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四川省达州市某中学2026年自主招生数学试卷
1．-|-2025|的相反数是（　　）
A．-2025 B． C． D．2025
【答案】D
【知识点】求有理数的相反数的方法；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解： ，
，
的相反数为，
∴的相反数为2025；
故答案为：D .
【分析】求出绝对值，根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可.
2．汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、能看作是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据轴对称图形的定义“如果将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”判断解答即可.
3．下列计算正确的是（　　）
A．（3x）2=9x2 B．5x 2x=10x
C．x6÷x2=x3 D．（x-2）2=x2-4
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故选项计算正确，符合题意；
B. ，故选项计算错误，不符合题意；
C. ，故选项计算错误，不符合题意；
D. ，故选项计算错误，不符合题意；
故答案为：A .
【分析】根据积的乘方、同底数幂的除法、单项式乘单项式、完全平方公式的运算法则逐项判断解答即可．
4．如图，一横一竖两块砖头放置于水平地面，其主视图为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据题意得：其主视图是
故选：D．
【分析】根据主视图是从前面看到的图形解答即可．
5．统计数据显示，截至2025年3月15日电影《哪吒2》全球票房（含预售及海外）超150亿元，位列全球影史票房榜第五位.将数据150亿用科学记数法表示为（　　）
A．150×108 B．15×109 C．1.5×1010 D．1.5×1011
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：150亿用科学记数法表示为；
故答案为：C .
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
6．如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值是（　　）
A． B．
C．或 D．且
【答案】C
【知识点】一元一次方程的解；解分式方程；分式方程的无解问题
【解析】【解答】
解：
去分母得：mx-x=2(1-x)
整理得 ：（1+m）x=2
∵分式方程无解，
∴①x=1为增根，即1+m=2，解得m=1，
②1+m=0，解得m=-1，
综上所述：或 .
故答案为：C .
【分析】根据解分式方程得步骤，化简整理得（1+m）x=2；再分别讨论无解得两种情况，计算即可解答.
7． 如图，在反比例函数的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足，当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动. 若，则k的值为 (　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】反比例函数图象的对称性；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：连接OC，过点A作AE⊥y轴与点E，过点B作BF⊥x轴与点F，如下图所示：
由直线AB与反比例函数的对称性可知点A和点B关于点O对称，
又
又
∵点C在第一象限，
∴k＝8，
故答案为：D .
【分析】连接OC，过点A作AE⊥y轴与点E，过点B作BF⊥x轴与点F，根据对称性和三线合一得到∠AOE＝∠COF，即可得到△AOE∽△COF，再根据对应边成比例求出，然后根据正切的定义得到 ，解答即可．
8．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴是直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），与y轴交点坐标是（0，m）且2＜m＜3.有下列结论：
①； ②； ③；④关于x的一元二次方程必有两个不相等实根；
⑤若点A(， )， B(， )， C(， ) 在抛物线上， 且， 当时， 则n的取值范围为.
其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则
∴，
又∵抛物线与轴交点坐标是，即，
∵，即，
∴，故①正确；
∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，
∴另一个交点坐标为，
∴当时，，故②错误；
∵，在抛物线的图象上，
∴，
又∵，
∴，
∴即，
∵，即，
∴，
∴即，
当时，取得最大值，最大值为，
∴，
∴，故③正确；
∵，，，
即，
∵
对称轴为直线，当时，的值随的增大而减小，
又∵，
∴，
∴当时，，
∴当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确；
∵若点抛物线上，且，
∴，，
∵存在，
∴，，
即，，，
解得：，故⑤正确；
故正确的有①③④⑤，共4个．
故答案为：C .
【分析】根据函数图象的开口方向、对称轴和抛物线与y轴交点的位置判断的符号即可判断①；根据抛物线的对称性求出另一个交点坐标，得到时，判断②；根据对称轴得到，，结合抛物线的最值判断③；求得的范围，再根据一元二次方程根的判别式得到一元二次方程的解情况判断④；根据，结合函数图象分析得出判断⑤解答即可．
9．分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】直接提取公因式a即可.
10．若代数式有意义，则实数x的取值范围是　 　.
【答案】x>3且x≠2025
【知识点】分式有无意义的条件；零指数幂；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解： ∵代数式有意义，
∴ x-3>0且x- 2025≠0，
解得：x>3且x≠2025，
故答案为：x>3且x≠2025.
【分析】由二次根式及分式、零指数幂有意义的条件可得： x-3>0且x- 2025≠0，计算即可解答.
11．袋子中装有4个黑球2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同．在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，这个球为白球的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】∵袋子中装有4个黑球2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同．
∴随机地从这个袋子中摸出一个球，这个球为白球的概率是： = ．
故答案为： ．
【分析】由袋子中装有4个黑球2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同．直接利用概率公式求解即可求得答案．
12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x-1的图象与反比例函数（k≠0）的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为（0，3），连接AC，BC，若AC=BC，则实数k的值为　 　.
【答案】-6
【知识点】因式分解法解一元二次方程；点的坐标；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：当y=0时，0=-x-1， 解得x=-1，
∴点B的坐标为(-1，0)，
∵点C坐标为(0，3)，
∴BC=
设点A坐标为(m， -m-1)，
∴AC2=(m-0)2+(-m-1-3)2 =2m2 + 8m+16
∵AC2= BC2，
∴2m2 + 8m+16=10，
解得m=-3，m=-1 (不合题意，舍去)
∴m=-3，
∴点A坐标为(-3，2)，
∴2=
解得k=-6，
故答案为：-6.
【分析】先由一次函数的解析式求出点B的坐标为(-1，0)；再利用勾股定理求出BC，利用两点之间的距离公式求出AC2，再根据AC= BC列方程，解方程并进一步即可得到点A坐标为( -3.2)，利用待定系数法即可求出实数k的值，解答即可.
13．等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交AB于点D，交直线AC于点E，连接BE，若AE=5，tan∠AED=，则△BEC的面积为　 　.
【答案】或
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；已知正切值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：当∠BAC为锐角时，如图，
根据题意得∠ADE = 90，
∴tan∠AED=.
设AD=3x，则DE = 4x，
∵AE=5.
∴AD2 +DE2=AE2，即(3x)2+(4x)2=52，解得x=1，
∴AD=3，DE=4，
由折叠得AB= 2AD=6，
∴AC=6，
∴，
过点C作CF⊥AB于点F，则CF // DE，
∴ADECAFE，
∴即，
∴CF=，
∴，
∴
过点B作BG于点G，则
∴
同（1）可得AE=5，AB=AC=6，
∴CE=AC+AE=
∴
综上所述， △BEC的面积为或.
故答案为：或.
【分析】分∠BAC为锐角和钝角两种情况讨论求解：①当∠BAC为锐角时求出AD=3，DE=4，由折叠得AB=6，可求得，再利用相似计算出，再利用面积之差计算即可解答；②当∠BAC为钝角时，过点B作BG⊥CE于点G，得出，可求出CE，从而利用面积公式计算即可解答.
14． 关于 x 的方程有实数根，则 k 的取值范围：　 　.
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；一元二次方程根的判别式及应用；已知一元一次方程的解求参数；分类讨论
【解析】【解答】解：当时，原方程为，解得，有实数根；
当时，原方程为一元二次方程，
则，
解得，
又∵，即，
∴，
∴且．
综上，的取值范围为，
故答案为：．
【分析】分为两种：当时，方程是一元一次方程，有实数根；当时，原方程是一元二次方程，利用根的判别式和二次根式的被开方数是非负数得到k的取值范围解答即可．
15． 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是　 　.
【答案】12
【知识点】已知分式方程的解求参数；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得： ，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴；
解分式方程得，
∵关于的分式方程的解均为负整数，
∴且是整数且，
∴且且a是偶数，
∴且且a是偶数，
∴满足题意的a的值可以为4或8，
∴所有满足条件的整数a的值之和是．
故答案为：．
【分析】先解不等式组，根据不等式组的解集求出；解分式方程得到，再根据分式方程的解为负整数，得到且且a是偶数，即可得到整数a的值解答即可．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8.点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作 PAQB，则线段PQ的最小值是　 　.
【答案】4.8
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：解：设PQ交AB于点E，作BD⊥AC于点D，取AD的中点F，连接EF，
∵∠ABC=90°， AB=6， BC=8，
∴AC=
∵四边形PAQB是平行四边形，
，EA=ED，
∵E为AB的中点，F为AD的中点，
∴线段PQ的最小值是
故答案为：A .
【分析】设PQ交AB于点E，作BD⊥AC于点D，取AD的中点F，连接EF，由 BC=8， 求得 根据△ABC的面积求得 由平行四边形的性质得则 由 得 ，则 据此解答即可.
17．已知二次函数 及一次函数 ，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数 如图所示 ，当直线 与新图象有4个交点时，m的取值范围是　 　
【答案】-2＜m＜-6
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：令y=-x2+x+6中y=0，得x=-2或x=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0）、（3，0）.
∵将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，
∴此时的函数解析式为y=(x+2)(x-3)，即y=x2-x-6.
当直线y=-x+m经过点（-2，0）时，有0=2+m，
解得m=-2.
当直线y=-x+m与y=x2-x-6有唯一公共点时，x2-x-6=-x+m，即x2-6-m=0，
此时有-4(-m-6)=0，
解得m=-6，
∴-2故答案为：-2【分析】首先求出抛物线与x轴的交点坐标，得出将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方对应的函数解析式，求出直线y=-x+m经过点（-2，0）以及直线y=-x+m与y=x2-x-6有唯一公共点时，对应的m的值，据此可得m的范围.
18．如图，正方形ABCD中，∠EAF=45°，BD分别交AE、AF于M、N，连MF、EF，下列结论：①MN2=BN2+DM2；②S△CEF=2CD；③AM=MF且AM⊥MF；④若E为CD中点，则F为BC三等分点.其中正确的是　 　 .
【答案】①②③④
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：①过B作的垂线，截取，连接，如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
在和中，∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
在和中，∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，成立．
②延长，在延长线上截取，连接，如图，
在和中，∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，∵，
同理得，
∴，即，
∴，
∴，成立；
③如图，过F作交的延长线于J，过J作于K，连接，过J作交于G，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
在和中，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在和中，∵，
∴，
∴，
则M为的中点，
又，
故，且，成立．
④延长，截取，连接，
可设，
则，
∵E为中点，
∴，
∴，
在中，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，
即为三等分点．成立．
故答案为：D .
【分析】过B作的垂线，截取，连接，根据SAS得到，即可得到，利用勾股定理计算判断①；延长，截取，连接，根据SAS得到，即可得到，即可得到，判断②．过F作交的延长线于J，过J作于K，连接，过J作交于G，得到为等腰直角三角形，即可得到，进而得到，证明为平行四边形，然后得到，即可得到且判断③．延长，截取，连接，可设，表示EF，CF，根据勾股定理得到，然后求出比值判断④解答即可．
19．（1） 计算：；
（2） 先化简，再求值：，其中a从-2，-1，2，3中取一个合适的数代入求值.
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
∵，
∴，
∴当时，原式．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）先计算算术平方根、绝对值、负整数指数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，再运算加减解答即可；
（2）先把括号内的分式通分，然后把除法化为乘法，分解因式后约分化简，再根据分式有意义的条件得到a的值，代入计算即可．
20．某校开展“共享阅读 向上人生”的读书活动，为了解学生对四类书籍（A体育类，B科技类，C文学类，D艺术类）的喜爱情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行了问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四类书籍中选择一类），并将数据进行统计和整理，绘制了两幅不完整的统计图，根据图中信息，请回答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有　 　人，估计该校2000名学生喜爱“B科技类”书籍的人数约为　 　人.
（2）请将条形统计图补充完整.
（3）在活动中，甲、乙、丙三名学生表现优秀，决定从这三名学生中随机选取两名学生参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲和乙的概率.
【答案】（1）200；800
（2）解：喜爱C文学类的人数为：200-20-80-40=60（人），
将条形统计图补充完整如下：

（3）解：列表如下：
甲 乙 丙
甲 　 （乙，甲） （丙，甲）
乙 （甲，乙） 　 （丙，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙） 　
共有6种等可能结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种，
∴恰好选中甲和乙的概率==．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：本次抽取调查的学生共有（人），
该校2000名学生喜爱“B科技类”书籍的人数约为：（人），
故答案为：200，800；
【分析】（1）由D艺术类的人数除以占比求出抽样调查的学生，用2000乘以喜爱“B科技类”的占比求出喜爱“B科技类”书籍的人数解答即可；
（2）用总人数减去喜欢其它类型书籍人数求出C文学类的人数，补全条形统计图即可；
（3）列表得到所有等可能性的结果数， 找出符合题意的结果数，根据概率公式计算即可．
21．定义：到三角形两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心，如图，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心，已知，如图，在△ABC中，∠A为直角，BC=5，AB=3．
（1）若△ABC的一个准外心P在AC边上，试用尺规找出点P的位置（保留痕迹，不写作法）；
（2）求线段PA的长．
【答案】（1）解：如图所示；
（2）解： ∵，，
∴，
① 若，设，则，
解得：，
即；
② 若，则；
③ 若，由图知，在中，不可能，
综上或.
【知识点】勾股定理；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）①作线段BC和AC的垂直平分线交AC于点P ，则点P即为所作；
（2）根据勾股定理求出长，然后再分①；②；③三种情况，根据等腰三角形的定义和勾股定理解答即可．
22．如图，过原点O的直线与反比例函数（k≠0）的图象交于A、B两点.一次函数y=mx+b（m≠0）的图象过点A与反比例函数交于另一点C，与x轴交于点M，其中A（-2，1），C（-1，n）.
（1）求一次函数y=mx+b的表达式，并求△AOM的面积；
（2）连结BC，在直线AC上是否存在点D，使以O、A、D为顶点的三角形与△ABC相似.若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解： 把A(-2，1)代入到中得：，
解得： ，
反比例函数解析式为 ，
在 中， 当 时， ，
C (-1，2) ，
把 A(-2，1)， C(-1，2) 代入到 中得： ，
解得 ，
一次函数 的表达式为 ，
在 中， 当 时， ，
M(-3，0)，
，
；
（2）解：存在；
∵直线 AB 经过原点，
∴由反比例函数的对称性可得点 B 的坐标为 B(2， -1)，，
∵A(-2， 1)，C(-1， 2)，
∴，，
，
∴，，
∴，
∴，
∴$OA$ 与 $AC$ 不垂直，
∵ 与 相似，
∴只存在 和 这两种情况，
当时，则，，
，，
此时点D为AC的中点，
点D的坐标为，
当时，则，
，
， ，
设 ，
，
解得： ，
；
点D的坐标为；
综上所述，点D的坐标为或.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理的逆定理；坐标系中的两点距离公式；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入求出反比例函数解析式，进而求出点C坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式，求出点M的坐标，根据三角形的面积公式计算即可；
（2）利用对称性得到点B坐标，然后根据勾股定理的逆定理得到，再分为和两种情况，根据对应边成比例求出点D的坐标即可．
23．达州某冷饮店夏季热销凉虾和冰粉.凉虾每份售价6元，冰粉每份售价9元.已知某日共售出凉虾和冰粉50份，总收入为360元.
（1）求当天售出凉虾和冰粉各多少份？
（2）为提升利润，店铺调整冰粉售价.调研发现，冰粉售价每上涨1元，销量减少4份.设冰粉售价上涨x元，每份冰粉成本为5元；
①写出销售冰粉的日利润y（元）与x（元）的函数关系式；
②求x的取值范围.
（3）冰粉售价定为多少元时，日利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设凉虾a份，冰粉b份，
根据题意得，，
解得：，
答：当天售出凉虾份，冰粉份；
（2）解：
；
，解得：，
∴的取值范围是；
（3）解：
∵，，
∴当时，日利润有最大值，为元，此时定价为（元），
答：冰粉定价为元时，日利润最大，最大利润为元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（）设凉虾a份，冰粉b份，根据“ 虾每份售价6元，冰粉每份售价9元.已知某日共售出凉虾和冰粉50份，总收入为360元 ”列方程组解答即可；
（）根据单利润×销售量=总利润列函数关系式解答即可；
根据题意得，解不等式求出x的取值范围即可；
（）把二次函数配方为顶点式，然后根据二次函数的顶点坐标得到最值解答即可．
24．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度.如图，太阳能电池板宽为AB，点O是AB的中点，OC是灯杆.地面上三点D，E与C在一条直线上，DE=1.5m，EC=5m.该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为37°，在E处测得电池板边缘点B的仰角为45°.此时点A、B与E在一条直线上.
（1）求观测点E与电池板边缘点B之间的距离；
（2） 求太阳能电池板宽 AB 的长度.（结果精确到 0.1 m. 参考数据：，，，）
【答案】（1）解：过点作，
设，由题意，得：，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴；
答：观测点E与电池板边缘点B之间的距离为；
（2）解：过点作，则：四边形为矩形，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∴
点为的中点，
，
答：太阳能电池板宽的长度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点作，设，在，根据正切的定义求出的长，再根据线段的和差求出x的值，进而可得的长解答即可；
（2）过点作，即可得到，进而得到的长，然后根据中点的定义求出的长解答即可．
25．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方.
（1）求抛物线的表达式.
（2）如图1，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点E，若PE=2ED，求点P的坐标.
（3） 如图2，连接AC、PC、AP，AP与BC交于点G，过点P作交BC于点F.记、、的面积分别为，，.当取得最大值时，求的值.
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A(-1，0)，B(3，0)，
解得：；
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；
（2）解：∵当x=0时，y=-x2+2x+3=3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y=kx+n，
∴
解得：，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
设P（m，-m2+2m+3），则PD=-m2+2m+3，
∵PD⊥x轴于点D，
∴E（m，-m+3），D（m，0），
∴DE=-m+3，
∴PE=PD-DE=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m，
∵PE=2ED，
∴-m2+3m=2（-m+3），
解得m1=2，m2=3（此时B，D重合，不合题意舍去），
∴m=2，
∴P（2，3）；
（3）解： ，
，
，
，，
，
作交y轴于N，作轴交BC于Q，
∵直线BC的解析式为y=-x+3，AN∥BC，
∴直线AN的解析式为y=-x+b'，
将A（-1，0）代入y=-x+b'，得：0=-（-1）+b'，
解得：b'=-1，
∴直线AN的解析式为y=-x-1，
当x=0时，yN=-1，
∴N（0，-1），
∴ON=1，CN=ON+CO=4，
∵AN∥BC，PQ∥y，
∴∠PQF=∠NCB=∠ANC，∠PFC=∠ACF，
∵∠PFC=∠FPQ+∠PQF，∠ACF=∠NCB+∠ACN，
∴∠FPQ=∠ACN，
∴△CAN∽△PFQ，
设P（n，-n2+2n+3），则Q（n，-n+3），
∴PQ=-n2+3n，
∴，
∴当时，有最大值，
此时，
∴，，
∵ON=OA=1，OB=OC=3，
∴∠OBC=∠ANC=45°，
∵∠ANC=∠PQF，
∴∠OBC=∠PQF，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；求正弦值；相似三角形的判定-AA；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）求出抛物线与y轴交点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，设，则，则，，根据，求出m的值解答即可；
（3）根据平行线可得，根据对应边成比例推理得到，作交y轴于N，作轴交于Q，求出直线的解析式，进而得到点N的坐标，求出CN 长，再推理得到，设，则，即可得到，求出，进而得到点P，Q的坐标，根据两点间距离公式求出PQ，CQ长，得到，即可得到，根据正弦的定义解答即可．
26．
（1）【观察、猜想】
如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，，则的值为　 　；
（2）【类比探究】
如图2，在矩形ABCD中，点E，F分别是边DC，BC上的点，连接AE，DF，且于点G，若，，求的值；
（3）【初步应用】
如图3，矩形ABCD中，，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H又AM ，点M，N分别在边BC，CD上，若，求的值；
（4）【灵活运用】
如图4，四边形ABCD中，，AB = AD = 20，BC = CD = 10，，点M，N分别在边BC，AB上，则的值为　 　.
【答案】（1）1
（2）解：∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
∴；

（3）解：如图，过点A作，交于P，过点B作，交于Q，
∵四边形是矩形，
∴．
∴四边形、四边形都是平行四边形，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴＝．
∵，
同理可得＝，
∴，
（4）
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（1）解：∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1；
（4）解：过点D作平行于的直线，交过点A平行于的直线于R，交的延长线于S，如图，
则四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是矩形，
∴．
∵，
∴由（3）中的结论可得 ．
设，则，
∴在中，①，
在中，②，
由得③，
解方程组 ，
得（舍去），或 ，
∴
∴．
故答案为：.
【分析】（1）根据正方形的性质，利用AAS得到，根据对应边成比例解答即可；
（2）根据矩形的性质，利用两角对应相等得到，根据对应边成比例解答即可；
（3）过点A作，交于P，过点B作，交于Q，即可得到、是平行四边形，然后推理得到，根据对应边成比解答即可；
（4）过点D作平行于的直线，交过点A平行于的直线于R，交的延长线于S，得到四边形是矩形，根据（3）中的结论可得 ．设，利用勾股定理列方程组求出x，y的值，然后解答即可．
1 / 1四川省达州市某中学2026年自主招生数学试卷
1．-|-2025|的相反数是（　　）
A．-2025 B． C． D．2025
2．汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A．（3x）2=9x2 B．5x 2x=10x
C．x6÷x2=x3 D．（x-2）2=x2-4
4．如图，一横一竖两块砖头放置于水平地面，其主视图为（　　）
A． B． C． D．
5．统计数据显示，截至2025年3月15日电影《哪吒2》全球票房（含预售及海外）超150亿元，位列全球影史票房榜第五位.将数据150亿用科学记数法表示为（　　）
A．150×108 B．15×109 C．1.5×1010 D．1.5×1011
6．如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值是（　　）
A． B．
C．或 D．且
7． 如图，在反比例函数的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足，当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动. 若，则k的值为 (　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
8．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴是直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），与y轴交点坐标是（0，m）且2＜m＜3.有下列结论：
①； ②； ③；④关于x的一元二次方程必有两个不相等实根；
⑤若点A(， )， B(， )， C(， ) 在抛物线上， 且， 当时， 则n的取值范围为.
其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．分解因式：　 　．
10．若代数式有意义，则实数x的取值范围是　 　.
11．袋子中装有4个黑球2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同．在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，这个球为白球的概率是　 　．
12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x-1的图象与反比例函数（k≠0）的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为（0，3），连接AC，BC，若AC=BC，则实数k的值为　 　.
13．等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交AB于点D，交直线AC于点E，连接BE，若AE=5，tan∠AED=，则△BEC的面积为　 　.
14． 关于 x 的方程有实数根，则 k 的取值范围：　 　.
15． 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是　 　.
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8.点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作 PAQB，则线段PQ的最小值是　 　.
17．已知二次函数 及一次函数 ，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数 如图所示 ，当直线 与新图象有4个交点时，m的取值范围是　 　
18．如图，正方形ABCD中，∠EAF=45°，BD分别交AE、AF于M、N，连MF、EF，下列结论：①MN2=BN2+DM2；②S△CEF=2CD；③AM=MF且AM⊥MF；④若E为CD中点，则F为BC三等分点.其中正确的是　 　 .
19．（1） 计算：；
（2） 先化简，再求值：，其中a从-2，-1，2，3中取一个合适的数代入求值.
20．某校开展“共享阅读 向上人生”的读书活动，为了解学生对四类书籍（A体育类，B科技类，C文学类，D艺术类）的喜爱情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行了问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四类书籍中选择一类），并将数据进行统计和整理，绘制了两幅不完整的统计图，根据图中信息，请回答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有　 　人，估计该校2000名学生喜爱“B科技类”书籍的人数约为　 　人.
（2）请将条形统计图补充完整.
（3）在活动中，甲、乙、丙三名学生表现优秀，决定从这三名学生中随机选取两名学生参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲和乙的概率.
21．定义：到三角形两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心，如图，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心，已知，如图，在△ABC中，∠A为直角，BC=5，AB=3．
（1）若△ABC的一个准外心P在AC边上，试用尺规找出点P的位置（保留痕迹，不写作法）；
（2）求线段PA的长．
22．如图，过原点O的直线与反比例函数（k≠0）的图象交于A、B两点.一次函数y=mx+b（m≠0）的图象过点A与反比例函数交于另一点C，与x轴交于点M，其中A（-2，1），C（-1，n）.
（1）求一次函数y=mx+b的表达式，并求△AOM的面积；
（2）连结BC，在直线AC上是否存在点D，使以O、A、D为顶点的三角形与△ABC相似.若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由.
23．达州某冷饮店夏季热销凉虾和冰粉.凉虾每份售价6元，冰粉每份售价9元.已知某日共售出凉虾和冰粉50份，总收入为360元.
（1）求当天售出凉虾和冰粉各多少份？
（2）为提升利润，店铺调整冰粉售价.调研发现，冰粉售价每上涨1元，销量减少4份.设冰粉售价上涨x元，每份冰粉成本为5元；
①写出销售冰粉的日利润y（元）与x（元）的函数关系式；
②求x的取值范围.
（3）冰粉售价定为多少元时，日利润最大？最大利润是多少元？
24．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度.如图，太阳能电池板宽为AB，点O是AB的中点，OC是灯杆.地面上三点D，E与C在一条直线上，DE=1.5m，EC=5m.该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为37°，在E处测得电池板边缘点B的仰角为45°.此时点A、B与E在一条直线上.
（1）求观测点E与电池板边缘点B之间的距离；
（2） 求太阳能电池板宽 AB 的长度.（结果精确到 0.1 m. 参考数据：，，，）
25．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方.
（1）求抛物线的表达式.
（2）如图1，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点E，若PE=2ED，求点P的坐标.
（3） 如图2，连接AC、PC、AP，AP与BC交于点G，过点P作交BC于点F.记、、的面积分别为，，.当取得最大值时，求的值.
26．
（1）【观察、猜想】
如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，，则的值为　 　；
（2）【类比探究】
如图2，在矩形ABCD中，点E，F分别是边DC，BC上的点，连接AE，DF，且于点G，若，，求的值；
（3）【初步应用】
如图3，矩形ABCD中，，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H又AM ，点M，N分别在边BC，CD上，若，求的值；
（4）【灵活运用】
如图4，四边形ABCD中，，AB = AD = 20，BC = CD = 10，，点M，N分别在边BC，AB上，则的值为　 　.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求有理数的相反数的方法；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解： ，
，
的相反数为，
∴的相反数为2025；
故答案为：D .
【分析】求出绝对值，根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、能看作是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据轴对称图形的定义“如果将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”判断解答即可.
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故选项计算正确，符合题意；
B. ，故选项计算错误，不符合题意；
C. ，故选项计算错误，不符合题意；
D. ，故选项计算错误，不符合题意；
故答案为：A .
【分析】根据积的乘方、同底数幂的除法、单项式乘单项式、完全平方公式的运算法则逐项判断解答即可．
4．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据题意得：其主视图是
故选：D．
【分析】根据主视图是从前面看到的图形解答即可．
5．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：150亿用科学记数法表示为；
故答案为：C .
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
6．【答案】C
【知识点】一元一次方程的解；解分式方程；分式方程的无解问题
【解析】【解答】
解：
去分母得：mx-x=2(1-x)
整理得 ：（1+m）x=2
∵分式方程无解，
∴①x=1为增根，即1+m=2，解得m=1，
②1+m=0，解得m=-1，
综上所述：或 .
故答案为：C .
【分析】根据解分式方程得步骤，化简整理得（1+m）x=2；再分别讨论无解得两种情况，计算即可解答.
7．【答案】D
【知识点】反比例函数图象的对称性；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：连接OC，过点A作AE⊥y轴与点E，过点B作BF⊥x轴与点F，如下图所示：
由直线AB与反比例函数的对称性可知点A和点B关于点O对称，
又
又
∵点C在第一象限，
∴k＝8，
故答案为：D .
【分析】连接OC，过点A作AE⊥y轴与点E，过点B作BF⊥x轴与点F，根据对称性和三线合一得到∠AOE＝∠COF，即可得到△AOE∽△COF，再根据对应边成比例求出，然后根据正切的定义得到 ，解答即可．
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则
∴，
又∵抛物线与轴交点坐标是，即，
∵，即，
∴，故①正确；
∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，
∴另一个交点坐标为，
∴当时，，故②错误；
∵，在抛物线的图象上，
∴，
又∵，
∴，
∴即，
∵，即，
∴，
∴即，
当时，取得最大值，最大值为，
∴，
∴，故③正确；
∵，，，
即，
∵
对称轴为直线，当时，的值随的增大而减小，
又∵，
∴，
∴当时，，
∴当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确；
∵若点抛物线上，且，
∴，，
∵存在，
∴，，
即，，，
解得：，故⑤正确；
故正确的有①③④⑤，共4个．
故答案为：C .
【分析】根据函数图象的开口方向、对称轴和抛物线与y轴交点的位置判断的符号即可判断①；根据抛物线的对称性求出另一个交点坐标，得到时，判断②；根据对称轴得到，，结合抛物线的最值判断③；求得的范围，再根据一元二次方程根的判别式得到一元二次方程的解情况判断④；根据，结合函数图象分析得出判断⑤解答即可．
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】直接提取公因式a即可.
10．【答案】x>3且x≠2025
【知识点】分式有无意义的条件；零指数幂；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解： ∵代数式有意义，
∴ x-3>0且x- 2025≠0，
解得：x>3且x≠2025，
故答案为：x>3且x≠2025.
【分析】由二次根式及分式、零指数幂有意义的条件可得： x-3>0且x- 2025≠0，计算即可解答.
11．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】∵袋子中装有4个黑球2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同．
∴随机地从这个袋子中摸出一个球，这个球为白球的概率是： = ．
故答案为： ．
【分析】由袋子中装有4个黑球2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同．直接利用概率公式求解即可求得答案．
12．【答案】-6
【知识点】因式分解法解一元二次方程；点的坐标；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：当y=0时，0=-x-1， 解得x=-1，
∴点B的坐标为(-1，0)，
∵点C坐标为(0，3)，
∴BC=
设点A坐标为(m， -m-1)，
∴AC2=(m-0)2+(-m-1-3)2 =2m2 + 8m+16
∵AC2= BC2，
∴2m2 + 8m+16=10，
解得m=-3，m=-1 (不合题意，舍去)
∴m=-3，
∴点A坐标为(-3，2)，
∴2=
解得k=-6，
故答案为：-6.
【分析】先由一次函数的解析式求出点B的坐标为(-1，0)；再利用勾股定理求出BC，利用两点之间的距离公式求出AC2，再根据AC= BC列方程，解方程并进一步即可得到点A坐标为( -3.2)，利用待定系数法即可求出实数k的值，解答即可.
13．【答案】或
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；已知正切值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：当∠BAC为锐角时，如图，
根据题意得∠ADE = 90，
∴tan∠AED=.
设AD=3x，则DE = 4x，
∵AE=5.
∴AD2 +DE2=AE2，即(3x)2+(4x)2=52，解得x=1，
∴AD=3，DE=4，
由折叠得AB= 2AD=6，
∴AC=6，
∴，
过点C作CF⊥AB于点F，则CF // DE，
∴ADECAFE，
∴即，
∴CF=，
∴，
∴
过点B作BG于点G，则
∴
同（1）可得AE=5，AB=AC=6，
∴CE=AC+AE=
∴
综上所述， △BEC的面积为或.
故答案为：或.
【分析】分∠BAC为锐角和钝角两种情况讨论求解：①当∠BAC为锐角时求出AD=3，DE=4，由折叠得AB=6，可求得，再利用相似计算出，再利用面积之差计算即可解答；②当∠BAC为钝角时，过点B作BG⊥CE于点G，得出，可求出CE，从而利用面积公式计算即可解答.
14．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；一元二次方程根的判别式及应用；已知一元一次方程的解求参数；分类讨论
【解析】【解答】解：当时，原方程为，解得，有实数根；
当时，原方程为一元二次方程，
则，
解得，
又∵，即，
∴，
∴且．
综上，的取值范围为，
故答案为：．
【分析】分为两种：当时，方程是一元一次方程，有实数根；当时，原方程是一元二次方程，利用根的判别式和二次根式的被开方数是非负数得到k的取值范围解答即可．
15．【答案】12
【知识点】已知分式方程的解求参数；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得： ，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴；
解分式方程得，
∵关于的分式方程的解均为负整数，
∴且是整数且，
∴且且a是偶数，
∴且且a是偶数，
∴满足题意的a的值可以为4或8，
∴所有满足条件的整数a的值之和是．
故答案为：．
【分析】先解不等式组，根据不等式组的解集求出；解分式方程得到，再根据分式方程的解为负整数，得到且且a是偶数，即可得到整数a的值解答即可．
16．【答案】4.8
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：解：设PQ交AB于点E，作BD⊥AC于点D，取AD的中点F，连接EF，
∵∠ABC=90°， AB=6， BC=8，
∴AC=
∵四边形PAQB是平行四边形，
，EA=ED，
∵E为AB的中点，F为AD的中点，
∴线段PQ的最小值是
故答案为：A .
【分析】设PQ交AB于点E，作BD⊥AC于点D，取AD的中点F，连接EF，由 BC=8， 求得 根据△ABC的面积求得 由平行四边形的性质得则 由 得 ，则 据此解答即可.
17．【答案】-2＜m＜-6
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：令y=-x2+x+6中y=0，得x=-2或x=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0）、（3，0）.
∵将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，
∴此时的函数解析式为y=(x+2)(x-3)，即y=x2-x-6.
当直线y=-x+m经过点（-2，0）时，有0=2+m，
解得m=-2.
当直线y=-x+m与y=x2-x-6有唯一公共点时，x2-x-6=-x+m，即x2-6-m=0，
此时有-4(-m-6)=0，
解得m=-6，
∴-2故答案为：-2【分析】首先求出抛物线与x轴的交点坐标，得出将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方对应的函数解析式，求出直线y=-x+m经过点（-2，0）以及直线y=-x+m与y=x2-x-6有唯一公共点时，对应的m的值，据此可得m的范围.
18．【答案】①②③④
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：①过B作的垂线，截取，连接，如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
在和中，∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
在和中，∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，成立．
②延长，在延长线上截取，连接，如图，
在和中，∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，∵，
同理得，
∴，即，
∴，
∴，成立；
③如图，过F作交的延长线于J，过J作于K，连接，过J作交于G，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
在和中，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在和中，∵，
∴，
∴，
则M为的中点，
又，
故，且，成立．
④延长，截取，连接，
可设，
则，
∵E为中点，
∴，
∴，
在中，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，
即为三等分点．成立．
故答案为：D .
【分析】过B作的垂线，截取，连接，根据SAS得到，即可得到，利用勾股定理计算判断①；延长，截取，连接，根据SAS得到，即可得到，即可得到，判断②．过F作交的延长线于J，过J作于K，连接，过J作交于G，得到为等腰直角三角形，即可得到，进而得到，证明为平行四边形，然后得到，即可得到且判断③．延长，截取，连接，可设，表示EF，CF，根据勾股定理得到，然后求出比值判断④解答即可．
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
∵，
∴，
∴当时，原式．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）先计算算术平方根、绝对值、负整数指数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，再运算加减解答即可；
（2）先把括号内的分式通分，然后把除法化为乘法，分解因式后约分化简，再根据分式有意义的条件得到a的值，代入计算即可．
20．【答案】（1）200；800
（2）解：喜爱C文学类的人数为：200-20-80-40=60（人），
将条形统计图补充完整如下：

（3）解：列表如下：
甲 乙 丙
甲 　 （乙，甲） （丙，甲）
乙 （甲，乙） 　 （丙，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙） 　
共有6种等可能结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种，
∴恰好选中甲和乙的概率==．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：本次抽取调查的学生共有（人），
该校2000名学生喜爱“B科技类”书籍的人数约为：（人），
故答案为：200，800；
【分析】（1）由D艺术类的人数除以占比求出抽样调查的学生，用2000乘以喜爱“B科技类”的占比求出喜爱“B科技类”书籍的人数解答即可；
（2）用总人数减去喜欢其它类型书籍人数求出C文学类的人数，补全条形统计图即可；
（3）列表得到所有等可能性的结果数， 找出符合题意的结果数，根据概率公式计算即可．
21．【答案】（1）解：如图所示；
（2）解： ∵，，
∴，
① 若，设，则，
解得：，
即；
② 若，则；
③ 若，由图知，在中，不可能，
综上或.
【知识点】勾股定理；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）①作线段BC和AC的垂直平分线交AC于点P ，则点P即为所作；
（2）根据勾股定理求出长，然后再分①；②；③三种情况，根据等腰三角形的定义和勾股定理解答即可．
22．【答案】（1）解： 把A(-2，1)代入到中得：，
解得： ，
反比例函数解析式为 ，
在 中， 当 时， ，
C (-1，2) ，
把 A(-2，1)， C(-1，2) 代入到 中得： ，
解得 ，
一次函数 的表达式为 ，
在 中， 当 时， ，
M(-3，0)，
，
；
（2）解：存在；
∵直线 AB 经过原点，
∴由反比例函数的对称性可得点 B 的坐标为 B(2， -1)，，
∵A(-2， 1)，C(-1， 2)，
∴，，
，
∴，，
∴，
∴，
∴$OA$ 与 $AC$ 不垂直，
∵ 与 相似，
∴只存在 和 这两种情况，
当时，则，，
，，
此时点D为AC的中点，
点D的坐标为，
当时，则，
，
， ，
设 ，
，
解得： ，
；
点D的坐标为；
综上所述，点D的坐标为或.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理的逆定理；坐标系中的两点距离公式；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入求出反比例函数解析式，进而求出点C坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式，求出点M的坐标，根据三角形的面积公式计算即可；
（2）利用对称性得到点B坐标，然后根据勾股定理的逆定理得到，再分为和两种情况，根据对应边成比例求出点D的坐标即可．
23．【答案】（1）解：设凉虾a份，冰粉b份，
根据题意得，，
解得：，
答：当天售出凉虾份，冰粉份；
（2）解：
；
，解得：，
∴的取值范围是；
（3）解：
∵，，
∴当时，日利润有最大值，为元，此时定价为（元），
答：冰粉定价为元时，日利润最大，最大利润为元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（）设凉虾a份，冰粉b份，根据“ 虾每份售价6元，冰粉每份售价9元.已知某日共售出凉虾和冰粉50份，总收入为360元 ”列方程组解答即可；
（）根据单利润×销售量=总利润列函数关系式解答即可；
根据题意得，解不等式求出x的取值范围即可；
（）把二次函数配方为顶点式，然后根据二次函数的顶点坐标得到最值解答即可．
24．【答案】（1）解：过点作，
设，由题意，得：，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴；
答：观测点E与电池板边缘点B之间的距离为；
（2）解：过点作，则：四边形为矩形，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∴
点为的中点，
，
答：太阳能电池板宽的长度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点作，设，在，根据正切的定义求出的长，再根据线段的和差求出x的值，进而可得的长解答即可；
（2）过点作，即可得到，进而得到的长，然后根据中点的定义求出的长解答即可．
25．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A(-1，0)，B(3，0)，
解得：；
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；
（2）解：∵当x=0时，y=-x2+2x+3=3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y=kx+n，
∴
解得：，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
设P（m，-m2+2m+3），则PD=-m2+2m+3，
∵PD⊥x轴于点D，
∴E（m，-m+3），D（m，0），
∴DE=-m+3，
∴PE=PD-DE=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m，
∵PE=2ED，
∴-m2+3m=2（-m+3），
解得m1=2，m2=3（此时B，D重合，不合题意舍去），
∴m=2，
∴P（2，3）；
（3）解： ，
，
，
，，
，
作交y轴于N，作轴交BC于Q，
∵直线BC的解析式为y=-x+3，AN∥BC，
∴直线AN的解析式为y=-x+b'，
将A（-1，0）代入y=-x+b'，得：0=-（-1）+b'，
解得：b'=-1，
∴直线AN的解析式为y=-x-1，
当x=0时，yN=-1，
∴N（0，-1），
∴ON=1，CN=ON+CO=4，
∵AN∥BC，PQ∥y，
∴∠PQF=∠NCB=∠ANC，∠PFC=∠ACF，
∵∠PFC=∠FPQ+∠PQF，∠ACF=∠NCB+∠ACN，
∴∠FPQ=∠ACN，
∴△CAN∽△PFQ，
设P（n，-n2+2n+3），则Q（n，-n+3），
∴PQ=-n2+3n，
∴，
∴当时，有最大值，
此时，
∴，，
∵ON=OA=1，OB=OC=3，
∴∠OBC=∠ANC=45°，
∵∠ANC=∠PQF，
∴∠OBC=∠PQF，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；求正弦值；相似三角形的判定-AA；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）求出抛物线与y轴交点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，设，则，则，，根据，求出m的值解答即可；
（3）根据平行线可得，根据对应边成比例推理得到，作交y轴于N，作轴交于Q，求出直线的解析式，进而得到点N的坐标，求出CN 长，再推理得到，设，则，即可得到，求出，进而得到点P，Q的坐标，根据两点间距离公式求出PQ，CQ长，得到，即可得到，根据正弦的定义解答即可．
26．【答案】（1）1
（2）解：∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
∴；

（3）解：如图，过点A作，交于P，过点B作，交于Q，
∵四边形是矩形，
∴．
∴四边形、四边形都是平行四边形，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴＝．
∵，
同理可得＝，
∴，
（4）
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（1）解：∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1；
（4）解：过点D作平行于的直线，交过点A平行于的直线于R，交的延长线于S，如图，
则四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是矩形，
∴．
∵，
∴由（3）中的结论可得 ．
设，则，
∴在中，①，
在中，②，
由得③，
解方程组 ，
得（舍去），或 ，
∴
∴．
故答案为：.
【分析】（1）根据正方形的性质，利用AAS得到，根据对应边成比例解答即可；
（2）根据矩形的性质，利用两角对应相等得到，根据对应边成比例解答即可；
（3）过点A作，交于P，过点B作，交于Q，即可得到、是平行四边形，然后推理得到，根据对应边成比解答即可；
（4）过点D作平行于的直线，交过点A平行于的直线于R，交的延长线于S，得到四边形是矩形，根据（3）中的结论可得 ．设，利用勾股定理列方程组求出x，y的值，然后解答即可．
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