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浙江杭州高新实验学校2025-2026学年八年级下学期期中检测数学试卷
1．下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．有11位同学参加学校举行的歌唱比赛，比赛后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定不会发生变化的是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
3．如图，某物质的化学分子式含有两个六边形，其中一个六边形的内角和是（　　)
A．540° B．720° C．900° D．1080°
4．用配方法将方程 化成 的形式，则m，n的值是（　　)
A．- 2， 0 B．2， 0 C．- 2， 8 D．2，8
5． 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 570m2. 设道路的宽为 xm，则下面所列方程正确的是 （　　)
A．（32-x) （20-x) =32×20-570
B．32x+2×20x=32×20-570
C．（32-2x) （20-x) =570
D．
6．已知关于的一元二次方程有一个根是，则方程有一个根是（　　）
A． B． C． D．
7．已知A，B两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分120分)，则下列说法错误的是（　　)
A．这次考试中两班均没有满分的
B．A班成绩的下四分位数与B 班成绩的中位数相同
C．A班的成绩比B 班的成绩波动更大
D．B班的平均分比A 班的平均分更高
8． 把四张形状大小完全相同，宽为1cm的小长方形卡片（如图①)不重叠地放在一个底面为长方形，长为 宽为5cm 盒子底部（如图②)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.则图②中两块阴影部分的周长和是（　　)
A．20cm B． C． D．
9． 如图，在 ABCD中， ∠ABC=45°， BC=4，点F是CD上一个动点，以EA、FB为邻边作另一个 AEBF，当F点由D 点向 C 点运动时，下列说法正确的选项是（　　)
① AEBF的面积先由小变大，再由大变小
② AEBF的面积始终不变
③线段EF最小值为
A．① B．② C．①③ D．②③
10．如图，在平行四边形纸片ABCD中、AB=AD=4，∠A=60°，将该纸片翻折使点A 落在CD边的中点E处，折为FG，点 F、G分别在边AB、AD上，则GE的长为（　　)
A． B． C．2.8 D．2.2
11．要使得式子有意义，则a的取值范围是　 　．
12．把5个数据-1，3，1，5，4分成{-1，1}和{3，4，5}两组，则这种分组情况的组内离差平方和为　 　。
13．已知m是方程的根，则代数式的值为　 　．
14． 若数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则 　 　 .
15．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积是　 　．
16． 如图，在 ABCD中， ∠ABC为锐角，作点B 关于直线AC的对称点 B'，连接 BB'和 B'D.若 BB'=B'D=2AC=4， 则 CD 的长为　 　 .
17．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
18．、解下列方程：
（1）x（x+2) = （x+2)；
（2）
19． 为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数.以下是甲、乙两组（每组10人)学生在初赛中的成绩记录（单位：分)：
甲组： 6， 7， 9， 10， 6， 5， 6， 6， 9， 6.
乙组： 10， 7， 6， 9， 6， 7， 7， 6， 7， 5.
（1）根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表：
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 a 6 2.6
乙组 b 7 c
在以上成绩统计表中， a=　 　， b=　 　， c=　 　.
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平.”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因.
（3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组 并说明理由.
20．已知关于x的一元二次方程 有两个不等实数根x1，x2.
（1）求k的取值范围；
（2）若 求k的值.
（3）在（2）的条件下，求 的值.
21．已知：如图，在 ABCD中，过 AC的中点O的直线分别交 CB，AD 的延长线于点 E，F.求证：BE=DF.
22． 某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个 12元，标价为每个20元.
（1）商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个 16.2元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当甲商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个.
①在保证甲每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的销售额为1190元，则每个应降价多少元
②若要使甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元 此时最大利润为多少元
23． 如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，以点B为圆心， BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD.
（1）若 求AD的长.
（2）设BC=a， AC=b.
①线段AD的长是方程 的一个根吗 说明理由.
②若AD=EC，求的值.
24．如图，平行四边形ABCD中， AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE 的延长线交于点F .
求证：
（1） △ABE 是等边三角形；
（2） △BAC≌△AED；
（3）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 是最简二次根式，符合题意；
B、 = ，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
2．【答案】A
【知识点】中位数；方差
【解析】【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分，位于最中间的数据没有变化，故中位数不变.
故答案为：A.
【分析】方差、平均数的计算过程中涉及每一个数据，中位数是将数据按照大小顺序排列后位于最中间的数据，众数是出现次数最多的数据，据此判断.
3．【答案】B
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正六边形的内角和是；
故答案为：B.
【分析】根据多边形的内角和公式计算即可．
4．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴m=-2，n=8
故答案为：C.
【分析】先移项，然后添加一次项系数一半的平方，把左边写为完全平方式解答即可．
5．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：道路的宽为，
种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得，．
故答案为：C.
【分析】设道路的宽为，根据“草坪的面积为”列一元二次方程解答即可．
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有一个根是，
，
在等式的两边同时除以得：，
方程有一个根是．
故选：C．
【分析】
利用一元二次方程的解，可得出，同时除以，得到，即可得到方程的另一根．
7．【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；箱线图；四分位数
【解析】【解答】解：A，由图可知A、B班的最高分都未达到120分，所以两班均没有满分，故此选项不符合题意；
B，A班成绩的上四分位数与B班成绩的中位数相同，都是90，故此选项符合题意；
C，A班的成绩的箱体比B班的成绩的箱体更高，所以A班的成绩比B班的成绩波动更大，故此选项不符合题意；
D，由图可知A班成绩的上四分位数与B班成绩的中位数相同，并且B班成绩的下四分位数比A班成绩的中位数略高，说明B班的平均分比A班的平均分更高，故此选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据箱线图的特征逐项判断解答即可．
8．【答案】A
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：设小长方形卡片的长为，
根据题意得：，
，
则图②中两块阴影部分周长和是：
，
图②中两块阴影部分的周长和是
故答案为：A.
【分析】先设小长方形卡片的长为，根据大长方形的长求出x的值，然后分别表示两块阴影部分的面积，根据二次根式的加法计算即可．
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：过点B作BG⊥CD，交DC延长线于点G，
在ABCD中，则AB∥CD，
∴∠BCG=∠ABC=45°，
∴BG=CG
在Rt△BCG中，BC=4，
∵，
∴BG=CG=，
∵，
∵AB为定值，则AEBF的面积始终不变；故②正确，①错误；
当EF⊥AB时，线段EF的长度最小，
∴四边形BGFH是矩形，四边形AEBF是菱形，
∴，
∴，
∴线段EF最小值为；故③正确；
故答案为：D.
【分析】过点B作BG⊥CD交DC延长线于点G，即可得到△BGC是等腰直角三角形，根据勾股定理求出BG的长，即可得到，判断①②；由菱形和矩形的性质，可求出EF的最小值判断③解答即可．
10．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，过点E作，交AD延长线于点M，
四边形ABCD是平行四边形，，
，
，
点E为CD边的中点，
，
，
由折叠的性质得：，
设，则，
在中，，即，
解得，
故答案为：C.
【分析】过点E作交AD延长线于点M，根据平行四边形的性质可得，再根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出DM、ME的长，根据折叠可得，再在中根据勾股定理解答即可．
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，，
故答案为：
【分析】根据二次根式的非负性得到，从而求得a的范围．
12．【答案】4
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：-1，1的平均数为0，则 的离差平方和为
3， 4， 5的平均数为4， 则{3，4，5}的离差平方和为
所以这种分组情况的组内离差平方和为2+2=4.
故答案为：4.
【分析】先分别求出两组的平均数，再计算两组的离差平方和，然后把两组的离差平方和相加.
13．【答案】6
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵m是方程的根，
∴，
∴，
∴===6，
故答案为：6．
【分析】把x=m代入方程得到，再整体代入计算即可．
14．【答案】-b
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据数轴可知：，
所以，，
所以，
．
故答案为：-b.
【分析】根据数轴上点的位置可得a15．【答案】8
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积；等积变换
【解析】【解答】解：连接DE、EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DE∥CF，EF∥CD，
∴AM∥DE∥CF，AC∥FM，
∴四边形ACFM是平行四边形，
∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同，
∴△BDE的面积和△CDE的面积相等，
同理△ADE的面积和△AME的面积相等，
即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是×CF×hCF，
∵△ABC的面积是24，BC＝3CF
∴BC×hBC＝×3CF×hCF＝24，
∴CF×hCF＝16，
∴阴影部分的面积是×16＝8，
故答案为：8．
【分析】连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，即可得到ACFM是平行四边形，即可得到得出△BDE的面积和△CDE的面积相等，△ADE的面积和△AME的面积相等，即可得到阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，据此解答即可．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长交于点，连接交于点，
点与点关于对称，
垂直平分，
∵，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】延长交于点，连接交于点，根据对称可得垂直平分，即可得到，，根据平行四边形的性质可得，，然后根据三角形的中位线性质可得，即可求出，然后根据勾股定理解答即可．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据完全平方公式展开，然后合并同类二次根式即可；
（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后运算除法解答即可；
（3）先化简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（4）先化简二次根式，运算分母有理化，然后合并同类二次根式即可.
18．【答案】（1）解：，
，
，
或，
解得：，；
（2）解∶ ，
，，
，
，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先移项，然后提取公因式，利用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
19．【答案】（1）6；7；7
（2）解：小明可能是甲组的学生，理由如下：
因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，
所以在小组中属中游略偏上，
（3）解：选乙组参加决赛．理由如下：
，
甲、乙两组学生平均数相同，而，
乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】（1）解：∵甲组数据重新排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．
∴中间两个数的平均数是，则中位数；
∵乙组数据重新排列为：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．
，
乙组学生成绩中，数据出现了四次，次数最多，
所以众数．
故答案为：6；7；7；
【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义解答即可；
（2）根据中位数的意义解答即可；
（3）比较两组学生成绩平均数与方差，作决策解答即可．
20．【答案】（1）解：根据题意得，
解得；
（2）解：，
解得或（不符合题意，舍去）
∴；
（3）解： ，
将，代入上式得 ．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据方程根的情况得到，求出k的取值范围即可；
（2）根据根与系数的关系得到，列方程求出k的值，并检验解答即可；
（3）先同分，利用完全平方公式进行变形，然后整体代入计算即可．
21．【答案】证明：∵点O为AC的中点，
∴OA=OC，
∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠F=∠E，
在△AOF和△COE中
∴△AOF≌△COE（AAS）
∴AF=CE，
∵AD=BC，
∴DF=CE.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】利用线段中点的定义可证得OA=OC，利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得AD=BC，∠F=∠E；再利用AAS证明△AOF≌△COE，利用全等三角形的性质可证得AF=CE，据此可证得结论.
22．【答案】（1）解：设每次降价的百分率是，
根据题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
每次降价的百分率是；
（2）解：设每个应降价x元，
①根据题意得：，
解得或，
售价不低于进价，
舍去，
，
每个应降价3元；
②设甲商品每天的销售利润为W元，
根据题意得
，当时，W取最大值，最大值为360，
每个应该降价2元，此时最大利润为360元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为，根据“ 商品 标价为每个20元 ，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个 16.2元售出 ”列一元二次方程，解出m%的值并检验解答即可；
（2）①设每个应降价x元，根据“销售总额销售单价销售数量”列关于x的一元二次方程，求出x的值检验解答即可；
②设每个应降价x元，利润为W元，根据“销售总额销售单价销售数量”列函数关系式，配方后根据完全平方式的非负性解答即可．
23．【答案】（1）解：由作图过程可知，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
答：的长为．
（2）解：线段的长是方程的一个根，
理由：
∵，，，，
∴，
由得，，
∴，
∴线段的长是方程的一个根．
由作图过程可知，，，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
答：的值为．
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AD长即可；
（2）根据勾股定理，求出线段的长，解一元二次方程得到方程的解解答即可；
由作图过可得AB长，根据勾股定理列方程求出的值即可．
24．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
（2）证明：是等边三角形，
，
由（1）知，
，
四边形是平行四边形，
，
，
；
（3）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
即．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义推理可得，根据等角对等边得到，即可证明结论；
（2）根据等边三角形和平行四边形的性质，利用SAS得到两三角形全等即可；
（3）根据等底等高的两三角形面积相等得到，，然后求差计算即可．
1 / 1浙江杭州高新实验学校2025-2026学年八年级下学期期中检测数学试卷
1．下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 是最简二次根式，符合题意；
B、 = ，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
2．有11位同学参加学校举行的歌唱比赛，比赛后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定不会发生变化的是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
【答案】A
【知识点】中位数；方差
【解析】【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分，位于最中间的数据没有变化，故中位数不变.
故答案为：A.
【分析】方差、平均数的计算过程中涉及每一个数据，中位数是将数据按照大小顺序排列后位于最中间的数据，众数是出现次数最多的数据，据此判断.
3．如图，某物质的化学分子式含有两个六边形，其中一个六边形的内角和是（　　)
A．540° B．720° C．900° D．1080°
【答案】B
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正六边形的内角和是；
故答案为：B.
【分析】根据多边形的内角和公式计算即可．
4．用配方法将方程 化成 的形式，则m，n的值是（　　)
A．- 2， 0 B．2， 0 C．- 2， 8 D．2，8
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴m=-2，n=8
故答案为：C.
【分析】先移项，然后添加一次项系数一半的平方，把左边写为完全平方式解答即可．
5． 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 570m2. 设道路的宽为 xm，则下面所列方程正确的是 （　　)
A．（32-x) （20-x) =32×20-570
B．32x+2×20x=32×20-570
C．（32-2x) （20-x) =570
D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：道路的宽为，
种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得，．
故答案为：C.
【分析】设道路的宽为，根据“草坪的面积为”列一元二次方程解答即可．
6．已知关于的一元二次方程有一个根是，则方程有一个根是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有一个根是，
，
在等式的两边同时除以得：，
方程有一个根是．
故选：C．
【分析】
利用一元二次方程的解，可得出，同时除以，得到，即可得到方程的另一根．
7．已知A，B两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分120分)，则下列说法错误的是（　　)
A．这次考试中两班均没有满分的
B．A班成绩的下四分位数与B 班成绩的中位数相同
C．A班的成绩比B 班的成绩波动更大
D．B班的平均分比A 班的平均分更高
【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；箱线图；四分位数
【解析】【解答】解：A，由图可知A、B班的最高分都未达到120分，所以两班均没有满分，故此选项不符合题意；
B，A班成绩的上四分位数与B班成绩的中位数相同，都是90，故此选项符合题意；
C，A班的成绩的箱体比B班的成绩的箱体更高，所以A班的成绩比B班的成绩波动更大，故此选项不符合题意；
D，由图可知A班成绩的上四分位数与B班成绩的中位数相同，并且B班成绩的下四分位数比A班成绩的中位数略高，说明B班的平均分比A班的平均分更高，故此选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据箱线图的特征逐项判断解答即可．
8． 把四张形状大小完全相同，宽为1cm的小长方形卡片（如图①)不重叠地放在一个底面为长方形，长为 宽为5cm 盒子底部（如图②)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.则图②中两块阴影部分的周长和是（　　)
A．20cm B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：设小长方形卡片的长为，
根据题意得：，
，
则图②中两块阴影部分周长和是：
，
图②中两块阴影部分的周长和是
故答案为：A.
【分析】先设小长方形卡片的长为，根据大长方形的长求出x的值，然后分别表示两块阴影部分的面积，根据二次根式的加法计算即可．
9． 如图，在 ABCD中， ∠ABC=45°， BC=4，点F是CD上一个动点，以EA、FB为邻边作另一个 AEBF，当F点由D 点向 C 点运动时，下列说法正确的选项是（　　)
① AEBF的面积先由小变大，再由大变小
② AEBF的面积始终不变
③线段EF最小值为
A．① B．② C．①③ D．②③
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：过点B作BG⊥CD，交DC延长线于点G，
在ABCD中，则AB∥CD，
∴∠BCG=∠ABC=45°，
∴BG=CG
在Rt△BCG中，BC=4，
∵，
∴BG=CG=，
∵，
∵AB为定值，则AEBF的面积始终不变；故②正确，①错误；
当EF⊥AB时，线段EF的长度最小，
∴四边形BGFH是矩形，四边形AEBF是菱形，
∴，
∴，
∴线段EF最小值为；故③正确；
故答案为：D.
【分析】过点B作BG⊥CD交DC延长线于点G，即可得到△BGC是等腰直角三角形，根据勾股定理求出BG的长，即可得到，判断①②；由菱形和矩形的性质，可求出EF的最小值判断③解答即可．
10．如图，在平行四边形纸片ABCD中、AB=AD=4，∠A=60°，将该纸片翻折使点A 落在CD边的中点E处，折为FG，点 F、G分别在边AB、AD上，则GE的长为（　　)
A． B． C．2.8 D．2.2
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，过点E作，交AD延长线于点M，
四边形ABCD是平行四边形，，
，
，
点E为CD边的中点，
，
，
由折叠的性质得：，
设，则，
在中，，即，
解得，
故答案为：C.
【分析】过点E作交AD延长线于点M，根据平行四边形的性质可得，再根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出DM、ME的长，根据折叠可得，再在中根据勾股定理解答即可．
11．要使得式子有意义，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，，
故答案为：
【分析】根据二次根式的非负性得到，从而求得a的范围．
12．把5个数据-1，3，1，5，4分成{-1，1}和{3，4，5}两组，则这种分组情况的组内离差平方和为　 　。
【答案】4
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：-1，1的平均数为0，则 的离差平方和为
3， 4， 5的平均数为4， 则{3，4，5}的离差平方和为
所以这种分组情况的组内离差平方和为2+2=4.
故答案为：4.
【分析】先分别求出两组的平均数，再计算两组的离差平方和，然后把两组的离差平方和相加.
13．已知m是方程的根，则代数式的值为　 　．
【答案】6
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵m是方程的根，
∴，
∴，
∴===6，
故答案为：6．
【分析】把x=m代入方程得到，再整体代入计算即可．
14． 若数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则 　 　 .
【答案】-b
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据数轴可知：，
所以，，
所以，
．
故答案为：-b.
【分析】根据数轴上点的位置可得a15．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积是　 　．
【答案】8
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积；等积变换
【解析】【解答】解：连接DE、EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DE∥CF，EF∥CD，
∴AM∥DE∥CF，AC∥FM，
∴四边形ACFM是平行四边形，
∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同，
∴△BDE的面积和△CDE的面积相等，
同理△ADE的面积和△AME的面积相等，
即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是×CF×hCF，
∵△ABC的面积是24，BC＝3CF
∴BC×hBC＝×3CF×hCF＝24，
∴CF×hCF＝16，
∴阴影部分的面积是×16＝8，
故答案为：8．
【分析】连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，即可得到ACFM是平行四边形，即可得到得出△BDE的面积和△CDE的面积相等，△ADE的面积和△AME的面积相等，即可得到阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，据此解答即可．
16． 如图，在 ABCD中， ∠ABC为锐角，作点B 关于直线AC的对称点 B'，连接 BB'和 B'D.若 BB'=B'D=2AC=4， 则 CD 的长为　 　 .
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长交于点，连接交于点，
点与点关于对称，
垂直平分，
∵，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】延长交于点，连接交于点，根据对称可得垂直平分，即可得到，，根据平行四边形的性质可得，，然后根据三角形的中位线性质可得，即可求出，然后根据勾股定理解答即可．
17．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据完全平方公式展开，然后合并同类二次根式即可；
（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后运算除法解答即可；
（3）先化简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（4）先化简二次根式，运算分母有理化，然后合并同类二次根式即可.
18．、解下列方程：
（1）x（x+2) = （x+2)；
（2）
【答案】（1）解：，
，
，
或，
解得：，；
（2）解∶ ，
，，
，
，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先移项，然后提取公因式，利用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
19． 为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数.以下是甲、乙两组（每组10人)学生在初赛中的成绩记录（单位：分)：
甲组： 6， 7， 9， 10， 6， 5， 6， 6， 9， 6.
乙组： 10， 7， 6， 9， 6， 7， 7， 6， 7， 5.
（1）根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表：
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 a 6 2.6
乙组 b 7 c
在以上成绩统计表中， a=　 　， b=　 　， c=　 　.
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平.”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因.
（3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组 并说明理由.
【答案】（1）6；7；7
（2）解：小明可能是甲组的学生，理由如下：
因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，
所以在小组中属中游略偏上，
（3）解：选乙组参加决赛．理由如下：
，
甲、乙两组学生平均数相同，而，
乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】（1）解：∵甲组数据重新排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．
∴中间两个数的平均数是，则中位数；
∵乙组数据重新排列为：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．
，
乙组学生成绩中，数据出现了四次，次数最多，
所以众数．
故答案为：6；7；7；
【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义解答即可；
（2）根据中位数的意义解答即可；
（3）比较两组学生成绩平均数与方差，作决策解答即可．
20．已知关于x的一元二次方程 有两个不等实数根x1，x2.
（1）求k的取值范围；
（2）若 求k的值.
（3）在（2）的条件下，求 的值.
【答案】（1）解：根据题意得，
解得；
（2）解：，
解得或（不符合题意，舍去）
∴；
（3）解： ，
将，代入上式得 ．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据方程根的情况得到，求出k的取值范围即可；
（2）根据根与系数的关系得到，列方程求出k的值，并检验解答即可；
（3）先同分，利用完全平方公式进行变形，然后整体代入计算即可．
21．已知：如图，在 ABCD中，过 AC的中点O的直线分别交 CB，AD 的延长线于点 E，F.求证：BE=DF.
【答案】证明：∵点O为AC的中点，
∴OA=OC，
∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠F=∠E，
在△AOF和△COE中
∴△AOF≌△COE（AAS）
∴AF=CE，
∵AD=BC，
∴DF=CE.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】利用线段中点的定义可证得OA=OC，利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得AD=BC，∠F=∠E；再利用AAS证明△AOF≌△COE，利用全等三角形的性质可证得AF=CE，据此可证得结论.
22． 某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个 12元，标价为每个20元.
（1）商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个 16.2元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当甲商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个.
①在保证甲每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的销售额为1190元，则每个应降价多少元
②若要使甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元 此时最大利润为多少元
【答案】（1）解：设每次降价的百分率是，
根据题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
每次降价的百分率是；
（2）解：设每个应降价x元，
①根据题意得：，
解得或，
售价不低于进价，
舍去，
，
每个应降价3元；
②设甲商品每天的销售利润为W元，
根据题意得
，当时，W取最大值，最大值为360，
每个应该降价2元，此时最大利润为360元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为，根据“ 商品 标价为每个20元 ，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个 16.2元售出 ”列一元二次方程，解出m%的值并检验解答即可；
（2）①设每个应降价x元，根据“销售总额销售单价销售数量”列关于x的一元二次方程，求出x的值检验解答即可；
②设每个应降价x元，利润为W元，根据“销售总额销售单价销售数量”列函数关系式，配方后根据完全平方式的非负性解答即可．
23． 如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，以点B为圆心， BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD.
（1）若 求AD的长.
（2）设BC=a， AC=b.
①线段AD的长是方程 的一个根吗 说明理由.
②若AD=EC，求的值.
【答案】（1）解：由作图过程可知，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
答：的长为．
（2）解：线段的长是方程的一个根，
理由：
∵，，，，
∴，
由得，，
∴，
∴线段的长是方程的一个根．
由作图过程可知，，，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
答：的值为．
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AD长即可；
（2）根据勾股定理，求出线段的长，解一元二次方程得到方程的解解答即可；
由作图过可得AB长，根据勾股定理列方程求出的值即可．
24．如图，平行四边形ABCD中， AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE 的延长线交于点F .
求证：
（1） △ABE 是等边三角形；
（2） △BAC≌△AED；
（3）
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
（2）证明：是等边三角形，
，
由（1）知，
，
四边形是平行四边形，
，
，
；
（3）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
即．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义推理可得，根据等角对等边得到，即可证明结论；
（2）根据等边三角形和平行四边形的性质，利用SAS得到两三角形全等即可；
（3）根据等底等高的两三角形面积相等得到，，然后求差计算即可．
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