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四川省广元市苍溪县2026年九年级中考二模数学试卷
1．的倒数是(　　)
A．-2 B． C． D．2
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解： 的倒数为
故答案为：A .
【分析】根据两个数乘积是1的数互为倒数，据此解答即可.
2．下列安全图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D：是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“沿着一条直线折叠，两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形；绕着一点旋转180°后能与自身重合的图形是中心对称图形”逐项判断解答即可.
3．某种绿色植物细胞的直径约为0.000 85 m，数据0.000 85用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.000 85用科学记数法表示 ，
故答案为：B .
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、，C正确；
D、，D错误；
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂的乘法可判断A；根据幂的乘方可判断B；根据积的乘方可判断C；根据平方差公式可判断D．
5．小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间.则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的(　　)
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：一组数据“12， 12， 28， 35， ■”，该数据■在30~40之间，
中位数是28，不变，选项A正确.
众数也变化，选项B错误.
四个数据的和随数据■的变化而变化，所以平均数是变化的，选项C错误.
因为平均数改变，方差随着改变，选项D错误.
故选： A.
【分析】根据平均数，众数，中位数，方差定义，判断四个数据中只改变一个数据，各统计量的是否变化.
6．某校准备用不超过1000元购买篮球和足球共15个，其中篮球每个60元，足球每个80元，最多可购买多少个足球 若设购买足球m个，则可列不等式为(　　)
A．80m+60(15-m)<1000 B．80m+60(15-m)≤1000
C．60m+80(15-m)<1000 D．60m+80(15-m)≤1000
【答案】B
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：解：设购买足球m个，则购买篮球(15-m)个，则可列不等式为 故答案为：B .
【分析】设购买足球m个，根据“不超过1000元购买篮球和足球共15个”，列不等式即可.
7．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，连接AC，CD，AD，若∠ADC=68°，则∠BAC的度数为(　　)
A．68° B．56° C．32° D．22°
【答案】D
【知识点】直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接BC.
和 都是⊙O中弧AC所对的圆周角，
∵AB是⊙O的直径，
∴在 中，
故答案为：D .
【分析】先利用同弧所对的圆周角相等，求出 的度数；再根据直径的性质得到 是直角三角形，最后通过直角三角形两锐角互余计算出 的度数.
8．如图，网格图中每个小正方形的边长都为1. A，B，C是网格线的交点，sin∠ABC的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】运用勾股定理解决网格问题；在网格中求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：如图，取格点D，连接DC，DA，则∠D=90°，
∵BD=4，AD=3，
∴，
∴，
故答案为：C .
【分析】取格点D，连接DC，DA，则∠D=90°，根据勾股定理求出AB长，然后求出∠ABC的正弦值即可.
9．如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B-E-D运动到点D停止，点Q从点B 出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s.现P，Q两点同时出发，设运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，若y与x的对应关系如图2所示，则矩形ABCD的面积是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解： 从函数的图象和运动的过程可以得出：当点 P 运动到点 E 时，x=10，y=30.
过点E作EH⊥BC.
由三角形面积公式，得
解得EH=AB=6，
由图2可知当.x=14时，点 P 与点D 重合，
12(cm)，
∴矩形的面积为
故答案为：C .
【分析】结合函数图象可得点 P 运动到点 E 时，x=10，y=30，过点E作EH⊥BC，根据三角形的面积公式求出EH=6，然后根据勾股定理求出AE长，即可得到AD长，根据举行的面积公式计算即可.
10．如图，二次函数 的图象与x轴交于两点(-1，0)，(x1，0)，且 下列结论：①abc>0；②2a+c<0；③4a-b+2c<0；④若m和n是关于x的一元二次方程a(x+1)(x- 的两根，且m＜n，则m<-1，n>2；⑤关于x的不等式 （a≠0)的解集为 其中正确结论的个数是(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴当x=0，则y=c<0.
又∵抛物线与x轴交于且 3，
∴对称轴是直线
故①正确.
由图象可得，当x=2时，y=4a+2b+c<0，
又∵当x=-1时， y=a-b+c=0，
故②正确.
且对称轴是直线 0，
即3a+c>0.
∴4a-b+2c=4a-a-c+2c=3a+c>0， 故③错误.
由题意，∵二次函数 的图象与x轴交于两点(
∵当x=0时， y=c，
与y=c关于x轴对称.
如图所示，
时，即a(x+1)(x- 结合图象可得m<-1，n>2， 故④正确.
由题意， 过(0， c)， ∴可以作图如下.
∴关于x的不等式 的解集是二次函数图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围.
∴关于x的不等式 的解集是x<0或 故⑤错误.
综上，正确的有①②④共3个.
故答案为：B .
【分析】根据抛物线开口，对称轴，以及与y轴的交点，确定a，b，c的符号，即可判断①，根据二次函数 的图象过(-1，0)， 得出a-b+c=0， 进而判断对称轴 得出a<-b<2a， 进而判断②和③，根据函数图象判断④，将一般式写成交点式得出 化简不等式为 求得解集，即可求解.
11．分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：.
【分析】先提取公因式，然后根据完全平方公式分解因式即可．
12．化学实验课上，化学老师在实验室组织了一场抽卡做实验的活动，一共有四张卡片，每张卡片上面各有一个化学方程式.若学生抽到其中一张卡片，则要做相应实验，相关化学方程式(反应条件已省略)如下：
小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵四个卡片中，只有卡片④的生成物带有沉淀，∴符合条件的结果数为1.
∴抽到生成物带有沉淀的实验的概率为
故答案为： .
【分析】先确定所有等可能结果总数，再找出符合要求的结果数，代入概率公式计算即可.
13．已知x=3是方程3a-2x=6的解，则a的值为　 　.
【答案】4
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把x=3代入得3a-6=6，解得a=4，
故答案为：4 .
【分析】把x=3代入方程得到3a-6=6，解关于a的方程求出a的值解答即可.
14．短边与长边之比等于 的矩形称为“黄金矩形”.如图，四边形ABCD 是黄金矩形，且 以AB为边作正方形ABFE，点F，E分别在边 BC，AD上，得到黄金矩形 EFCD；以DE为边作正方形DEHG，点H，G分别在边 EF，CD上，得到黄金矩形HGCF.分别以F，H为圆心作 ，则曲线 BEG称为“黄金螺线”.若AD=4，则“黄金螺线”BEG 的长为　 　.(结果保留π)
【答案】2π
【知识点】正方形的性质；弧长的计算；黄金分割
【解析】【解答】解：
则
∴“黄金螺线”BEG的长为：
故答案为： 2π.
【分析】根据黄金分割的比值求出AB，根据正方形、矩形的性质求出DE长，再根据弧长公式计算得到答案.
15．如图，直线y=2x+6与x轴、y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B，则点A1的坐标是　 　.
【答案】(6， 3)
【知识点】旋转的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：令x=0时，则y=6；
令y=0时，则2x+6=0，解得：x=-3；
由旋转的性质可知：
的横坐标为6，纵坐标为
∴点 的坐标是(6， 3).
故答案为：(6， 3).
【分析】先根据函数图象分别求出OA、OB的长度，再通过旋转之后对应边相等可求出点 的坐标.
16．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长BC至点G，连接DG， E为DG的中点，连接OE，交CD于点 F，若AO=6EF，DE=2 ，则 DF的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接CE，设EF=x，
在矩形ABCD中， OA=OC=OD=OB，则∠OBC=∠OCB， ∠AOB=∠COD=∠OBC+∠OCB=2∠DBC，
∵E是DG中点，
∴OE∥BC，
∵∠DCG=90°，
∴DE=CE=EG，
∴∠EDC=∠ECD，
∴∠CEG=∠EDC+∠ECD，
∴∠CEG=∠DOE，
∴△DOE∽△CEG，
∴EF=1，
故答案为： .
【分析】连接CE，设EF=x，根据矩形的性质，利用两角对应相等得到△DOE∽△CEG，根据对应边成比例求出EF，再根据勾股定理求出DF长解答即可.
17．计算：
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算负整数指数次幂，立方根、绝对值，然后代入特殊角的三角函数值，再运算乘法，最后加减解答即可.
18．（1）化简
（2）解不等式组 并写出它的整数解.
【答案】（1）解：原式
（2）解：
解不等式①，得x≤1.
解不等式②，得x>-2，
∴不等式组的解集为-2∴它的整数解为-1， 0， 1.
【知识点】分式的混合运算；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】(1)原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
(2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，确定出整数解即可.
19．如图，在四边形ABCD中，
（1）用无刻度的直尺和圆规在线段BC上求作一点E，使得AE=BE，连接AE；(保留作图痕迹，不写作法)
（2）若E是BC的中点，求证：四边形AECD 是菱形.
【答案】（1）解：如图，即为所作.
（2）解：∵E是BC的中点，
∴EC = AD.
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形.
∵AE = BE， EC = BE，
∴AE = EC，
∴平行四边形AECD是菱形.
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作线段AB的垂直平分线交BC于点E，则点E即为所作；
（2）根据一组对边分别平行且相等得到四边形AECD是平行四边形，再根据AE = EC得到结论即可.
20．为丰富学生课外锻炼活动，某学校增设了A(足球)、B(篮球)、C(体操)、D(田径)四个锻炼项目，每名学生只能选择其中的一项.为了解学生的选择情况，随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.
根据图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 ▲ 名学生，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求项目B对应的圆心角的度数；
（3）已知选择项目D的学生是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，用画树状图或列表的方法求抽到两名性别相同的学生的概率.
【答案】（1）解：80
C项目人数为：80-32-28-4=16(人)，
补全条形统计图如下：
各项目人数的条形统计图

（2）解：
答：项目B 对应的圆心角的度数为126°.
（3）解：根据题意，画出树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两名性别相同的学生的结果有4种，
∴P (抽到两名性别相同的学生)
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】(1)解：由图可知，本次被调查的学生共有： (人)，
故答案为：80；
【分析】(1)已知A项目所占圆心角度数为 可根据 先求出其占总人数的比例，再根据A项目人数为32人，即可求出总人数；进而根据总人数求出 C类人数，即可完成条形统计图；
(2)由(1)中C类人数，可先求出其占总人数的比例，再用比例与 相乘即可求出对应圆心角的度数；
(3)首先画出树状图，由图可得所有等可能的结果数量，以及恰好两名性别相同的学生的结果数量，再根据概率公式即可求解.
21．春假期间，亮亮和华华在家人的陪伴下，漫步在春日河畔，望着眼前静静流淌的小河(图1)，他们萌生了探究的想法：想用课堂上学到的数学知识测量小河的宽度.在亲近自然的过程中，他们也体会到了数学的实用与探索的乐趣.测量中，他们在河边的缓坡BM上的点C处安装测角仪CD，CD=1.6m，绘制测量示意图(如图 2)，测得河对岸点A的俯角α为14.1°，CD与BM的夹角β为60°，又测得点C与河岸点B之间的距离CB为6m，点A，B，C，D，M，N在同一平面上，点A，B，N在同一水平直线上，且CD⊥AB.请你帮亮亮和华华计算出河宽AB.(结果精确到1m ；参考数据：s
【答案】解：如图，延长DC，交AN于点E.
∵CD⊥AB，
∴DE⊥AB.
由题意，得∠ADG =α=14.1°， ∠DCM =β=60°， CB=6m， AB∥DG，
∴∠A =∠ADG =14.1°， ∠BCE =∠DCM =60°.
在Rt△BCE中， BE =BC·sin∠BCE =3 (m)， CE =BC·cos∠BCE =3 (m).
∵CD =1.6m，
∴DE =CE+CD =4.6(m).
在Rt△ADE中，
∵AB+BE =AE，
答：河宽AB约为13m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长DC交AN于点H，在 和 AH中，利用直角三角形的边角间关系求出BH、CH、AH，最后利用线段的和差关系得结论.
22．苍溪岳东手工挂面生产技艺是四川省苍溪县岳东镇传承的传统手工挂面制作技艺，有四千多年的历史，苍溪岳东手工挂面也因其成品口感柔软劲道而深受人们喜爱.数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买 2把A型与 2把B型挂面共需费用 60元，购买3把A 型与2把B型挂面共需费用 72元.
（1）A型、B型挂面的单价分别是多少元
（2）兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共20把.在单价不变，总费用不超过 300元，且B型挂面不少于8把的条件下，共有几种购买方案 其中最低花费多少元
【答案】（1）解：设A型挂面每把x元，B型挂面每把y元.
根据题意，得 解得
答：A型挂面每把12元，B型挂面每把18元.
（2）解：设购买B型挂面a把，则购买A型挂面(20-a)把，总费用为w元.
根据题意，得 解得8≤a≤10.
又∵a为正整数，
∴a=8， 9， 10，即有3种购买方案.
由题意，得w=(20-a)×12+18a=6a+240.
∵6>0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a=8时， w有最小值，最小值为6×8+240=288(元).
答：共有3种购买方案，最低费用为288元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元.根据题意列二元一次方程组求解即可；
(2)设购买B型挂面a把，则购买A型挂面(20-a)把，总费用为w元，列不等式组求出再根据题意列出w与a的函数关系式为w=6a+240，根据一次函数的增减性可得最值解答即可.
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点A和B(-4，-3)，点A 的横坐标为2.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当 时x的取值范围；
（3）C为x轴上一动点，连接AC，BC，若△ABC的面积为18，求点C的坐标.
【答案】（1）解：将B(-4， - 3)代入 得m=(-4)×(-3)=12，
∴反比例函数的解析式为
将xA=2代入 得
∴A(2， 6).
将A(2， 6)， B(-4， - 3)代入
得 解得
∴一次函数的解析式为
（2）解：x≤-4或0（3）解：设 的图象与x轴交于点D.
当 时， 解得x=-2，
∴D(-2， 0).
设C(t， 0)，则CD =|t+2|.
∵△ABC的面积为18，
∴CD =4，即|t+2|=4，
解得t=2或t=-6，
∴点C的坐标为(-6， 0)或(2， 0).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）解：观察图象，当 时，x的取值范围是 或
故答案为：x≤-4或0【分析】(1)根据待定系数法求解即可；
(2)根据图象即可求得直线在双曲线下方时自变量x的取值范围解答即可；
(3)设 与x轴交于点D，得出D(-2， 0)，设 C(t， 0)，则 然后根据三角形面积公式建立方程，解方程，即可求得C的坐标.
24．如图、⊙O 是△ABC的外接圆，∠BAC=45°.过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D、交⊙O 于点F.过点 F 作⊙O 的切线，交 CA 的延长线于点G.
（1）求证：FD=FG.
（2）若AB=12、FG=10，求⊙O 的半径.
【答案】（1）证明：∵DF⊥AB，GF 是⊙O 的切线，即 DF⊥GF，
∴AB∥GF，
∴∠G=∠BAC=45°，
∴∠FDG=90°-45°=45°，即△DFG 是等腰直角三角形，
∴FD=FG.
（2）解：
∵∠BAC=45°，
∴∠ADE=90°-45°=45°，即△ADE 是等腰直角三角形，
∴ED=EA=6.
由（1）得FD=FG=10，
∴EF=DF-DE=10-6=4，
如图，连接OA，
设OE=x，则OF=OE+EF=x+4=OA，在Rt△AOE 中，
解得
∴⊙O的半径为 .
【知识点】平行线的性质；勾股定理；垂径定理；切线的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）首先根据垂直的定义及切线的性质，可得出AB∥GF，进而得出∠G=∠BAC=45°，进而即可得出△DFG 是等腰直角三角形，可得出FD=FG；
（2）首先根据垂径定理可得出再根据∠BAC=45°，可得出△ADE 是等腰直角三角形，进而得出ED=EA=6.进而可得出EF=DF-DE=FG-DE=10-6=4，如图，连接OA，设OE=x，在Rt△AOE 中，根据勾股定理可得出解得 进而得出即⊙O的半径为 .
25．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P为线段AC上一动点，E为射线 BP上的一点(点E 与点 B 不重合).
（1）【问题解决】
如图1，若点 P 与线段AC的中点O 重合，则∠PBC 的度数为　 　，线段 BP 与线段AC 的位置关系是　 　；
（2）【问题探究】
如图2，在点 P 运动过程中，点 E 在线段 BP 上，且∠AEP=30°，∠PEC=60°，探究线段BE 与线段 CE 之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
在点 P 运动过程中，将线段 BE 绕点 E 逆时针旋转120°得到 EF，射线 EF 交射线 BC 于点G，若BE=2FG，AB=5，求AP的长.
【答案】（1）30°；BP⊥AC (或垂直)
（2）解：CE =2BE.
理由：如图1，把△ABE绕点B顺时针旋转60°得到△CBQ，连接EQ，
∴BE = BQ， ∠EBQ = 60°， ∠AEB = ∠CQB，
∴△BEQ为等边三角形，
∴∠BEQ = 60°= ∠BQE， BE = EQ.
∵点E在线段BP上，且∠AEP = 30°， ∠PEC = 60°，
∴∠AEB = 150°， ∠BEC = 120°，
∴∠BEQ =∠CEQ = 60°， ∠AEB = ∠CQB = 150°，
∴∠EQC = 150°-60°= 90°，
∴∠ECQ = 90°-60°= 30°，
∴CE =2EQ =2BE.
（3）解：如图2，当点P在线段OA上时，记BP与AD交于点H.
∵AH∥BC，
∴∠AHB =∠CBH.
∵∠ABC = 60°，
∴∠BAD = 120°= ∠BEG，
∴△HAB∽△BEG，
设FG =x，则EF = BE =2x，
∴EG =3x，
∵AD∥BC，
∴△APH∽△CPB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC =AB =5，
如图3，当点P在线段OC上时，延长AD，交BP于点H.
同理可得∠H =∠PBC， ∠BAH =∠BEG =120°，
∴△HAB∽△BEG.
设BE =EF =2m，而BE =2FG，则GF =EG =m，
∴AH =10，
同理△APH∽△CPB，
综上，AP的长为2或
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解： (1)在菱形ABCD中， D，
为等边三角形，
∵点P与线段AC的中点O重合，
故答案为： 30，
【分析】(1)根据菱形的性质说明 为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出答案；
(2)把 绕点B顺时针旋转 得到 Q，可得 为等边三角形，进而得出 再结合已知条件说明 然后根据含 直角三角形的性质得出答案；
(3)分两种情况：当点P在线段OA上时，记BP与AD交于点H，先根据旋转的性质说明 B∽∠BEG，可得 再设FG=x，(x>0)，则EF=2x，进而求出EG=3x，然后将数值代入求出 接下来证明 PH∽△CPB，得出 同时代入数值可得答案；当点P在线段OC上时，延长AD交BP于点H，同理说明 可得 再设BE=EF=2m，(m>0)，进而得出EG=m， 然后求出AH=16， 同理可得 由相似三角形的性质得 则此题可解.
26．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交于A，B(4，0)两点，与y轴的正半轴交于点 C(0，4).
（1）求抛物线对应的函数解析式.
（2）如图1，P是抛物线上在第一象限的一点，连接BC，PB，PC，过点 P 作 PD⊥x轴于点D，交BC于点K.记△PBC，△BDK的面积分别为S1，S2，求 的最大值.
（3）如图2，连接AC，E(-1，2)为线段AC 的中点，过点 E 作 EF⊥AC，交x轴于点 F，连接CF.抛物线上是否存在点 Q，使∠QFE=2∠OCA 若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：把点B(4， 0)， C(0， 4)代入
得 解得
∴抛物线对应的函数解析式为
（2）解：设直线BC对应的函数解析式为y = kx+m(k≠0)，
把点B(4， 0)， C(0， 4)代入，得 解得
∴直线BC对应的函数解析式为y=-x+4.
设 则K(n， - n+4)， D(n， 0)，
∴当 时， 取得最大值，最大值为
（3）解：存在.
令 解得
∴A(-2， 0)，
∵E为AC的中点，且EF⊥AC，
∴∠AFE =∠CFE.
设OF =a，则CF =AF =a+2.
在Rt△COF中，由勾股定理，得( 解得a=3，
∴F(3， 0)， CF =5.
∵EF⊥AC， ∠AOC =90°，
∴∠AFE =∠OCA =90°-∠CAF，
∴∠AFE =∠OCA =∠CFE.
如图1，当点Q在第三象限时，取点E关于x轴的对称点E1，连接FE1，交抛物线于点Q，则∠QFE =2∠EFA =2∠OCA， E1(-1， - 2).
设直线FE1对应的函数解析式为
则 解得
∴直线FE1对应的函数解析式为
联立 得
解得 (舍去)，
当 时，
∴点 Q 的坐标为
如图2，当点Q在第一象限时，取E关于CF的对称点E2，连接 交CF于点G，连接 交抛物线于点Q， 则∠QFE=2∠CFE=2∠OCA， EG⊥CF.
过点G作GH⊥x轴于点 H，则
设直线FE2对应的函数解析式为
贝 解得
∴直线FE2对应的函数解析式为
联立 得
解得 (舍去)，
当 时，
∴点Q的坐标为
综上，点Q的坐标为 或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—边角关系；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】(1)由待定系数法求出函数解析式即可；
(2)求出BC的解析式，设 则，K(m，-m+4)，D(m，0)， 将 转化为二次函数求最值即可；
(3)得到FE垂直平分AC，设OF=a，勾股定理求出F点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出 分别作点E关于x轴和直线CF的对称点 直线F 与抛物线的交点即为所求，进行求解即可.
1 / 1四川省广元市苍溪县2026年九年级中考二模数学试卷
1．的倒数是(　　)
A．-2 B． C． D．2
2．下列安全图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
3．某种绿色植物细胞的直径约为0.000 85 m，数据0.000 85用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间.则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的(　　)
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
6．某校准备用不超过1000元购买篮球和足球共15个，其中篮球每个60元，足球每个80元，最多可购买多少个足球 若设购买足球m个，则可列不等式为(　　)
A．80m+60(15-m)<1000 B．80m+60(15-m)≤1000
C．60m+80(15-m)<1000 D．60m+80(15-m)≤1000
7．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，连接AC，CD，AD，若∠ADC=68°，则∠BAC的度数为(　　)
A．68° B．56° C．32° D．22°
8．如图，网格图中每个小正方形的边长都为1. A，B，C是网格线的交点，sin∠ABC的值为(　　)
A． B． C． D．
9．如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B-E-D运动到点D停止，点Q从点B 出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s.现P，Q两点同时出发，设运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，若y与x的对应关系如图2所示，则矩形ABCD的面积是(　　)
A． B． C． D．
10．如图，二次函数 的图象与x轴交于两点(-1，0)，(x1，0)，且 下列结论：①abc>0；②2a+c<0；③4a-b+2c<0；④若m和n是关于x的一元二次方程a(x+1)(x- 的两根，且m＜n，则m<-1，n>2；⑤关于x的不等式 （a≠0)的解集为 其中正确结论的个数是(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．分解因式：　 　．
12．化学实验课上，化学老师在实验室组织了一场抽卡做实验的活动，一共有四张卡片，每张卡片上面各有一个化学方程式.若学生抽到其中一张卡片，则要做相应实验，相关化学方程式(反应条件已省略)如下：
小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是　 　.
13．已知x=3是方程3a-2x=6的解，则a的值为　 　.
14．短边与长边之比等于 的矩形称为“黄金矩形”.如图，四边形ABCD 是黄金矩形，且 以AB为边作正方形ABFE，点F，E分别在边 BC，AD上，得到黄金矩形 EFCD；以DE为边作正方形DEHG，点H，G分别在边 EF，CD上，得到黄金矩形HGCF.分别以F，H为圆心作 ，则曲线 BEG称为“黄金螺线”.若AD=4，则“黄金螺线”BEG 的长为　 　.(结果保留π)
15．如图，直线y=2x+6与x轴、y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B，则点A1的坐标是　 　.
16．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长BC至点G，连接DG， E为DG的中点，连接OE，交CD于点 F，若AO=6EF，DE=2 ，则 DF的长为　 　.
17．计算：
18．（1）化简
（2）解不等式组 并写出它的整数解.
19．如图，在四边形ABCD中，
（1）用无刻度的直尺和圆规在线段BC上求作一点E，使得AE=BE，连接AE；(保留作图痕迹，不写作法)
（2）若E是BC的中点，求证：四边形AECD 是菱形.
20．为丰富学生课外锻炼活动，某学校增设了A(足球)、B(篮球)、C(体操)、D(田径)四个锻炼项目，每名学生只能选择其中的一项.为了解学生的选择情况，随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.
根据图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 ▲ 名学生，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求项目B对应的圆心角的度数；
（3）已知选择项目D的学生是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，用画树状图或列表的方法求抽到两名性别相同的学生的概率.
21．春假期间，亮亮和华华在家人的陪伴下，漫步在春日河畔，望着眼前静静流淌的小河(图1)，他们萌生了探究的想法：想用课堂上学到的数学知识测量小河的宽度.在亲近自然的过程中，他们也体会到了数学的实用与探索的乐趣.测量中，他们在河边的缓坡BM上的点C处安装测角仪CD，CD=1.6m，绘制测量示意图(如图 2)，测得河对岸点A的俯角α为14.1°，CD与BM的夹角β为60°，又测得点C与河岸点B之间的距离CB为6m，点A，B，C，D，M，N在同一平面上，点A，B，N在同一水平直线上，且CD⊥AB.请你帮亮亮和华华计算出河宽AB.(结果精确到1m ；参考数据：s
22．苍溪岳东手工挂面生产技艺是四川省苍溪县岳东镇传承的传统手工挂面制作技艺，有四千多年的历史，苍溪岳东手工挂面也因其成品口感柔软劲道而深受人们喜爱.数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买 2把A型与 2把B型挂面共需费用 60元，购买3把A 型与2把B型挂面共需费用 72元.
（1）A型、B型挂面的单价分别是多少元
（2）兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共20把.在单价不变，总费用不超过 300元，且B型挂面不少于8把的条件下，共有几种购买方案 其中最低花费多少元
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点A和B(-4，-3)，点A 的横坐标为2.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当 时x的取值范围；
（3）C为x轴上一动点，连接AC，BC，若△ABC的面积为18，求点C的坐标.
24．如图、⊙O 是△ABC的外接圆，∠BAC=45°.过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D、交⊙O 于点F.过点 F 作⊙O 的切线，交 CA 的延长线于点G.
（1）求证：FD=FG.
（2）若AB=12、FG=10，求⊙O 的半径.
25．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P为线段AC上一动点，E为射线 BP上的一点(点E 与点 B 不重合).
（1）【问题解决】
如图1，若点 P 与线段AC的中点O 重合，则∠PBC 的度数为　 　，线段 BP 与线段AC 的位置关系是　 　；
（2）【问题探究】
如图2，在点 P 运动过程中，点 E 在线段 BP 上，且∠AEP=30°，∠PEC=60°，探究线段BE 与线段 CE 之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
在点 P 运动过程中，将线段 BE 绕点 E 逆时针旋转120°得到 EF，射线 EF 交射线 BC 于点G，若BE=2FG，AB=5，求AP的长.
26．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交于A，B(4，0)两点，与y轴的正半轴交于点 C(0，4).
（1）求抛物线对应的函数解析式.
（2）如图1，P是抛物线上在第一象限的一点，连接BC，PB，PC，过点 P 作 PD⊥x轴于点D，交BC于点K.记△PBC，△BDK的面积分别为S1，S2，求 的最大值.
（3）如图2，连接AC，E(-1，2)为线段AC 的中点，过点 E 作 EF⊥AC，交x轴于点 F，连接CF.抛物线上是否存在点 Q，使∠QFE=2∠OCA 若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解： 的倒数为
故答案为：A .
【分析】根据两个数乘积是1的数互为倒数，据此解答即可.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D：是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“沿着一条直线折叠，两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形；绕着一点旋转180°后能与自身重合的图形是中心对称图形”逐项判断解答即可.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.000 85用科学记数法表示 ，
故答案为：B .
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、，C正确；
D、，D错误；
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂的乘法可判断A；根据幂的乘方可判断B；根据积的乘方可判断C；根据平方差公式可判断D．
5．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：一组数据“12， 12， 28， 35， ■”，该数据■在30~40之间，
中位数是28，不变，选项A正确.
众数也变化，选项B错误.
四个数据的和随数据■的变化而变化，所以平均数是变化的，选项C错误.
因为平均数改变，方差随着改变，选项D错误.
故选： A.
【分析】根据平均数，众数，中位数，方差定义，判断四个数据中只改变一个数据，各统计量的是否变化.
6．【答案】B
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：解：设购买足球m个，则购买篮球(15-m)个，则可列不等式为 故答案为：B .
【分析】设购买足球m个，根据“不超过1000元购买篮球和足球共15个”，列不等式即可.
7．【答案】D
【知识点】直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接BC.
和 都是⊙O中弧AC所对的圆周角，
∵AB是⊙O的直径，
∴在 中，
故答案为：D .
【分析】先利用同弧所对的圆周角相等，求出 的度数；再根据直径的性质得到 是直角三角形，最后通过直角三角形两锐角互余计算出 的度数.
8．【答案】C
【知识点】运用勾股定理解决网格问题；在网格中求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：如图，取格点D，连接DC，DA，则∠D=90°，
∵BD=4，AD=3，
∴，
∴，
故答案为：C .
【分析】取格点D，连接DC，DA，则∠D=90°，根据勾股定理求出AB长，然后求出∠ABC的正弦值即可.
9．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解： 从函数的图象和运动的过程可以得出：当点 P 运动到点 E 时，x=10，y=30.
过点E作EH⊥BC.
由三角形面积公式，得
解得EH=AB=6，
由图2可知当.x=14时，点 P 与点D 重合，
12(cm)，
∴矩形的面积为
故答案为：C .
【分析】结合函数图象可得点 P 运动到点 E 时，x=10，y=30，过点E作EH⊥BC，根据三角形的面积公式求出EH=6，然后根据勾股定理求出AE长，即可得到AD长，根据举行的面积公式计算即可.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴当x=0，则y=c<0.
又∵抛物线与x轴交于且 3，
∴对称轴是直线
故①正确.
由图象可得，当x=2时，y=4a+2b+c<0，
又∵当x=-1时， y=a-b+c=0，
故②正确.
且对称轴是直线 0，
即3a+c>0.
∴4a-b+2c=4a-a-c+2c=3a+c>0， 故③错误.
由题意，∵二次函数 的图象与x轴交于两点(
∵当x=0时， y=c，
与y=c关于x轴对称.
如图所示，
时，即a(x+1)(x- 结合图象可得m<-1，n>2， 故④正确.
由题意， 过(0， c)， ∴可以作图如下.
∴关于x的不等式 的解集是二次函数图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围.
∴关于x的不等式 的解集是x<0或 故⑤错误.
综上，正确的有①②④共3个.
故答案为：B .
【分析】根据抛物线开口，对称轴，以及与y轴的交点，确定a，b，c的符号，即可判断①，根据二次函数 的图象过(-1，0)， 得出a-b+c=0， 进而判断对称轴 得出a<-b<2a， 进而判断②和③，根据函数图象判断④，将一般式写成交点式得出 化简不等式为 求得解集，即可求解.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：.
【分析】先提取公因式，然后根据完全平方公式分解因式即可．
12．【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵四个卡片中，只有卡片④的生成物带有沉淀，∴符合条件的结果数为1.
∴抽到生成物带有沉淀的实验的概率为
故答案为： .
【分析】先确定所有等可能结果总数，再找出符合要求的结果数，代入概率公式计算即可.
13．【答案】4
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把x=3代入得3a-6=6，解得a=4，
故答案为：4 .
【分析】把x=3代入方程得到3a-6=6，解关于a的方程求出a的值解答即可.
14．【答案】2π
【知识点】正方形的性质；弧长的计算；黄金分割
【解析】【解答】解：
则
∴“黄金螺线”BEG的长为：
故答案为： 2π.
【分析】根据黄金分割的比值求出AB，根据正方形、矩形的性质求出DE长，再根据弧长公式计算得到答案.
15．【答案】(6， 3)
【知识点】旋转的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：令x=0时，则y=6；
令y=0时，则2x+6=0，解得：x=-3；
由旋转的性质可知：
的横坐标为6，纵坐标为
∴点 的坐标是(6， 3).
故答案为：(6， 3).
【分析】先根据函数图象分别求出OA、OB的长度，再通过旋转之后对应边相等可求出点 的坐标.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接CE，设EF=x，
在矩形ABCD中， OA=OC=OD=OB，则∠OBC=∠OCB， ∠AOB=∠COD=∠OBC+∠OCB=2∠DBC，
∵E是DG中点，
∴OE∥BC，
∵∠DCG=90°，
∴DE=CE=EG，
∴∠EDC=∠ECD，
∴∠CEG=∠EDC+∠ECD，
∴∠CEG=∠DOE，
∴△DOE∽△CEG，
∴EF=1，
故答案为： .
【分析】连接CE，设EF=x，根据矩形的性质，利用两角对应相等得到△DOE∽△CEG，根据对应边成比例求出EF，再根据勾股定理求出DF长解答即可.
17．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算负整数指数次幂，立方根、绝对值，然后代入特殊角的三角函数值，再运算乘法，最后加减解答即可.
18．【答案】（1）解：原式
（2）解：
解不等式①，得x≤1.
解不等式②，得x>-2，
∴不等式组的解集为-2∴它的整数解为-1， 0， 1.
【知识点】分式的混合运算；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】(1)原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
(2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，确定出整数解即可.
19．【答案】（1）解：如图，即为所作.
（2）解：∵E是BC的中点，
∴EC = AD.
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形.
∵AE = BE， EC = BE，
∴AE = EC，
∴平行四边形AECD是菱形.
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作线段AB的垂直平分线交BC于点E，则点E即为所作；
（2）根据一组对边分别平行且相等得到四边形AECD是平行四边形，再根据AE = EC得到结论即可.
20．【答案】（1）解：80
C项目人数为：80-32-28-4=16(人)，
补全条形统计图如下：
各项目人数的条形统计图

（2）解：
答：项目B 对应的圆心角的度数为126°.
（3）解：根据题意，画出树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两名性别相同的学生的结果有4种，
∴P (抽到两名性别相同的学生)
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】(1)解：由图可知，本次被调查的学生共有： (人)，
故答案为：80；
【分析】(1)已知A项目所占圆心角度数为 可根据 先求出其占总人数的比例，再根据A项目人数为32人，即可求出总人数；进而根据总人数求出 C类人数，即可完成条形统计图；
(2)由(1)中C类人数，可先求出其占总人数的比例，再用比例与 相乘即可求出对应圆心角的度数；
(3)首先画出树状图，由图可得所有等可能的结果数量，以及恰好两名性别相同的学生的结果数量，再根据概率公式即可求解.
21．【答案】解：如图，延长DC，交AN于点E.
∵CD⊥AB，
∴DE⊥AB.
由题意，得∠ADG =α=14.1°， ∠DCM =β=60°， CB=6m， AB∥DG，
∴∠A =∠ADG =14.1°， ∠BCE =∠DCM =60°.
在Rt△BCE中， BE =BC·sin∠BCE =3 (m)， CE =BC·cos∠BCE =3 (m).
∵CD =1.6m，
∴DE =CE+CD =4.6(m).
在Rt△ADE中，
∵AB+BE =AE，
答：河宽AB约为13m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长DC交AN于点H，在 和 AH中，利用直角三角形的边角间关系求出BH、CH、AH，最后利用线段的和差关系得结论.
22．【答案】（1）解：设A型挂面每把x元，B型挂面每把y元.
根据题意，得 解得
答：A型挂面每把12元，B型挂面每把18元.
（2）解：设购买B型挂面a把，则购买A型挂面(20-a)把，总费用为w元.
根据题意，得 解得8≤a≤10.
又∵a为正整数，
∴a=8， 9， 10，即有3种购买方案.
由题意，得w=(20-a)×12+18a=6a+240.
∵6>0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a=8时， w有最小值，最小值为6×8+240=288(元).
答：共有3种购买方案，最低费用为288元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元.根据题意列二元一次方程组求解即可；
(2)设购买B型挂面a把，则购买A型挂面(20-a)把，总费用为w元，列不等式组求出再根据题意列出w与a的函数关系式为w=6a+240，根据一次函数的增减性可得最值解答即可.
23．【答案】（1）解：将B(-4， - 3)代入 得m=(-4)×(-3)=12，
∴反比例函数的解析式为
将xA=2代入 得
∴A(2， 6).
将A(2， 6)， B(-4， - 3)代入
得 解得
∴一次函数的解析式为
（2）解：x≤-4或0（3）解：设 的图象与x轴交于点D.
当 时， 解得x=-2，
∴D(-2， 0).
设C(t， 0)，则CD =|t+2|.
∵△ABC的面积为18，
∴CD =4，即|t+2|=4，
解得t=2或t=-6，
∴点C的坐标为(-6， 0)或(2， 0).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）解：观察图象，当 时，x的取值范围是 或
故答案为：x≤-4或0【分析】(1)根据待定系数法求解即可；
(2)根据图象即可求得直线在双曲线下方时自变量x的取值范围解答即可；
(3)设 与x轴交于点D，得出D(-2， 0)，设 C(t， 0)，则 然后根据三角形面积公式建立方程，解方程，即可求得C的坐标.
24．【答案】（1）证明：∵DF⊥AB，GF 是⊙O 的切线，即 DF⊥GF，
∴AB∥GF，
∴∠G=∠BAC=45°，
∴∠FDG=90°-45°=45°，即△DFG 是等腰直角三角形，
∴FD=FG.
（2）解：
∵∠BAC=45°，
∴∠ADE=90°-45°=45°，即△ADE 是等腰直角三角形，
∴ED=EA=6.
由（1）得FD=FG=10，
∴EF=DF-DE=10-6=4，
如图，连接OA，
设OE=x，则OF=OE+EF=x+4=OA，在Rt△AOE 中，
解得
∴⊙O的半径为 .
【知识点】平行线的性质；勾股定理；垂径定理；切线的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）首先根据垂直的定义及切线的性质，可得出AB∥GF，进而得出∠G=∠BAC=45°，进而即可得出△DFG 是等腰直角三角形，可得出FD=FG；
（2）首先根据垂径定理可得出再根据∠BAC=45°，可得出△ADE 是等腰直角三角形，进而得出ED=EA=6.进而可得出EF=DF-DE=FG-DE=10-6=4，如图，连接OA，设OE=x，在Rt△AOE 中，根据勾股定理可得出解得 进而得出即⊙O的半径为 .
25．【答案】（1）30°；BP⊥AC (或垂直)
（2）解：CE =2BE.
理由：如图1，把△ABE绕点B顺时针旋转60°得到△CBQ，连接EQ，
∴BE = BQ， ∠EBQ = 60°， ∠AEB = ∠CQB，
∴△BEQ为等边三角形，
∴∠BEQ = 60°= ∠BQE， BE = EQ.
∵点E在线段BP上，且∠AEP = 30°， ∠PEC = 60°，
∴∠AEB = 150°， ∠BEC = 120°，
∴∠BEQ =∠CEQ = 60°， ∠AEB = ∠CQB = 150°，
∴∠EQC = 150°-60°= 90°，
∴∠ECQ = 90°-60°= 30°，
∴CE =2EQ =2BE.
（3）解：如图2，当点P在线段OA上时，记BP与AD交于点H.
∵AH∥BC，
∴∠AHB =∠CBH.
∵∠ABC = 60°，
∴∠BAD = 120°= ∠BEG，
∴△HAB∽△BEG，
设FG =x，则EF = BE =2x，
∴EG =3x，
∵AD∥BC，
∴△APH∽△CPB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC =AB =5，
如图3，当点P在线段OC上时，延长AD，交BP于点H.
同理可得∠H =∠PBC， ∠BAH =∠BEG =120°，
∴△HAB∽△BEG.
设BE =EF =2m，而BE =2FG，则GF =EG =m，
∴AH =10，
同理△APH∽△CPB，
综上，AP的长为2或
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解： (1)在菱形ABCD中， D，
为等边三角形，
∵点P与线段AC的中点O重合，
故答案为： 30，
【分析】(1)根据菱形的性质说明 为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出答案；
(2)把 绕点B顺时针旋转 得到 Q，可得 为等边三角形，进而得出 再结合已知条件说明 然后根据含 直角三角形的性质得出答案；
(3)分两种情况：当点P在线段OA上时，记BP与AD交于点H，先根据旋转的性质说明 B∽∠BEG，可得 再设FG=x，(x>0)，则EF=2x，进而求出EG=3x，然后将数值代入求出 接下来证明 PH∽△CPB，得出 同时代入数值可得答案；当点P在线段OC上时，延长AD交BP于点H，同理说明 可得 再设BE=EF=2m，(m>0)，进而得出EG=m， 然后求出AH=16， 同理可得 由相似三角形的性质得 则此题可解.
26．【答案】（1）解：把点B(4， 0)， C(0， 4)代入
得 解得
∴抛物线对应的函数解析式为
（2）解：设直线BC对应的函数解析式为y = kx+m(k≠0)，
把点B(4， 0)， C(0， 4)代入，得 解得
∴直线BC对应的函数解析式为y=-x+4.
设 则K(n， - n+4)， D(n， 0)，
∴当 时， 取得最大值，最大值为
（3）解：存在.
令 解得
∴A(-2， 0)，
∵E为AC的中点，且EF⊥AC，
∴∠AFE =∠CFE.
设OF =a，则CF =AF =a+2.
在Rt△COF中，由勾股定理，得( 解得a=3，
∴F(3， 0)， CF =5.
∵EF⊥AC， ∠AOC =90°，
∴∠AFE =∠OCA =90°-∠CAF，
∴∠AFE =∠OCA =∠CFE.
如图1，当点Q在第三象限时，取点E关于x轴的对称点E1，连接FE1，交抛物线于点Q，则∠QFE =2∠EFA =2∠OCA， E1(-1， - 2).
设直线FE1对应的函数解析式为
则 解得
∴直线FE1对应的函数解析式为
联立 得
解得 (舍去)，
当 时，
∴点 Q 的坐标为
如图2，当点Q在第一象限时，取E关于CF的对称点E2，连接 交CF于点G，连接 交抛物线于点Q， 则∠QFE=2∠CFE=2∠OCA， EG⊥CF.
过点G作GH⊥x轴于点 H，则
设直线FE2对应的函数解析式为
贝 解得
∴直线FE2对应的函数解析式为
联立 得
解得 (舍去)，
当 时，
∴点Q的坐标为
综上，点Q的坐标为 或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—边角关系；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】(1)由待定系数法求出函数解析式即可；
(2)求出BC的解析式，设 则，K(m，-m+4)，D(m，0)， 将 转化为二次函数求最值即可；
(3)得到FE垂直平分AC，设OF=a，勾股定理求出F点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出 分别作点E关于x轴和直线CF的对称点 直线F 与抛物线的交点即为所求，进行求解即可.
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