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四川省凉山州2026年中考数学模拟试卷(一)
1．下列各数中是有理数的是(　　)
A．2π B． C． D．
2．空心六角砖具有轻质、高强、隔音和保温的特点，主要用于河道、水库的护坡工程，防止水土流失，同时美化环境.如图是竖直放置的空心六角砖的示意图及其主视图，则它的左视图为(　　)
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是(　　)
A．4a-5a=-1 B． C． D．
4．2025年春晚的主题是“巳巳如意，生生不息”，如图为春晚主标识，巧妙组合的两个“巳”字象征中国传统的如意纹样，寓意双巳合壁，带来事事如意的吉祥.下列关于该标识的说法正确的是(　　)
A．是轴对称图形不是中心对称图形
B．是中心对称图形不是轴对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
5．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是(　　)
A． B．
C． D．
6．下列各选项的图形中∠1与∠2不一定相等的是(　　)
A．a||b
B．四边形 ABCD为平行四边形
C．四边形 ABCD为矩形，对角线 AC，BD交于点O
D．在△ABC中， AB=AC， CD是 AB边上的中线
7．2025年铁路春运由 1月 14日开始至 2月 22日结束，全国铁路运送旅客约有 5.103亿人次.数字 5.103亿用科学记数法可表示为(　　)
A． B． C． D．
8．共享经济已经进入人们的生活.小明收集了自己感兴趣的 4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为 A、B、C、D的四张卡片(除字母和内容外，其余完全相同).现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取两张卡片，则小明抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率是(　　)
A． B． C． D．
9．在物理实验课上，同学们分小组进行探究电流 I (A)与电阻 R (Ω)关系的实验，实验要求每个小组需保持电阻两端电压恒定.依据实验所得数据，在给定的坐标系中，甲、乙、丙三个小组分别绘制出了相应的图象(如图).根据图象及物理学知识 U=IR，可判断甲、乙、丙三个小组所控制的电阻两端电压的大小关系为(　　)
A． B．
C． D．
10．如图，边长为 10cm的正方形纸片 ABCD，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形.再沿着虚线折起，可以得到一个长方形盒子，点 A，B，C，D正好重合于上底面一点，且此长方体盒子的表面积为 36cm2，其中 AE=BF.若设 AE的长为 xcm，则下列方程正确的是(　　)
A． B．
C． D．
11．如图是某宣传版面的平面示意图.其形状是扇形的一部分，AD和 BC都是半径的一部分，小强测得∠ADC=∠BCD=120°， DC=60cm，AD=BC=40cm，则这块宣传版面的周长为(　　)
A． B．
C． D．
12．已知二次函数 (m为常数)的图象与 x轴有交点，当 x>2时，y随 x的增大而增大，则 m的取值范围是(　　)
A． B． C．m<2 D．m≥-2
13．因式分解：　 　．
14．如图，正五边形 ABCDE内接于⊙O，过点 D 作⊙O的切线交 AE的延长线于点F.则∠F的度数为　 　.
15．七巧板，又称智慧板，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.如图是由七巧板拼成的小船，若点 A的坐标为(-1，2)，点 B的坐标为(1，0)，则点 C的坐标为　 　.
16．在初中物理课程中，我们学过凸透镜的成像规律，如图 MN为凸透镜，其厚度忽略不计 O为凸透镜 MN的光心，E为凸透镜的焦点.在凸透镜MN左侧的主光轴上垂直放置一只蜡烛 AB，透过凸透镜后成的像为 CD.平行于主光轴的光线 AF，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线 AO汇聚于点 C.若物距 OB=6cm，像距 OD=12cm，则凸透镜 MN的焦距 OE的长为　 　cm.
17．如图，在四边形 ABCD中， AB=AD， CD=CB，对角线 AC， BD相交于点 O， E是线段 AO上一点，且 OC=OE=6，连接 BE并延长，交 AD于点 F.若 BD=16， F为 AD的中点，则四边形 ABCD的面积为　 　.
18．矩形 ABCD对角线 AC、BD 交于点 O， 点 E在 AD边上， OE=4， tan∠AEB=　 　.
19．计算：
20．先化简，再求值 其中 a满足
21．第四届全民阅读大会于2025年4月23日至25日在太原举办，大会主题是“培育读书风尚建设文化强国”，通过全民阅读构筑共有精神家园，提升社会文明程度，为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精神力量.某校数学综合实践小组为了解全校 2000名学生最喜欢阅读的一种图书类型进行了抽样调查，调查的图书类型包括“A人文社科类”、“B文学艺术类”、“C科普生活类”、“D少儿类”和“E其它”，并将调查情况绘制成如下两幅尚不完整的统计图.
根据调查信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽查了　 　名学生，m的值为　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有多少名
（4）假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议.
22．如图，在“综合与实践”课堂上，同学们发现校门旁边有一根电线杆 AB和一块半圆形广告牌，在太阳光照射下，电线杆的顶端 A的影子刚好落在半圆形广告牌的最高处 G，而半圆形广告牌的影子刚好落在地面上一点 E，通过测量得到 BC=5米，DE=2米，并测得光线与水平面夹角∠DEF=43°.请你利用同学们的测量数据求出电线杆 AB的高度.(参考数据： 结果保留整数)
23．如图，平行于 y轴的直尺(一部分)与双曲线 在第一象限交于点 A和 C，与 x轴交于点 B和 D，点 A和 B的刻度分别为 5cm和 2cm，直尺的宽度为 a cm，OB=2cm.(注：平面直角坐标系内一个单位长度为 1cm)
（1）求点 A的坐标及 k的值；
（2）连接 AC，若四边形 ABDC的面积为 时，求 a的值.
24．
（1）证明推断：如图(1)，在正方形 ABCD中，点 E， Q分别在边 BC， AB上， DQ⊥AE于点 O，点 G，F分别在边 CD， AB上， GF⊥AE.求证： DQ=AE；
（2）类比探究：如图(2) ，在矩形 ABCD中， (k为常数).将矩形 ABCD沿 GF折叠，使点 A落在 BC边上的点 E处，得到四边形 FEPG， EP交 CD于点 H，连接 AE交 GF于点 O.试探究 GF与AE 之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在(2)的条件下，连接 CP，当 时，若 求 BC的长.
25．如图 1，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 与 x轴交于 A，B 两点(点 B 在点 A 的左侧) ，与 y轴交于点 C，连接 BC，作直线 AC，点 A的坐标为(6， 0) ，且
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点 P在抛物线第一象限图象上，线段 EF (点 F在点 E的左侧)是直线 AC上一段长度为 的动线段， y轴上一点 Q (0， 2) ，连接 QE， QF， PE， PF，若四边形 QEPF为平行四边形，求点 E的横坐标；
（3）一次函数 y=kx-k+7的图象交二次函数于 M，N两点，当抛物线的顶点 D到一次函数 y=kx-k+7的图象的距离最大时，在这条直线上是否存在一点 T，满足∠ATB=90°，若存在，求出 T点坐标，若不存在，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：A. 是无理数，不符合题意；
B. 是无理数，不符合题意；
C. 是无理数，不符合题意；
D. 是有理数，符合题意；
故选：D．
【分析】根据实数的分类解答即可．
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：空心六角砖的左视图为
故选：B．
【分析】根据左视图是从物体的左面看得到的视图解答即可．
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据完全平方公式，积的乘方，同底数幂乘法，合并同类项法则逐项判断解答即可．
4．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：由图可知，春晚主标识是中心对称图形不是轴对称图形，
故选：B．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”；在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形；据此解答即可．
5．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】
解：解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
原不等式组的解集为；
不等式组的解集在数轴上表示如下：
故选：B．
【分析】先求出每个不等式的解集，根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；两直线平行，同位角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：A、根据两直线平行，同位角相等，可得，故不符合题意；
B、四边形为平行四边形，则，
∴，
∴，故不符合题意；
C、四边形为矩形，则，
∴，故不符合题意；
D、在中，是边上的中线，则，不一定相等，故符合题意；
故选：D．
【分析】根据平行线的性质，平行四边形的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质逐项判断解答即可．
7．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为，n为小数点向左移动位数，据此解答即可．
8．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意画树状图，如下：
由树状图可知，共有12种等可能出现的结果，其中抽到两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果有2种，
所以
故选：D.
【分析】利用树状图得到所有等可能的结果，找出抽到两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数，根据概率公式计算即可．
9．【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，
∴，
当时，结合图象得，
则，
故选：A.
【分析】根据，取相同的电阻时，比较通过电流的大小解答即可．
10．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设的长为，则，
由题意得，
故选：A.
【分析】设的长为，则，根据“长方体盒子的表面积为”列方程解答即可．
11．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：延长交于点O，
由题可知，点O是圆弧所在圆的圆心，
∵，
∴，
∴是等边三角边，
又，
∴，，
∴，
∴圆弧的长度为：．
∴则这块宣传版面的周长为．
故选：C
【分析】延长交于点O，得到△DOC是等边三角形，根据弧长公式解答即可.
12．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵二次函数（为常数）的图象与x轴有交点，
∴，
解得：，
∵抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，当时，y随x的增大而增大，
∴，
∴
∴m的取值范围是，
故选：A．
【分析】根据图象与x轴交点个数得出判别式，求出m的取值范围，然后根据二次函数的鞥践行求出 ，即可得到m的取值范围解答即可．
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】此题的二项式的各项有公因式“5”，故先提取公因式5，再用平方差公式将商式继续分解即可．
14．【答案】72°
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质；圆内接正多边形；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵正五边形内接于，
∴．
∵，
∴．
∵是的切线，
∴，
∴．
∵是正五边形的外角，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】先求出五边形的中心角的度数，进而求出，利用切线的性质得到的度数，利用正多边形的外角和定理求出，再根据三角形内角和解答即可．
15．【答案】(-2， - 1)
【知识点】点的坐标；七巧板与拼图制作；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：由点的坐标为，点的坐标为，
建立坐标系如下：
则点的坐标为，
故答案为：．
【分析】根据点A，B的坐标健脾平面直角坐标系，根据点C的位置写出点的坐标即可．
16．【答案】4
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可得，四边形是矩形，
，
即，
解得：，
故答案为：4．
【分析】根据题意可得，然后根据对应边成比例解答即可．
17．【答案】192
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，，
∴，即为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积为．
故答案为：．
【分析】先根据SSS得到，即可得到，再根据SAS依次得到，，可以得到，根据内错角相等，两直线平行可得，即可得到，根据对应边成比例求出AE=12，根据四边形的面积为解答即可．
18．【答案】或
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值
【解析】【解答】解：如图，过点O作OH⊥AD于H，
∵AB=4，AD=12，
∴BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=BO=OD，
∴AB=AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠BAO=60°，
∴∠DAO=30°，
又∵OH⊥AD，OA=OD，
∴OH，AH=DH=6，
∴EH，
当点E在点H左侧时，
∴AE=AH-EH=4，
∴；
当点E在点H右侧时，
∴AE'=AH+HE'=8，
∴，
故答案为：或．
【分析】过点O作OH⊥AD于H，根据勾股定理求出BD长，再根据矩形的性质得到△ABO是等边三角形，即可得到∠DAO=30°，∠BAC=60°，根据30°的直角三角形的性质可得OH长，根据勾股定理求出EH的长，分点E在点H左侧或点E在点H右侧两种情况得到AE的长，根据正切的定义解答即可．
19．【答案】解：原式
.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先计算负整数指数次幂，二次根式的除法，零指数次幂和开立方，然后加减解答即可.
20．【答案】解：
∴原式
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先化简，然后运算分式的减法计算括号内分式，然后把除法化为乘法，分解因式约分化简，再把等式化为整体代入解答即可.
21．【答案】（1）50；30
（2）解：补全图形如下：
（3）解：
答：该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有400名.
（4）解：因为喜欢“科普生活类”和“少儿类”的学生较多，建议学校多购置“科普生活类”和“少儿类”图书等.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：这次调查的学生人数为（人）；
D类的人数为（人）．
，
∴，
故答案为：50；30；
【分析】（1）用A类的人数除以它的占比求出总人数；用D类的人数除以总人数乘以100%，即可得出m的值；
（2）根据（1）中的D类的人数补全条形统计图；
（3）用学校总人数乘以样本中喜欢B类的学生占比解答即可．
（4）根据统计图提出合理建议即可．
22．【答案】解：如图，连接 OF，过点 G作 GH⊥AB于 H，则 BOGH是矩形.
∵FE 是⊙O的切线，
∴∠OFE=90°，
∵∠DEF=43 °， DE=2米，
即
解得 OD=4.25 (米)，
∴BH=OG=OF=4.25 米，HG=BO=BC+CO=5+4.25=9.25 (米)，OE=OD+DE=4.25+2=6.25 (米) ，
(米) .
∵太阳光线是平行光线，
∴AG∥EF，
又∵GH∥OE，
∴∠E=∠AGH.
又∵∠OFE=∠AHG=90°，
∴△AGH∽△OEF，
即
解得： AH≈8.58 (米) .
即 AB=AH+BH=8.58+4.25≈13(米) .
答：电线杆 AB的高度约为 13米.
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用；矩形底座模型
【解析】【分析】连接OF、OG，过点G作GH⊥AB于H，则BOGH是矩形，根据切线的性质得到∠OFE=90°，再根据正弦的定义求得半径OD的长，然后根据勾股定理求出EF长，根据两角对应相等得到△AGH∽△OEF，利用对应边成比例解答即可．
23．【答案】（1）解；∵点A和B的刻度分别为和，
∴，
∵轴，
∴，
把代入得，，解得；
（2）解：由（1）知，反比例函数解析式为
∵直尺的宽度为，，
∴，
∴点C的横坐标为，
又点C在双曲线，
∴点C的坐标为，则，
∵四边形的面积为，
∴，
解得或（舍去）．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；直角梯形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）先得到，即可得到点A的坐标，然后代入反比例函数解析式计算即可；
（2）根据反比例函数上的点的特征求出点C的坐标，即可得到CD长，根据梯形面积公式计算a的值解答即可．
24．【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAQ，
∴∠QAO+∠OAD=90°，
∵AE⊥DQ，
∴∠ADO+∠OAD=90°，
∴∠QAO=∠ADO，
在△ABE和△DAQ中，
∴△ABE≌△DAQ (ASA) ，
（2）解：理由如下：
如图 2， AE⊥GF，作 GM⊥AB于 M，
∴∠AOF=∠GMF=∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AFO=90°， ∠AFO+∠FGM=90°，
∴∠BAE=∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∵∠AMG=∠D=∠DAM=90°，
∴四边形 AMGD是矩形，
∴GM=AD，
（3）解：∵，
∴，，，
∵，折叠，
∴，，
∴，
∴，
∴可以假设，
∵，
∴，
∴，
∴或（舍弃），
∴，
∵，
∴．
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，利用ASA得到△ABE≌△DAQ，然后根据对应边相等证明结论；
（2）根据两角对应相等得到，即可得到，然后根据矩形的性质得到，等量代换解答即可；
（3）根据平行线的性质和折叠的性质得到，根据正切的定义设，根据勾股定理求出k的值解答即可．
25．【答案】（1）解：抛物线：（），
当时，，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
代入得，，
解得：，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：如图，连接交于点，
设直线的解析式为，
代入得，，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
设，
∵，
∴，
∵点在直线上，
∴，
解得：，，
当时，，
设，则，
解得：，，
∵点在点的左侧，
∴；
∴
当时，，
设，则，
解得：，，
∵点在点的左侧，
∴；
∴，
∴综上所述，点的横坐标为或．

（3）解：不存在，理由如下：
∵，
∴当时，，
∴直线恒过点，设该点为，
∵，
∴，对称轴为直线，
∴当直线时，抛物线的顶点到一次函数的图像的距离最大；
设直线与对称轴的交点为，过点作对称轴，
∴，
∴，，
∵直线
∴为等腰直角三角形，
∴为的中点，
∴，
把代入，得：，解得：；
∴，
假设存在点使，则：，
∵，
∴，
整理，得：，
∴，
∴此方程无解，假设不成立，即不存在．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（1）根据题意得到，根据△ABC的面积求出，即可得到点B的坐标，然后将点A，B的坐标代入函数解析式求出a，b的值即可；
（2）连接交于点，先求出直线的解析式，根据平行四边形的对比边相等得到，，设，根据中点坐标公式求出，代入直线求出的值，即可得到点的坐标，设，根据两点间距离公式列方程求出的值即解答即可；
（3）得到直线必过点，设点，求出抛物线的顶点D的坐标，进而得到直线时，距离最大，设直线与对称轴交于点，过点作垂直于对称轴，即可得到为等腰直角三角形，求出点坐标，代入一次函数解析式求出k的值，假设存在点使，根据勾股定理得到关于z的一元二次方程，利用根的判别式得到，得到结论即可．
1 / 1四川省凉山州2026年中考数学模拟试卷(一)
1．下列各数中是有理数的是(　　)
A．2π B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：A. 是无理数，不符合题意；
B. 是无理数，不符合题意；
C. 是无理数，不符合题意；
D. 是有理数，符合题意；
故选：D．
【分析】根据实数的分类解答即可．
2．空心六角砖具有轻质、高强、隔音和保温的特点，主要用于河道、水库的护坡工程，防止水土流失，同时美化环境.如图是竖直放置的空心六角砖的示意图及其主视图，则它的左视图为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：空心六角砖的左视图为
故选：B．
【分析】根据左视图是从物体的左面看得到的视图解答即可．
3．下列计算正确的是(　　)
A．4a-5a=-1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据完全平方公式，积的乘方，同底数幂乘法，合并同类项法则逐项判断解答即可．
4．2025年春晚的主题是“巳巳如意，生生不息”，如图为春晚主标识，巧妙组合的两个“巳”字象征中国传统的如意纹样，寓意双巳合壁，带来事事如意的吉祥.下列关于该标识的说法正确的是(　　)
A．是轴对称图形不是中心对称图形
B．是中心对称图形不是轴对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：由图可知，春晚主标识是中心对称图形不是轴对称图形，
故选：B．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”；在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形；据此解答即可．
5．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】
解：解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
原不等式组的解集为；
不等式组的解集在数轴上表示如下：
故选：B．
【分析】先求出每个不等式的解集，根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
6．下列各选项的图形中∠1与∠2不一定相等的是(　　)
A．a||b
B．四边形 ABCD为平行四边形
C．四边形 ABCD为矩形，对角线 AC，BD交于点O
D．在△ABC中， AB=AC， CD是 AB边上的中线
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；两直线平行，同位角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：A、根据两直线平行，同位角相等，可得，故不符合题意；
B、四边形为平行四边形，则，
∴，
∴，故不符合题意；
C、四边形为矩形，则，
∴，故不符合题意；
D、在中，是边上的中线，则，不一定相等，故符合题意；
故选：D．
【分析】根据平行线的性质，平行四边形的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质逐项判断解答即可．
7．2025年铁路春运由 1月 14日开始至 2月 22日结束，全国铁路运送旅客约有 5.103亿人次.数字 5.103亿用科学记数法可表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为，n为小数点向左移动位数，据此解答即可．
8．共享经济已经进入人们的生活.小明收集了自己感兴趣的 4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为 A、B、C、D的四张卡片(除字母和内容外，其余完全相同).现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取两张卡片，则小明抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意画树状图，如下：
由树状图可知，共有12种等可能出现的结果，其中抽到两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果有2种，
所以
故选：D.
【分析】利用树状图得到所有等可能的结果，找出抽到两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数，根据概率公式计算即可．
9．在物理实验课上，同学们分小组进行探究电流 I (A)与电阻 R (Ω)关系的实验，实验要求每个小组需保持电阻两端电压恒定.依据实验所得数据，在给定的坐标系中，甲、乙、丙三个小组分别绘制出了相应的图象(如图).根据图象及物理学知识 U=IR，可判断甲、乙、丙三个小组所控制的电阻两端电压的大小关系为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，
∴，
当时，结合图象得，
则，
故选：A.
【分析】根据，取相同的电阻时，比较通过电流的大小解答即可．
10．如图，边长为 10cm的正方形纸片 ABCD，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形.再沿着虚线折起，可以得到一个长方形盒子，点 A，B，C，D正好重合于上底面一点，且此长方体盒子的表面积为 36cm2，其中 AE=BF.若设 AE的长为 xcm，则下列方程正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设的长为，则，
由题意得，
故选：A.
【分析】设的长为，则，根据“长方体盒子的表面积为”列方程解答即可．
11．如图是某宣传版面的平面示意图.其形状是扇形的一部分，AD和 BC都是半径的一部分，小强测得∠ADC=∠BCD=120°， DC=60cm，AD=BC=40cm，则这块宣传版面的周长为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：延长交于点O，
由题可知，点O是圆弧所在圆的圆心，
∵，
∴，
∴是等边三角边，
又，
∴，，
∴，
∴圆弧的长度为：．
∴则这块宣传版面的周长为．
故选：C
【分析】延长交于点O，得到△DOC是等边三角形，根据弧长公式解答即可.
12．已知二次函数 (m为常数)的图象与 x轴有交点，当 x>2时，y随 x的增大而增大，则 m的取值范围是(　　)
A． B． C．m<2 D．m≥-2
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵二次函数（为常数）的图象与x轴有交点，
∴，
解得：，
∵抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，当时，y随x的增大而增大，
∴，
∴
∴m的取值范围是，
故选：A．
【分析】根据图象与x轴交点个数得出判别式，求出m的取值范围，然后根据二次函数的鞥践行求出 ，即可得到m的取值范围解答即可．
13．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】此题的二项式的各项有公因式“5”，故先提取公因式5，再用平方差公式将商式继续分解即可．
14．如图，正五边形 ABCDE内接于⊙O，过点 D 作⊙O的切线交 AE的延长线于点F.则∠F的度数为　 　.
【答案】72°
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质；圆内接正多边形；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵正五边形内接于，
∴．
∵，
∴．
∵是的切线，
∴，
∴．
∵是正五边形的外角，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】先求出五边形的中心角的度数，进而求出，利用切线的性质得到的度数，利用正多边形的外角和定理求出，再根据三角形内角和解答即可．
15．七巧板，又称智慧板，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.如图是由七巧板拼成的小船，若点 A的坐标为(-1，2)，点 B的坐标为(1，0)，则点 C的坐标为　 　.
【答案】(-2， - 1)
【知识点】点的坐标；七巧板与拼图制作；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：由点的坐标为，点的坐标为，
建立坐标系如下：
则点的坐标为，
故答案为：．
【分析】根据点A，B的坐标健脾平面直角坐标系，根据点C的位置写出点的坐标即可．
16．在初中物理课程中，我们学过凸透镜的成像规律，如图 MN为凸透镜，其厚度忽略不计 O为凸透镜 MN的光心，E为凸透镜的焦点.在凸透镜MN左侧的主光轴上垂直放置一只蜡烛 AB，透过凸透镜后成的像为 CD.平行于主光轴的光线 AF，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线 AO汇聚于点 C.若物距 OB=6cm，像距 OD=12cm，则凸透镜 MN的焦距 OE的长为　 　cm.
【答案】4
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可得，四边形是矩形，
，
即，
解得：，
故答案为：4．
【分析】根据题意可得，然后根据对应边成比例解答即可．
17．如图，在四边形 ABCD中， AB=AD， CD=CB，对角线 AC， BD相交于点 O， E是线段 AO上一点，且 OC=OE=6，连接 BE并延长，交 AD于点 F.若 BD=16， F为 AD的中点，则四边形 ABCD的面积为　 　.
【答案】192
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，，
∴，即为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积为．
故答案为：．
【分析】先根据SSS得到，即可得到，再根据SAS依次得到，，可以得到，根据内错角相等，两直线平行可得，即可得到，根据对应边成比例求出AE=12，根据四边形的面积为解答即可．
18．矩形 ABCD对角线 AC、BD 交于点 O， 点 E在 AD边上， OE=4， tan∠AEB=　 　.
【答案】或
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值
【解析】【解答】解：如图，过点O作OH⊥AD于H，
∵AB=4，AD=12，
∴BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=BO=OD，
∴AB=AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠BAO=60°，
∴∠DAO=30°，
又∵OH⊥AD，OA=OD，
∴OH，AH=DH=6，
∴EH，
当点E在点H左侧时，
∴AE=AH-EH=4，
∴；
当点E在点H右侧时，
∴AE'=AH+HE'=8，
∴，
故答案为：或．
【分析】过点O作OH⊥AD于H，根据勾股定理求出BD长，再根据矩形的性质得到△ABO是等边三角形，即可得到∠DAO=30°，∠BAC=60°，根据30°的直角三角形的性质可得OH长，根据勾股定理求出EH的长，分点E在点H左侧或点E在点H右侧两种情况得到AE的长，根据正切的定义解答即可．
19．计算：
【答案】解：原式
.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先计算负整数指数次幂，二次根式的除法，零指数次幂和开立方，然后加减解答即可.
20．先化简，再求值 其中 a满足
【答案】解：
∴原式
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先化简，然后运算分式的减法计算括号内分式，然后把除法化为乘法，分解因式约分化简，再把等式化为整体代入解答即可.
21．第四届全民阅读大会于2025年4月23日至25日在太原举办，大会主题是“培育读书风尚建设文化强国”，通过全民阅读构筑共有精神家园，提升社会文明程度，为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精神力量.某校数学综合实践小组为了解全校 2000名学生最喜欢阅读的一种图书类型进行了抽样调查，调查的图书类型包括“A人文社科类”、“B文学艺术类”、“C科普生活类”、“D少儿类”和“E其它”，并将调查情况绘制成如下两幅尚不完整的统计图.
根据调查信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽查了　 　名学生，m的值为　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有多少名
（4）假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议.
【答案】（1）50；30
（2）解：补全图形如下：
（3）解：
答：该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有400名.
（4）解：因为喜欢“科普生活类”和“少儿类”的学生较多，建议学校多购置“科普生活类”和“少儿类”图书等.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：这次调查的学生人数为（人）；
D类的人数为（人）．
，
∴，
故答案为：50；30；
【分析】（1）用A类的人数除以它的占比求出总人数；用D类的人数除以总人数乘以100%，即可得出m的值；
（2）根据（1）中的D类的人数补全条形统计图；
（3）用学校总人数乘以样本中喜欢B类的学生占比解答即可．
（4）根据统计图提出合理建议即可．
22．如图，在“综合与实践”课堂上，同学们发现校门旁边有一根电线杆 AB和一块半圆形广告牌，在太阳光照射下，电线杆的顶端 A的影子刚好落在半圆形广告牌的最高处 G，而半圆形广告牌的影子刚好落在地面上一点 E，通过测量得到 BC=5米，DE=2米，并测得光线与水平面夹角∠DEF=43°.请你利用同学们的测量数据求出电线杆 AB的高度.(参考数据： 结果保留整数)
【答案】解：如图，连接 OF，过点 G作 GH⊥AB于 H，则 BOGH是矩形.
∵FE 是⊙O的切线，
∴∠OFE=90°，
∵∠DEF=43 °， DE=2米，
即
解得 OD=4.25 (米)，
∴BH=OG=OF=4.25 米，HG=BO=BC+CO=5+4.25=9.25 (米)，OE=OD+DE=4.25+2=6.25 (米) ，
(米) .
∵太阳光线是平行光线，
∴AG∥EF，
又∵GH∥OE，
∴∠E=∠AGH.
又∵∠OFE=∠AHG=90°，
∴△AGH∽△OEF，
即
解得： AH≈8.58 (米) .
即 AB=AH+BH=8.58+4.25≈13(米) .
答：电线杆 AB的高度约为 13米.
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用；矩形底座模型
【解析】【分析】连接OF、OG，过点G作GH⊥AB于H，则BOGH是矩形，根据切线的性质得到∠OFE=90°，再根据正弦的定义求得半径OD的长，然后根据勾股定理求出EF长，根据两角对应相等得到△AGH∽△OEF，利用对应边成比例解答即可．
23．如图，平行于 y轴的直尺(一部分)与双曲线 在第一象限交于点 A和 C，与 x轴交于点 B和 D，点 A和 B的刻度分别为 5cm和 2cm，直尺的宽度为 a cm，OB=2cm.(注：平面直角坐标系内一个单位长度为 1cm)
（1）求点 A的坐标及 k的值；
（2）连接 AC，若四边形 ABDC的面积为 时，求 a的值.
【答案】（1）解；∵点A和B的刻度分别为和，
∴，
∵轴，
∴，
把代入得，，解得；
（2）解：由（1）知，反比例函数解析式为
∵直尺的宽度为，，
∴，
∴点C的横坐标为，
又点C在双曲线，
∴点C的坐标为，则，
∵四边形的面积为，
∴，
解得或（舍去）．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；直角梯形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）先得到，即可得到点A的坐标，然后代入反比例函数解析式计算即可；
（2）根据反比例函数上的点的特征求出点C的坐标，即可得到CD长，根据梯形面积公式计算a的值解答即可．
24．
（1）证明推断：如图(1)，在正方形 ABCD中，点 E， Q分别在边 BC， AB上， DQ⊥AE于点 O，点 G，F分别在边 CD， AB上， GF⊥AE.求证： DQ=AE；
（2）类比探究：如图(2) ，在矩形 ABCD中， (k为常数).将矩形 ABCD沿 GF折叠，使点 A落在 BC边上的点 E处，得到四边形 FEPG， EP交 CD于点 H，连接 AE交 GF于点 O.试探究 GF与AE 之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在(2)的条件下，连接 CP，当 时，若 求 BC的长.
【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAQ，
∴∠QAO+∠OAD=90°，
∵AE⊥DQ，
∴∠ADO+∠OAD=90°，
∴∠QAO=∠ADO，
在△ABE和△DAQ中，
∴△ABE≌△DAQ (ASA) ，
（2）解：理由如下：
如图 2， AE⊥GF，作 GM⊥AB于 M，
∴∠AOF=∠GMF=∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AFO=90°， ∠AFO+∠FGM=90°，
∴∠BAE=∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∵∠AMG=∠D=∠DAM=90°，
∴四边形 AMGD是矩形，
∴GM=AD，
（3）解：∵，
∴，，，
∵，折叠，
∴，，
∴，
∴，
∴可以假设，
∵，
∴，
∴，
∴或（舍弃），
∴，
∵，
∴．
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，利用ASA得到△ABE≌△DAQ，然后根据对应边相等证明结论；
（2）根据两角对应相等得到，即可得到，然后根据矩形的性质得到，等量代换解答即可；
（3）根据平行线的性质和折叠的性质得到，根据正切的定义设，根据勾股定理求出k的值解答即可．
25．如图 1，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 与 x轴交于 A，B 两点(点 B 在点 A 的左侧) ，与 y轴交于点 C，连接 BC，作直线 AC，点 A的坐标为(6， 0) ，且
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点 P在抛物线第一象限图象上，线段 EF (点 F在点 E的左侧)是直线 AC上一段长度为 的动线段， y轴上一点 Q (0， 2) ，连接 QE， QF， PE， PF，若四边形 QEPF为平行四边形，求点 E的横坐标；
（3）一次函数 y=kx-k+7的图象交二次函数于 M，N两点，当抛物线的顶点 D到一次函数 y=kx-k+7的图象的距离最大时，在这条直线上是否存在一点 T，满足∠ATB=90°，若存在，求出 T点坐标，若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：抛物线：（），
当时，，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
代入得，，
解得：，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：如图，连接交于点，
设直线的解析式为，
代入得，，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
设，
∵，
∴，
∵点在直线上，
∴，
解得：，，
当时，，
设，则，
解得：，，
∵点在点的左侧，
∴；
∴
当时，，
设，则，
解得：，，
∵点在点的左侧，
∴；
∴，
∴综上所述，点的横坐标为或．

（3）解：不存在，理由如下：
∵，
∴当时，，
∴直线恒过点，设该点为，
∵，
∴，对称轴为直线，
∴当直线时，抛物线的顶点到一次函数的图像的距离最大；
设直线与对称轴的交点为，过点作对称轴，
∴，
∴，，
∵直线
∴为等腰直角三角形，
∴为的中点，
∴，
把代入，得：，解得：；
∴，
假设存在点使，则：，
∵，
∴，
整理，得：，
∴，
∴此方程无解，假设不成立，即不存在．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（1）根据题意得到，根据△ABC的面积求出，即可得到点B的坐标，然后将点A，B的坐标代入函数解析式求出a，b的值即可；
（2）连接交于点，先求出直线的解析式，根据平行四边形的对比边相等得到，，设，根据中点坐标公式求出，代入直线求出的值，即可得到点的坐标，设，根据两点间距离公式列方程求出的值即解答即可；
（3）得到直线必过点，设点，求出抛物线的顶点D的坐标，进而得到直线时，距离最大，设直线与对称轴交于点，过点作垂直于对称轴，即可得到为等腰直角三角形，求出点坐标，代入一次函数解析式求出k的值，假设存在点使，根据勾股定理得到关于z的一元二次方程，利用根的判别式得到，得到结论即可．
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