠A=20°，所以∠ACD=∠A=20°，所以△BCD和△BCD为等腰三角形，故 B 可能；
选项 C：如图，∠B=80°，∠ACB=160° 80°=80°，分△ACD的 3 种等腰情况：AD=CD：∠ACD=20°，∠ADC=140°，∠BCD=80° 20°=60°，∠BDC=40°，△BCD内角为80°，40°，60°，无相等角，非等腰三角形；AC=AD：∠ACD=∠ADC=(180° 20°)÷2=80°，∠BCD=80° 80°=0°，D与C重合，不成立；AC=CD：∠ADC=∠A=20°，∠ACD=140°>80°，超出∠ACB，不可能；所有情况均无法使△BCD为等腰三角形，不存在分割线，故 C 不可能；
选项 D：如图，∠B=100°，∠ACB=160° 100°=60 ，当BC=BD时，△BCD为等腰三角形，∠BCD=∠BDC=40°，因为∠A=20°，则∠ACD=∠A，△ACD为等腰三角形，故 D 可能。
故答案为：C.
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角，对每个选项的∠B度数，先求出∠ACB，再分情况讨论△ACD和△BCD的等腰可能性，验证是否存在符合条件的分割线即可.
9．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】根据题意，首先计算各阶梯累计电费上限第一阶梯（2760 度及以下）：总电费 2760×0.538=1484.88 元第二阶梯（2761~4800 度，共 4800 2760=2040 度）：总电费 2040×0.588=1199.52 元第三阶梯（4801 度及以上）：电价 0.838 元 / 度
然后判断 12 月用电的计费档位
12 月用电 500 度，电费 274 元，平均电价 274÷500=0.548 元 / 度，介于第一阶梯 0.538 和第二阶梯 0.588 之间，说明：12 月用电时，全年累计电量跨越了第一阶梯和第二阶梯（即 1~11 月累计用电量在 2760 度以内，12 月用电后，全年累计进入第二阶梯）。
步骤 3：列方程求解全年总用电量
设全年总用电量为x度，则：1~11 月累计用电量为 x 500 度，且 x 500<2760（第一阶梯剩余电量为 2760 (x 500)=3260 x 度），12 月的 500 度电中，3260 x 度按第一阶梯 0.538 元计费，剩余 500 (3260 x)=x 2760 度按第二阶梯 0.588 元计费，
根据 12 月电费 274 元列方程：(3260 x)×0.538+(x 2760)×0.588=274
解得：x=2860
故答案为：B.
【分析】根据题意，先计算各阶梯的累计电费上限，判断 12 月 500 度电的计费档位；设全年总用电量为x度，根据 12 月电费列方程求解；验证结果是否符合档位假设，匹配选项得出答案。
10．【答案】D
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【解答】由矩形的性质可知在Rt△ABE中，由勾股定理得：，
∵ AE 是直径，∴ ∠AFE=90°。
在 Rt△AFE 中：，
∴ AF=AB=6，
在 △ABE 与 △AFE 中：
∴ △ABE≌△AFE（SSS），
∴AEB=∠AEF，即 EA 平分∠BEF，故A正确；
已知：矩形ABCD，AB‖CD，
∴∠BAG=∠AGD，
又由△ABE≌△AFE，
∴∠BAE=∠EAG，
∴∠AGE=∠EAG
∵ AE是直径，
∴∠AEG=∠AFE=90°
即GE⊥AE，故B正确；
在△ABE和△GEA中：∠B=∠AEG=90，∠BAE=∠EGA，
∴△ABE∽△GEA，
∴，
∴，
即AE=3GE，故C正确；
由前面我们可知△CEG∽△BAE，
可得，则，
又∵△FGH∽△DGA， △CEG≌△FEG，
∴，
∴，故D错误；
故答案为：D。
【分析】本题是矩形与圆的综合题，先在Rt△ABE中用勾股定理求出AE；然后由直径所对圆周角为直角，得∠AFE=90°，再用勾股定理求出AF=6=AB；接着用SSS证明△ABE≌△AFE，得出EA平分∠BEF(判断A)：然后利用相以三角形求出GE长度，并证明GE⊥AE(判断B、C)；最后利用平行线分线段成比例求出GH、GC的长度比，判断D是否正确。
11．【答案】a(a-1)(a+1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a（a2-1）=a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a+1）（a-1）
【分析】观察多项式的特点：含有公因式a，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式。
12．【答案】85
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】由题意可知，小明走了60步，步距0.6米，因此：AB=60×0.6=36 米，
如图，过M作MC⊥AB，交AB的延长线于C，设MC=x米（即河流宽度）。
在Rt△ACM中，∠MAC=45°，因此AC=MC=x米
在Rt△BCM中，∠MBC=90°-30°-60°，由，得：
，
由AC-BC=AB，代入得：
，
解得：，
所以河流的宽度约为85米。
故答案为：85
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，首先过点M向AB作垂线，垂足为C，然后分别在Rt△ACM与Rt△BCM中设未知数列方程即可求出。
13．【答案】13.5
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】首先整理各经销商的利润数据：
甲：最多分配2台，1台利润4万，2台利润6万：
乙：分配1~5台的利润依次为3、5.5、7.5、9、10万；
丙：分配1~5台的利润依次为2、4、6、7、8万；
丁：分配台的利润为1.4+2.4(m-1)=2.4n-1万，即1台1.4万，2台3.8万，3台6.2万，4台8.6万，5台11万。
枚举所有合法分配方案，计算总利润：
1.全部分配给一家：乙5台10万，丁5台11万，均小于13.5万：
2.分配给两家：甲2台(6万)+乙3台(7.5万)：总利润6+7.5=13.5万；
甲2台(6万)+丁3台(6.2万)：总利润6+6.2=12.2万：
甲1台(4万)+丁4台(8.6万)：总利润4+8.6=12.6万：
乙4台(9万)+甲1台(4万)：总利润9十4=13万：
3.分配给三家及以上：
甲2台(6万)+乙2台(5.5万)+丙1台(2万)：总利润6+5.5+2=13.5万；
甲1台+乙1台+丁3台：总利润4+3十6.2=13.2万，均不超过13.5万。
对北比所有方案，总利润的最大值为13.5万元。
故答案为：13.5
【分析】 要使总利润最大，需先明确各经销商的利润上限与分配限制，枚举 5 台机器人的所有合法分配方案，计算总利润后取最大值，同时注意甲最多分配 2 台的限制。
14．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】由题中扇形面积公式，设小扇形ODG的半径为r，则大扇形OEF的半径为r+h。
阴影部分面积等于大扇形面积减法小扇形面积，即。
因为两个扇形圆心角相同，设圆心角为，弧长，故，
即，代入得，
将代入面积公式：
，
也可直接类比梯形面积公式，将扇环看作”上底为α、下底为b、高为h”的梯形，直接得到阴影部分面积为。
故答案为：.
【分析】 类比题目中扇形面积公式的推导方法，将阴影部分（扇环）分割成无数个近似小三角形，利用小三角形面积和推导阴影部分面积，也可直接用大扇形面积减小扇形面积，结合弧长公式得到结果。
15．【答案】6≤AB≤10
【知识点】坐标系中的两点距离公式；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】设平行于x轴的直线为y=h(h>0)，则点A的坐标为(a，h)。
作点B(0，10.5)关于x轴的对称点B'(0，-10.5)，
由轴对称性质可知PB=PB'，因此PA+PB=PA+PB，当A、P、B三点共线时，PA+PB取得最小值，即，
因此。
已知S的最小值为225，因为，当a=0时S取得最小值，即，
又h>0，故h+10.5=15，解得h=4.5，因此。
当S≤289时，有，即，解得-8≤a≤8。
由A(a，4.5)、B(0，10.5)，根据两点间距离公式，。
当a=0时，AB取得最小值6；当时，AB取得最大值10，
因此AB的取值范围是6≤AB≤10。
故答案为：6≤AB≤10.
【分析】先利用轴对称求最短路径，得到S=(PA+PB)的表达式，再根据S的最小值求出平行于x轴的直线的纵坐标，最后结合S≤289的条件，求出a的范围，进而得到AB的取值范围。
16．【答案】
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，∠C=90°，由勾股定理得对角线BD=5。
因为BE=BC=3，所以DE=BD-BE=2。
由∠FBD=∠ECD，∠BEF=∠DEC，可得△FBE∽△CDE，
因此，
因为AD‖BC，
所以△FAM∽△FBC，△FAN∽△FBC，
根据平行线分线段成比例，分别得到，，
由相似比计算得，
因此，
所以MN的长度为.
故答案为：.
【分析】先在矩形中利用已知条件得出线段长度与角相等关系，证明两组三角形相似，再根据相似得到对应线段成比例，分别求出直线 FB、FC 截 AD 所得线段 AM、AN 的长度，最后作差得到 MN。
17．【答案】解：不正确，第四步错误
正确解答过程如下：
原方程可化为
解得：
经检验原分式方程的解为
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】首先根据解分式方程的步骤对豆包的解答过程进行检查，重点关注最简公分母是否正确，是否漏乘，然后正确解答即可。
18．【答案】（1）解：由题意可列：y=(x-6)[200-20(x-10)]
=-20x2+520x-2400.
（2）解：由（1）配方得：，
因为-20<0，，
所以当x=13时，y有最大值980，
答：当售价定为13元时，每天的利润最大，最大利润是980元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先根据"每张价1元少卖20串”和售价10元时卖200串，求出销量关于售价x的表达式，再用“总利润=每串利润×销量”得到y关于x的函数；
（2）将二次函数配方成顶点式，结合x的取值范围819．【答案】（1）解：当x=-1时，y=-5，当x=1时，y=3；
用依次连接各点，用平滑曲线连接，图象如图：
（2）解：观察图象可知：
①y<-5或y>-1；
②向下平移1个单位长度
（3）解：由，
根据函数平移规律 “左加右减”
函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到的。
【知识点】函数的图象；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）将对应的x值代入函数解析式得：
当x=-1时，；
当x=1时，.
在平面直角坐标系中描出(-4，-2)、（-2，-3)、（一1，-5)、(1，3)、(2，1)、(4，0)等点，用平滑曲线连接，图象如图：
【分析】（1）将对应的值代入解析式，得到对应的y的值填入表格，然后在平面直角坐标系中描出图象即可；
（2）观察图象即可确定，当x>-1时，y的取值范围，以及对照 观察函数 的图象变化；
（3）将函数解析式进行变形，类比上面探索过程即可.
20．【答案】（1）证明：连结OC.
∵OC=OB，OD⊥BC，
∴∠BOC=2∠BOD.
又∵∠BOC=2∠BAC，∠BOD=∠BAC
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠BOD=∠BAC=60°.
∵OE=OD，
∴△OED是等边三角形.
∴OE=ED，∠ODE=60°.
∵OD⊥BC，
∴∠ODB=90°.
∴∠OBD=90°-∠BOD=90°-60°=30°，∠BDE=∠ODB∠ODE=90°-60°=30°.
∴∠OBD=∠BDE.∴EB=ED.
∴OE=EB

（2）解∵OE=OD，
∴∠OED=∠ODE，
∴∠BOD=180°-2∠OED，
由（1）知，∠BAC=∠BOD，
∴∠BAC=180°-2∠OED，
分在△ABC中，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°；
∴180°-2∠OED+∠ABC+∠ACB=180°
∴∠ABC+∠ACB=2∠OED
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】(1)利用等边三角形性质、圆周角定理、垂径定理，结合等边三角形判定与等角对等边，证明OE=EB：
(2)利用圆周角定理、垂径定理、等腰三角形性质与三角形内角和，推导∠ABC、∠ACB、∠OED的数量关系。
21．【答案】（1）解∵A'B'=AB，
∴AD=AB，
∵∠ACB=90°，
∴BC=CD
（2）解：如图2，延长BC至B'，使CB'=CB，连结B'A，B'D，
则△ABC≌△AB'C△DBC≌△DB'C，∴AB=AB'，DB=DB'.
∵∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABB'是正三角形，
∴BA=BB'，∠ABB'=60°.
∵△EBD是正三角形，
∴BE=BD=DE，∠EBD=60°，
∴∠EBA=∠DBB'，
∴△EBA≌△DBB'（SAS）；
∴EA=DB'，
∴EA=ED
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用构造法补全证明，先由AD=AB结合AC⊥BC，用等腰三角形三线合一证BC=CD，再用SSS证△ABC ≌ △ADC，结合已证的△ADC ≌ △A'BC，完成△ABC ≌ △A'B'C的证明；
（2）延长BC至B'，使CB'=CB，连结B'A，B'D，利用30°直角三角形性质、等边三角形性质，证明则△ABC≌△AB'C△DBC≌△DB'C，从而证EA=DB'，进行证明EA=ED。
22．【答案】（1）解：方法1：如图1-1，过点A作AE⊥BC于点E，再过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为点M，N.
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，DM=DN.
∵
∴
方法2：如图1-2，过点C作CE//AB交AD延长线于点E.
∵AB∥CE，
∴∠BAD=∠E.
又∵∠ADB=∠CDE，
∴△ABD∽△ECD，
∴.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE.
∴∠E=∠CAE，
∴CE=AC.

（2）解：在Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6
∴
∵CE为斜边AB上的中线，
设EF=x，则CF=5-x.
∵AD平分∠CAB，
∴
即
解得
经检验，是原方程的根.

（3）解：如图3，作EP⊥AD，CQ⊥AD，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，且AB=CB，
∴∠ADB=∠CDB，∴DB平分∠ADC，
∵AC=10，
∴AE=6，CE=4
∵CQ⊥AD，
∴△CDQ和△ACQ是直角三角形，设DQ=x，AQ=12-x，
有
解得即
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1） 本题是角平分线定理的证明，核心思路为面积法或平行线构造相似法。面积法利用角平分线上的点到角两边距离相等，结合两三角形同高，面积比等于底之比；平行线法通过作平行线，将比例线段转化为等腰三角形的边，再利用相似三角形求解；
（2）本题属于拓展运用，需先利用勾股定理求出AB，再结合 (1) 的角平分线定理求出CD的长度，接着利用直角三角形斜边中线性质和相似三角形或线段比例关系，最终求出EF的长度。
23．【答案】（1）解：设y=kx+b（k≠0），由题意可知当一次函数图象经过点C（0，4），A（3，0）时，有
解得
∴y=x+4
当一次函数图象经过点O（0，0），B（3，4）时，有
解得，
∴y=x，
综上，该一次函数的表达式为或。
（2）∴其对称轴为直线x=2.
∵二次函数的图象的关联矩形是矩形OABC，
∴当a>0时，图象经过点（0，4），（2，0），则
解得
当a<0时，图象经过点(0，0)，(2，4），
则
解得
∴a=1，m=0或a=-1，m=4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据关联矩形的定义，一次函数图象需完全落在矩形OABC(0≤x≤3，0≤y≤4)内，因此一次函数的图象需经过矩形的顶点，分两种情况：过A(3，0)和C(0，4)，或过O(0，0)和B(3，4)，分别用待定系数法求解析式；
（2）先将二次函数配方，确定其对称轴，再根据关联矩形OABC的范围0≤x≤3，0≤y≤4，分a>0(开口向上)和a<0(开口向下)两种情况，结合函数在区间上的最值，列方程求解a和m。
24．【答案】（1）解∵四边形ABCD是菱形，
。
（2）解：由（1）得，
如图1，
∵EF∥AC，
∴∠CAF+∠EFA=180°，
∵∠EFA=∠BCA=∠BAC；∠CAF+∠BAC=180°，
∴B，A，F三点共线，过点F作直线AC的垂线于点H，连结FC.
在Rt△CFH中，
如图2，
∵EF∥AC，
∴∠EFA=∠FAC，
∵∠EFA=∠BCA=∠BAC；∠BAC=∠FAC，
∴A，B，F三点共线，作FH⊥AC，连结FC，
在Rt△CFH中，
综上可得，或
（3）解：由题意得，点P是射线AC上的动点.
当P，C重合时，BP-CP=BC=5
当P，C不重合时，C，B，P构成三角形，BP-CP<5，
可分两种情况考虑：点P在线段AC上和点P在AC的延长线上.
①当点P在线段AC上，如图3，
设OP=x，则，
的值随着x的增大而增大，
∴当AP最小时，OP最小，BP-CP取到最小值.
∵在△AFP中，
∴当AP⊥EF时，AP最小，如图4，
此时
②当点P在AC的延长线上，如图5，
BP>CP，即BP-CP>0.综上可得，
【知识点】菱形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1） 利用菱形对角线互相垂直平分的性质，在Rt△OAB中用勾股定理即可求解边长；
（2）利用旋转性质得AF=AC，结合EF‖AC分两种位置情况(F在AC左侧/右侧)，通过平行线性质确定A，B，P共线，再构造直角三角形利用勾股定理计算FC；
（3） 旋转停止时EF∥AC，此时点P在射线AC上运动 ，分两种情况：P在线段AC上：BP-CP随AP增大而增大，最小值：当AP⊥EF时，AP最小，计算可得BP-CP的最小值；最大值：当P与C重合时，BP-CP=BC=5；P在AC延长线上：BP>CP，BP-CP>0。
1 / 1浙江省绍兴市新昌县2025-2026学年九年级下学期数学素养测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．2026的相反数是（　　）
A．2026 B． C． D．
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：2026是一个正数，根据相反数的定义，正数的相反数是在其前面添加负号的负数。因此，2026 的相反数就是 - 2026。
故答案为：B。
【分析】首先明确题目考查的是相反数的定义，即只有符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数。
对给定的正数 2026，只需改变其符号，即可得到它的相反数 - 2026。最后对照选项，选择正确答案。
2． 如图是生活中常用的“空心卷纸”，其俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：∵俯视是从上往下看得到的正投影，从上往下看，两圆都能看到，
∴生活中常用的“空心卷纸”，其俯视图是大圆内套了一个实线小圆.
故答案为：A.
【分析】俯视是从上往下看得到的正投影，由俯视的特点去观察卷纸，能看到的用实线表示据此判断得出答案.
3．新昌县位于浙江省东部，是全国医药强县、中国轴承之乡，2025年新昌的GDP为711.66亿元.将数711.66亿用科学记数法（单位：元）表示为（　　）
A．711.66 B．
C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】结合题意可知将数711.66亿用科学记数法表示为的形式，
因为1亿=，
所以711.66亿元=元，
因为a的取值范围为：，
所以，
故答案为：D.
【分析】本题主要考查用科学记数法表示大于10的数，根据 中a和n的确定方法，即可得到正确的选项。
4．对于反比例函数下列结论正确的是（　　）
A．点（2，1）在该函数的图象上
B．该函数的图象分别位于第二、第四象限
C．y随x的增大而增大
D．y随x的增大而减小
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】选项A：将x=2代入函数，计算对应的y值：，等式不成立，因此点(2，1)不在函数图象上，A错误；
选项B：因为，根据反比例函数性质，k<0时图象在第二、四象限，B正确；
选项C：因反比例函数的增减性必须限定在“每个象限内”，不能直接说”y随x的增大而增大”，因此C错误；
选项D：同理，反比例函数的增减性必须限定象限，且本函数k<0，在每个象限内是”y随x增大而增大”，不是减小，故D错误。
故答案为：B.
【分析】利用反比例函数的图象与性质，对每个选项进行逐一分析，即可确定正确答案.
5．如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，AC与BD交于点M，则∠ABM的度数为（　　）
A．120° B．110° C．112.5° D．135°
【答案】C
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】根据多边形内角和公式 (n 2)×180°（n=8），计算得正八边形每个内角为 (8 2)×180°÷8 =135°，即∠ABC=∠BCD=135°，由正八边形边长相等，可知 AB=BC=CD，因此 △ABC、△BCD 均为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质，计算得 ∠CBD=(180° 135°)÷2 =22.5°，所以∠ABM=∠ABC ∠CBD=135° 22.5°=112.5°。
故答案为：C
【分析】 首先根据多边形的内角和公式求出正八边形每个内角的度数，然后根据题意可知 △ABC、△BCD 均为等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质求出底角的度数，最后利用角的和差即可求出∠ABM的度数。
6．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分别印有甲骨文“文”“明”“新”“昌”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“新”和“昌”两个字的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】我们把 4 张卡片分别记为：A（文）、B（明）、C（新）、D（昌）。
从 4 张中随机抽 2 张，所有等可能的组合为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6种等可能的结果。
其中恰好抽到“新”和“昌”两个字的结果只有(C，D)这1种，
根据概率公式，
故答案为：B。
【分析】这是一个不放回的古典概型问题，从 4 张不同的卡片中随机抽取 2 张，求抽到指定 2 张（“新” 和 “昌”）的概率。首先计算所有等可能的抽取结果总数（总基本事件数）；然后计算符合条件的结果数（抽到 “新” 和 “昌” 的情况数）；最后根据概率公式计算概率即可。
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是以原点O为位似中心的位似图形，若点A（-3，1）的对应点A'（-6，2），则点B（-2，4）的对应点B'的坐标为（　　）
A．（-4，8） B．（8，-4） C．（-8，4） D．（4，-8）
【答案】A
【知识点】位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】已知点A( 3，1)的对应点A'( 6，2)，
横坐标的倍数为2，
纵坐标的倍数为2，
因此位似比k=2，即位似图形与原图形在原点同侧，坐标放大为原来的2倍。
点B( 2，4)，根据位似坐标变换规则(kx，ky)，代入k=2：
横坐标： 2×2= 4，
纵坐标：4×2=8，
因此B'的坐标为( 4，8)。
故答案为：A.
【分析】本题主要考查了以原点为位似中心的位似图形，对应点的坐标满足位似比关系：若位似比为k，则原图形上点(x，y)的对应点坐标为(kx，ky)（位似图形与原图形在原点同侧时，k>0）。
8．在△ABC中，∠BAC=20°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，则∠B的度数不可能为（　　）
A．10° B．40° C．80° D．100°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；分类讨论
【解析】【解答】选项 A：如图，∠B=10°，∠ACB=160° 10°=150°，当AC=CD时，则∠A=∠ADC=20°，则∠BCD=∠B=10°，满足△ACD和△BCD为等腰三角形，故 A 可能；
选项 B：如图，∠B=40°，当BC=CD时，∠B=∠BDC=40°，因为∠A=20°，所以∠ACD=∠A=20°，所以△BCD和△BCD为等腰三角形，故 B 可能；
选项 C：如图，∠B=80°，∠ACB=160° 80°=80°，分△ACD的 3 种等腰情况：AD=CD：∠ACD=20°，∠ADC=140°，∠BCD=80° 20°=60°，∠BDC=40°，△BCD内角为80°，40°，60°，无相等角，非等腰三角形；AC=AD：∠ACD=∠ADC=(180° 20°)÷2=80°，∠BCD=80° 80°=0°，D与C重合，不成立；AC=CD：∠ADC=∠A=20°，∠ACD=140°>80°，超出∠ACB，不可能；所有情况均无法使△BCD为等腰三角形，不存在分割线，故 C 不可能；
选项 D：如图，∠B=100°，∠ACB=160° 100°=60 ，当BC=BD时，△BCD为等腰三角形，∠BCD=∠BDC=40°，因为∠A=20°，则∠ACD=∠A，△ACD为等腰三角形，故 D 可能。
故答案为：C.
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角，对每个选项的∠B度数，先求出∠ACB，再分情况讨论△ACD和△BCD的等腰可能性，验证是否存在符合条件的分割线即可.
9．某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯.阶梯电费计价方式如下：
阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度）
第一阶梯 2760度及以下部分 0.538
第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588
第三阶梯 4801度及以上部分 0.838
小聪家去年12月份用电量为500度，电费为274元，则小聪家去年全年用电量为（　　）
A．2810度 B．2860度 C．3060度 D．3210度
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】根据题意，首先计算各阶梯累计电费上限第一阶梯（2760 度及以下）：总电费 2760×0.538=1484.88 元第二阶梯（2761~4800 度，共 4800 2760=2040 度）：总电费 2040×0.588=1199.52 元第三阶梯（4801 度及以上）：电价 0.838 元 / 度
然后判断 12 月用电的计费档位
12 月用电 500 度，电费 274 元，平均电价 274÷500=0.548 元 / 度，介于第一阶梯 0.538 和第二阶梯 0.588 之间，说明：12 月用电时，全年累计电量跨越了第一阶梯和第二阶梯（即 1~11 月累计用电量在 2760 度以内，12 月用电后，全年累计进入第二阶梯）。
步骤 3：列方程求解全年总用电量
设全年总用电量为x度，则：1~11 月累计用电量为 x 500 度，且 x 500<2760（第一阶梯剩余电量为 2760 (x 500)=3260 x 度），12 月的 500 度电中，3260 x 度按第一阶梯 0.538 元计费，剩余 500 (3260 x)=x 2760 度按第二阶梯 0.588 元计费，
根据 12 月电费 274 元列方程：(3260 x)×0.538+(x 2760)×0.588=274
解得：x=2860
故答案为：B.
【分析】根据题意，先计算各阶梯的累计电费上限，判断 12 月 500 度电的计费档位；设全年总用电量为x度，根据 12 月电费列方程求解；验证结果是否符合档位假设，匹配选项得出答案。
10．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E为BC上中点，连结AE.点F在以AE为直径的半圆上，且EF=EB.延长AF，EF分别交CD于点G，H，连结GE，则下列结论错误的是（　　）
A．EA平分∠BEF B．GE⊥AE C．AE=3GE D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【解答】由矩形的性质可知在Rt△ABE中，由勾股定理得：，
∵ AE 是直径，∴ ∠AFE=90°。
在 Rt△AFE 中：，
∴ AF=AB=6，
在 △ABE 与 △AFE 中：
∴ △ABE≌△AFE（SSS），
∴AEB=∠AEF，即 EA 平分∠BEF，故A正确；
已知：矩形ABCD，AB‖CD，
∴∠BAG=∠AGD，
又由△ABE≌△AFE，
∴∠BAE=∠EAG，
∴∠AGE=∠EAG
∵ AE是直径，
∴∠AEG=∠AFE=90°
即GE⊥AE，故B正确；
在△ABE和△GEA中：∠B=∠AEG=90，∠BAE=∠EGA，
∴△ABE∽△GEA，
∴，
∴，
即AE=3GE，故C正确；
由前面我们可知△CEG∽△BAE，
可得，则，
又∵△FGH∽△DGA， △CEG≌△FEG，
∴，
∴，故D错误；
故答案为：D。
【分析】本题是矩形与圆的综合题，先在Rt△ABE中用勾股定理求出AE；然后由直径所对圆周角为直角，得∠AFE=90°，再用勾股定理求出AF=6=AB；接着用SSS证明△ABE≌△AFE，得出EA平分∠BEF(判断A)：然后利用相以三角形求出GE长度，并证明GE⊥AE(判断B、C)；最后利用平行线分线段成比例求出GH、GC的长度比，判断D是否正确。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．因式分解： 　 　．
【答案】a(a-1)(a+1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a（a2-1）=a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a+1）（a-1）
【分析】观察多项式的特点：含有公因式a，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式。
12．如图，小明沿着一条东西朝向的河流散步，他在点A的时候，看到了河对面岸边M处有块巨石，在他北偏东45°方向，他沿着河岸继续走了60步，到达点B时，发现M在他北偏东30°方向，假设河的两岸互相平行，且小明的步距是0.6米，估计河流的宽度（即点M到AB所在直线距离）约为　 　米（精确到1米，参考数据
【答案】85
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】由题意可知，小明走了60步，步距0.6米，因此：AB=60×0.6=36 米，
如图，过M作MC⊥AB，交AB的延长线于C，设MC=x米（即河流宽度）。
在Rt△ACM中，∠MAC=45°，因此AC=MC=x米
在Rt△BCM中，∠MBC=90°-30°-60°，由，得：
，
由AC-BC=AB，代入得：
，
解得：，
所以河流的宽度约为85米。
故答案为：85
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，首先过点M向AB作垂线，垂足为C，然后分别在Rt△ACM与Rt△BCM中设未知数列方程即可求出。
13．某科技公司研发了一批AI机器人，计划分配给甲、乙、丙、丁四家经销商点进行销售.当一家分配到n台机器人全部售出后，科技公司从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下：
　 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 …
甲 4 6 / / / / /
乙 3 5.5 7.5 9 10 10.5 /
丙 2 4 6 7 8 9 …
丁 1.4 3.8 6.2 8.6 11 13.4 …
如果科技公司将5台机器人分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么5台机器人都售出后，该科技公司可获得的总利润的最大值为　 　万元.
【答案】13.5
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】首先整理各经销商的利润数据：
甲：最多分配2台，1台利润4万，2台利润6万：
乙：分配1~5台的利润依次为3、5.5、7.5、9、10万；
丙：分配1~5台的利润依次为2、4、6、7、8万；
丁：分配台的利润为1.4+2.4(m-1)=2.4n-1万，即1台1.4万，2台3.8万，3台6.2万，4台8.6万，5台11万。
枚举所有合法分配方案，计算总利润：
1.全部分配给一家：乙5台10万，丁5台11万，均小于13.5万：
2.分配给两家：甲2台(6万)+乙3台(7.5万)：总利润6+7.5=13.5万；
甲2台(6万)+丁3台(6.2万)：总利润6+6.2=12.2万：
甲1台(4万)+丁4台(8.6万)：总利润4+8.6=12.6万：
乙4台(9万)+甲1台(4万)：总利润9十4=13万：
3.分配给三家及以上：
甲2台(6万)+乙2台(5.5万)+丙1台(2万)：总利润6+5.5+2=13.5万；
甲1台+乙1台+丁3台：总利润4+3十6.2=13.2万，均不超过13.5万。
对北比所有方案，总利润的最大值为13.5万元。
故答案为：13.5
【分析】 要使总利润最大，需先明确各经销商的利润上限与分配限制，枚举 5 台机器人的所有合法分配方案，计算总利润后取最大值，同时注意甲最多分配 2 台的限制。
14．类比圆面积公式的推导，我们对扇形的面积公式进行如下探究：将扇形均匀分割成n个“小扇形”（如图1），扇形的面积就是这些“小扇形”的面积和，当n无限大时，这些“小扇形”可以近似地看成底边长分别为l1，l2，l3，…，ln，高为r的“小三角形”，它们的面积和为即扇形面积请根据这样的方法继续思考：如图2，扇形ODG与扇形OEF有共同的圆心角，且弧长分别为a和b，DE=h，用含a，b，h的代数式表示图中阴影部分面积　 　.
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】由题中扇形面积公式，设小扇形ODG的半径为r，则大扇形OEF的半径为r+h。
阴影部分面积等于大扇形面积减法小扇形面积，即。
因为两个扇形圆心角相同，设圆心角为，弧长，故，
即，代入得，
将代入面积公式：
，
也可直接类比梯形面积公式，将扇环看作”上底为α、下底为b、高为h”的梯形，直接得到阴影部分面积为。
故答案为：.
【分析】 类比题目中扇形面积公式的推导方法，将阴影部分（扇环）分割成无数个近似小三角形，利用小三角形面积和推导阴影部分面积，也可直接用大扇形面积减小扇形面积，结合弧长公式得到结果。
15．已知x轴的上方有一条直线平行于x轴，点A在这条直线上运动，其横坐标为a，另有一点B，坐标为（0，10.5），在x轴上取点P使得P到A，B两点的距离和最小，记若S的最小值为225，则当S不超过289时，AB的取值范围为　 　.
【答案】6≤AB≤10
【知识点】坐标系中的两点距离公式；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】设平行于x轴的直线为y=h(h>0)，则点A的坐标为(a，h)。
作点B(0，10.5)关于x轴的对称点B'(0，-10.5)，
由轴对称性质可知PB=PB'，因此PA+PB=PA+PB，当A、P、B三点共线时，PA+PB取得最小值，即，
因此。
已知S的最小值为225，因为，当a=0时S取得最小值，即，
又h>0，故h+10.5=15，解得h=4.5，因此。
当S≤289时，有，即，解得-8≤a≤8。
由A(a，4.5)、B(0，10.5)，根据两点间距离公式，。
当a=0时，AB取得最小值6；当时，AB取得最大值10，
因此AB的取值范围是6≤AB≤10。
故答案为：6≤AB≤10.
【分析】先利用轴对称求最短路径，得到S=(PA+PB)的表达式，再根据S的最小值求出平行于x轴的直线的纵坐标，最后结合S≤289的条件，求出a的范围，进而得到AB的取值范围。
16．如图，在矩形ABCD中，AD=3，AB=4，对角线BD上有一点E，且BE=BC，在射线CE上有一点F，满足∠FBD=∠ECD，FB，FC分别交AD于点M，N，则MN的长为　 　.
【答案】
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，∠C=90°，由勾股定理得对角线BD=5。
因为BE=BC=3，所以DE=BD-BE=2。
由∠FBD=∠ECD，∠BEF=∠DEC，可得△FBE∽△CDE，
因此，
因为AD‖BC，
所以△FAM∽△FBC，△FAN∽△FBC，
根据平行线分线段成比例，分别得到，，
由相似比计算得，
因此，
所以MN的长度为.
故答案为：.
【分析】先在矩形中利用已知条件得出线段长度与角相等关系，证明两组三角形相似，再根据相似得到对应线段成比例，分别求出直线 FB、FC 截 AD 所得线段 AM、AN 的长度，最后作差得到 MN。
三、解答题（第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分.解答应写出文字说明、计算过程或推演步骤。）
17．在解分式方程时，豆包的解法如下：
第一步：通分 第二步：去分母得2x（x+2）+3（x-2）=8， 第三步：化简得 第四步：因式分解得（（x-2）（2x+7）=0，所以 第五步：检验当x=2时，x-2=0. 第六步：所以原分式方程的解为
判断豆包的解答过程是否正确.若不正确，请指出哪一步开始出现错误，并写出你的解答过程.
【答案】解：不正确，第四步错误
正确解答过程如下：
原方程可化为
解得：
经检验原分式方程的解为
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】首先根据解分式方程的步骤对豆包的解答过程进行检查，重点关注最简公分母是否正确，是否漏乘，然后正确解答即可。
18．春节期间，小摊在商场门口售卖糖葫芦，每串糖葫芦的成本为6元.经连续一周的统计，当每串糖葫芦的售价在8元到14元之间（含8元，14元）浮动时，每涨价1元，每天则少卖20串.若售价为每串10元时，每天可卖200串.设售价为每串x元，每天利润为y元.问：
（1）求y关于x的函数表达式.
（2）当售价定为多少元时，每天的利润最大 最大利润是多少元
【答案】（1）解：由题意可列：y=(x-6)[200-20(x-10)]
=-20x2+520x-2400.
（2）解：由（1）配方得：，
因为-20<0，，
所以当x=13时，y有最大值980，
答：当售价定为13元时，每天的利润最大，最大利润是980元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先根据"每张价1元少卖20串”和售价10元时卖200串，求出销量关于售价x的表达式，再用“总利润=每串利润×销量”得到y关于x的函数；
（2）将二次函数配方成顶点式，结合x的取值范围819．我们在函数的学习过程中，都是通过列表描点的方法来研究函数图象，请用类似方法探究的图象：
（1）观察函数表达式，填写下表：
x … -4 -2 -1 1 2 4 …
y 　 -2 -3 　 　 1 0 …
在平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象：
（2）观察图象，回答下列问题：
①当x>-1时，求y的取值范围；
②函数的图象可由函数的图象如何平移得到
（3）类比探索函数的图象可由函数的图象经过怎样的平移得到
【答案】（1）解：当x=-1时，y=-5，当x=1时，y=3；
用依次连接各点，用平滑曲线连接，图象如图：
（2）解：观察图象可知：
①y<-5或y>-1；
②向下平移1个单位长度
（3）解：由，
根据函数平移规律 “左加右减”
函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到的。
【知识点】函数的图象；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）将对应的x值代入函数解析式得：
当x=-1时，；
当x=1时，.
在平面直角坐标系中描出(-4，-2)、（-2，-3)、（一1，-5)、(1，3)、(2，1)、(4，0)等点，用平滑曲线连接，图象如图：
【分析】（1）将对应的值代入解析式，得到对应的y的值填入表格，然后在平面直角坐标系中描出图象即可；
（2）观察图象即可确定，当x>-1时，y的取值范围，以及对照 观察函数 的图象变化；
（3）将函数解析式进行变形，类比上面探索过程即可.
20．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC，点E是线段OB上一点，且OE=OD.
（1）若△ABC是等边三角形，求证：OE=EB.
（2）当∠ABC<∠ACB时，探究∠ABC，∠ACB，∠OED之间的关系.
【答案】（1）证明：连结OC.
∵OC=OB，OD⊥BC，
∴∠BOC=2∠BOD.
又∵∠BOC=2∠BAC，∠BOD=∠BAC
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠BOD=∠BAC=60°.
∵OE=OD，
∴△OED是等边三角形.
∴OE=ED，∠ODE=60°.
∵OD⊥BC，
∴∠ODB=90°.
∴∠OBD=90°-∠BOD=90°-60°=30°，∠BDE=∠ODB∠ODE=90°-60°=30°.
∴∠OBD=∠BDE.∴EB=ED.
∴OE=EB

（2）解∵OE=OD，
∴∠OED=∠ODE，
∴∠BOD=180°-2∠OED，
由（1）知，∠BAC=∠BOD，
∴∠BAC=180°-2∠OED，
分在△ABC中，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°；
∴180°-2∠OED+∠ABC+∠ACB=180°
∴∠ABC+∠ACB=2∠OED
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】(1)利用等边三角形性质、圆周角定理、垂径定理，结合等边三角形判定与等角对等边，证明OE=EB：
(2)利用圆周角定理、垂径定理、等腰三角形性质与三角形内角和，推导∠ABC、∠ACB、∠OED的数量关系。
21．小新和昌昌两个同学在学习了“直角三角形全等的判定”后，对数学中重要的学习方法“构造法”展开了探究。
【情境再现】
已知：如图1，在△ABC和△A'B'C'中，C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.
求证：△ABC≌△A'B'C'.
下面是用“构造法”证明两个三角形全等的部分过程.
证明：如图1，延长BC至点D，使CD=B'C'，连结AD.
因为AC=A'C'（已知），∠ACD=90°=∠C'，
所以△ADC≌△A'B'C'（SAS）.
所以AD=A'B'（全等三角形的对应边相等）.
……
所以△ABC≌△ADC（SSS）.
所以△ABC≌△A'B'C'.
（1）【实践解决】
请结合“情境再现”的证明过程，把“……”的部分补充完整.
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，点D是直角边AC上一动点（不与点C重合），连结BD，以BD为边向左侧作等边△BDE，连结EA，在点D运动的过程中，始终有EA=ED，试证之.
【答案】（1）解∵A'B'=AB，
∴AD=AB，
∵∠ACB=90°，
∴BC=CD
（2）解：如图2，延长BC至B'，使CB'=CB，连结B'A，B'D，
则△ABC≌△AB'C△DBC≌△DB'C，∴AB=AB'，DB=DB'.
∵∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABB'是正三角形，
∴BA=BB'，∠ABB'=60°.
∵△EBD是正三角形，
∴BE=BD=DE，∠EBD=60°，
∴∠EBA=∠DBB'，
∴△EBA≌△DBB'（SAS）；
∴EA=DB'，
∴EA=ED
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用构造法补全证明，先由AD=AB结合AC⊥BC，用等腰三角形三线合一证BC=CD，再用SSS证△ABC ≌ △ADC，结合已证的△ADC ≌ △A'BC，完成△ABC ≌ △A'B'C的证明；
（2）延长BC至B'，使CB'=CB，连结B'A，B'D，利用30°直角三角形性质、等边三角形性质，证明则△ABC≌△AB'C△DBC≌△DB'C，从而证EA=DB'，进行证明EA=ED。
22．
（1）【探究发现】如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，求证：
（2）【拓展运用】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，AD平分∠CAB，E为斜边AB上的中点，连结CE交AD于点F.利用（1）的结论，求EF的值.
（3）【综合提升】如图3，四边形ABCD为圆内接四边形，其中AB=CB，AD=12，CD=8，AC=10，对角线AC，BD交于点E，求DE的长.
【答案】（1）解：方法1：如图1-1，过点A作AE⊥BC于点E，再过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为点M，N.
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，DM=DN.
∵
∴
方法2：如图1-2，过点C作CE//AB交AD延长线于点E.
∵AB∥CE，
∴∠BAD=∠E.
又∵∠ADB=∠CDE，
∴△ABD∽△ECD，
∴.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE.
∴∠E=∠CAE，
∴CE=AC.

（2）解：在Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6
∴
∵CE为斜边AB上的中线，
设EF=x，则CF=5-x.
∵AD平分∠CAB，
∴
即
解得
经检验，是原方程的根.

（3）解：如图3，作EP⊥AD，CQ⊥AD，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，且AB=CB，
∴∠ADB=∠CDB，∴DB平分∠ADC，
∵AC=10，
∴AE=6，CE=4
∵CQ⊥AD，
∴△CDQ和△ACQ是直角三角形，设DQ=x，AQ=12-x，
有
解得即
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1） 本题是角平分线定理的证明，核心思路为面积法或平行线构造相似法。面积法利用角平分线上的点到角两边距离相等，结合两三角形同高，面积比等于底之比；平行线法通过作平行线，将比例线段转化为等腰三角形的边，再利用相似三角形求解；
（2）本题属于拓展运用，需先利用勾股定理求出AB，再结合 (1) 的角平分线定理求出CD的长度，接着利用直角三角形斜边中线性质和相似三角形或线段比例关系，最终求出EF的长度。
23．定义：在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.
请根据以上信息，解答以下问题：
（1）如图，矩形OABC是某一次函数的关联矩形，其中自变量x的取值范围为0≤x≤3，试求出该一次函数的表达式.
（2）若二次函数.的图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，求a与m的值.
【答案】（1）解：设y=kx+b（k≠0），由题意可知当一次函数图象经过点C（0，4），A（3，0）时，有
解得
∴y=x+4
当一次函数图象经过点O（0，0），B（3，4）时，有
解得，
∴y=x，
综上，该一次函数的表达式为或。
（2）∴其对称轴为直线x=2.
∵二次函数的图象的关联矩形是矩形OABC，
∴当a>0时，图象经过点（0，4），（2，0），则
解得
当a<0时，图象经过点(0，0)，(2，4），
则
解得
∴a=1，m=0或a=-1，m=4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据关联矩形的定义，一次函数图象需完全落在矩形OABC(0≤x≤3，0≤y≤4)内，因此一次函数的图象需经过矩形的顶点，分两种情况：过A(3，0)和C(0，4)，或过O(0，0)和B(3，4)，分别用待定系数法求解析式；
（2）先将二次函数配方，确定其对称轴，再根据关联矩形OABC的范围0≤x≤3，0≤y≤4，分a>0(开口向上)和a<0(开口向下)两种情况，结合函数在区间上的最值，列方程求解a和m。
24．如图，在菱形ABCD中，对角线BD=6，AC=8，以点A为旋转中心，逆时针旋转记点B，C旋转得到的对应点分别为点E，F.
（1）求菱形的边长.
（2）当EF∥AC时，求FC的长.
（3）若在EF第一次平行于AC时停止旋转，设旋转停止前，直线EF交射线AC于点P，连结BP，求BP-CP的取值范围.
【答案】（1）解∵四边形ABCD是菱形，
。
（2）解：由（1）得，
如图1，
∵EF∥AC，
∴∠CAF+∠EFA=180°，
∵∠EFA=∠BCA=∠BAC；∠CAF+∠BAC=180°，
∴B，A，F三点共线，过点F作直线AC的垂线于点H，连结FC.
在Rt△CFH中，
如图2，
∵EF∥AC，
∴∠EFA=∠FAC，
∵∠EFA=∠BCA=∠BAC；∠BAC=∠FAC，
∴A，B，F三点共线，作FH⊥AC，连结FC，
在Rt△CFH中，
综上可得，或
（3）解：由题意得，点P是射线AC上的动点.
当P，C重合时，BP-CP=BC=5
当P，C不重合时，C，B，P构成三角形，BP-CP<5，
可分两种情况考虑：点P在线段AC上和点P在AC的延长线上.
①当点P在线段AC上，如图3，
设OP=x，则，
的值随着x的增大而增大，
∴当AP最小时，OP最小，BP-CP取到最小值.
∵在△AFP中，
∴当AP⊥EF时，AP最小，如图4，
此时
②当点P在AC的延长线上，如图5，
BP>CP，即BP-CP>0.综上可得，
【知识点】菱形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1） 利用菱形对角线互相垂直平分的性质，在Rt△OAB中用勾股定理即可求解边长；
（2）利用旋转性质得AF=AC，结合EF‖AC分两种位置情况(F在AC左侧/右侧)，通过平行线性质确定A，B，P共线，再构造直角三角形利用勾股定理计算FC；
（3） 旋转停止时EF∥AC，此时点P在射线AC上运动 ，分两种情况：P在线段AC上：BP-CP随AP增大而增大，最小值：当AP⊥EF时，AP最小，计算可得BP-CP的最小值；最大值：当P与C重合时，BP-CP=BC=5；P在AC延长线上：BP>CP，BP-CP>0。
1 / 1

展开更多......

收起↑