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四川省成都市武侯区2025年中考数学二诊试题
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1．的相反数是（　　）
A． B． C．2025 D．
2．斗拱是我国古建筑中特有的一种结构，体现了古代工匠的精湛技艺．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图，则它的左视图为（　　）
A． B．
C． D．
3．截止年月日，哪吒之魔童闹海全球票房约亿，位居全球动画电影票房第一．将数据亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，已知，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．下面计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，把面积为的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形，则这个正六边形的面积是（　　）
A． B． C． D．
7．我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤．问玉、石重各几何？其大意是：一立方寸的玉重两：一立方寸的石重两，一块内部含有玉的正方体石头，总重斤（古代斤两），体积为立方寸．问玉、石各重多少？设玉重两，石重两，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．已知二次函数的自变量与因变量的几组对应值如下表：
… 1 …
… …
则下列说法正确的是（　　）
A．顶点坐标为
B．当时，的值随值的增大而增大
C．图象的对称轴是直线
D．图象经过第一、二、三象限
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．因式分解：　 　．
10．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　 　．
11．在某次射击训练中，一位选手的次射击成绩（单位：环）如图所示，则该选手的这次射击成绩的中位数是　 　环．
12．如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点旋转了　 　度．
13．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以适当长为半径画弧，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点；再分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧在第二象限相交于点，连接，．若，则点的坐标为　 　．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（1）计算：；
（2）解不等式组，并将其解集表示在下面的数轴上．
15．年是农历“双春年”（含两个立春节气），并包含“闰六月”，农历天数全年共天．武侯区某校开展“数启双春，智绘华章”系列活动，设置以下四类项目：．习俗调查；．数据分析；．画报制作；．文创设计，现随机选取部分学生进行关于“你最感兴趣的项目”的调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表．
项目 人数
根据图表信息，解答下列问题：
（1）填空：本次调查的学生共有________人，表格中的值为________；
（2）若该校共有学生人，请估计选择项目的学生人数；
（3）在参与调查的学生中，选择项目的男生和女生人数相同，现从中随机选取两人在活动总结大会上作交流分享，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名男生和一名女生的概率．
16．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”描述了山寺桃花盛开的美景，体现了生命独特的韵律与希望．某校学生开展综合实践活动，测量一株花树的最高点离地面的距离．如图，已知测倾器的高度为米，在测点处安置测倾器，测得花树的最高点的仰角，在与点相距米的测点处安置测倾器，测得花树的最高点的仰角，求该花树的最高点离地面的距离．（结果精确到米，参考数据：，，）
17．如图，为的直径，在位于异侧的上分别取点，，连接，，，，交于点，射线交的延长线于点，延长交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求的半径及线段的长
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）过点作直线，交轴正半轴于点，连接，若，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在第三象限的反比例函数图象上取一点（点不与点重合），在轴上取一点，连接，，，当时，求此时的面积．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．已知代数式，其中为的小数部分，则的值为　 　．
20．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且满足，则的值为　 　．
21．如图，在轴上取点，在轴上取点，，，，，，现从这6条直线中任取一条，则该直线与反比例函数的图象有两个交点的概率是　 　．
22．在平面直角坐标系中，已知，两点，连接，设线段的长为，若点在二次函数的图象上，则当时，的取值范围是　 　．
23．如图，在中，，点，分别是，的中点，连接，点是边上一点（点不与点，重合），连接交于点，点，分别是，的中点，连接，．若，，则的最小值为　 　，且此时线段的长为　 　．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时．
（1）分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：小时）；
（2）现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？
25．如图，已知抛物线与轴相交于点，将抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，抛物线与轴相交于点．
（1）求点的坐标及抛物线的顶点坐标；
（2）在抛物线上取一点，连接，且满足．
①当时，求点的坐标；
②定义：我们把一条对角线与一条边相等的平行四边形称为关于此对角线的对等平行四边形．现过点，，作平行四边形，当平行四边形是关于对角线的对等平行四边形时，求此时的值．
26．关于具有“共角共边”特征的两个相似三角形的问题解决，在我们平常的学习中经常遇到，某数学兴趣小组针对此类问题，开展了如下探究活动：在中，，，，在直线下方取一点，连接，使得．
【基础回顾】
（1）如图1，过点作于点，求证：；
【灵活运用】
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，，作的平分线交边于点，当时，求线段的长；
【综合探究】
（3）在射线上取一点，当时，试问：的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是．
故答案为：B．
【分析】根据相反数的定义进行作答即可．
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：斗形构件“三才升”的左视图为：
故答案为：A．
【分析】左视图：从几何体的左面看到的平面图形，即可求解.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
，
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用相似三角形的性质可求出∠DAC、∠BAC、∠ACD的度数，然后根据∠BCD=∠BCA+∠ACD，代入计算可求出∠BCD的度数.
5．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，选项错误，故不符合题意；
B、，选项错误，故不符合题意；
C、，选项错误，故不符合题意；
D、，选项正确，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用积的乘方法则，可对B作出判断；再利用完全平方公式可对C作出判断；然后利用平方差公式可对D作出判断.
6．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵正六边形，是正三角形，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
同理，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理，
∴正六边形的面积是，
故答案为：D．
【分析】利用正多边形的性质可推出是等边三角形，同时可求出相关的角的度数，可证得，同理，由此可推出，再利用可证得，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△BEF的面积，同理可求出△ADI，△CGH的面积，即可求出正六边形的面积.
7．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设玉重两，石重两，
由 “总重斤”，得，
由“体积为立方寸”，得，
∴列方程组为，
故答案为：A．
【分析】设玉重两，石重两，根据题意可得到关于x、y的方程组.
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：将，，代入抛物线解析式，
得，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∴顶点坐标为，对称轴为直线，
故选项A错误，选项C正确；
∵对称轴为直线，开口向上，
∴当时，的值随值的增大而增大；当时，的值随值的增大而减小，
故选项B错误；
根据题意画出草图如图：
故图象过第一、二、四象限，
故选项D错误；
故答案为：C．
【分析】将已知点的坐标分别代入函数解析式，可得到关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，可得到二次函数解析式，将函数解析式转化为顶点式可得到抛物线的顶点坐标及对称轴，可对A、C作出判断；再利用二次函数的性质及图象，可对B、D作出判断.
9．【答案】m（m+1）（m﹣1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式＝m（m2﹣12）
＝m（m+1）（m﹣1）．
故答案为：m（m+1）（m﹣1）．
【分析】利用提公因式法与公式法计算即可。
10．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于轴对称的点的坐标是．
故答案为：．
【分析】关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可求解.
11．【答案】9
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：由图可知：该选手次射击的成绩如下：
、、、、、、、、、，
其中排在第、位置的成绩都是环，且，
∴该选手的这次射击成绩的中位数是环．
故答案为：．
【分析】将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，即可求出已知数据的中位数.
12．【答案】72
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得滑轮上某一点运动的路程为，
即点旋转的弧长为，
则，
解得：，
故答案为：．
【分析】先根据题意得出点旋转的弧长为，再利用弧长公式可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
13．【答案】
【知识点】点的坐标；正方形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，连接，，
由作图可知，
∴四边形是菱形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】连接，，由作图可知，易证四边形是正方形，利用正方形的性质可证得，，再利用解直角三角形求出BC、AC的长，可得到点C的坐标.
14．【答案】解：（1）
；
（2），
解不等式①，得：；
解不等式②，得：，
∴不等式组的解为：．
在数轴上表示为：
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式组；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后算加减法.
（2）分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，然后将其解集在数轴上表示出来.
15．【答案】（1）；
（2）解：项目的人数（人），
则估计选择项目的学生人数为（人）
（3）解：∵项目的人数为人，选择项目的男生和女生人数相同，∴男生和女生人数都是人，
设男生分别为，，女生分别为，，
根据题意列表为：
　 A1 A2 B1 B2
A1 　 （A1，A2） （A1，B1） （A1，B2）
A2 （A2，A1） 　 （A2，B1） （A2，B2）
B1 （B1，A1） （B1，A2） 　 （B1，B2）
B2 （B2，A1） （B2，A2） （B2，B1） 　
共有种等可能的情况，其中恰好选到一名男生和一名女生的有种，
所以恰好选到一名男生和一名女生的概率为
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵项目的人数为，占总体的百分比为，
∴本次调查的学生共有（人），
∵项目占总体的百分比为，
项目的人数为（人），
故答案为：；；
【分析】（1）根据调查总人数=C组的人数÷C组的人数所占的百分比，列式计算即可；利用项目占总体的百分比为，即可求项目的人数；
（2）先求出项目的人数，再利用该校的总人数×B组的学生人数所占的百分比，列式计算即可.
（3）先确定男生和女生人数都是人，根据题意可知此事件是抽取不放回，再列表法可得到所有等可能的结果数及恰好选到一名男生和一名女生的情况数，然后利用概率公式进行计算.
（1）解：∵项目的人数为，占总体的百分比为，
∴本次调查的学生共有（人），
∵项目占总体的百分比为，
项目的人数为（人），
故答案为：；；
（2）解：项目的人数（人），
则估计选择项目的学生人数为（人）；
（3）解：∵项目的人数为人，选择项目的男生和女生人数相同，
∴男生和女生人数都是人，
设男生分别为，，女生分别为，，
根据题意列表为：
　
　
　
　
　
共有种等可能的情况，其中恰好选到一名男生和一名女生的有种，
所以恰好选到一名男生和一名女生的概率为．
16．【答案】解：如图，过点作，交的延长线于点，延长交于点，设，
根据题意，得：，，，，，，，
∴，
∴，，
∴四边形，四边形都是矩形，
∴，，
在，，
∴，
在，，即，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意，
∴（米），
∴该花树的最高点离地面的距离约为米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】如图，过点作，交的延长线于点，延长交于点，易证四边形，四边形都是矩形，利用矩形的性质可求出GH、AB的长，设，利用解直角三角形可表示出BG的长，从而可表示出AG的长；再利用解直角三角形可关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出TH的长.
17．【答案】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴且为的半径，
∴是的切线
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴的半径为3，
∵，
∴，
∴，即，
解得
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）连接，利用圆周角定理的推论及等边对等角可推出，再利用圆周角定理的推论可知，证得，然后利用切线的判定定理可证得结论.
（2）利用等腰三角形的性质和圆周角定理可推出，利用平行线的性质可证得CF⊥DG，利用勾股定理求出DG的长；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证，利用相似三角形的性质可求出BG的长，即可得到BD的长；利用勾股定理求出BC的长，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的性质可求出AB的长；由可证得，利用相似三角形的性质可求出BE的长.
（1）证明：连接，
∵，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴且为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴的半径为3，
∵，
∴，
∴，即，
解得．
18．【答案】（1）解：∵在直线上，
∴，
解得，
∴，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
联立得，
解得或，
经检验或都是原方程的解，
当时，，
∴点的坐标为
（2）解：设直线与轴的交点为，
当时，，
解得，
∴点的坐标为，
∵，
解得，
∴点的坐标为
（3）解：∵，，，，
，
，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴是等腰直角三角形，且，，
如图，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的垂线交轴于点，交于点，则四边形是矩形，
∵点的坐标为，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴的面积；
如图，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的垂线交于点，
同理，，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴的面积；
综上，的面积为或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理的逆定理；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入一次函数解析式可求出a的值，可得到点A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数解析式可求出k的值，可得到反比例函数解析式；将两函数解析式联立方程组，解方程组可求出点B的坐标.
（2）设直线与轴的交点为，利用函数解析式可求出点M的坐标，利用三角形的面积公式可求出CM的长，可得到点C的坐标.
（3）利用坐标系中两点间的距离公式可求出AB、AC、BC的长，利用勾股定理的逆定理可证得是等腰直角三角形，利用相似三角形的性质可推出是等腰直角三角形，且，；过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的垂线交轴于点，交于点，则四边形是矩形，利用AAS可证得△EBM≌△BDN，利用全等三角形的性质可求出DN的长，利用反比例函数可求出点D的坐标，然后利用三角形的面积公式可求出△BDE的面积；过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的垂线交于点，同理可求出点D的坐标，利用三角形的面积公式可求出△BDE的面积；综上所述可得到△BDE的面积.
（1）解：∵在直线上，
∴，
解得，
∴，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
联立得，
解得或，
经检验或都是原方程的解，
当时，，
∴点的坐标为；
（2）解：设直线与轴的交点为，
当时，，
解得，
∴点的坐标为，
∵，
解得，
∴点的坐标为；
（3）解：∵，，，
，
，
，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴是等腰直角三角形，且，，
如图，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的垂线交轴于点，交于点，则四边形是矩形，
∵点的坐标为，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴的面积；
如图，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的垂线交于点，
同理，，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴的面积；
综上，的面积为或．
19．【答案】
【知识点】无理数的估值；分式的混合运算；分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【解答】解：
，
∵，为的小数部分，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再估算无理数的范围可得x值，再代入代数式即可求出答案.
20．【答案】6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，
∴，
又∵，
得，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用一元二次方程的根与系数的关系得出m+n的值，结合已知，可求出和，再利用一元二次方程的根与系数的关系得出，即可求解．
21．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；概率公式
【解析】【解答】解：设其中，直线的解析式为，
将代入得，解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
整理得，
∵该直线与反比例函数的图象有两个交点，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴该直线与反比例函数的图象有两个交点的个数有和两条，
∴该直线与反比例函数的图象有两个交点的概率是．
故答案为：．
【分析】设其中，将点Bt的坐标代入一次函数解析式，可求出直线ABt的函数解析式，将其与反比例函数解析式联立方程组，利用该直线与反比例函数的图象有两个交点，可得到关于t的不等式，解不等式求出t的取值范围，据此可求出该直线与反比例函数的图象有两个交点的概率.
22．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；坐标系中的两点距离公式；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：∵，，且点在二次函数的图象上，
∴，
∴，，
∴，
∵在内始终为正数，
∴，
∵，
∴函数的图象开口向下，
当时，，
当时，，
当时，，
综上所述，当时，的取值范围是．
故答案为：．
【分析】根据函数图象上点的坐标特征可证得，由此可表示出点M、N的坐标，由此可得到P 关于a的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的图象和性质可知抛物线的开口向下，同时可求出p的最大值时a的值，将和分别代入p关于a的函数解析式，分别求出对应的p的值，综上所述可得到符合题意的p的取值范围.
23．【答案】；
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，过点作关于的对称点，连接，，交于点，过点作于点，
∴，，
∵点，分别是，的中点，，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴，，
∴，
由对称可得，
∴由两点之间线段最短得，
∵，
解得：，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为；
当取得最小值时如图，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：；．
【分析】过点作关于的对称点，连接，，交于点，过点作于点，利用已知可求出AB的长，同时可证得，，再利用解直角三角形和勾股定理求出BC、AC、DE的长；利用点，分别是，的中点，可求出HI的长，对称可得，根据两点之间线段最短得，利用解直角三角形求出NE的长，易证四边形是矩形，利用矩形的性质可证得，，利用勾股定理求出I'H的长，即可得到的最小值；由可证得，，利用相似三角形的性质可求出FM的长，同时可证得，设，可表示出FC的长，利用勾股定理表示出CN的长，可得到CF的长，据此可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到CF的长.
24．【答案】（1）解：设乙数据中心的数据迁移速度为小时，则甲数据中心的数据迁移速度为小时，
根据题意，得，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲、乙两个数据中心的数据迁移速度分别为小时，小时
（2）解：设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时，
根据题意，得，
解得：，
即甲数据中心至少需要工作小时
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设乙数据中心的数据迁移速度为小时，可表示出甲数据中心的数据迁移速度，再根据“甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时”可得到关于x的方程，解方程即可求解.
（2）设甲数据中心工作小时，可表示出乙数据中心工作的时间，根据“共用小时至少完成的数据迁移” 可得到关于y的不等式，然后求出不等式的最小值即可.
（1）解：设乙数据中心的数据迁移速度为小时，
则甲数据中心的数据迁移速度为小时，
根据题意，得，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲、乙两个数据中心的数据迁移速度分别为小时，小时；
（2）解：设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时，
根据题意，得，
解得：，
即甲数据中心至少需要工作小时．
25．【答案】（1）解：∵令，得，∴，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为
（2）解：①∵，∴，
∴或，
当为时，如图，
设新的抛物线的解析式为，
抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，两抛物线开口方向相反，形状相同，
则，
∵点绕点旋转得，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴关于轴对称，
∴，
解得：，
∴新的抛物线的解析式为，
∵如图，过点作轴于点，
∵，
∴，
∴设，
设直线解析式为，
将代入，得，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴；
当为时，如图，
同理可得新的抛物线的解析式为，
如图，过点作轴于点，
同理可得直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
综上所述，或；
②由旋转知和关于点对称，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴直线关于轴对称，，，
∴，新的抛物线的对称轴为直线，两抛物线开口方向相反，形状相同，
同①方法可得新的抛物线的解析式为，
设交轴于点，
∵，
∴，且点在轴负半轴，
∴，
设直线解析式为，
将，代入，
得，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
∵平行四边形是关于对角线的对等平行四边形，
当时，
得，
解得：；
当时，
得，
解得：或（大于，舍）；
综上所述，或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的对称变换；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）令可求出点A的坐标，将函数解析式转化为顶点式可求出抛物线L的顶点坐标.
（2）①由，可求出点H的坐标，分两种情况：①当为时，先利用旋转得出新的抛物线的解析式和点的坐标；过点作轴于点，利用可表示出点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，将抛物线和直线BC的函数解析式联立方程组，解方程组可求出点C的坐标；当为时，同理可得新的抛物线的解析式及直线BC的函数解析式，同理可求出点C的坐标；综上所述可得到符合题意的点C的坐标；②由旋转知和关于点对称，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴直线关于轴对称，，，可得，新的抛物线的对称轴为直线，两抛物线开口方向相反，形状相同，求出新的抛物线的解析式，再利用结合点的坐标求出直线解析式，联立新的抛物线的解析式和抛物线解析式可求出点坐标，由平行四边形是关于对角线的对等平行四边形，分两种情况讨论：当时；当时，分别可得到关于m的方程，分别解方程求出符合题意的m的值.
（1）解：∵令，得，
∴，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
当为时，如图，
设新的抛物线的解析式为，
抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，两抛物线开口方向相反，形状相同，
则，
∵点绕点旋转得，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴关于轴对称，
∴，
解得：，
∴新的抛物线的解析式为，
∵如图，过点作轴于点，
∵，
∴，
∴设，
设直线解析式为，
将代入，得，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴；
当为时，如图，
同理可得新的抛物线的解析式为，
如图，过点作轴于点，
同理可得直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
综上所述，或；
由旋转知和关于点对称，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴直线关于轴对称，，，
∴，新的抛物线的对称轴为直线，两抛物线开口方向相反，形状相同，
同方法可得新的抛物线的解析式为，
设交轴于点，
∵，
∴，且点在轴负半轴，
∴，
设直线解析式为，
将，代入，
得，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
∵平行四边形是关于对角线的对等平行四边形，
当时，
得，
解得：；
当时，
得，
解得：或（大于，舍）；
综上所述，或．
26．【答案】解：（1）∵，，∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）延长交延长线于点，连接，过点作于点，
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
设，则，
∴，
得：，
解得：，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，过点作延长线于点，延长线于点，过点作交延长线于点，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，是定值
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；射影定理模型（双垂直模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用已知易证，，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似可证得，利用相似三角形的性质可证得结论.
（2）延长交延长线于点，连接，过点作于点，利用平分，结合，可推出，可证得，，∠CC'H=90°，利用勾股定理求出BH的长，再利用解直角三角形可求出BC'的长，利用勾股定理求出AB的长；设，可表示出BT的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到C'T的长，同时可求出AD、DT的长，利用勾股定理求出C'D的长.
（3）过点作延长线于点，延长线于点，过点作交延长线于点，易证四边形是矩形，利用矩形的性质可证得，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的性质可求出CB2的值，再证明，可证得，再证明，可求出CP的长，然后求出CM的长，利用三角形的面积公式可求出△BCF的面积，即可作出判断.
1 / 1四川省成都市武侯区2025年中考数学二诊试题
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1．的相反数是（　　）
A． B． C．2025 D．
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是．
故答案为：B．
【分析】根据相反数的定义进行作答即可．
2．斗拱是我国古建筑中特有的一种结构，体现了古代工匠的精湛技艺．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图，则它的左视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：斗形构件“三才升”的左视图为：
故答案为：A．
【分析】左视图：从几何体的左面看到的平面图形，即可求解.
3．截止年月日，哪吒之魔童闹海全球票房约亿，位居全球动画电影票房第一．将数据亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
，
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.
4．如图，已知，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用相似三角形的性质可求出∠DAC、∠BAC、∠ACD的度数，然后根据∠BCD=∠BCA+∠ACD，代入计算可求出∠BCD的度数.
5．下面计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，选项错误，故不符合题意；
B、，选项错误，故不符合题意；
C、，选项错误，故不符合题意；
D、，选项正确，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用积的乘方法则，可对B作出判断；再利用完全平方公式可对C作出判断；然后利用平方差公式可对D作出判断.
6．如图，把面积为的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形，则这个正六边形的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵正六边形，是正三角形，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
同理，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理，
∴正六边形的面积是，
故答案为：D．
【分析】利用正多边形的性质可推出是等边三角形，同时可求出相关的角的度数，可证得，同理，由此可推出，再利用可证得，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△BEF的面积，同理可求出△ADI，△CGH的面积，即可求出正六边形的面积.
7．我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤．问玉、石重各几何？其大意是：一立方寸的玉重两：一立方寸的石重两，一块内部含有玉的正方体石头，总重斤（古代斤两），体积为立方寸．问玉、石各重多少？设玉重两，石重两，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设玉重两，石重两，
由 “总重斤”，得，
由“体积为立方寸”，得，
∴列方程组为，
故答案为：A．
【分析】设玉重两，石重两，根据题意可得到关于x、y的方程组.
8．已知二次函数的自变量与因变量的几组对应值如下表：
… 1 …
… …
则下列说法正确的是（　　）
A．顶点坐标为
B．当时，的值随值的增大而增大
C．图象的对称轴是直线
D．图象经过第一、二、三象限
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：将，，代入抛物线解析式，
得，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∴顶点坐标为，对称轴为直线，
故选项A错误，选项C正确；
∵对称轴为直线，开口向上，
∴当时，的值随值的增大而增大；当时，的值随值的增大而减小，
故选项B错误；
根据题意画出草图如图：
故图象过第一、二、四象限，
故选项D错误；
故答案为：C．
【分析】将已知点的坐标分别代入函数解析式，可得到关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，可得到二次函数解析式，将函数解析式转化为顶点式可得到抛物线的顶点坐标及对称轴，可对A、C作出判断；再利用二次函数的性质及图象，可对B、D作出判断.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．因式分解：　 　．
【答案】m（m+1）（m﹣1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式＝m（m2﹣12）
＝m（m+1）（m﹣1）．
故答案为：m（m+1）（m﹣1）．
【分析】利用提公因式法与公式法计算即可。
10．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于轴对称的点的坐标是．
故答案为：．
【分析】关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可求解.
11．在某次射击训练中，一位选手的次射击成绩（单位：环）如图所示，则该选手的这次射击成绩的中位数是　 　环．
【答案】9
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：由图可知：该选手次射击的成绩如下：
、、、、、、、、、，
其中排在第、位置的成绩都是环，且，
∴该选手的这次射击成绩的中位数是环．
故答案为：．
【分析】将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，即可求出已知数据的中位数.
12．如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点旋转了　 　度．
【答案】72
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得滑轮上某一点运动的路程为，
即点旋转的弧长为，
则，
解得：，
故答案为：．
【分析】先根据题意得出点旋转的弧长为，再利用弧长公式可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
13．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以适当长为半径画弧，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点；再分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧在第二象限相交于点，连接，．若，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；正方形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，连接，，
由作图可知，
∴四边形是菱形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】连接，，由作图可知，易证四边形是正方形，利用正方形的性质可证得，，再利用解直角三角形求出BC、AC的长，可得到点C的坐标.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（1）计算：；
（2）解不等式组，并将其解集表示在下面的数轴上．
【答案】解：（1）
；
（2），
解不等式①，得：；
解不等式②，得：，
∴不等式组的解为：．
在数轴上表示为：
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式组；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后算加减法.
（2）分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，然后将其解集在数轴上表示出来.
15．年是农历“双春年”（含两个立春节气），并包含“闰六月”，农历天数全年共天．武侯区某校开展“数启双春，智绘华章”系列活动，设置以下四类项目：．习俗调查；．数据分析；．画报制作；．文创设计，现随机选取部分学生进行关于“你最感兴趣的项目”的调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表．
项目 人数
根据图表信息，解答下列问题：
（1）填空：本次调查的学生共有________人，表格中的值为________；
（2）若该校共有学生人，请估计选择项目的学生人数；
（3）在参与调查的学生中，选择项目的男生和女生人数相同，现从中随机选取两人在活动总结大会上作交流分享，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）；
（2）解：项目的人数（人），
则估计选择项目的学生人数为（人）
（3）解：∵项目的人数为人，选择项目的男生和女生人数相同，∴男生和女生人数都是人，
设男生分别为，，女生分别为，，
根据题意列表为：
　 A1 A2 B1 B2
A1 　 （A1，A2） （A1，B1） （A1，B2）
A2 （A2，A1） 　 （A2，B1） （A2，B2）
B1 （B1，A1） （B1，A2） 　 （B1，B2）
B2 （B2，A1） （B2，A2） （B2，B1） 　
共有种等可能的情况，其中恰好选到一名男生和一名女生的有种，
所以恰好选到一名男生和一名女生的概率为
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵项目的人数为，占总体的百分比为，
∴本次调查的学生共有（人），
∵项目占总体的百分比为，
项目的人数为（人），
故答案为：；；
【分析】（1）根据调查总人数=C组的人数÷C组的人数所占的百分比，列式计算即可；利用项目占总体的百分比为，即可求项目的人数；
（2）先求出项目的人数，再利用该校的总人数×B组的学生人数所占的百分比，列式计算即可.
（3）先确定男生和女生人数都是人，根据题意可知此事件是抽取不放回，再列表法可得到所有等可能的结果数及恰好选到一名男生和一名女生的情况数，然后利用概率公式进行计算.
（1）解：∵项目的人数为，占总体的百分比为，
∴本次调查的学生共有（人），
∵项目占总体的百分比为，
项目的人数为（人），
故答案为：；；
（2）解：项目的人数（人），
则估计选择项目的学生人数为（人）；
（3）解：∵项目的人数为人，选择项目的男生和女生人数相同，
∴男生和女生人数都是人，
设男生分别为，，女生分别为，，
根据题意列表为：
　
　
　
　
　
共有种等可能的情况，其中恰好选到一名男生和一名女生的有种，
所以恰好选到一名男生和一名女生的概率为．
16．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”描述了山寺桃花盛开的美景，体现了生命独特的韵律与希望．某校学生开展综合实践活动，测量一株花树的最高点离地面的距离．如图，已知测倾器的高度为米，在测点处安置测倾器，测得花树的最高点的仰角，在与点相距米的测点处安置测倾器，测得花树的最高点的仰角，求该花树的最高点离地面的距离．（结果精确到米，参考数据：，，）
【答案】解：如图，过点作，交的延长线于点，延长交于点，设，
根据题意，得：，，，，，，，
∴，
∴，，
∴四边形，四边形都是矩形，
∴，，
在，，
∴，
在，，即，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意，
∴（米），
∴该花树的最高点离地面的距离约为米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】如图，过点作，交的延长线于点，延长交于点，易证四边形，四边形都是矩形，利用矩形的性质可求出GH、AB的长，设，利用解直角三角形可表示出BG的长，从而可表示出AG的长；再利用解直角三角形可关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出TH的长.
17．如图，为的直径，在位于异侧的上分别取点，，连接，，，，交于点，射线交的延长线于点，延长交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求的半径及线段的长
【答案】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴且为的半径，
∴是的切线
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴的半径为3，
∵，
∴，
∴，即，
解得
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）连接，利用圆周角定理的推论及等边对等角可推出，再利用圆周角定理的推论可知，证得，然后利用切线的判定定理可证得结论.
（2）利用等腰三角形的性质和圆周角定理可推出，利用平行线的性质可证得CF⊥DG，利用勾股定理求出DG的长；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证，利用相似三角形的性质可求出BG的长，即可得到BD的长；利用勾股定理求出BC的长，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的性质可求出AB的长；由可证得，利用相似三角形的性质可求出BE的长.
（1）证明：连接，
∵，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴且为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴的半径为3，
∵，
∴，
∴，即，
解得．
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）过点作直线，交轴正半轴于点，连接，若，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在第三象限的反比例函数图象上取一点（点不与点重合），在轴上取一点，连接，，，当时，求此时的面积．
【答案】（1）解：∵在直线上，
∴，
解得，
∴，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
联立得，
解得或，
经检验或都是原方程的解，
当时，，
∴点的坐标为
（2）解：设直线与轴的交点为，
当时，，
解得，
∴点的坐标为，
∵，
解得，
∴点的坐标为
（3）解：∵，，，，
，
，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴是等腰直角三角形，且，，
如图，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的垂线交轴于点，交于点，则四边形是矩形，
∵点的坐标为，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴的面积；
如图，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的垂线交于点，
同理，，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴的面积；
综上，的面积为或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理的逆定理；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入一次函数解析式可求出a的值，可得到点A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数解析式可求出k的值，可得到反比例函数解析式；将两函数解析式联立方程组，解方程组可求出点B的坐标.
（2）设直线与轴的交点为，利用函数解析式可求出点M的坐标，利用三角形的面积公式可求出CM的长，可得到点C的坐标.
（3）利用坐标系中两点间的距离公式可求出AB、AC、BC的长，利用勾股定理的逆定理可证得是等腰直角三角形，利用相似三角形的性质可推出是等腰直角三角形，且，；过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的垂线交轴于点，交于点，则四边形是矩形，利用AAS可证得△EBM≌△BDN，利用全等三角形的性质可求出DN的长，利用反比例函数可求出点D的坐标，然后利用三角形的面积公式可求出△BDE的面积；过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的垂线交于点，同理可求出点D的坐标，利用三角形的面积公式可求出△BDE的面积；综上所述可得到△BDE的面积.
（1）解：∵在直线上，
∴，
解得，
∴，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
联立得，
解得或，
经检验或都是原方程的解，
当时，，
∴点的坐标为；
（2）解：设直线与轴的交点为，
当时，，
解得，
∴点的坐标为，
∵，
解得，
∴点的坐标为；
（3）解：∵，，，
，
，
，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴是等腰直角三角形，且，，
如图，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的垂线交轴于点，交于点，则四边形是矩形，
∵点的坐标为，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴的面积；
如图，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的垂线交于点，
同理，，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴的面积；
综上，的面积为或．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．已知代数式，其中为的小数部分，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】无理数的估值；分式的混合运算；分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【解答】解：
，
∵，为的小数部分，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再估算无理数的范围可得x值，再代入代数式即可求出答案.
20．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且满足，则的值为　 　．
【答案】6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，
∴，
又∵，
得，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用一元二次方程的根与系数的关系得出m+n的值，结合已知，可求出和，再利用一元二次方程的根与系数的关系得出，即可求解．
21．如图，在轴上取点，在轴上取点，，，，，，现从这6条直线中任取一条，则该直线与反比例函数的图象有两个交点的概率是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；概率公式
【解析】【解答】解：设其中，直线的解析式为，
将代入得，解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
整理得，
∵该直线与反比例函数的图象有两个交点，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴该直线与反比例函数的图象有两个交点的个数有和两条，
∴该直线与反比例函数的图象有两个交点的概率是．
故答案为：．
【分析】设其中，将点Bt的坐标代入一次函数解析式，可求出直线ABt的函数解析式，将其与反比例函数解析式联立方程组，利用该直线与反比例函数的图象有两个交点，可得到关于t的不等式，解不等式求出t的取值范围，据此可求出该直线与反比例函数的图象有两个交点的概率.
22．在平面直角坐标系中，已知，两点，连接，设线段的长为，若点在二次函数的图象上，则当时，的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；坐标系中的两点距离公式；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：∵，，且点在二次函数的图象上，
∴，
∴，，
∴，
∵在内始终为正数，
∴，
∵，
∴函数的图象开口向下，
当时，，
当时，，
当时，，
综上所述，当时，的取值范围是．
故答案为：．
【分析】根据函数图象上点的坐标特征可证得，由此可表示出点M、N的坐标，由此可得到P 关于a的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的图象和性质可知抛物线的开口向下，同时可求出p的最大值时a的值，将和分别代入p关于a的函数解析式，分别求出对应的p的值，综上所述可得到符合题意的p的取值范围.
23．如图，在中，，点，分别是，的中点，连接，点是边上一点（点不与点，重合），连接交于点，点，分别是，的中点，连接，．若，，则的最小值为　 　，且此时线段的长为　 　．
【答案】；
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，过点作关于的对称点，连接，，交于点，过点作于点，
∴，，
∵点，分别是，的中点，，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴，，
∴，
由对称可得，
∴由两点之间线段最短得，
∵，
解得：，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为；
当取得最小值时如图，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：；．
【分析】过点作关于的对称点，连接，，交于点，过点作于点，利用已知可求出AB的长，同时可证得，，再利用解直角三角形和勾股定理求出BC、AC、DE的长；利用点，分别是，的中点，可求出HI的长，对称可得，根据两点之间线段最短得，利用解直角三角形求出NE的长，易证四边形是矩形，利用矩形的性质可证得，，利用勾股定理求出I'H的长，即可得到的最小值；由可证得，，利用相似三角形的性质可求出FM的长，同时可证得，设，可表示出FC的长，利用勾股定理表示出CN的长，可得到CF的长，据此可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到CF的长.
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时．
（1）分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：小时）；
（2）现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？
【答案】（1）解：设乙数据中心的数据迁移速度为小时，则甲数据中心的数据迁移速度为小时，
根据题意，得，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲、乙两个数据中心的数据迁移速度分别为小时，小时
（2）解：设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时，
根据题意，得，
解得：，
即甲数据中心至少需要工作小时
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设乙数据中心的数据迁移速度为小时，可表示出甲数据中心的数据迁移速度，再根据“甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时”可得到关于x的方程，解方程即可求解.
（2）设甲数据中心工作小时，可表示出乙数据中心工作的时间，根据“共用小时至少完成的数据迁移” 可得到关于y的不等式，然后求出不等式的最小值即可.
（1）解：设乙数据中心的数据迁移速度为小时，
则甲数据中心的数据迁移速度为小时，
根据题意，得，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲、乙两个数据中心的数据迁移速度分别为小时，小时；
（2）解：设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时，
根据题意，得，
解得：，
即甲数据中心至少需要工作小时．
25．如图，已知抛物线与轴相交于点，将抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，抛物线与轴相交于点．
（1）求点的坐标及抛物线的顶点坐标；
（2）在抛物线上取一点，连接，且满足．
①当时，求点的坐标；
②定义：我们把一条对角线与一条边相等的平行四边形称为关于此对角线的对等平行四边形．现过点，，作平行四边形，当平行四边形是关于对角线的对等平行四边形时，求此时的值．
【答案】（1）解：∵令，得，∴，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为
（2）解：①∵，∴，
∴或，
当为时，如图，
设新的抛物线的解析式为，
抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，两抛物线开口方向相反，形状相同，
则，
∵点绕点旋转得，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴关于轴对称，
∴，
解得：，
∴新的抛物线的解析式为，
∵如图，过点作轴于点，
∵，
∴，
∴设，
设直线解析式为，
将代入，得，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴；
当为时，如图，
同理可得新的抛物线的解析式为，
如图，过点作轴于点，
同理可得直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
综上所述，或；
②由旋转知和关于点对称，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴直线关于轴对称，，，
∴，新的抛物线的对称轴为直线，两抛物线开口方向相反，形状相同，
同①方法可得新的抛物线的解析式为，
设交轴于点，
∵，
∴，且点在轴负半轴，
∴，
设直线解析式为，
将，代入，
得，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
∵平行四边形是关于对角线的对等平行四边形，
当时，
得，
解得：；
当时，
得，
解得：或（大于，舍）；
综上所述，或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的对称变换；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）令可求出点A的坐标，将函数解析式转化为顶点式可求出抛物线L的顶点坐标.
（2）①由，可求出点H的坐标，分两种情况：①当为时，先利用旋转得出新的抛物线的解析式和点的坐标；过点作轴于点，利用可表示出点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，将抛物线和直线BC的函数解析式联立方程组，解方程组可求出点C的坐标；当为时，同理可得新的抛物线的解析式及直线BC的函数解析式，同理可求出点C的坐标；综上所述可得到符合题意的点C的坐标；②由旋转知和关于点对称，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴直线关于轴对称，，，可得，新的抛物线的对称轴为直线，两抛物线开口方向相反，形状相同，求出新的抛物线的解析式，再利用结合点的坐标求出直线解析式，联立新的抛物线的解析式和抛物线解析式可求出点坐标，由平行四边形是关于对角线的对等平行四边形，分两种情况讨论：当时；当时，分别可得到关于m的方程，分别解方程求出符合题意的m的值.
（1）解：∵令，得，
∴，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
当为时，如图，
设新的抛物线的解析式为，
抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，两抛物线开口方向相反，形状相同，
则，
∵点绕点旋转得，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴关于轴对称，
∴，
解得：，
∴新的抛物线的解析式为，
∵如图，过点作轴于点，
∵，
∴，
∴设，
设直线解析式为，
将代入，得，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴；
当为时，如图，
同理可得新的抛物线的解析式为，
如图，过点作轴于点，
同理可得直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
综上所述，或；
由旋转知和关于点对称，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴直线关于轴对称，，，
∴，新的抛物线的对称轴为直线，两抛物线开口方向相反，形状相同，
同方法可得新的抛物线的解析式为，
设交轴于点，
∵，
∴，且点在轴负半轴，
∴，
设直线解析式为，
将，代入，
得，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
∵平行四边形是关于对角线的对等平行四边形，
当时，
得，
解得：；
当时，
得，
解得：或（大于，舍）；
综上所述，或．
26．关于具有“共角共边”特征的两个相似三角形的问题解决，在我们平常的学习中经常遇到，某数学兴趣小组针对此类问题，开展了如下探究活动：在中，，，，在直线下方取一点，连接，使得．
【基础回顾】
（1）如图1，过点作于点，求证：；
【灵活运用】
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，，作的平分线交边于点，当时，求线段的长；
【综合探究】
（3）在射线上取一点，当时，试问：的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】解：（1）∵，，∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）延长交延长线于点，连接，过点作于点，
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
设，则，
∴，
得：，
解得：，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，过点作延长线于点，延长线于点，过点作交延长线于点，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，是定值
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；射影定理模型（双垂直模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用已知易证，，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似可证得，利用相似三角形的性质可证得结论.
（2）延长交延长线于点，连接，过点作于点，利用平分，结合，可推出，可证得，，∠CC'H=90°，利用勾股定理求出BH的长，再利用解直角三角形可求出BC'的长，利用勾股定理求出AB的长；设，可表示出BT的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到C'T的长，同时可求出AD、DT的长，利用勾股定理求出C'D的长.
（3）过点作延长线于点，延长线于点，过点作交延长线于点，易证四边形是矩形，利用矩形的性质可证得，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的性质可求出CB2的值，再证明，可证得，再证明，可求出CP的长，然后求出CM的长，利用三角形的面积公式可求出△BCF的面积，即可作出判断.
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