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浙江省杭州市文澜中学2025-2026学年七年级下学期期中数学试题
1．甲骨文是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是(　　)
A． B． C． D．
2．下列运算中，正确的是(　　)
A． B． C． D．
3．若方程3x|k|+(k-1) y=2是关于x， y的二元一次方程，则k的值是(　　)
A．±1 B．- 1 C．1 D．0
4．如图，下列各对角中，属于同旁内角的是(　　)
A．∠1与∠2 B．∠2与∠3 C．∠2与∠4 D．∠2与∠5
5．如果 是方程2x-y=2026的一组解，那么代数式2m-n-2025的值是(　　)
A．- 1 B．1 C．4051 D．0
6．运用平方差公式计算(x+y-z)(x+y+z)，下列变形正确的是(　　)
A． B． C． D．
7．一种新运算“※”，规定如下：对于任意有理数a，b，满足则(-2) ※3的值为(　　)
A．- 12 B．12 C．- 24 D．24
8．某校春季运动会比赛中，七年级(7)班、(8)班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：(7)班得分是(8)班得分的2倍；乙同学说：(7)班得分比(8)班得分的3倍少30分.若设(7)班得x分，(8)班得y分，根据题意所列的方程组应为(　　)
A． B． C． D．
9．如图， AB∥CD，点E在CD上，点F， G在AB上，设∠AFE=α，∠EGB=β， ∠FEG=θ，则(　　)
A．α+β+θ=360° B．α+β+θ=210°
C．α+β-θ=150° D．α+β-θ=180°
10．小文在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示.小林看见了说：“我也来试一试.”结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3cm的小正方形，则小长方形的面积为(　　).
A．135 B．105 C．90 D．45
11．计算：(a＋2)(a－2)＝　 　；
12．已知2x-3y=1，用含x的代数式表示y，则 y=　 　.
13．如图，已知AB∥CD， ∠2=2∠1，则∠2=　 　.
14．已知 ， ，则 的值为　 　．
15．若∠1与∠2的两边分别平行，且∠1比∠2的2倍少30度，则∠2为　 　.
16．若关于 x，y的二元一次方程组 的解为 则关于 m，n二元一次方程组 的解为　 　.
17．解方程组：
（1）
（2）
18．先化简，再求值： (x-3)(x+7) - 4x(x+1)，其中x=-1.
19．如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个△ABC，它的三个顶点都在格点上。平移 将 的顶点A平移到点E处，其中点F和点B对应，点G与点C对应.
（1）请你作出平移后的△EFG；
（2）线段AE与BF的关系为： 　 　；
（3） △EFG的面积为　 　.
20．已知x+y=5， xy=2，
（1）求 的值；
（2）求 的值
21．已知：如图， GD∥AC， ∠1+∠2=180°.
（1）判断CD与EF的位置关系，并说明理由；
（2）若DG平分∠CDB， ∠1=140°，求∠EFB的度数.
22．为表彰优秀，七(1)班用一批笔记本奖励期中考试优秀的同学.若每人奖励7本，还剩4本；若每人奖励9本，还差12本.问七(1)期中考试优秀的同学有多少人，一共有多少本笔记本
23．阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y=12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解.
例：由2x+3y=12，得： (x、y为正整数).要使 为正整数，则 为正整数，可知：x为3的倍数，从而x=3，代入 所以2x+3y=12的正整数解为
问题：
（1）请你直接写出方程3x+2y=8的正整数解　 　.
（2）若 为自然数，则满足条件的正整数x的值有____.
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
（3）关于x，y的二元一次方程组 的解是正整数，求整数k的值.
24．如图1，已知 PQ∥MN，点A， B分别在MN、PQ上，且∠BAN=45°，射线AM绕点A顺时针旋转至AN便立即逆时针回转，速度是3°/秒，如此循环往复，射线BP绕点B顺时针旋转至 BQ，速度是1°/秒.当射线BP停止转动时，射线AM也随之停止.
（1）如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为t秒(t<60)，两条旋转射线交于点C.
①∠BAC= ▲
②过C作CD⊥AC交PQ于点D.求出∠BAC与∠BCD的数量关系：
（2）若射线BP先旋转20秒，射线AM才开始旋转，设射线AM旋转时间为t秒(t<160)，若旋转中AM∥BP，请直接写出t的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由图可知B不是平移得到，C不是平移得到，D不是平移得到，
A是利用图形的平移得到．
故答案为：A .
【分析】根据平移的性质“只改变图形的位置，图形的方向和大小不变”逐项进行判断即可．
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误，不符合题意；
B、，故B错误，不符合题意；
C、，故C正确，符合题意；
D、，故D错误，不符合题意．
故答案为：C .
【分析】根据积的乘方、合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方的法则逐项判断解答即可．
3．【答案】C
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：方程是关于，的二元一次方程，
且，
且，
．
故答案为：C .
【分析】根据二元一次方程的定义得出且，求出k值解答即可．
4．【答案】C
【知识点】同旁内角的概念
【解析】【解答】解：A、与是对顶角，不符合题意；
B、与是内错角，不符合题意；
C、与是同旁内角，符合题意；
D、与是同位角，不符合题意；
故答案为：C .
【分析】根据同旁内角的定义“被截线的同侧，两截线的内部的两角是同旁内角”判断解答即可．
5．【答案】B
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的一组解，
∴，
∴，
∴代数式的值是．
故答案为：B .
【分析】把方程的解代入得到，整体代入计算解答．
6．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
．
故答案为：D .
【分析】将原式中(x+y)看作一个整体，利用平方差公式计算即可．
7．【答案】A
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：A .
【分析】根据新定义的运算法则列式计算即可.
8．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵若设班得分，班得分，
∴据题意得：．
故答案为：D .
【分析】设班得分，班得分，根据“ (7)班得分是(8)班得分的2倍； (7)班得分比(8)班得分的3倍少30分 ”即可列出方程组解答即可．
9．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，即．
故答案为：D .
【分析】利用平行线的性质解答即可．
10．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵个一样大小的小长方形，
∴设小长方形的宽为，长为，
∴由图可得大长方形的边长为或，图中大正方形的边长可表示为或，
据题意得：，
解得：，
∴小长方形的面积．
故答案为：A .
【分析】设小长方形的宽为，长为，根据图、图中图形边长的不同表示方法列方程组求出x和y的值解答即可．
11．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】由(a＋b)(a－b)=a2-b2，得(a＋2)(a－2)＝ .
故答案为 .
【分析】运用平方差公式：(a＋b)(a－b)=a2-b2.
12．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：，
解得：
故答案为：．
【分析】把x看作已知量，先移项，再化y的系数为1解答即可．
13．【答案】120°
【知识点】邻补角；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据两直线平行，同位角相等得到，再由平角的定义得到，求出∠2的度数即可．
14．【答案】15
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵2m＝3，2n＝5，
∴2m+n＝2m·2n＝3×5＝15.
故答案为：15.
【分析】利用同底数幂的乘法运算法则，可得2m+n＝2m·2n，代入数值计算即可得出答案.
15．【答案】或
【知识点】平行线的性质；二元一次方程组的应用-几何问题；分类讨论
【解析】【解答】解：如图1，
，，
，，
，
比的2倍少，
，
，
如图2，
，，
，，
，
比的2倍少，
，
，
，
故答案为：或．
【分析】根据两边分别平行的两角相等或互补分类，再根据，即可求出的度数．
16．【答案】
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：设，则关于，二元一次方程组可化为，
∵关于，的二元一次方程组的解为，
∴，即，
解得：．
故答案为：．
【分析】设，则关于，二元一次方程组可化为，即可得到，代入求出m、n的值解答即可．
17．【答案】（1）解：
将②代入①中，得：，解得：，
将代入②中，解得：，
∴该方程组的解为；
（2）解：
由①②得：，解得：，
将代入②中得：，解得：
∴该方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）把②代入①消去y，求出x的值，然后把x的值代入②求出y的值解方程组即可；
（2）由①②消去x，求出y的值，把y的值代入②求出x的值解二元一次方程组即可．
18．【答案】解：
，
∵，
∴原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用多项式乘以多项式、单项式乘以多项式法则展开，然后合并化简，然后代入x的值解答即可.
19．【答案】（1）解：平移后的如图所示：
（2），
（3）5
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（2）连接，如图，
根据图形平移的关系可知：
线段与的数量关系为，位置关系为；
故答案为：，；
（3）解：将放在一个的矩形中，面积为，
减去周边三个直角三角形的面积：
第一个直角三角形的面积为，
第二个直角三角形的面积为，
第三个直角三角形的面积为，
∴的面积为．
故答案为：5．
【分析】（1）根据图形的平移作出点A，B，C的对应点，然后连接对应点得到△EFG即可；
（2）根据图形平移的性质解答即可；
（3）根据割补法求△EFG的面积即可．
20．【答案】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式的变形，然后整体代入计算即可；
（2）根据完全平方公式的变形，然后整体代入计算即可．
21．【答案】（1）解：与平行，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
由（1）可知，，
∴．
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得，然后根据等量代换可得，再根据同旁内角互补，两直线平行得到结论即可；
（2）先求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．
22．【答案】解：设七班期中考试优秀的同学有人，一共有本笔记本，
根据题意得，
解得：
答：七班期中考试优秀的同学有人，一共有本笔记本.
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】设七班期中考试优秀的同学有人，一共有本笔记本，根据“ 每人奖励7本，还剩4本；每人奖励9本，还差12本 ”列方程组解答即可．
23．【答案】（1）
（2）B
（3）解：，
得：，
解得：，
，是正整数，是整数，
，2，4，8，
，2，0，，
但时，不是正整数，故，0，．
【知识点】解二元一次方程；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】（1）解：方程的正整数解为，
故答案为：；
（2）解：∵为自然数，
∴或3或2或1，
∴正整数x的值有9，6，5，4，共4个，
故选：B；
【分析】（1）求出二元一次方程的正整数解即可；
（2）根据6的约数得到x-3的值为6，3，2，1，求出正整数x的值解答即可；
（3）根据加减消元得到，然后根据8的因数解答即可．
24．【答案】（1）①(3t-135)°
解：②由①可知，，，，
过点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）或
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）①根据题意得，，，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：(3t-135)°；
（2）解：如图，设旋转后为，
那么，即，
根据题意得：，，
∵当射线停止转动时，射线也随之停止，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
分类讨论：
①当，即时，
如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
即：，
解得：；
②当且，即时，
如图，
∵，
∴，
则，
解得：，
③当且，即时，
如图，
∵，
∴，
即，
解得：（舍）．
∴综上，的值为或．
故答案为：或．
【分析】（1）①根据题意得，，，然后根据角的和差解答即可；
②由①得，，，过点作，根据平行公理的推论可得，即可得到∠ACE=∠CAN，然后根据角的和差求出，然后根据垂直的定义求出，然后求出比值解答即可；
（2）先设旋转后为，那么，即，根据题意得，，根据，求出，再分为①当，②且，③且，根据平行线的性质列方程求出t的值解答即可．
1 / 1浙江省杭州市文澜中学2025-2026学年七年级下学期期中数学试题
1．甲骨文是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由图可知B不是平移得到，C不是平移得到，D不是平移得到，
A是利用图形的平移得到．
故答案为：A .
【分析】根据平移的性质“只改变图形的位置，图形的方向和大小不变”逐项进行判断即可．
2．下列运算中，正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误，不符合题意；
B、，故B错误，不符合题意；
C、，故C正确，符合题意；
D、，故D错误，不符合题意．
故答案为：C .
【分析】根据积的乘方、合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方的法则逐项判断解答即可．
3．若方程3x|k|+(k-1) y=2是关于x， y的二元一次方程，则k的值是(　　)
A．±1 B．- 1 C．1 D．0
【答案】C
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：方程是关于，的二元一次方程，
且，
且，
．
故答案为：C .
【分析】根据二元一次方程的定义得出且，求出k值解答即可．
4．如图，下列各对角中，属于同旁内角的是(　　)
A．∠1与∠2 B．∠2与∠3 C．∠2与∠4 D．∠2与∠5
【答案】C
【知识点】同旁内角的概念
【解析】【解答】解：A、与是对顶角，不符合题意；
B、与是内错角，不符合题意；
C、与是同旁内角，符合题意；
D、与是同位角，不符合题意；
故答案为：C .
【分析】根据同旁内角的定义“被截线的同侧，两截线的内部的两角是同旁内角”判断解答即可．
5．如果 是方程2x-y=2026的一组解，那么代数式2m-n-2025的值是(　　)
A．- 1 B．1 C．4051 D．0
【答案】B
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的一组解，
∴，
∴，
∴代数式的值是．
故答案为：B .
【分析】把方程的解代入得到，整体代入计算解答．
6．运用平方差公式计算(x+y-z)(x+y+z)，下列变形正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
．
故答案为：D .
【分析】将原式中(x+y)看作一个整体，利用平方差公式计算即可．
7．一种新运算“※”，规定如下：对于任意有理数a，b，满足则(-2) ※3的值为(　　)
A．- 12 B．12 C．- 24 D．24
【答案】A
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：A .
【分析】根据新定义的运算法则列式计算即可.
8．某校春季运动会比赛中，七年级(7)班、(8)班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：(7)班得分是(8)班得分的2倍；乙同学说：(7)班得分比(8)班得分的3倍少30分.若设(7)班得x分，(8)班得y分，根据题意所列的方程组应为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵若设班得分，班得分，
∴据题意得：．
故答案为：D .
【分析】设班得分，班得分，根据“ (7)班得分是(8)班得分的2倍； (7)班得分比(8)班得分的3倍少30分 ”即可列出方程组解答即可．
9．如图， AB∥CD，点E在CD上，点F， G在AB上，设∠AFE=α，∠EGB=β， ∠FEG=θ，则(　　)
A．α+β+θ=360° B．α+β+θ=210°
C．α+β-θ=150° D．α+β-θ=180°
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，即．
故答案为：D .
【分析】利用平行线的性质解答即可．
10．小文在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示.小林看见了说：“我也来试一试.”结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3cm的小正方形，则小长方形的面积为(　　).
A．135 B．105 C．90 D．45
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵个一样大小的小长方形，
∴设小长方形的宽为，长为，
∴由图可得大长方形的边长为或，图中大正方形的边长可表示为或，
据题意得：，
解得：，
∴小长方形的面积．
故答案为：A .
【分析】设小长方形的宽为，长为，根据图、图中图形边长的不同表示方法列方程组求出x和y的值解答即可．
11．计算：(a＋2)(a－2)＝　 　；
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】由(a＋b)(a－b)=a2-b2，得(a＋2)(a－2)＝ .
故答案为 .
【分析】运用平方差公式：(a＋b)(a－b)=a2-b2.
12．已知2x-3y=1，用含x的代数式表示y，则 y=　 　.
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：，
解得：
故答案为：．
【分析】把x看作已知量，先移项，再化y的系数为1解答即可．
13．如图，已知AB∥CD， ∠2=2∠1，则∠2=　 　.
【答案】120°
【知识点】邻补角；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据两直线平行，同位角相等得到，再由平角的定义得到，求出∠2的度数即可．
14．已知 ， ，则 的值为　 　．
【答案】15
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵2m＝3，2n＝5，
∴2m+n＝2m·2n＝3×5＝15.
故答案为：15.
【分析】利用同底数幂的乘法运算法则，可得2m+n＝2m·2n，代入数值计算即可得出答案.
15．若∠1与∠2的两边分别平行，且∠1比∠2的2倍少30度，则∠2为　 　.
【答案】或
【知识点】平行线的性质；二元一次方程组的应用-几何问题；分类讨论
【解析】【解答】解：如图1，
，，
，，
，
比的2倍少，
，
，
如图2，
，，
，，
，
比的2倍少，
，
，
，
故答案为：或．
【分析】根据两边分别平行的两角相等或互补分类，再根据，即可求出的度数．
16．若关于 x，y的二元一次方程组 的解为 则关于 m，n二元一次方程组 的解为　 　.
【答案】
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：设，则关于，二元一次方程组可化为，
∵关于，的二元一次方程组的解为，
∴，即，
解得：．
故答案为：．
【分析】设，则关于，二元一次方程组可化为，即可得到，代入求出m、n的值解答即可．
17．解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
将②代入①中，得：，解得：，
将代入②中，解得：，
∴该方程组的解为；
（2）解：
由①②得：，解得：，
将代入②中得：，解得：
∴该方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）把②代入①消去y，求出x的值，然后把x的值代入②求出y的值解方程组即可；
（2）由①②消去x，求出y的值，把y的值代入②求出x的值解二元一次方程组即可．
18．先化简，再求值： (x-3)(x+7) - 4x(x+1)，其中x=-1.
【答案】解：
，
∵，
∴原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用多项式乘以多项式、单项式乘以多项式法则展开，然后合并化简，然后代入x的值解答即可.
19．如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个△ABC，它的三个顶点都在格点上。平移 将 的顶点A平移到点E处，其中点F和点B对应，点G与点C对应.
（1）请你作出平移后的△EFG；
（2）线段AE与BF的关系为： 　 　；
（3） △EFG的面积为　 　.
【答案】（1）解：平移后的如图所示：
（2），
（3）5
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（2）连接，如图，
根据图形平移的关系可知：
线段与的数量关系为，位置关系为；
故答案为：，；
（3）解：将放在一个的矩形中，面积为，
减去周边三个直角三角形的面积：
第一个直角三角形的面积为，
第二个直角三角形的面积为，
第三个直角三角形的面积为，
∴的面积为．
故答案为：5．
【分析】（1）根据图形的平移作出点A，B，C的对应点，然后连接对应点得到△EFG即可；
（2）根据图形平移的性质解答即可；
（3）根据割补法求△EFG的面积即可．
20．已知x+y=5， xy=2，
（1）求 的值；
（2）求 的值
【答案】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式的变形，然后整体代入计算即可；
（2）根据完全平方公式的变形，然后整体代入计算即可．
21．已知：如图， GD∥AC， ∠1+∠2=180°.
（1）判断CD与EF的位置关系，并说明理由；
（2）若DG平分∠CDB， ∠1=140°，求∠EFB的度数.
【答案】（1）解：与平行，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
由（1）可知，，
∴．
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得，然后根据等量代换可得，再根据同旁内角互补，两直线平行得到结论即可；
（2）先求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．
22．为表彰优秀，七(1)班用一批笔记本奖励期中考试优秀的同学.若每人奖励7本，还剩4本；若每人奖励9本，还差12本.问七(1)期中考试优秀的同学有多少人，一共有多少本笔记本
【答案】解：设七班期中考试优秀的同学有人，一共有本笔记本，
根据题意得，
解得：
答：七班期中考试优秀的同学有人，一共有本笔记本.
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】设七班期中考试优秀的同学有人，一共有本笔记本，根据“ 每人奖励7本，还剩4本；每人奖励9本，还差12本 ”列方程组解答即可．
23．阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y=12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解.
例：由2x+3y=12，得： (x、y为正整数).要使 为正整数，则 为正整数，可知：x为3的倍数，从而x=3，代入 所以2x+3y=12的正整数解为
问题：
（1）请你直接写出方程3x+2y=8的正整数解　 　.
（2）若 为自然数，则满足条件的正整数x的值有____.
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
（3）关于x，y的二元一次方程组 的解是正整数，求整数k的值.
【答案】（1）
（2）B
（3）解：，
得：，
解得：，
，是正整数，是整数，
，2，4，8，
，2，0，，
但时，不是正整数，故，0，．
【知识点】解二元一次方程；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】（1）解：方程的正整数解为，
故答案为：；
（2）解：∵为自然数，
∴或3或2或1，
∴正整数x的值有9，6，5，4，共4个，
故选：B；
【分析】（1）求出二元一次方程的正整数解即可；
（2）根据6的约数得到x-3的值为6，3，2，1，求出正整数x的值解答即可；
（3）根据加减消元得到，然后根据8的因数解答即可．
24．如图1，已知 PQ∥MN，点A， B分别在MN、PQ上，且∠BAN=45°，射线AM绕点A顺时针旋转至AN便立即逆时针回转，速度是3°/秒，如此循环往复，射线BP绕点B顺时针旋转至 BQ，速度是1°/秒.当射线BP停止转动时，射线AM也随之停止.
（1）如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为t秒(t<60)，两条旋转射线交于点C.
①∠BAC= ▲
②过C作CD⊥AC交PQ于点D.求出∠BAC与∠BCD的数量关系：
（2）若射线BP先旋转20秒，射线AM才开始旋转，设射线AM旋转时间为t秒(t<160)，若旋转中AM∥BP，请直接写出t的值.
【答案】（1）①(3t-135)°
解：②由①可知，，，，
过点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）或
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）①根据题意得，，，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：(3t-135)°；
（2）解：如图，设旋转后为，
那么，即，
根据题意得：，，
∵当射线停止转动时，射线也随之停止，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
分类讨论：
①当，即时，
如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
即：，
解得：；
②当且，即时，
如图，
∵，
∴，
则，
解得：，
③当且，即时，
如图，
∵，
∴，
即，
解得：（舍）．
∴综上，的值为或．
故答案为：或．
【分析】（1）①根据题意得，，，然后根据角的和差解答即可；
②由①得，，，过点作，根据平行公理的推论可得，即可得到∠ACE=∠CAN，然后根据角的和差求出，然后根据垂直的定义求出，然后求出比值解答即可；
（2）先设旋转后为，那么，即，根据题意得，，根据，求出，再分为①当，②且，③且，根据平行线的性质列方程求出t的值解答即可．
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