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广东省深圳市罗湖未来学校2024-2025学年九年级下学期数学中考模拟题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．央视2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，与全球华人相约除夕、欢度农历新年．下面是取自主标识中的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是中心对称图形，不符合题意；
B、图案不是中心对称图形，符合题意；
C、图案不是中心对称图形，不符合题意；
D、图案不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形的意义，对四个图形逐一分析，再作出判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：结合数轴得，
故A选项不符合题意；
∴，
故B选项符合题意；
则，，
故C选项和D选项不符合题意；
故选：B
【分析】根据数轴上点的位置关系逐项进行判断即可求出答案.
3．下列运算正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方式；同类项的概念
【解析】【解答】解：A、a+b，a与b不是同类项，无法合并，故错误；
C、，不符合完全平方公式，故错误；
D、3a-2a=a，故错误
故答案为：B
【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式，熟知这些公式计算方法是解题关键.
4．不透明袋子中装有红、绿小球各1个，除颜色外无其他差别．随机摸出1个小球后，放回并摇匀，再随机摸出1个．两次都摸到相同颜色的小球概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意画树状图，如图所示：
∵共有4种等可能的情况，其中两次都摸到相同颜色的小球的情况数有2种，
∴两次都摸到相同颜色的小球的概率是，故A正确．
故选：A．
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出两次都摸到相同颜色的小球的结果，再根据概率公式即可求出答案.
5．如图，，，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
∴
故选：C．
【分析】
根据平行线的性质可把转化到的余角的位置上即可．
6．已知∠PAQ=36°，点B为射线AQ上一固定点，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交射线AP 于点D，连接 BD；③以B为圆心，BA长为半径画弧，交射线AP 于点C； 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠CDB=72° B．△ADB∽△ABC
C．CD：AD=2：1 D．∠ABC=3∠ACB
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：由作图可知，MN垂直平分AB，AB＝BC，
∵MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠DBA，
∵∠PAQ＝36°，
∴∠CDB＝∠A＋∠DBA＝72°，（A正确）
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB＝36°，
∴∠ABD＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADB∽△ABC，（B正确）
∵∠A＝∠ACB＝36°，
∴∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝108°，
∴∠ABC＝3∠ACB，（D正确）
∵∠ABD＝36°，∠ABC＝108°，
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝72°，
∴∠CBD＝∠CDB＝72°，
∴CD＝BC，
∵∠A＝∠ACB＝36°，
∴AB＝BC，
∴CD＝AB，
∵AD＋DB＞AB，AD＝DB
∴2AD＞AB
∴2AD＞CD，（C错误）
故选：C
【分析】由作图可知，MN垂直平分AB，AB＝BC，根据垂直平分线性质可得DA＝DB，根据等边对等角可得∠A＝∠DBA，再根据三角形外角性质可判断A，根据等边对等角可得∠A＝∠ACB＝36°，再根据相似三角形判定定理可判断B，根据三角形内角和定理及角之间的关系可判断D，根据角之间的关系可得∠CBD＝∠CDB＝72°，则CD＝BC，再根据边之间的关系可判断C.
7．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：求100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x匹大马，y匹小马，根据题意得 ，
故选C
【分析】设有x匹大马，y匹小马，根据100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，列方程组即可．本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
8．如图，在菱形中，，点P和点Q分别在边和上运动（不与A、C、D重合），满足，连接、交于点E，在运动过程中，则下列四个结论正确的是（　　）
①；②的度数不变；③；④．
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵是菱形，，，
∴是等边三角形，
∴，CP=DQ，
∴，
∴，，，故①正确；
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故选：D．
【分析】通过SAS可以证明，从而可得，，，进而判断①；根据进而可得，进而判断③，再根据，利用四边形内角和可得，进而判断②；证明，进而判断④；
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．已知 ， 是一元二次方程 的两根，则 　 　．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ ， 是一元二次方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：1．
【分析】先求出 ， ，再代入求解即可。
10．在平面直角坐标系中，点的坐标是，则点到轴的距离是　 　．
【答案】5
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点M的坐标是，
∴点M到x轴的距离是，
故答案为：5.
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，据此即可求解.
11．如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则　 　．
【答案】35
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点是的内心，
∴，
故答案为：35．
【分析】连接，根据题意可得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，由圆周角定理得，再根据内心的定义可得，即可求解．
12．座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面始终保持水平状态，支撑架与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背的长度为，当椅背与椅面的夹角从调节到时，人的头部支撑点向后水平推移了　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点，点分别作的垂线，分别与的延长线相交于点、点，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
即人的头部支撑点向后水平推移了．
故答案为：．
【分析】过点，点分别作的垂线，分别与的延长线相交于点、点，根据含30°角的直角三角形性质可得AM，AN，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．如图，在中，是上一点，以为边作等边，点与点在的两侧，交于点，则线段的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，过点B作于点H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点D、E在的两侧，
∴当时，最小，最大，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述的最大值为．
故答案为：．
【分析】过点B作于点H，根据直角三角形两锐角互余可得∠CBH，再根据含30°角的直角三角形性质可得CH，BH，根据三角形内角和定理可得∠BAC，则，根据边之间的关系可得AC，当时，最小，最大，根据含30°角的直角三角形性质可得CF，根据等边三角形性质可得，根据角之间的关系可得∠ADC，∠DAC，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
三、解答题（本大题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分）
14．计算：
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据0指数幂，绝对值性质，特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
15．先化简再求值：，其中．
【答案】解：
，
将代入，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先对括号里的分式进行通分，再利用完全平方公式进行因式分解，再根据分式除法运算法则进行化简，最后代值求解即可．
16．为了提高农副产品的国际竞争力，我国一些行业协会对农副产品的规格进行了划分．某外贸公司要出口一批规格为的鸡腿，现有两个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质相近质检员分别从两厂的产品中抽样调查了只鸡腿，它们的质量（单位：）如下：
甲厂：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；
乙厂：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
甲厂鸡腿质量频数统计表
质量 频数 频率
合计
分析上述数据，得到下表：
统计量厂家 平均数 中位数 众数 方差
甲厂
乙厂
请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）________，________；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果只考虑出口鸡腿规格，请结合表中的某个统计量，为外贸公司选购鸡腿提供参考建议；
（4）某外贸公司从甲厂采购了只鸡腿，并将质量（单位：）在的鸡腿加工成优等品，请估计可以加工成优等品的鸡腿有多少只？
【答案】（1），；
（2）解：由频数分布直方图可知：乙厂第三组鸡腿的数量为（只），
补全频数分布直方图如下：
乙厂鸡腿质量频数分布直方图
（3）解：两个厂的平均数相同，都是，而要求的规格是，由于甲厂的方差较小，数据比较稳定，因此选择甲厂；
（4）解：由频数分布表可得：甲厂生产的鸡腿达到优等品的频率为，
利用样本估计总体可知甲厂生产的鸡腿达到优等品的数量为：
（只），
答：从甲厂采购了只鸡腿中，可以加工成优等品的大约有只．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由频数统计表可知：对应的频数为，抽查的总数为，
，
甲厂鸡腿质量出现次数最多的是，
甲厂的众数是，
即，
故答案为：，；
【分析】（1）根据频数除以总数可得a值，再根据众数定义可得b值.
（2）求出乙厂第三组鸡腿的数量，再补全图形即可.
（3）方差表示一组数据的波动情况，方差越小，数据越稳定.
（4）根据20000乘以甲厂生产的鸡腿达到优等品的频率即可求出答案.
（1）解：由频数统计表可知：对应的频数为，抽查的总数为，
，
甲厂鸡腿质量出现次数最多的是，
甲厂的众数是，
即，
故答案为：，；
（2）解：由频数分布直方图可知：乙厂第三组鸡腿的数量为（只），
补全频数分布直方图如下：
乙厂鸡腿质量频数分布直方图
（3）解：两个厂的平均数相同，都是，而要求的规格是，由于甲厂的方差较小，数据比较稳定，因此选择甲厂；
（4）解：由频数分布表可得：甲厂生产的鸡腿达到优等品的频率为，
利用样本估计总体可知甲厂生产的鸡腿达到优等品的数量为：
（只），
答：从甲厂采购了只鸡腿中，可以加工成优等品的大约有只．
17．【问题背景】
嘉洪所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的盲盒作为奖品．
素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元．
素材2 若该商店开展甲、乙两种促销方案： 甲方案：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知嘉淇在此之前不是该商店的会员）； 乙方案：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
【问题解决】
（1）该商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？
（2）嘉淇计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个，求m在什么范围内时，采用甲方案购买更合算？
【答案】（1）解：设某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，由题意得，，
解得，
答：某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元；
（2）解：依题意，甲方案购买共需要（元），
乙方案购买共需要（元），
当，
解得，
∴；
答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，甲方案购买更合算；
【知识点】整式的加减运算；一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）根据题意列出线下购买的费用的代数式和线上淘宝购买费用的代数式，再建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，由题意得，，
解得，
答：某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元；
（2）依题意，甲方案购买共需要（元），
乙方案购买共需要（元），
当，
解得，
∴；
答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，甲方案购买更合算；
18．如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．
（1）求证：；
（2）若是的切线，，连接，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD， AC与围成阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形内接于，∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①四边形是菱形，理由如下：
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
②∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，，
过点作于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为
【知识点】菱形的判定与性质；圆内接四边形的性质；切线的性质；扇形面积的计算；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）利用圆内接四边形的性质证得，再利用圆周角的性质证得，即可证明；
（2）①利用切线的性质得到，从而证明，再证明，推出，即可证明四边形是菱形；②先计算，再利用扇形的面积公式可求出扇形OCD的面积，即可求得阴影部分的面积．
19．小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线：在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系．
通过测量得到球距离台面高度（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离（单位：dm）的相关数据，如下表所示：
表1直发式
（dm） 0 2 4 6 8 10 16 20 …
（dm） 4 …
表2间发式
（dm） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 …
（dm） 0 …
根据以上信息，回答问题：
（1）表格中______，______；
（2）直接写出“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；
（3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，则______（填“>”“＝”或“<”）．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：由表1知，当自变量为0与8时，函数值相等，且，
根据抛物线的对称性可得，对称轴为直线，
得到，当自变量取2与6时函数值相等，故；
由表2可知，自变量由0到8时图象是直线，且自变量每增加2个单位长度，函数值减小，
则；
故答案为：；；
（2）解：由表1及（1）知抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
由表1知，当时，，代入上述解析式得：，
解得：，
即“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为；
（3）解：令，解得：（舍去）
即；
由表2知，当自变量为12与16时，抛物线的函数值相等，
则抛物线对称轴为直线，
由表2知，当时，函数值为，
由抛物线的对称性，当时，函数值为，
，
则，
故答案为：．
【分析】（1）由表1的数据可得，抛物线的对称轴为直线，再根据自变量取2与6时函数值相等，即可求得m的值；由表2知，自变量由0到8时图象是直线，而且自变量每增加2个单位长度，函数值减小，则可求得n的值；
（2）由表1及（1）知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，将点当代入，求解即可；
（3）将代入（2）中的解析式可求得，由表2的数据可得，“间发式”模式下球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹是抛物线，求得对称轴为，当自变量为8时，函数值为0，再根据对称性可求得抛物线与x轴的另一个交点横坐标，即可求得，进行比较即可．
20．【综合与实践】
【课本再现】
人教版九年级上册数学教材第60页有一例题：点是正方形中边上任意一点，以点为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形．由作图过程可以得出．由此，老师进行了延伸拓展，与同学们一起探究．
【例题延伸】
（1）如图1，在正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且，试判断，，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转得到，使与重合，试求，，之间有什么数量关系？并说明理由；
【类比探究】
（2）如图2，在矩形中，已知，，点为边延长线上一点，连接，过点作于点，交于点．
①求的值；
②求的值；
【拓展应用】
（3）如图3，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点，交于点，交于点，连接，若，请你求出的长．
【答案】解：（1）．理由如下：
是绕点顺时针旋转得到的，
，，．
四边形是正方形，
，，
，
，
，D，G三点共线．
，，
，
，
，
．
，
，
．
（2）①，
．
∵在矩形中，，，
，
，
，
．
，
．
②，，
．
设，则，
，
．
（3）由平移的性质可得，．
点为的中点，
垂直平分，
．
，
设，，
，
．
，
，
解得，
．
，设，
．
∵在中，，
解得或（舍去），
．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质求出，，，再根据正方形的性质求出，，最后根据全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）①根据题意先求出，再根据相似三角形的判定方法证明，最后根据相似三角形的性质计算求解即可；
②根据相似三角形的性质求出，再利用勾股定理求出EF=5a，最后利用锐角三角函数计算求解即可；
（3）根据线段垂直平分线的性质求出，再利用勾股定理求出CN=3x，最后计算求解即可.
1 / 1广东省深圳市罗湖未来学校2024-2025学年九年级下学期数学中考模拟题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．央视2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，与全球华人相约除夕、欢度农历新年．下面是取自主标识中的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
4．不透明袋子中装有红、绿小球各1个，除颜色外无其他差别．随机摸出1个小球后，放回并摇匀，再随机摸出1个．两次都摸到相同颜色的小球概率为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，，，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
6．已知∠PAQ=36°，点B为射线AQ上一固定点，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交射线AP 于点D，连接 BD；③以B为圆心，BA长为半径画弧，交射线AP 于点C； 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠CDB=72° B．△ADB∽△ABC
C．CD：AD=2：1 D．∠ABC=3∠ACB
7．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：求100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在菱形中，，点P和点Q分别在边和上运动（不与A、C、D重合），满足，连接、交于点E，在运动过程中，则下列四个结论正确的是（　　）
①；②的度数不变；③；④．
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．已知 ， 是一元二次方程 的两根，则 　 　．
10．在平面直角坐标系中，点的坐标是，则点到轴的距离是　 　．
11．如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则　 　．
12．座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面始终保持水平状态，支撑架与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背的长度为，当椅背与椅面的夹角从调节到时，人的头部支撑点向后水平推移了　 　．
13．如图，在中，是上一点，以为边作等边，点与点在的两侧，交于点，则线段的最大值为　 　．
三、解答题（本大题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分）
14．计算：
15．先化简再求值：，其中．
16．为了提高农副产品的国际竞争力，我国一些行业协会对农副产品的规格进行了划分．某外贸公司要出口一批规格为的鸡腿，现有两个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质相近质检员分别从两厂的产品中抽样调查了只鸡腿，它们的质量（单位：）如下：
甲厂：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；
乙厂：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
甲厂鸡腿质量频数统计表
质量 频数 频率
合计
分析上述数据，得到下表：
统计量厂家 平均数 中位数 众数 方差
甲厂
乙厂
请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）________，________；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果只考虑出口鸡腿规格，请结合表中的某个统计量，为外贸公司选购鸡腿提供参考建议；
（4）某外贸公司从甲厂采购了只鸡腿，并将质量（单位：）在的鸡腿加工成优等品，请估计可以加工成优等品的鸡腿有多少只？
17．【问题背景】
嘉洪所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的盲盒作为奖品．
素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元．
素材2 若该商店开展甲、乙两种促销方案： 甲方案：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知嘉淇在此之前不是该商店的会员）； 乙方案：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
【问题解决】
（1）该商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？
（2）嘉淇计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个，求m在什么范围内时，采用甲方案购买更合算？
18．如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．
（1）求证：；
（2）若是的切线，，连接，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD， AC与围成阴影部分的面积．
19．小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线：在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系．
通过测量得到球距离台面高度（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离（单位：dm）的相关数据，如下表所示：
表1直发式
（dm） 0 2 4 6 8 10 16 20 …
（dm） 4 …
表2间发式
（dm） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 …
（dm） 0 …
根据以上信息，回答问题：
（1）表格中______，______；
（2）直接写出“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；
（3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，则______（填“>”“＝”或“<”）．
20．【综合与实践】
【课本再现】
人教版九年级上册数学教材第60页有一例题：点是正方形中边上任意一点，以点为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形．由作图过程可以得出．由此，老师进行了延伸拓展，与同学们一起探究．
【例题延伸】
（1）如图1，在正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且，试判断，，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转得到，使与重合，试求，，之间有什么数量关系？并说明理由；
【类比探究】
（2）如图2，在矩形中，已知，，点为边延长线上一点，连接，过点作于点，交于点．
①求的值；
②求的值；
【拓展应用】
（3）如图3，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点，交于点，交于点，连接，若，请你求出的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是中心对称图形，不符合题意；
B、图案不是中心对称图形，符合题意；
C、图案不是中心对称图形，不符合题意；
D、图案不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形的意义，对四个图形逐一分析，再作出判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：结合数轴得，
故A选项不符合题意；
∴，
故B选项符合题意；
则，，
故C选项和D选项不符合题意；
故选：B
【分析】根据数轴上点的位置关系逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方式；同类项的概念
【解析】【解答】解：A、a+b，a与b不是同类项，无法合并，故错误；
C、，不符合完全平方公式，故错误；
D、3a-2a=a，故错误
故答案为：B
【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式，熟知这些公式计算方法是解题关键.
4．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意画树状图，如图所示：
∵共有4种等可能的情况，其中两次都摸到相同颜色的小球的情况数有2种，
∴两次都摸到相同颜色的小球的概率是，故A正确．
故选：A．
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出两次都摸到相同颜色的小球的结果，再根据概率公式即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】垂线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
∴
故选：C．
【分析】
根据平行线的性质可把转化到的余角的位置上即可．
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：由作图可知，MN垂直平分AB，AB＝BC，
∵MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠DBA，
∵∠PAQ＝36°，
∴∠CDB＝∠A＋∠DBA＝72°，（A正确）
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB＝36°，
∴∠ABD＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADB∽△ABC，（B正确）
∵∠A＝∠ACB＝36°，
∴∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝108°，
∴∠ABC＝3∠ACB，（D正确）
∵∠ABD＝36°，∠ABC＝108°，
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝72°，
∴∠CBD＝∠CDB＝72°，
∴CD＝BC，
∵∠A＝∠ACB＝36°，
∴AB＝BC，
∴CD＝AB，
∵AD＋DB＞AB，AD＝DB
∴2AD＞AB
∴2AD＞CD，（C错误）
故选：C
【分析】由作图可知，MN垂直平分AB，AB＝BC，根据垂直平分线性质可得DA＝DB，根据等边对等角可得∠A＝∠DBA，再根据三角形外角性质可判断A，根据等边对等角可得∠A＝∠ACB＝36°，再根据相似三角形判定定理可判断B，根据三角形内角和定理及角之间的关系可判断D，根据角之间的关系可得∠CBD＝∠CDB＝72°，则CD＝BC，再根据边之间的关系可判断C.
7．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x匹大马，y匹小马，根据题意得 ，
故选C
【分析】设有x匹大马，y匹小马，根据100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，列方程组即可．本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
8．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵是菱形，，，
∴是等边三角形，
∴，CP=DQ，
∴，
∴，，，故①正确；
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故选：D．
【分析】通过SAS可以证明，从而可得，，，进而判断①；根据进而可得，进而判断③，再根据，利用四边形内角和可得，进而判断②；证明，进而判断④；
9．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ ， 是一元二次方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：1．
【分析】先求出 ， ，再代入求解即可。
10．【答案】5
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点M的坐标是，
∴点M到x轴的距离是，
故答案为：5.
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，据此即可求解.
11．【答案】35
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点是的内心，
∴，
故答案为：35．
【分析】连接，根据题意可得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，由圆周角定理得，再根据内心的定义可得，即可求解．
12．【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点，点分别作的垂线，分别与的延长线相交于点、点，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
即人的头部支撑点向后水平推移了．
故答案为：．
【分析】过点，点分别作的垂线，分别与的延长线相交于点、点，根据含30°角的直角三角形性质可得AM，AN，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，过点B作于点H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点D、E在的两侧，
∴当时，最小，最大，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述的最大值为．
故答案为：．
【分析】过点B作于点H，根据直角三角形两锐角互余可得∠CBH，再根据含30°角的直角三角形性质可得CH，BH，根据三角形内角和定理可得∠BAC，则，根据边之间的关系可得AC，当时，最小，最大，根据含30°角的直角三角形性质可得CF，根据等边三角形性质可得，根据角之间的关系可得∠ADC，∠DAC，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
14．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据0指数幂，绝对值性质，特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】解：
，
将代入，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先对括号里的分式进行通分，再利用完全平方公式进行因式分解，再根据分式除法运算法则进行化简，最后代值求解即可．
16．【答案】（1），；
（2）解：由频数分布直方图可知：乙厂第三组鸡腿的数量为（只），
补全频数分布直方图如下：
乙厂鸡腿质量频数分布直方图
（3）解：两个厂的平均数相同，都是，而要求的规格是，由于甲厂的方差较小，数据比较稳定，因此选择甲厂；
（4）解：由频数分布表可得：甲厂生产的鸡腿达到优等品的频率为，
利用样本估计总体可知甲厂生产的鸡腿达到优等品的数量为：
（只），
答：从甲厂采购了只鸡腿中，可以加工成优等品的大约有只．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由频数统计表可知：对应的频数为，抽查的总数为，
，
甲厂鸡腿质量出现次数最多的是，
甲厂的众数是，
即，
故答案为：，；
【分析】（1）根据频数除以总数可得a值，再根据众数定义可得b值.
（2）求出乙厂第三组鸡腿的数量，再补全图形即可.
（3）方差表示一组数据的波动情况，方差越小，数据越稳定.
（4）根据20000乘以甲厂生产的鸡腿达到优等品的频率即可求出答案.
（1）解：由频数统计表可知：对应的频数为，抽查的总数为，
，
甲厂鸡腿质量出现次数最多的是，
甲厂的众数是，
即，
故答案为：，；
（2）解：由频数分布直方图可知：乙厂第三组鸡腿的数量为（只），
补全频数分布直方图如下：
乙厂鸡腿质量频数分布直方图
（3）解：两个厂的平均数相同，都是，而要求的规格是，由于甲厂的方差较小，数据比较稳定，因此选择甲厂；
（4）解：由频数分布表可得：甲厂生产的鸡腿达到优等品的频率为，
利用样本估计总体可知甲厂生产的鸡腿达到优等品的数量为：
（只），
答：从甲厂采购了只鸡腿中，可以加工成优等品的大约有只．
17．【答案】（1）解：设某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，由题意得，，
解得，
答：某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元；
（2）解：依题意，甲方案购买共需要（元），
乙方案购买共需要（元），
当，
解得，
∴；
答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，甲方案购买更合算；
【知识点】整式的加减运算；一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）根据题意列出线下购买的费用的代数式和线上淘宝购买费用的代数式，再建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，由题意得，，
解得，
答：某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元；
（2）依题意，甲方案购买共需要（元），
乙方案购买共需要（元），
当，
解得，
∴；
答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，甲方案购买更合算；
18．【答案】（1）证明：∵四边形内接于，∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①四边形是菱形，理由如下：
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
②∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，，
过点作于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为
【知识点】菱形的判定与性质；圆内接四边形的性质；切线的性质；扇形面积的计算；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）利用圆内接四边形的性质证得，再利用圆周角的性质证得，即可证明；
（2）①利用切线的性质得到，从而证明，再证明，推出，即可证明四边形是菱形；②先计算，再利用扇形的面积公式可求出扇形OCD的面积，即可求得阴影部分的面积．
19．【答案】（1）；
（2）
（3）
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：由表1知，当自变量为0与8时，函数值相等，且，
根据抛物线的对称性可得，对称轴为直线，
得到，当自变量取2与6时函数值相等，故；
由表2可知，自变量由0到8时图象是直线，且自变量每增加2个单位长度，函数值减小，
则；
故答案为：；；
（2）解：由表1及（1）知抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
由表1知，当时，，代入上述解析式得：，
解得：，
即“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为；
（3）解：令，解得：（舍去）
即；
由表2知，当自变量为12与16时，抛物线的函数值相等，
则抛物线对称轴为直线，
由表2知，当时，函数值为，
由抛物线的对称性，当时，函数值为，
，
则，
故答案为：．
【分析】（1）由表1的数据可得，抛物线的对称轴为直线，再根据自变量取2与6时函数值相等，即可求得m的值；由表2知，自变量由0到8时图象是直线，而且自变量每增加2个单位长度，函数值减小，则可求得n的值；
（2）由表1及（1）知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，将点当代入，求解即可；
（3）将代入（2）中的解析式可求得，由表2的数据可得，“间发式”模式下球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹是抛物线，求得对称轴为，当自变量为8时，函数值为0，再根据对称性可求得抛物线与x轴的另一个交点横坐标，即可求得，进行比较即可．
20．【答案】解：（1）．理由如下：
是绕点顺时针旋转得到的，
，，．
四边形是正方形，
，，
，
，
，D，G三点共线．
，，
，
，
，
．
，
，
．
（2）①，
．
∵在矩形中，，，
，
，
，
．
，
．
②，，
．
设，则，
，
．
（3）由平移的性质可得，．
点为的中点，
垂直平分，
．
，
设，，
，
．
，
，
解得，
．
，设，
．
∵在中，，
解得或（舍去），
．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质求出，，，再根据正方形的性质求出，，最后根据全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）①根据题意先求出，再根据相似三角形的判定方法证明，最后根据相似三角形的性质计算求解即可；
②根据相似三角形的性质求出，再利用勾股定理求出EF=5a，最后利用锐角三角函数计算求解即可；
（3）根据线段垂直平分线的性质求出，再利用勾股定理求出CN=3x，最后计算求解即可.
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