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浙江省杭州市锦绣育才教育集团2026年中考数学二模试卷（4月）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1． 2026的倒数是（　　）
A． B． C．2026 D．-2026
2．某几何体的表面展开图如图所示，则该几何体是（　　）
A． B． C． D．
3．一组数据1，4，6，x，3，8，5的众数是3，则这组数据的中位数是（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
4．若二次根式在实数范围内有意义，则a的值可能是（　　）
A．4 B．π C． D．1
5．《张丘建算经》中有这样一首古诗：甲乙隔溪牧羊，二人互相商量；甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样；问甲乙各几羊，让你算个半晌。如果设甲有羊x只，乙有羊y只，那么可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
6．若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是（　　）．
A．10 B．9 C．8 D．6
7．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法.如图，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG.若DE=3，AF=4，则△ABC的面积是（　　）
A．6 B．8 C．12 D．24
8．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连结AD，交BC的延长线于点H.下列叙述正确的是（　　）
A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC=BC·DH D．AC=AH
9．抛物线当-1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为7，则a的值为（　　）
A．1 B． C．或 D．或
10．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）
A． B．2 C．2 D．3
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．4的平方根是 　 　
12．从2，3，4，5，6这5个数中随机抽取一个数，抽到的数恰好是3的倍数的概率为　 　.
13．半径为10cm，母线长为15cm的圆锥的侧面积为　 　.
14．一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续驶向乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s（km）与慢车行驶的时间t（h）之间的关系如图，则点B点的坐标为　 　.
15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点均在反比例函数的图象上，AB经过原点O，延长AC交x轴于点D，且AC=CD.若△ABC的面积为6，则k=　 　.
16．已知：如图，AB为⊙O的直径，C是半圆上的一点，D为弧BC的中点，点P在半径OB上，且AC=AP，连结CP，DP，BD.若则cos∠CPD=　 　.
三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分.各小题都必须写出解答过程）
17．计算：
18．先化简，再求值：，其中．
19．“字母表示数”的系统化阐述是16世纪提出的，被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，从而大大推动了数学的发展.经过初中数学的学习，我们知道了用字母表示数可以分析从特殊到一般的数学规律，字母与数一样，也可以参与运算.请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
（1）请用此方法拆分20242：
（2）请将上面的规律归纳出一个一般性的结论（用含n的等式表示，n为正整数），并运用有关知识说明这个结论是正确的.
20．为落实“双减”工作，推行“五育并举”，某学校计划成立五个体育兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A.足球，B.引体向上，C.篮球，D.排球，E.羽毛球.为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：
根据图中信息，完成下列问题：
（1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
②扇形统计图中的圆心角α的度数为 ▲ ；
（2）若该校有4800名学生，估计该校参加C组（篮球）的学生人数；
（3）学校从E组中选出表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取2人去市内进行比赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率.
21．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某省作为风力能源最多的省份之一，正在大力发展风力发电项目.电力部门在一处坡角为30°的坡地安装了一架风力发电机，如图1，某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图.已知斜坡CD=16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P的仰角为45°，利用无人机在点A正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°.
（1）填空：∠APB=　 　°；
（2）求点D到地面AC的距离；
（3）求该风力发电机塔杆PD的高度（结果精确到1米）.（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325）
22．如图，DE为△ADE外接圆⊙O的直径，点C为线段DO上一点（不与D，O重合），点B为OD的延长线上一点，连接BA并延长至点M，满足∠CAE=∠MAE.
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求证：
（3）若射线BM切⊙O于点A，DC=3，tan∠AED=，求BD的长.
23．已知抛物线经过点A（1，0），B（-1，8）.
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点C（-3，y1），D（m，y）在该抛物线上，且y1>y2，求m的取值范围；
（3）将此抛物线向左平移n（n>0）个单位，设平移后抛物线与y轴的交点为E（0，e），若e的最大值和最小值分别为e1，e2，且（求n的值.
24．在矩形ABCD中，E是BC边的中点，连结AE，过点B作BF⊥AE于点F，射线BF与直线CD交于点P，设
（1）如图①，若k=1，求证：AE=BP；
（2）如图②，当点P恰好与点D重合时，试确定k的值；
（3）作点B关于直线AE的对称点B'，连结AB'，延长AB'交直线CD于点H.当DH=2DP时，求的值，并直接写出相应k的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数是．
故答案为：A.
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数解答即可.
2．【答案】C
【知识点】由展开图判断几何体
【解析】【解答】解：由该几何体的展开图可知该几何体是圆锥；
故答案为：C.
【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项．
3．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数，该组数据的众数是3，
∴，
将该组数据从小到大排序为 ，
∵该组数据共有7个数，中位数是排序后位于中间位置的数，即第4个数，
∴该组数据的中位数为4．
故答案为：C.
【分析】根据中暑的定义求出x的值，然后根据中位数的定义解答即可.
4．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得1-x≥0，
解得x≤1，
∴在4，，，1中实数x不可取的值是1，
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出x的取值范围，然后逐一判断解答即可．
5．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲有羊只，乙有羊只，
由题意得，．
故答案为：B.
【分析】设甲有羊只，乙有羊只，根据“ 甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样 ”列方程组解答即可．
6．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．
【解答】多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得=40，解得n=9．
故选：B．
【点评】本题考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为360°．解答这类题往往一些学生因对正多边形的外角和知识不明确，将多边形外角和与内角和相混淆而造成错误计算，误选其它选项．
7．【答案】D
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；图形的剪拼；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵点、分别是的中点，
∴，
由题意可得：，
∴．
故答案为：D.
【分析】根据三角形的中位线定理可得，利用计算即可．
8．【答案】A
【知识点】尺规作图-垂直平分线；线段垂直平分线的概念
【解析】【解答】解：如图：连接，，
根据作图可得，，
点、在的垂直平分线上．即垂直平分线段，故A正确；
∴，
∴，故C错误；
不能得出平分，故B，D错误；
故答案为：A.
【分析】根据作图可得BH为AD的垂直平分线，判断A选项，然后根据三角形的面积、角平分呢西安的定义，中点的定义判断B、C、D选项即可．
9．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：若，
∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
∴y的最小值为，
∵，，，
∴当时，y取得最大值，最大值为，
∵y的最大值与最小值的差为7，
∴，
解得；
若，
∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为，
∴y的最大值为，
∵，，，
∴当时，y取得最小值，最小值为，
∵y的最大值与最小值的差为7，
∴，
解得；
综上，a的值为或．
故答案为：D.
【分析】分和两种情况讨论，得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据抛物线的增减性求出y的最大值与最小值，根据题意列方程解答即可．
10．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝ ，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝ ，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为 ，
综上所述，AE+BF的最大值为 .
故答案为：A.
【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可.
11．【答案】±2
【知识点】平方根
【解析】【解答】∵（±2）2=4，
∴4的平方根是±2．
故答案为：±2．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从，，，，这个数中随机抽取一个数，共有种等可能结果，其中是的倍数的结果为和，共种，
∴抽到的数恰好是3的倍数的概率为．
故答案为：.
【分析】根据概率公式计算即可．
13．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵半径为10cm，母线长为15cm的圆锥，
∴此圆锥的侧面积为10×15=150.
故答案为：.
【分析】利用圆锥的侧面积=（R是圆锥的母线长，r是底面圆的半径），代入计算求出结果.
14．【答案】（5.8，348）
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图像可知：慢车的速度为：60÷(4-3)=60( km / h )，
∵两车3小时相遇，此时慢车走的路程为：60×3=180( km )，
∴快车的速度为：(480-180)÷3=300÷3=100( km / h )，
通过图像和快、慢车的速度，可知快车比慢车先到达终点， B点是快车到达终点时所用时间，
∵快车到达终点时所用时间为：480÷100+1=5.8( h )，
5.8×60=348( km )，
∴B 点的坐标为(5.8，348)，
故答案为：（5.8，348）．
【分析】根据图象信息求出慢车速度，然后求出相遇时快车走的路程，根据“速度＝路程÷时间”求出快车速度，然后得到快车到达终点时点B的坐标即可．
15．【答案】4
【知识点】反比例函数图象的对称性；待定系数法求反比例函数解析式；几何图形的面积计算-割补法；坐标系中的中点公式；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，连接，
设点，
∵均在反比例函数的图象上，且经过原点，
∴关于原点对称，且，
∴，
∵，
∴为线段中点，
设，则，且，即，
又∵均在上，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，点到线段和线段的距离相等，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴解得：，即．
故答案为：4.
【分析】连接，设点，根据反比例函数的图象的对称性得到点的坐标，根据为线段中点求出点的坐标，以及根据列方程求出mn解答即可．
16．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；角平分线的概念；求余弦值；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接交于点，连接，
∵D为弧的中点，
∴，
∴，，
∴平分，
又∵，
∴，，
∴是的垂直平分线，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴设，，
∴，，
在中，，
即．
故答案为：.
【分析】连结交于点，连结，根据弧、弦、圆心角的关系得到，，根据三线合一可得，，即可得到，设，，在中根据余弦的定义解答即可．
17．【答案】原式=1-+4
=5-
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算零指数次幂、负整数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，再运算加减解答即可.
18．【答案】解：
，
代入，原式．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；分式的通分；分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算法则进行分式的化简，得出最简结果为，然后把代入中，进行计算，即可得出结果。
19．【答案】（1）20242=2023+20232+2024
（2）根据题意，可知一般的结论为（n+1）2=n+n2+（n+1）
理由：∵左边=（n+1）2，右边：左边=右边，
∴这个结论是正确的
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律；探索规律-等式类规律
【解析】【分析】（1）仿照材料中等式的形式列式即可；
（2）得到规律，然后分别计算出等式的左边和右边，然后证明即可．
20．【答案】（1）解：由题意知，被调查的总人数为（人），
所以小组人数为（人），
①补全图形如下：
；
②120°
（2）（名），
答：估计该校参加C组（篮球）的学生有1120名
（3）画树状图为：
由树状图知，共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，所以恰好抽到一名男生一名女生的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）②扇形统计图中的圆心角的度数为，
故答案为：120°；
【分析】（1）①根据小组人数及其占比求出调查的总人数，再运用调查总人数减去其它组人数求出小组人数，补全条形统计图即可；
②用乘以小组人数占比解答即可；
（2）用总人数乘以样本中小组人数占比解答；
（3）画树状图得到所有等可能结果，然后找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
21．【答案】（1）63
（2）解：延长PD交AC于点M，
则PM⊥AM，在Rt△DMC中，∠DCM=30°，
∴点D到地面AC的距离为8米.
（3）解：过点P作PE⊥AB于E，
则∠PEA=∠PEB=90°，PE∥BG，
∵∠PAC=45°，
∴∠PAE=45°，
∴∠APE=45°，
∴AE=PE，
设AE=PE=x，
∵PE∥BG，
∴∠BPE=∠PBG=18°，
在Rt△PEB中，∠BPE=18°，
∴BE=PE·tan18°=0.325x，
∵AB=53米，
∴0.325x+x=53，
∴x=40，
∴AE=40米，
∵∠PEA=∠EAM=∠AMP=90°，
∴四边形AMPE是矩形，
∴PM=AE=40米，
∴PD=PM-DM=40-8=32米，
答：该风力发电机塔杆PD的高度是32米.
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】（1）解：过点作，
由题意可得，，，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
【分析】（）过点作，即可得到，根据平行线的性质得到，，然后利用角的和差解答即可；
（）延长交于点，即可得到，根据30°的直角三角形的性质解答即可；
（）过点作于，根据等角对等边得到，设，在中根据正切的定义求出BE长，然后根据AB长列方程求出米，再推理得到是矩形，得到米，利用线段的和差解答即可.
22．【答案】（1）证明：∵DE为△ADE外接圆⊙O的直径，
∴∠DAE=90°，
∴∠EAM+∠BAD=∠EAC+∠DAC=90°，
∵∠CAE=∠MAE，
∴∠BAD=∠CAD，∴AD平分∠BAC
（2）证明：连接AO，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，OAD=∠OA
∴∠B=∠OAC，
∵∠AOB=∠COA，
∴△AOC∽△BOA，
；
（3）∵射线BM与⊙O相切于点A，
∴∠OAB=90°，由（2）知，△AOC∽△BOA，
在中，，
∴，
解得，
由，得BD=5.
【知识点】切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据等角的余角相得得到，即可证明结论；
（2）根据等边对等角得到，根据三角形的外角得到，即可得到，根据对应边成比例得到，证明结论；
（3）根据切线的性质和相似三角形的性质可得∠ACO=∠OAB=90°，然后根据正切的定义求出DC长，进而求出OE长，代入（2）的结论解答即可．
23．【答案】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为；

（2）解：先将抛物线解析式化为顶点式：，
抛物线开口向上，对称轴为，
点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为，
因为，
所以，即：，
解得；
（3）解：抛物线向左平移n个单位后，解析式为：，
当时，与y轴交点E的纵坐标：，
这是一个关于n的二次函数，开口向上，对称轴为，
当时，e取最小值，
题目中，则，
令，即，
解得：，
因为，所以．

【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）配方得到顶点式，即可得到对称轴为直线x=2，然后根据离对称轴远的点的函数值大得到，求出m的取值范围解答即可；
（3）得到平移后的解析式，进而得到与y轴交点的纵坐标，根据二次函数的最值可得最小值为-1，然后求出最大值为5，令e=5，解方程组求出n的值解答即可．
24．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：同理（1）可得，，，
∴，
∴，即，
∵，，
又∵是边的中点，即，
∴，
∴，即；
（3）当点P在线段CD上时，；
当点P在CD的延长线上时，时，
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；十字架模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）设，则，
∵是边的中点，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵点和点关于对称，
∴，，
∴点在上，，
同理（2）可得，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴点在射线上，
①当点在边上时，如图，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
整理，得，
解得（负值，舍去），此时；
②当点在的延长线上时，如图，
∴，
∵，
∴，
同理①可得，，
∴，即，
∴，
整理，得，
解得（负值，舍去），此时；
综上所述，当时，；当时，．
故答案为：当时，；当时，．
【分析】（1）根据矩形的性质可得可得当时，，然后根据ASA得到，根据对应边相等证明即可；
（2）同（1）可得，根据对应边成比例得到，根据矩形的性质和解答即可；
（3）设，则，，根据勾股定理求出AE长，利用等面积法求出BF长．利用轴对称可得BF=BF'，同（2）得到，求出，，即可求出PF和B'P的长，得到．当点在边上时，，即可得到点在上，根据平行线可得，求出k和 的值即可；点在的延长线上时，同理可得结果．
1 / 1浙江省杭州市锦绣育才教育集团2026年中考数学二模试卷（4月）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1． 2026的倒数是（　　）
A． B． C．2026 D．-2026
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数是．
故答案为：A.
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数解答即可.
2．某几何体的表面展开图如图所示，则该几何体是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】由展开图判断几何体
【解析】【解答】解：由该几何体的展开图可知该几何体是圆锥；
故答案为：C.
【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项．
3．一组数据1，4，6，x，3，8，5的众数是3，则这组数据的中位数是（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数，该组数据的众数是3，
∴，
将该组数据从小到大排序为 ，
∵该组数据共有7个数，中位数是排序后位于中间位置的数，即第4个数，
∴该组数据的中位数为4．
故答案为：C.
【分析】根据中暑的定义求出x的值，然后根据中位数的定义解答即可.
4．若二次根式在实数范围内有意义，则a的值可能是（　　）
A．4 B．π C． D．1
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得1-x≥0，
解得x≤1，
∴在4，，，1中实数x不可取的值是1，
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出x的取值范围，然后逐一判断解答即可．
5．《张丘建算经》中有这样一首古诗：甲乙隔溪牧羊，二人互相商量；甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样；问甲乙各几羊，让你算个半晌。如果设甲有羊x只，乙有羊y只，那么可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲有羊只，乙有羊只，
由题意得，．
故答案为：B.
【分析】设甲有羊只，乙有羊只，根据“ 甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样 ”列方程组解答即可．
6．若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是（　　）．
A．10 B．9 C．8 D．6
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．
【解答】多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得=40，解得n=9．
故选：B．
【点评】本题考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为360°．解答这类题往往一些学生因对正多边形的外角和知识不明确，将多边形外角和与内角和相混淆而造成错误计算，误选其它选项．
7．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法.如图，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG.若DE=3，AF=4，则△ABC的面积是（　　）
A．6 B．8 C．12 D．24
【答案】D
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；图形的剪拼；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵点、分别是的中点，
∴，
由题意可得：，
∴．
故答案为：D.
【分析】根据三角形的中位线定理可得，利用计算即可．
8．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连结AD，交BC的延长线于点H.下列叙述正确的是（　　）
A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC=BC·DH D．AC=AH
【答案】A
【知识点】尺规作图-垂直平分线；线段垂直平分线的概念
【解析】【解答】解：如图：连接，，
根据作图可得，，
点、在的垂直平分线上．即垂直平分线段，故A正确；
∴，
∴，故C错误；
不能得出平分，故B，D错误；
故答案为：A.
【分析】根据作图可得BH为AD的垂直平分线，判断A选项，然后根据三角形的面积、角平分呢西安的定义，中点的定义判断B、C、D选项即可．
9．抛物线当-1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为7，则a的值为（　　）
A．1 B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：若，
∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
∴y的最小值为，
∵，，，
∴当时，y取得最大值，最大值为，
∵y的最大值与最小值的差为7，
∴，
解得；
若，
∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为，
∴y的最大值为，
∵，，，
∴当时，y取得最小值，最小值为，
∵y的最大值与最小值的差为7，
∴，
解得；
综上，a的值为或．
故答案为：D.
【分析】分和两种情况讨论，得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据抛物线的增减性求出y的最大值与最小值，根据题意列方程解答即可．
10．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）
A． B．2 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝ ，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝ ，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为 ，
综上所述，AE+BF的最大值为 .
故答案为：A.
【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可.
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．4的平方根是 　 　
【答案】±2
【知识点】平方根
【解析】【解答】∵（±2）2=4，
∴4的平方根是±2．
故答案为：±2．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
12．从2，3，4，5，6这5个数中随机抽取一个数，抽到的数恰好是3的倍数的概率为　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从，，，，这个数中随机抽取一个数，共有种等可能结果，其中是的倍数的结果为和，共种，
∴抽到的数恰好是3的倍数的概率为．
故答案为：.
【分析】根据概率公式计算即可．
13．半径为10cm，母线长为15cm的圆锥的侧面积为　 　.
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵半径为10cm，母线长为15cm的圆锥，
∴此圆锥的侧面积为10×15=150.
故答案为：.
【分析】利用圆锥的侧面积=（R是圆锥的母线长，r是底面圆的半径），代入计算求出结果.
14．一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续驶向乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s（km）与慢车行驶的时间t（h）之间的关系如图，则点B点的坐标为　 　.
【答案】（5.8，348）
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图像可知：慢车的速度为：60÷(4-3)=60( km / h )，
∵两车3小时相遇，此时慢车走的路程为：60×3=180( km )，
∴快车的速度为：(480-180)÷3=300÷3=100( km / h )，
通过图像和快、慢车的速度，可知快车比慢车先到达终点， B点是快车到达终点时所用时间，
∵快车到达终点时所用时间为：480÷100+1=5.8( h )，
5.8×60=348( km )，
∴B 点的坐标为(5.8，348)，
故答案为：（5.8，348）．
【分析】根据图象信息求出慢车速度，然后求出相遇时快车走的路程，根据“速度＝路程÷时间”求出快车速度，然后得到快车到达终点时点B的坐标即可．
15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点均在反比例函数的图象上，AB经过原点O，延长AC交x轴于点D，且AC=CD.若△ABC的面积为6，则k=　 　.
【答案】4
【知识点】反比例函数图象的对称性；待定系数法求反比例函数解析式；几何图形的面积计算-割补法；坐标系中的中点公式；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，连接，
设点，
∵均在反比例函数的图象上，且经过原点，
∴关于原点对称，且，
∴，
∵，
∴为线段中点，
设，则，且，即，
又∵均在上，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，点到线段和线段的距离相等，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴解得：，即．
故答案为：4.
【分析】连接，设点，根据反比例函数的图象的对称性得到点的坐标，根据为线段中点求出点的坐标，以及根据列方程求出mn解答即可．
16．已知：如图，AB为⊙O的直径，C是半圆上的一点，D为弧BC的中点，点P在半径OB上，且AC=AP，连结CP，DP，BD.若则cos∠CPD=　 　.
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；角平分线的概念；求余弦值；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接交于点，连接，
∵D为弧的中点，
∴，
∴，，
∴平分，
又∵，
∴，，
∴是的垂直平分线，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴设，，
∴，，
在中，，
即．
故答案为：.
【分析】连结交于点，连结，根据弧、弦、圆心角的关系得到，，根据三线合一可得，，即可得到，设，，在中根据余弦的定义解答即可．
三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分.各小题都必须写出解答过程）
17．计算：
【答案】原式=1-+4
=5-
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算零指数次幂、负整数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，再运算加减解答即可.
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
代入，原式．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；分式的通分；分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算法则进行分式的化简，得出最简结果为，然后把代入中，进行计算，即可得出结果。
19．“字母表示数”的系统化阐述是16世纪提出的，被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，从而大大推动了数学的发展.经过初中数学的学习，我们知道了用字母表示数可以分析从特殊到一般的数学规律，字母与数一样，也可以参与运算.请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
（1）请用此方法拆分20242：
（2）请将上面的规律归纳出一个一般性的结论（用含n的等式表示，n为正整数），并运用有关知识说明这个结论是正确的.
【答案】（1）20242=2023+20232+2024
（2）根据题意，可知一般的结论为（n+1）2=n+n2+（n+1）
理由：∵左边=（n+1）2，右边：左边=右边，
∴这个结论是正确的
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律；探索规律-等式类规律
【解析】【分析】（1）仿照材料中等式的形式列式即可；
（2）得到规律，然后分别计算出等式的左边和右边，然后证明即可．
20．为落实“双减”工作，推行“五育并举”，某学校计划成立五个体育兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A.足球，B.引体向上，C.篮球，D.排球，E.羽毛球.为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：
根据图中信息，完成下列问题：
（1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
②扇形统计图中的圆心角α的度数为 ▲ ；
（2）若该校有4800名学生，估计该校参加C组（篮球）的学生人数；
（3）学校从E组中选出表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取2人去市内进行比赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率.
【答案】（1）解：由题意知，被调查的总人数为（人），
所以小组人数为（人），
①补全图形如下：
；
②120°
（2）（名），
答：估计该校参加C组（篮球）的学生有1120名
（3）画树状图为：
由树状图知，共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，所以恰好抽到一名男生一名女生的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）②扇形统计图中的圆心角的度数为，
故答案为：120°；
【分析】（1）①根据小组人数及其占比求出调查的总人数，再运用调查总人数减去其它组人数求出小组人数，补全条形统计图即可；
②用乘以小组人数占比解答即可；
（2）用总人数乘以样本中小组人数占比解答；
（3）画树状图得到所有等可能结果，然后找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
21．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某省作为风力能源最多的省份之一，正在大力发展风力发电项目.电力部门在一处坡角为30°的坡地安装了一架风力发电机，如图1，某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图.已知斜坡CD=16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P的仰角为45°，利用无人机在点A正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°.
（1）填空：∠APB=　 　°；
（2）求点D到地面AC的距离；
（3）求该风力发电机塔杆PD的高度（结果精确到1米）.（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325）
【答案】（1）63
（2）解：延长PD交AC于点M，
则PM⊥AM，在Rt△DMC中，∠DCM=30°，
∴点D到地面AC的距离为8米.
（3）解：过点P作PE⊥AB于E，
则∠PEA=∠PEB=90°，PE∥BG，
∵∠PAC=45°，
∴∠PAE=45°，
∴∠APE=45°，
∴AE=PE，
设AE=PE=x，
∵PE∥BG，
∴∠BPE=∠PBG=18°，
在Rt△PEB中，∠BPE=18°，
∴BE=PE·tan18°=0.325x，
∵AB=53米，
∴0.325x+x=53，
∴x=40，
∴AE=40米，
∵∠PEA=∠EAM=∠AMP=90°，
∴四边形AMPE是矩形，
∴PM=AE=40米，
∴PD=PM-DM=40-8=32米，
答：该风力发电机塔杆PD的高度是32米.
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】（1）解：过点作，
由题意可得，，，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
【分析】（）过点作，即可得到，根据平行线的性质得到，，然后利用角的和差解答即可；
（）延长交于点，即可得到，根据30°的直角三角形的性质解答即可；
（）过点作于，根据等角对等边得到，设，在中根据正切的定义求出BE长，然后根据AB长列方程求出米，再推理得到是矩形，得到米，利用线段的和差解答即可.
22．如图，DE为△ADE外接圆⊙O的直径，点C为线段DO上一点（不与D，O重合），点B为OD的延长线上一点，连接BA并延长至点M，满足∠CAE=∠MAE.
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求证：
（3）若射线BM切⊙O于点A，DC=3，tan∠AED=，求BD的长.
【答案】（1）证明：∵DE为△ADE外接圆⊙O的直径，
∴∠DAE=90°，
∴∠EAM+∠BAD=∠EAC+∠DAC=90°，
∵∠CAE=∠MAE，
∴∠BAD=∠CAD，∴AD平分∠BAC
（2）证明：连接AO，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，OAD=∠OA
∴∠B=∠OAC，
∵∠AOB=∠COA，
∴△AOC∽△BOA，
；
（3）∵射线BM与⊙O相切于点A，
∴∠OAB=90°，由（2）知，△AOC∽△BOA，
在中，，
∴，
解得，
由，得BD=5.
【知识点】切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据等角的余角相得得到，即可证明结论；
（2）根据等边对等角得到，根据三角形的外角得到，即可得到，根据对应边成比例得到，证明结论；
（3）根据切线的性质和相似三角形的性质可得∠ACO=∠OAB=90°，然后根据正切的定义求出DC长，进而求出OE长，代入（2）的结论解答即可．
23．已知抛物线经过点A（1，0），B（-1，8）.
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点C（-3，y1），D（m，y）在该抛物线上，且y1>y2，求m的取值范围；
（3）将此抛物线向左平移n（n>0）个单位，设平移后抛物线与y轴的交点为E（0，e），若e的最大值和最小值分别为e1，e2，且（求n的值.
【答案】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为；

（2）解：先将抛物线解析式化为顶点式：，
抛物线开口向上，对称轴为，
点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为，
因为，
所以，即：，
解得；
（3）解：抛物线向左平移n个单位后，解析式为：，
当时，与y轴交点E的纵坐标：，
这是一个关于n的二次函数，开口向上，对称轴为，
当时，e取最小值，
题目中，则，
令，即，
解得：，
因为，所以．

【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）配方得到顶点式，即可得到对称轴为直线x=2，然后根据离对称轴远的点的函数值大得到，求出m的取值范围解答即可；
（3）得到平移后的解析式，进而得到与y轴交点的纵坐标，根据二次函数的最值可得最小值为-1，然后求出最大值为5，令e=5，解方程组求出n的值解答即可．
24．在矩形ABCD中，E是BC边的中点，连结AE，过点B作BF⊥AE于点F，射线BF与直线CD交于点P，设
（1）如图①，若k=1，求证：AE=BP；
（2）如图②，当点P恰好与点D重合时，试确定k的值；
（3）作点B关于直线AE的对称点B'，连结AB'，延长AB'交直线CD于点H.当DH=2DP时，求的值，并直接写出相应k的值.
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：同理（1）可得，，，
∴，
∴，即，
∵，，
又∵是边的中点，即，
∴，
∴，即；
（3）当点P在线段CD上时，；
当点P在CD的延长线上时，时，
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；十字架模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）设，则，
∵是边的中点，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵点和点关于对称，
∴，，
∴点在上，，
同理（2）可得，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴点在射线上，
①当点在边上时，如图，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
整理，得，
解得（负值，舍去），此时；
②当点在的延长线上时，如图，
∴，
∵，
∴，
同理①可得，，
∴，即，
∴，
整理，得，
解得（负值，舍去），此时；
综上所述，当时，；当时，．
故答案为：当时，；当时，．
【分析】（1）根据矩形的性质可得可得当时，，然后根据ASA得到，根据对应边相等证明即可；
（2）同（1）可得，根据对应边成比例得到，根据矩形的性质和解答即可；
（3）设，则，，根据勾股定理求出AE长，利用等面积法求出BF长．利用轴对称可得BF=BF'，同（2）得到，求出，，即可求出PF和B'P的长，得到．当点在边上时，，即可得到点在上，根据平行线可得，求出k和 的值即可；点在的延长线上时，同理可得结果．
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