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四川省绵阳市平武县初中2026年数学第一次学业诊断
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列四个数中，最大的数为（　　）
A．-π B．3.14 C．π D．-3
【答案】C
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：
则四个数中，最大的数为
故答案为：C．
【分析】根据0大于负数；正数大于0比较大小即可．
2．随着人工智能、大数据、云计算等技术的广泛应用，某市积极推进多个公共算力中心的建设.若现有设备的算力为4×1017Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），预计新设备整体投产后，累计实现的算力将是现有设备的算力的5倍，达到mFlops，则m的值为（　　）
A．8×1016 B．2×1017 C．5×1017 D．2×1018
【答案】D
【知识点】有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：．
故答案为：D．
【分析】先运算乘法，然后利用科学记数法记数即可.
3．小明观察某个路口的红绿灯，发现该红绿灯的时间设置为：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒．当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒，
遇到绿灯的概率是，
故选：C．
【分析】根据概率公式计算即可．
4．如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，为长方形，中心为小圆柱，从正面看不到，用虚线表示，如图：
故答案为：C.
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的的棱都应表现在图中，看不到的棱用虚线，看得到的棱用实线.
5．如图，在2×2的正方形网格中，有一个格点△ABC（三角形的三个顶点都在格点上），则网格中所有与△ABC成轴对称的格点三角形有（　　）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：如图，
与成轴对称的格点三角形有共5个．
故答案为：C．
【分析】根据轴对称的定义画出与成轴对称的格点三角形解答即可．
6．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：选项A：，与不是同类二次根式，不能合并，结果不等于，计算错误；
选项B：，计算正确；
选项C：，计算错误；
选项D：，计算错误．
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的减法、乘法、除法和二次根式的化简法则逐项判断解答即可．
7．如图，△ABC的中线BF、AE交于点O，且AE⊥BF，点D是AB边上的中点，连接DO，若DO=4，∠BAO=60°，则BC的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，点D是边上的中点，，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵的中线、交于点O，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D.
【分析】连接，根据直角三角形斜边中线的性质得到AB和OD的长，然后得到是等边三角形，即可得到根据三角形中位线定理可得，即可得到，进而可得，再利用勾股定理解答即可．
8．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠ADE为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：根据旋转的性质可得，，
∴．
故答案为：C.
【分析】利用旋转的性质可得AB=AD，然后根据等边对等角和三角形内角和定理解答即可．
9．如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且∠CAB=54°.①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交BA，BC于D，E；②分别以D、E为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P；③作射线BP，与AC交于点F，则∠BFC的度数为（　　）
A．60° B．64° C．68° D．72°
【答案】D
【知识点】角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵为半圆O的直径，
∴，
∵，
∴，
由作图知，是的角平分线，
∴，
∴．
故答案为：D.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，然后根据直角三角形的两锐角互余得到∠ABC=36°，由作图可知是的角平分线，即可得到，再根据三角形的外角解答即可．
10．如图，在△ABC中，边BC上的高是（　　）
A．AD B．BE C．BF D．CF
【答案】A
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：三角形高的定义为：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．
故答案为：A ．
【分析】根据三角形高线的定义解答即可．
11．如图，小明和爸爸在玩跷跷板.已知小明的体重为50kg，距离跷跷板支点的距离为1.2m，设爸爸的体重为xkg，距离跷跷板支点的距离为ym.若要使跷跷板保持平衡，则x与y应满足的关系式为（　　）.
A．y=60x B． C． D．y=50x
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，得
∴
故答案为：C．
【分析】根据小明的体重与小明到跷跷板支点的距离之积、爸爸的体重与小明爸爸到跷跷板支点的距离之积相等解答即可．
12．在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过，且当时，的值随值的增大而减小，则该抛物线与轴交点的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：抛物线（为常数）经过，
∴，
解得：或，
∵当时，的值随值的增大而减小，且抛物线的对称轴是直线，
∴抛物线的开口向上，
∴，
∴抛物线的解析式为：，
令：，
∵，
∴方程没有实数根，
∴抛物线与轴没有交点，
故选：A．
【分析】将代入解析式，求出m的值，再根据函数的增减性得到m=1，即可求出函数解析式，令y=0，根据根的判别式的值判断抛物线与x轴交点的个数即可．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13．分解因式：　 　．
【答案】（x-3）（x-1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】（x-3）（x-1） ，
故答案为： （x-3）（x-1） 。
【分析】利用提取公因式的方法求解即可。
14．如图，一次函数y=mx+n图象过点A（2，3）.设w=m+2n，则w的取值范围是　 　 .
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵一次函数图像过点，
∴，
∴，
把代入得：
，
把代入得：，
把代入得：，解得：，
∴一次函数与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为，
根据函数图象可得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
即．
故答案为：．
【分析】先把A点坐标代入解析式得出，求出一次函数与坐标轴的交点坐标为，，即可得到n>0，m>0，据此求出n的取值范围解答即可．
15．如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是　 　；
【答案】12
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，平移距离为3，且，
∴，
∴，
∴．
故答案为：12.
【分析】由平移的性质可得，即可得到AC长，利用线段的和差解答即可．
16．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有，例：3*4=3×4+3=15，若关于x的方程x*(x+1)=0，则此方程　 　（填“有两个不相等”“有两个相等”“没有”）实数根．
【答案】没有
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴此方程没有实数根．
故答案为：没有．
【分析】根据新定义运算法则得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式判断方程根的情况解答即可．
17．已知实数x，y满足x2-xy+y2=6，则x2+xy+y2的最大值为　 　 .
【答案】18
【知识点】完全平方公式及运用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意，设①，
又②，
得，，
即，
得，，
∴，
，
的最大值为18．
故答案为：18.
【分析】先设，利用加减消元求得和的值，然后根据差的完全平方公式得到，求出w的取值范围即可．
18．如图，点A在反比例函数的图象上，作AB⊥x轴于点B，点C在y轴上，若的面积为5，则k的值为　 　．
【答案】-10
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵轴，
∴，
∴，
∴或，
又∵函数图象位于第二象限，
∴．
故答案为：-10.
【分析】连接，根据等高等底的两三角形的面积相等得到，然后根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
19．计算题
（1）
（2）2x（x-2）=x-3
【答案】（1）

（2）2x（x-2）=x-3
方程整理得：

【知识点】二次根式的混合运算；公式法解一元二次方程；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先运算有理数的乘方、二次根式的化简、绝对值、代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，再合并同类二次根式解答即可；
（2）先移项，然后根据公式法解一元二次方程即可．
四、解答题：本题共6小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20．每年的4月23日是世界读书日．某校为了解学生进行课外阅读的情况，在该校学生中随机抽取部分学生展开关于每周课外阅读时长的调查（每人必选其中一项），其中A：每周课外阅读小于1小时，B：每周课外阅读1~3小时，C：每周课外阅读3~5小时，D：每周课外阅读5小时以上．将参加调查的学生的数据整理后，依据样本数据得到如下两幅不完整的条形图和扇形图．
请根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是　 　，n=　 　；
（2）直接补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为　 　，
（4）若该校有2000名学生，请你估计每周阅读时长不少于3小时的学生有多少人．
【答案】（1）50；32
（2）解：D的人数为50×22%=11（人）
∴C的人数为50-8-16-11=15（人）
补全条形统计图如下：
（3）108°
（4）解：（名）.
答：每周阅读时长不少于3小时的学生约有1040名.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次调查的样本容量是；
∴；
故答案为：50；32；
（3）解：扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为；
故答案为：108°；
【分析】（1）用A组的人数除以A组占得百分比即可求出样本容量；运用B组人数除以样本容量乘以100%求出n的值解答即可；
（2）用样本容量乘以D组人数的占比得到D组的人数，然后运用考查总数减去其余组的人数求出C组的人数，补全条形统计图即可；
（3）用乘以C组的占比求出圆心角即可；
（4）用2000乘以样本中C和D的百分比解答即可．
21．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，若∠AEC=∠AFC.求证：BE=DF.
【答案】∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
∵∠AEC=∠AFC，∠AEB+∠AEC=∠AFD+∠AFC=180°，
∴∠AEB=∠AFD，
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE=DF.
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据菱形的性质，利用AAS得到△ABE≌△ADF，然后根据全等三角形的对应边相等得到结论即可.
22．某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系（其中40≤x≤70，且x为整数）．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）解：设商家获得的利润为w元，
①当40≤x≤60时，w＝（x-30）（-10x+700）＝-10（x-50）2+4000，
∵-10＜0，
∴当x＝50时，w有最大值，最大值为4000元；
②当60＜x≤70时，w＝（x-30）（5x-200）-150（x-60）＝5（x-50）2+2500，
∵5＞0，
∴当60＜x≤70时，w随x的增大而增大，
∴当x＝70时，w有最大值，最大值为：5（70-50）2+2500＝4500（元），
综上所述，当售价为70元时，该商家获得的利润最大，最大利润为4500元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：设线段AB的表达式为：，
将点(40，300)、(60，100)代入得：
解得：
函数的表达式为：，
设线段BC的表达式为：，
将点(60，100)、(70，150)代入得：
函数的表达式为：，
y与x的函数关系式为：；
故答案为：.
【分析】1）先设出一次函数关系式，分40≤x≤60和60＜x≤70两种情况用待定系数法分别求出函数解析式即可；
（2）设获得的利润为w元，分①当40≤x≤60时和②当60＜x≤70时两种情况分别求出函数解析式，然后根据自变量的取值范围和函数的性质求函数的最大值．
23．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点．
（1）抛物线经过的定点的坐标为　 　
（2）当点A（3，0）在这个函数图象时，
①求抛物线的函数关系式；
②抛物线上有一点P，连结AP、BP，若△ABP的面积为1时，求点P的坐标；
③当m≤x≤m+2时，函数的最小值是4，求m的值．
【答案】（1）（0，3），（4，3）
（2）解：①将点A（3，0）代入
可得9a-12a+3=0，
解得a=1，
②令y=0，
则
解得x=1或x=3，
∴A（3，0），B（1，0），
∴AB=2，
设
解得或或t=2，
或或（2，-1）；
③
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
当m+2≤2即m≤0时，x=m+2时，y有最大值
∵函数的最小值是4，
解得或（舍去）；
当m≥2时，x=m，y有最小值
∵函数的最小值是4，
解得或（舍去），
当m≤2≤m+1时，即1≤m≤2，
当x=2时，y有最小值-1，
∵函数的最小值是4，
∴此情况不存在，
综上所述：m的值为或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（1）解：，
当时，解得或，
∴抛物线经过定点，，
故答案为：，；
【分析】（1）把原式化为，根据不含项的系数为0得到，求出顶点的坐标即可；
（2）①将点代入解析式求出a的值解答即可；
②令y=0，求出抛物线与x轴的交点A、B的坐标，设，根据三角形的面积公式列式求出t的值解答即可；
③得到抛物线的对称轴为直线x=1，分为或m≤2≤m+1两种情况，根据二次函数的增减性得到最小值，列方程求出m的值即可．
24．在平面直角坐标系中，我们约定：
①不重合的两点P（a，b）与Q（-b，-a）为一对对换点；
②若某函数图象上至少存在一对对换点，则称该函数为对换函数．
根据约定，解答下列问题：
（1）反比例函数是对换函数吗？如果是，直接写出该函数图象上的一对对换点坐标；如果不是，说明理由．
（2）若关于x的一次函数y=kx+5是对换函数，则k的值是多少？
（3）对换函数中的实数m取满足条件的最小正整数时，求函数图象上的一对对换点坐标．
【答案】（1）解：设对换点为P（a，b）与Q（-b，-a），代入反比例函数解析式得：
由①得ab=6，
由②得ab=6，
故可得反比例函数是对换函数，
（2，3）和（-3，-2）
（2）解：设对换点为P（a，b）与Q（-b，-a），代入一次函数解析式得：
由②得a=kb-5，
把①代入得：a=k（ka+5）-5，
整理得
又因为存在不重合的对换点，a不能取任意值，所以时等式不成立，故且5（k-1）=0，
解得：k=1
（3）解：设对换点为P（a，b）与Q（-b，-a），代入函数解析式得：
两式相减得
整理得2（a+b）=（b-a）（b+a），
∵两点不重合，
∴a+b≠0，
∴b-a=2，
∴b=a+2，
∴代入得：
∴当a=-1时，m有最小值为
又m取最小正整数，
∴m=2，此时a=0，b=0+2=2，对换点为（0，2）和（-2，0）.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）取a=2，则b=3，对应对换点坐标为（2，3）和（-3，-2），
故答案为：（2，3）和（-3，-2）；
【分析】（1）把点P，Q的坐标代入得到，根据“对换函数”的定义即可判断，然后举出一对对换坐标即可；
（2）设对换点为与，代入一次函数解析式得，根据存在不重合的对换点，即可得到且5（k-1）=0，求出k的值解答即可；
（3）设对换点为与，代入二次函数解析式求得，求出，根据二次函数的顶点坐标得到最值解答即可．
25．
（1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
①证明：△ACD≌△BCE；
②请直接写出∠AEB的度数为 ▲ ；
（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．
①请求出∠AEB的度数；
②若CM=1，BE=1.2，求线段AE的长．
【答案】（1）证明：①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，CA=CB，CD=CE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△CDA和△CEB中，
∴△CDA≌△CEB，
②
（2）①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
则∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°
∴AC=BC，CD=CE，∠ADC=180°-45°=135°
∵∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∠BEC=∠ADC=135°.
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°；
②在等腰直角△DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM=DM=ME，
∴DE=2CM，
由①得AD=BE
∴AE=DE+AD=2CM+BE，
∵CM=1，BE=1.2，
∴AE=2+1.2=3.2.
【知识点】等边三角形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：（1）②∵为等边三角形，
∴，
∴
由①得，
∴，
∴；
故答案为：60°；
【分析】（1）①运用等边三角形的性质，根据SAS得到两三角形全等即可．
②根据全等三角形的对应角相等得到，然后根据三角形的外角；
（2）①根据等腰直角三角形的性质，利用SAS得到，即可得到AD=BE，∠BEC=∠ADC=135°，根据角的和差解答即可．
②根据等腰直角三角形的三线合一可得，再根据得到AE=2CM+BE解答即可．
1 / 1四川省绵阳市平武县初中2026年数学第一次学业诊断
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列四个数中，最大的数为（　　）
A．-π B．3.14 C．π D．-3
2．随着人工智能、大数据、云计算等技术的广泛应用，某市积极推进多个公共算力中心的建设.若现有设备的算力为4×1017Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），预计新设备整体投产后，累计实现的算力将是现有设备的算力的5倍，达到mFlops，则m的值为（　　）
A．8×1016 B．2×1017 C．5×1017 D．2×1018
3．小明观察某个路口的红绿灯，发现该红绿灯的时间设置为：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒．当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在2×2的正方形网格中，有一个格点△ABC（三角形的三个顶点都在格点上），则网格中所有与△ABC成轴对称的格点三角形有（　　）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
6．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，△ABC的中线BF、AE交于点O，且AE⊥BF，点D是AB边上的中点，连接DO，若DO=4，∠BAO=60°，则BC的长为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠ADE为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
9．如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且∠CAB=54°.①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交BA，BC于D，E；②分别以D、E为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P；③作射线BP，与AC交于点F，则∠BFC的度数为（　　）
A．60° B．64° C．68° D．72°
10．如图，在△ABC中，边BC上的高是（　　）
A．AD B．BE C．BF D．CF
11．如图，小明和爸爸在玩跷跷板.已知小明的体重为50kg，距离跷跷板支点的距离为1.2m，设爸爸的体重为xkg，距离跷跷板支点的距离为ym.若要使跷跷板保持平衡，则x与y应满足的关系式为（　　）.
A．y=60x B． C． D．y=50x
12．在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过，且当时，的值随值的增大而减小，则该抛物线与轴交点的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13．分解因式：　 　．
14．如图，一次函数y=mx+n图象过点A（2，3）.设w=m+2n，则w的取值范围是　 　 .
15．如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是　 　；
16．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有，例：3*4=3×4+3=15，若关于x的方程x*(x+1)=0，则此方程　 　（填“有两个不相等”“有两个相等”“没有”）实数根．
17．已知实数x，y满足x2-xy+y2=6，则x2+xy+y2的最大值为　 　 .
18．如图，点A在反比例函数的图象上，作AB⊥x轴于点B，点C在y轴上，若的面积为5，则k的值为　 　．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
19．计算题
（1）
（2）2x（x-2）=x-3
四、解答题：本题共6小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20．每年的4月23日是世界读书日．某校为了解学生进行课外阅读的情况，在该校学生中随机抽取部分学生展开关于每周课外阅读时长的调查（每人必选其中一项），其中A：每周课外阅读小于1小时，B：每周课外阅读1~3小时，C：每周课外阅读3~5小时，D：每周课外阅读5小时以上．将参加调查的学生的数据整理后，依据样本数据得到如下两幅不完整的条形图和扇形图．
请根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是　 　，n=　 　；
（2）直接补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为　 　，
（4）若该校有2000名学生，请你估计每周阅读时长不少于3小时的学生有多少人．
21．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，若∠AEC=∠AFC.求证：BE=DF.
22．某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系（其中40≤x≤70，且x为整数）．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？
23．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点．
（1）抛物线经过的定点的坐标为　 　
（2）当点A（3，0）在这个函数图象时，
①求抛物线的函数关系式；
②抛物线上有一点P，连结AP、BP，若△ABP的面积为1时，求点P的坐标；
③当m≤x≤m+2时，函数的最小值是4，求m的值．
24．在平面直角坐标系中，我们约定：
①不重合的两点P（a，b）与Q（-b，-a）为一对对换点；
②若某函数图象上至少存在一对对换点，则称该函数为对换函数．
根据约定，解答下列问题：
（1）反比例函数是对换函数吗？如果是，直接写出该函数图象上的一对对换点坐标；如果不是，说明理由．
（2）若关于x的一次函数y=kx+5是对换函数，则k的值是多少？
（3）对换函数中的实数m取满足条件的最小正整数时，求函数图象上的一对对换点坐标．
25．
（1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
①证明：△ACD≌△BCE；
②请直接写出∠AEB的度数为 ▲ ；
（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．
①请求出∠AEB的度数；
②若CM=1，BE=1.2，求线段AE的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：
则四个数中，最大的数为
故答案为：C．
【分析】根据0大于负数；正数大于0比较大小即可．
2．【答案】D
【知识点】有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：．
故答案为：D．
【分析】先运算乘法，然后利用科学记数法记数即可.
3．【答案】C
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒，
遇到绿灯的概率是，
故选：C．
【分析】根据概率公式计算即可．
4．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，为长方形，中心为小圆柱，从正面看不到，用虚线表示，如图：
故答案为：C.
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的的棱都应表现在图中，看不到的棱用虚线，看得到的棱用实线.
5．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：如图，
与成轴对称的格点三角形有共5个．
故答案为：C．
【分析】根据轴对称的定义画出与成轴对称的格点三角形解答即可．
6．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：选项A：，与不是同类二次根式，不能合并，结果不等于，计算错误；
选项B：，计算正确；
选项C：，计算错误；
选项D：，计算错误．
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的减法、乘法、除法和二次根式的化简法则逐项判断解答即可．
7．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，点D是边上的中点，，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵的中线、交于点O，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D.
【分析】连接，根据直角三角形斜边中线的性质得到AB和OD的长，然后得到是等边三角形，即可得到根据三角形中位线定理可得，即可得到，进而可得，再利用勾股定理解答即可．
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：根据旋转的性质可得，，
∴．
故答案为：C.
【分析】利用旋转的性质可得AB=AD，然后根据等边对等角和三角形内角和定理解答即可．
9．【答案】D
【知识点】角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵为半圆O的直径，
∴，
∵，
∴，
由作图知，是的角平分线，
∴，
∴．
故答案为：D.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，然后根据直角三角形的两锐角互余得到∠ABC=36°，由作图可知是的角平分线，即可得到，再根据三角形的外角解答即可．
10．【答案】A
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：三角形高的定义为：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．
故答案为：A ．
【分析】根据三角形高线的定义解答即可．
11．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，得
∴
故答案为：C．
【分析】根据小明的体重与小明到跷跷板支点的距离之积、爸爸的体重与小明爸爸到跷跷板支点的距离之积相等解答即可．
12．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：抛物线（为常数）经过，
∴，
解得：或，
∵当时，的值随值的增大而减小，且抛物线的对称轴是直线，
∴抛物线的开口向上，
∴，
∴抛物线的解析式为：，
令：，
∵，
∴方程没有实数根，
∴抛物线与轴没有交点，
故选：A．
【分析】将代入解析式，求出m的值，再根据函数的增减性得到m=1，即可求出函数解析式，令y=0，根据根的判别式的值判断抛物线与x轴交点的个数即可．
13．【答案】（x-3）（x-1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】（x-3）（x-1） ，
故答案为： （x-3）（x-1） 。
【分析】利用提取公因式的方法求解即可。
14．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵一次函数图像过点，
∴，
∴，
把代入得：
，
把代入得：，
把代入得：，解得：，
∴一次函数与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为，
根据函数图象可得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
即．
故答案为：．
【分析】先把A点坐标代入解析式得出，求出一次函数与坐标轴的交点坐标为，，即可得到n>0，m>0，据此求出n的取值范围解答即可．
15．【答案】12
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，平移距离为3，且，
∴，
∴，
∴．
故答案为：12.
【分析】由平移的性质可得，即可得到AC长，利用线段的和差解答即可．
16．【答案】没有
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴此方程没有实数根．
故答案为：没有．
【分析】根据新定义运算法则得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式判断方程根的情况解答即可．
17．【答案】18
【知识点】完全平方公式及运用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意，设①，
又②，
得，，
即，
得，，
∴，
，
的最大值为18．
故答案为：18.
【分析】先设，利用加减消元求得和的值，然后根据差的完全平方公式得到，求出w的取值范围即可．
18．【答案】-10
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵轴，
∴，
∴，
∴或，
又∵函数图象位于第二象限，
∴．
故答案为：-10.
【分析】连接，根据等高等底的两三角形的面积相等得到，然后根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
19．【答案】（1）

（2）2x（x-2）=x-3
方程整理得：

【知识点】二次根式的混合运算；公式法解一元二次方程；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先运算有理数的乘方、二次根式的化简、绝对值、代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，再合并同类二次根式解答即可；
（2）先移项，然后根据公式法解一元二次方程即可．
20．【答案】（1）50；32
（2）解：D的人数为50×22%=11（人）
∴C的人数为50-8-16-11=15（人）
补全条形统计图如下：
（3）108°
（4）解：（名）.
答：每周阅读时长不少于3小时的学生约有1040名.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次调查的样本容量是；
∴；
故答案为：50；32；
（3）解：扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为；
故答案为：108°；
【分析】（1）用A组的人数除以A组占得百分比即可求出样本容量；运用B组人数除以样本容量乘以100%求出n的值解答即可；
（2）用样本容量乘以D组人数的占比得到D组的人数，然后运用考查总数减去其余组的人数求出C组的人数，补全条形统计图即可；
（3）用乘以C组的占比求出圆心角即可；
（4）用2000乘以样本中C和D的百分比解答即可．
21．【答案】∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
∵∠AEC=∠AFC，∠AEB+∠AEC=∠AFD+∠AFC=180°，
∴∠AEB=∠AFD，
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE=DF.
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据菱形的性质，利用AAS得到△ABE≌△ADF，然后根据全等三角形的对应边相等得到结论即可.
22．【答案】（1）
（2）解：设商家获得的利润为w元，
①当40≤x≤60时，w＝（x-30）（-10x+700）＝-10（x-50）2+4000，
∵-10＜0，
∴当x＝50时，w有最大值，最大值为4000元；
②当60＜x≤70时，w＝（x-30）（5x-200）-150（x-60）＝5（x-50）2+2500，
∵5＞0，
∴当60＜x≤70时，w随x的增大而增大，
∴当x＝70时，w有最大值，最大值为：5（70-50）2+2500＝4500（元），
综上所述，当售价为70元时，该商家获得的利润最大，最大利润为4500元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：设线段AB的表达式为：，
将点(40，300)、(60，100)代入得：
解得：
函数的表达式为：，
设线段BC的表达式为：，
将点(60，100)、(70，150)代入得：
函数的表达式为：，
y与x的函数关系式为：；
故答案为：.
【分析】1）先设出一次函数关系式，分40≤x≤60和60＜x≤70两种情况用待定系数法分别求出函数解析式即可；
（2）设获得的利润为w元，分①当40≤x≤60时和②当60＜x≤70时两种情况分别求出函数解析式，然后根据自变量的取值范围和函数的性质求函数的最大值．
23．【答案】（1）（0，3），（4，3）
（2）解：①将点A（3，0）代入
可得9a-12a+3=0，
解得a=1，
②令y=0，
则
解得x=1或x=3，
∴A（3，0），B（1，0），
∴AB=2，
设
解得或或t=2，
或或（2，-1）；
③
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
当m+2≤2即m≤0时，x=m+2时，y有最大值
∵函数的最小值是4，
解得或（舍去）；
当m≥2时，x=m，y有最小值
∵函数的最小值是4，
解得或（舍去），
当m≤2≤m+1时，即1≤m≤2，
当x=2时，y有最小值-1，
∵函数的最小值是4，
∴此情况不存在，
综上所述：m的值为或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（1）解：，
当时，解得或，
∴抛物线经过定点，，
故答案为：，；
【分析】（1）把原式化为，根据不含项的系数为0得到，求出顶点的坐标即可；
（2）①将点代入解析式求出a的值解答即可；
②令y=0，求出抛物线与x轴的交点A、B的坐标，设，根据三角形的面积公式列式求出t的值解答即可；
③得到抛物线的对称轴为直线x=1，分为或m≤2≤m+1两种情况，根据二次函数的增减性得到最小值，列方程求出m的值即可．
24．【答案】（1）解：设对换点为P（a，b）与Q（-b，-a），代入反比例函数解析式得：
由①得ab=6，
由②得ab=6，
故可得反比例函数是对换函数，
（2，3）和（-3，-2）
（2）解：设对换点为P（a，b）与Q（-b，-a），代入一次函数解析式得：
由②得a=kb-5，
把①代入得：a=k（ka+5）-5，
整理得
又因为存在不重合的对换点，a不能取任意值，所以时等式不成立，故且5（k-1）=0，
解得：k=1
（3）解：设对换点为P（a，b）与Q（-b，-a），代入函数解析式得：
两式相减得
整理得2（a+b）=（b-a）（b+a），
∵两点不重合，
∴a+b≠0，
∴b-a=2，
∴b=a+2，
∴代入得：
∴当a=-1时，m有最小值为
又m取最小正整数，
∴m=2，此时a=0，b=0+2=2，对换点为（0，2）和（-2，0）.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）取a=2，则b=3，对应对换点坐标为（2，3）和（-3，-2），
故答案为：（2，3）和（-3，-2）；
【分析】（1）把点P，Q的坐标代入得到，根据“对换函数”的定义即可判断，然后举出一对对换坐标即可；
（2）设对换点为与，代入一次函数解析式得，根据存在不重合的对换点，即可得到且5（k-1）=0，求出k的值解答即可；
（3）设对换点为与，代入二次函数解析式求得，求出，根据二次函数的顶点坐标得到最值解答即可．
25．【答案】（1）证明：①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，CA=CB，CD=CE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△CDA和△CEB中，
∴△CDA≌△CEB，
②
（2）①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
则∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°
∴AC=BC，CD=CE，∠ADC=180°-45°=135°
∵∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∠BEC=∠ADC=135°.
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°；
②在等腰直角△DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM=DM=ME，
∴DE=2CM，
由①得AD=BE
∴AE=DE+AD=2CM+BE，
∵CM=1，BE=1.2，
∴AE=2+1.2=3.2.
【知识点】等边三角形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：（1）②∵为等边三角形，
∴，
∴
由①得，
∴，
∴；
故答案为：60°；
【分析】（1）①运用等边三角形的性质，根据SAS得到两三角形全等即可．
②根据全等三角形的对应角相等得到，然后根据三角形的外角；
（2）①根据等腰直角三角形的性质，利用SAS得到，即可得到AD=BE，∠BEC=∠ADC=135°，根据角的和差解答即可．
②根据等腰直角三角形的三线合一可得，再根据得到AE=2CM+BE解答即可．
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