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吉林省长春市双阳区九年级2025年中考模拟测试数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．已知算式3□的值为，0，则“□”内应填入的运算符号为（　　）
A．+ B．- C．× D．÷
【答案】A
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的除法法则；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：A、“□”内应填入+，则，满足题意，该选项是正确的；
B、“□”内应填入-，则，不满足题意，该选项是错误的；
C、“□”内应填入×，则，不满足题意，该选项是错误的；
D、“□”内应填入÷，则，不满足题意，该选项是错误的；
故答案为：A．
【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算，据此相关运算法则进行逐项分析，即可作答．
2．图是由5个相同的小正方体组合而成的几何体，现将小正方体①移到②的正上方后，这个几何体的三视图中不变的是（　　）
A．主视图 B．俯视图
C．左视图 D．俯视图与主视图
【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：A．原主视图为三列，小正方形个数从左往右依次是2、1、2，下对齐；新主视图为三列，小正方形个数从左往右依次是3、1、1，下对齐；主视图发生改变，故此选项不符合题意；
B．原俯视图为一行三列，小正方形个数从左往右依次是1、1、1；新主视图为一行三列，小正方形个数从左往右依次是1、1、1；俯视图没有发生改变，故此选项符合题意；
C．原左视图为两行一列，上下对齐；新左视图为三行一列，上下对齐；左视图发生改变，故此选项不符合题意；
D．因主视图发生改变，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用原图可得到此几何体的三视图， 将小正方体①移到②的正上方后 ，可知主视图、左视图会发生变化，俯视图不会发生变化，即可求解.
3．截止2025年，中国非物质文化遗产资源总量接近87万项，其中共有44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册），总数位居世界第一，将数据87万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：87万，
故选：B．
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1（1万=104），
4．一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值不可能是（　　）
A． B．0 C． D．2
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】利用已知方程有两个不相等的实数根可知b2-4ac＞0，可得到关于m的不等式，然后解不等式求出m的取值范围.
5．如图，正六边形的两个顶点恰好落在直尺的相对的边上（其中直尺的对边相互平行），若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；正多边形的性质；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图：
由题意得：，
∵，
∴，
∴，
由题意得：，
∴，
故答案为：B．
【分析】先求出正六边形的内角∠A和∠ABC的度数，然后由三角形内角和定理求出的度数，即可求出，然后根据两直线平行，内错角相等，可求出的度数.
6．如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，，杯中水面与交于点，当水杯底面与水平面的夹角为时，则杯中水的最大深度（即的长）为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴杯中水的最大深度为．
故答案为：B．
【分析】利用矩形的性质和余角的性质可证得，然后利用解直角三角形求出AF的长.
7．如图，四边形内接于，连接并延长，交于点E，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：是的直径，，
，
，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】利用邻补角的定义可求出∠BOD的度数，利用一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．可求出∠BCD的度数，然后利用圆内接四边形的对角互补可求出∠BAD的度数.
8．如图，点、点在反比例函数的图象上，轴，垂足为点，连结，与相交于点．若点为的中点，的面积为2，则（阴影）的面积为（　　）
A．16 B．8 C．6 D．4
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解： 如图，过点作轴，交轴于点，
∵点为的中点，的面积为2，
的面积等于的面积为2，
，
，
，
，
由反比例函数图象的性质可得，
，
故答案为：C．
【分析】过点作轴，交轴于点，利用中点的性质得出的面积等于的面积为2；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方可求出△OEB的面积，利用反比例函数的几何意义可求出△AOC的面积，根据，可求出△AOD的面积.
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
9．因式分解： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2-16=（x+4）（x-4）．
故答案为（x+4）（x-4）．
【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）
10．比较大小：2　 　（填或或）．
【答案】<
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
【分析】利用估算无理数的大小的方法，可得答案.
11．如图，在平面直角坐标系中，点、、坐标分别为、、，则面积为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵点、、坐标分别为、、，
∴，边上的高为，
∴面积为
故答案为：．
【分析】利用已知点的坐标可求出BC的长及边上的高，然后利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积.
12．如图，中，与之和为，将沿方向平移至处，，则阴影部分周长为　 　．
【答案】16
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移性质得，，
∵与之和为，，
∴阴影部分周长为，
故答案为：16．
【分析】利用平移性质可证得，同时可得到CF的长，然后求出阴影部分的周长即可.
13．如图，菱形中，对角线与相交于点，按如下步骤作图：以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交点为，作射线，交于点，连接，若，，则菱形面积为　 　．
【答案】20
【知识点】菱形的性质；尺规作图-垂线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，
由作图过程得，
∴，
∴，
∴，又，
∴菱形面积为．
故答案为：20．
【分析】利用菱形的性质可求出OD的长，同时可证得OA=OC；根据作图过程得到，再利用直角三角形的中线性质得到可求出OC的长，可得到AC的长，然后利用菱形的面积公式求解即可．
14．如图，在平行四边形中，，于点，于点，且、交于点，、的延长线交于点．
①；②平分；③，④若，则，⑤若点为中点，则
则上述结论正确的是　 　．（填序号即可）
【答案】①③⑤
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；故①正确；
条件不足，不能得到平分；故②错误；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；故④错误；
∵点为中点，，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；故⑤正确；
故答案为：①③⑤．
【分析】利用平行四边形的性质，推出，，推出，进而得到，据此可求出的度数，可对①作出判断，无法判断平分，可对②作出判断；再利用平行线的性质，垂直的定义可推出，，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，可对③作出判断；利用平行可证得，利用相似三角形的性质可推出，同高三角形的面积比等于底边比求出，由此可推出，可对④作出判断；利用垂直平分线的性质可证得，易证为等腰直角三角形，利用解直角三角形可推出，根据，可对⑤作出判断；综上所述，可得到正确结论的序号.
三、解答题（共78分）
15．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先将括号里的分式加法通分计算，同时将除法转化为乘法运算，约分化简，然后将a的值代入化简后的代数式进行计算.
16．学校准备为演讲比赛优胜者颁发笔记本和毛笔两种奖品．其中笔记本单价比毛笔的单价多3元，若学校一次购买6个笔记本和4支毛笔共需68元．求这种笔记本和毛笔的单价．
【答案】解：设毛笔的单价为元，则笔记本的单价为元．
根据题意列方程：
解得：
因此，笔记本的单价为元．
答：笔记本的单价为元，毛笔的单价为元
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【分析】设毛笔的单价为元，可表示出笔记本的单价，然后根据购买6个笔记本和4支毛笔共需68元，列出一元一次方程，然后求出方程的解即可.
17．小明将如下四种软件的图标依次制成A、B、C、D不透明的四张卡片（背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
A． B． C． D．
（1）从中随机抽取一张，抽到B卡片的概率是________．
（2）从中随机抽取一张，记录后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取到相同卡片的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表得
　 A B C D
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D）
共16种等可能结果，其中两次抽取到相同卡片的有4种，
∴两次抽取到相同卡片的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：由题意可得：从中随机抽取一张，抽到B卡片的概率为，
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）根据题意列表，可得到所有等可能的结果数及两次抽取到相同卡片的情况数，然后再用概率公式求解即可．
（1）解：由题意可得：从中随机抽取一张，抽到B卡片的概率为，
故答案为：；
（2）解：列表得，
第二次 第一次 A B C D
A
B
C
D
共16种等可能结果，其中两次抽取到相同卡片的有4种，
∴两次抽取到相同卡片的概率为．
18．如图，在中，，延长至，使得，过点，分别作，，与交于点，连接．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）连接，与交于点，若的面积为，，则的值为________．
【答案】（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形
（2）．
【知识点】矩形的判定与性质；求正切值
【解析】【解答】（2）解：如图，连接，与交于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】（）利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可证，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形是平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得结论.
（）连接，与交于点，由四边形是矩形，可证得，，可得到，利用三角形的面积公式求出BE的长，最后根据，代入计算可求解.
（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图，连接，与交于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且的顶点均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，只用无刻度的直尺，按要求作图，保留作图痕迹，不要求写出作法．
（1）在图①中，作的高线．
（2）在图②中，为格点，作，且点落在边上．
（3）在图③中，作边的垂直平分线，点、分别落在、上．
【答案】（1）解：如图，即为边上的高；
（2）解：如图，；
（3）解：如图，直线是边的垂直平分线．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；作图-平行线；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-作高
【解析】【分析】（1）取格点，构造全等三角形可得，故可得结论；
（2）取格点，连接DF交BC于点E，构造平行四边形可得结论；
（3）可判断是等腰直角三角形，且，根据矩形的性质找到边的中点，依据三角形中位线定理可得结论．
（1）解：如图，即为边上的高；
（2）解：如图，；
（3）解：如图，直线是边的垂直平分线．
20．某校学生社团计划培养一批主持人，有20名学生报名参加选拔，报名的学生需要参加普通话、讲故事和个人才艺三项测试，每项测试均由五位评委打分（满分为100分），取平均分作为该项的测试成绩，再按普通话占、讲故事占、个人才艺占计算出每人的总评成绩，根据以下图表解答相关问题．
表1．三项成绩和总评成绩统计表：
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
普通话 讲故事 个人才艺
小王同学 82 73 85 79.9
小赫同学 84 72 84
表2．个人才艺评委评分表：
选手 评委评分/分 平均数/分
小王同学 86，85，83，，85.5 85
小赫同学 84，83，83.5，83，86.5 84
根据以上信息，解决下列问题：
（1）根据表2数据得知小赫的个人才艺评委评分的中位数是________分，众数是________分．
（2）表1中的值为________，表2中的值为________．
（3）如图是参加选拔20名学生总评成绩的频数直方图（不完整）．该学校学生社团根据总评成绩择优选择10名主持人．
①补全频数直方图．②两人能成功入选的是________．（填“小赫”或“小王”）
【答案】（1）83.5；83
（2）80.4；85.5
（3）解：①80到90的人数为（人），
补全补全频数直方图如图：
②小赫
【知识点】频数（率）分布直方图；加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：小赫的个人才艺评委评分从小到大排列： 83，83，83.5，84，86.5，排在中间位置的是，
所以中位数为；
出现次数最多的是83，所以众数是83，
故答案为：83.5；83．
（2）解：由题意，；
，
故答案为：80.4；85.5；
（3）解：②由总评成绩频数分布直方图可得：选拔的主持人应在和内，而小王的总评成绩79.9分不在范围内，小赫的总评成绩80.4分在范围内，
∴小王不能入选，小赫成功入选，
故答案为：小赫．
【分析】（1）分别利用中位数，众数定义可求出这组数据的中位数和众数.
（2）根据加权平均数和平均数的计算公式进行计算即可.
（3）①先求出组人数，再补全直方图即可；②根据小王和小赫的总评成绩进行判断即可．
（1）解：小赫的个人才艺评委评分从小到大排列： 83，83，83.5，84，86.5，排在中间位置的是，
所以中位数为；
出现次数最多的是83，所以众数是83，
故答案为：83.5；83．
（2）解：由题意，；
，
故答案为：80.4；85.5；
（3）解：①80到90的人数为（人），
补全补全频数直方图如图：
②由总评成绩频数分布直方图可得：选拔的主持人应在和内，而小王的总评成绩79.9分不在范围内，小赫的总评成绩80.4分在范围内，
∴小王不能入选，小赫成功入选，
故答案为：小赫．
21．如图，是一段遥控车直线的双车跑道，甲乙两遥控车分别从从、两处同时出发，沿轨道向匀速行驶，秒后甲车先到达处，两遥控车速度之差为米秒．设两遥控车行驶的时间为（秒），两遥控车之间的距离为（米），根据所给函数图象（图2）解答问题．
（1）________，________．
（2）求相遇后两遥控车之间的距离与时间的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（3）当两遥控车之间的距离不超过米时，直接写出行驶时间的取值范围．
【答案】（1）3，8；
（2）解：设相遇后两遥控车之间的距离与时间的函数解析式，把，代入得：，
解得：，
∴相遇后两遥控车之间的距离与时间的函数解析式为
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：∵两遥控车速度之差为米秒，
∴根据图可知，（秒），
则，
故答案为：，；
（3）解：设当时的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴当时的解析式为，
∵两遥控车之间的距离不超过米，
∴，
解得：，
∴当两遥控车之间的距离不超过米时，行驶时间的取值范围为．
【分析】（）利用函数图象可知a=4除以两遥控车速度之差，列式计算可求出a的值；再利用图象及已知条件可求出b的值即可.
（）设相遇后两遥控车之间的距离与时间的函数解析式，将点，代入函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到函数解析式及自变量x的取值范围.
（）设当时的解析式为，将点（3，0），（4，0）代入函数解析式可求出m、n的值，可得到其函数解析式，由两遥控车之间的距离不超过米，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集即可.
（1）解：∵两遥控车速度之差为米秒，
∴根据图可知，（秒），
则，
故答案为：，；
（2）解：设相遇后两遥控车之间的距离与时间的函数解析式，
把，代入得：，
解得：，
∴相遇后两遥控车之间的距离与时间的函数解析式为；
（3）解：设当时的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴当时的解析式为，
∵两遥控车之间的距离不超过米，
∴，
解得：，
∴当两遥控车之间的距离不超过米时，行驶时间的取值范围为．
22．【模型提出】手拉手模型是初中几何中的一个重要基本模型，主要涉及两个顶角相等且共用顶角顶点的等腰三角形．通过连接对应的底角顶点，可以得到全等三角形，我们称其为手拉手全等模型．
如图①，和中，，，且，连接，．
请找出图中的一对全等三角形：________．
【模型构造】数学课上，王老师提出这样一道数学问题：如图②，在中，，，，以点A为顶点，以为腰作等腰三角形，若
求的长．
某学习小组构造手拉手全等模型，利用等腰三角形中的三线合一和直角三角形中的勾股定理等知识，求出线段长度．以下是这个学习小组解题的部分过程：
如图③，过点A在左侧作，且满足，连接， 则，所以． 又 过点A作于点． 又 ……
请将上述过程补充完整．
【模型应用】如图④，中，，分别以和为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，，则________．
【答案】[模型提出]；
[模型构造]
解：如图③，过点A在左侧作，且满足，连接，
则，所以．
又
过点A作于点．
又
，又，，，
∴，，
∴，又，
∴，
即；
[模型应用]
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；手拉手全等模型
【解析】【解答】[模型提出]
解：∵，
∴，
∴，又，，
∴，
故答案为：；
[模型应用]
解：连接，
∵以和为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
即
∴．
【分析】[模型提出]利用已知易证，利用SAS可证得△BAD≌△CAE.
[模型构造]补充得到，利用解直角三角形求出BF的长，可得到BE对称；利用勾股定理求出EC的长，可得到BD的长.
[模型应用] 连接，以和为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的定义可证得，，，可推出，利用解直角三角形可表示出AE与AB的数量关系；利用SAS可证得利用全等三角形的性质可证得AD=CE；再证明，利用勾股定理可得到CE与AC的数量关系，即可得到AD与AC的比值.
23．如图，在中，，，，点为边的中点，点为上一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转至，以和为边作正方形．
（1）________．
（2）当正方形面积最小时，求的值．
（3）当点落在内部时，求的取值范围．
（4）连接，当与的某一边垂直时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）解：过D作于H，则，
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴正方形面积，当时，最小，此时，正方形的面积最小，点E与H重合，
∴，
即当正方形面积最小时，的值为2
（3）解：当点F在边上时，如图，则，即，
由（2）知；
当F在边上时，如图，过D作于H，
则，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
由得，
故当点落在内部时，的取值范围为
（4）或
【知识点】正方形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∴，
故答案为：；
（4）解：当对角线于H时，如图，则E、G在上，
∴，，此时；
当对角线时，如图，设与交于M，则，，
∴
过E作于N，则四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
由得；
当对角线时，
∵正方形的对角线，互相垂直且平分，为上一点，
∴点E与C重合，点G与点A重合，
∴，
但，点为边的中点，
∴，
∴不符合题意，故舍去，
综上，满足条件的x值为或．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，再利用正弦的定义可求出sinA的值.
（2）过D作于H，则，利用解直角三角形求出的值；根据正方形的面积公式和垂线段最短得到当时，最小，此时，正方形的面积最小，点E与H重合，进而可求解.
（3）分当点F在边上时，可得到x的值；当F在边上时，过D作于H，利用AAS可证得△CEF≌△HDE，利用全等三角形的性质可证CE=DH，再利用解直角三角形求出CH的长，可得到CE的长，据此可得到关于x的值，综上所述可得到x的取值范围.
（4）当对角线于H时，如图，则E、G在上，可得到HE的长，即可求出x的值；当对角线时，如图，设与交于M，则，，过E作于N，则四边形是正方形，可证得ME=DN=MD=ME，利用解直角三角形可表示出EN、BN的长，即可得到DN的长，据此可得到关于x的方程，解方程求出x的值；当对角线时，易证点E与C重合，点G与点A重合，可推出；综上所述可得到x的值.
（1）解：∵在中，，，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：过D作于H，则，
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴正方形面积，当时，最小，此时，正方形的面积最小，点E与H重合，
∴，
即当正方形面积最小时，的值为2；
（3）解：当点F在边上时，如图，则，即，
由（2）知；
当F在边上时，如图，过D作于H，
则，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
由得，
故当点落在内部时，的取值范围为；
（4）解：当对角线于H时，如图，则E、G在上，
∴，，此时；
当对角线时，如图，设与交于M，则，，
∴
过E作于N，则四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
由得；
当对角线时，
∵正方形的对角线，互相垂直且平分，为上一点，
∴点E与C重合，点G与点A重合，
∴，
但，点为边的中点，
∴，
∴不符合题意，故舍去，
综上，满足条件的x值为或．
24．抛物线经过点、．
（1）求这条抛物线对应的函数解析式．
（2）当时，有最大值为7，求的值．
（3）点在抛物线上，点的横坐标为．
①抛物线与轴的交点为，过点作平行于轴，交轴于点，与此抛物线的另一交点为，连接，，点在轴下方，且，求的值．
②点也在抛物线上，其横坐标为，设此抛物线上、两点之间的图象为（含、两点）．若点与点关于原点成中心对称，点的坐标为，连接，以为对角线作矩形，且矩形的各边与坐标轴分别平行，当矩形的边与图象只有一个公共点，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：抛物线经过点、，
，
解得，
抛物线的解析式为：
（2）解：抛物线中二次项系数，
当时，函数的最小值为，
将代入得，，
解得，，
当时，有最大值为7，
（3）解：①如图，点的坐标为
轴，交抛物线于点，
点关于对称，
，
，
，
，
解得，或，
抛物线与轴的交点，且点在轴下方，
②或或
【知识点】二次函数的最值；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（3）②抛物线，顶点坐标为
把代入得，，
，
在矩形中，
与点关于原点成中心对称，
，
，
，
当抛物线的顶点在上时，，解得
当点在上时，，
解得（不合题意，舍去）
当点在上时，，
解得，（不合题意，舍去）
当点在抛物线上时，，
解得，（不合题意，舍去）
当点在抛物线上时，，
解得，（不合题意，舍去），
当时，矩形的边与图象有1个公共点；
当时，矩形的边与图象有2个公共点；
当时，当矩形的边与图象只有一个公共点；
当时，矩形的边与图象无公共点；
当时，矩形的边与图象只有一个公共点；
当，矩形的边与图象只有两个公共点；
综 上所述，矩形的边与图象只有一个公共点时或或．
【分析】（1）将、代入抛物线，可得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，可得到抛物线的解析式.
（2）因为抛物线的开口向上，函数有最小值，将代入抛物线求出的值，根据当时，有最大值为7即可确定的值.
（3）①因为点关于对称，可得到，再根据可推出，据此可得到关于m的方程，解方程求出m的值；②利用函数解析式求出抛物线的顶点坐标，再表示出点Q的坐标，利用矩形的性质可证与点关于原点成中心对称，可表示出点M、F、H的坐标；再分情况讨论：当抛物线的顶点在上时，可求出m的值，根据点P再MF上，可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值；当点在上时，可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值；当点在抛物线上时，可得到m的取值范围；综上所述，可得答案.
（1）解：抛物线经过点、，
，
解得，
抛物线的解析式为：，
（2）抛物线中二次项系数，
当时，函数的最小值为，
将代入得，，
解得，，
当时，有最大值为7，
（3）①如图，点的坐标为
轴，交抛物线于点，
点关于对称，
，
，
，
，
解得，或，
抛物线与轴的交点，且点在轴下方，
．
②抛物线，顶点坐标为
把代入得，，
，
在矩形中，
与点关于原点成中心对称，
，
，
，
当抛物线的顶点在上时，，解得
当点在上时，，
解得（不合题意，舍去）
当点在上时，，
解得，（不合题意，舍去）
当点在抛物线上时，，
解得，（不合题意，舍去）
当点在抛物线上时，，
解得，（不合题意，舍去），
当时，矩形的边与图象有1个公共点；
当时，矩形的边与图象有2个公共点；
当时，当矩形的边与图象只有一个公共点；
当时，矩形的边与图象无公共点；
当时，矩形的边与图象只有一个公共点；
当，矩形的边与图象只有两个公共点；
综 上所述，矩形的边与图象只有一个公共点时或或．
1 / 1吉林省长春市双阳区九年级2025年中考模拟测试数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．已知算式3□的值为，0，则“□”内应填入的运算符号为（　　）
A．+ B．- C．× D．÷
2．图是由5个相同的小正方体组合而成的几何体，现将小正方体①移到②的正上方后，这个几何体的三视图中不变的是（　　）
A．主视图 B．俯视图
C．左视图 D．俯视图与主视图
3．截止2025年，中国非物质文化遗产资源总量接近87万项，其中共有44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册），总数位居世界第一，将数据87万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值不可能是（　　）
A． B．0 C． D．2
5．如图，正六边形的两个顶点恰好落在直尺的相对的边上（其中直尺的对边相互平行），若，则等于（　　）
A． B． C． D．
6．如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，，杯中水面与交于点，当水杯底面与水平面的夹角为时，则杯中水的最大深度（即的长）为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，四边形内接于，连接并延长，交于点E，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，点、点在反比例函数的图象上，轴，垂足为点，连结，与相交于点．若点为的中点，的面积为2，则（阴影）的面积为（　　）
A．16 B．8 C．6 D．4
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
9．因式分解： 　 　.
10．比较大小：2　 　（填或或）．
11．如图，在平面直角坐标系中，点、、坐标分别为、、，则面积为　 　．
12．如图，中，与之和为，将沿方向平移至处，，则阴影部分周长为　 　．
13．如图，菱形中，对角线与相交于点，按如下步骤作图：以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交点为，作射线，交于点，连接，若，，则菱形面积为　 　．
14．如图，在平行四边形中，，于点，于点，且、交于点，、的延长线交于点．
①；②平分；③，④若，则，⑤若点为中点，则
则上述结论正确的是　 　．（填序号即可）
三、解答题（共78分）
15．先化简，再求值：，其中．
16．学校准备为演讲比赛优胜者颁发笔记本和毛笔两种奖品．其中笔记本单价比毛笔的单价多3元，若学校一次购买6个笔记本和4支毛笔共需68元．求这种笔记本和毛笔的单价．
17．小明将如下四种软件的图标依次制成A、B、C、D不透明的四张卡片（背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
A． B． C． D．
（1）从中随机抽取一张，抽到B卡片的概率是________．
（2）从中随机抽取一张，记录后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取到相同卡片的概率．
18．如图，在中，，延长至，使得，过点，分别作，，与交于点，连接．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）连接，与交于点，若的面积为，，则的值为________．
19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且的顶点均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，只用无刻度的直尺，按要求作图，保留作图痕迹，不要求写出作法．
（1）在图①中，作的高线．
（2）在图②中，为格点，作，且点落在边上．
（3）在图③中，作边的垂直平分线，点、分别落在、上．
20．某校学生社团计划培养一批主持人，有20名学生报名参加选拔，报名的学生需要参加普通话、讲故事和个人才艺三项测试，每项测试均由五位评委打分（满分为100分），取平均分作为该项的测试成绩，再按普通话占、讲故事占、个人才艺占计算出每人的总评成绩，根据以下图表解答相关问题．
表1．三项成绩和总评成绩统计表：
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
普通话 讲故事 个人才艺
小王同学 82 73 85 79.9
小赫同学 84 72 84
表2．个人才艺评委评分表：
选手 评委评分/分 平均数/分
小王同学 86，85，83，，85.5 85
小赫同学 84，83，83.5，83，86.5 84
根据以上信息，解决下列问题：
（1）根据表2数据得知小赫的个人才艺评委评分的中位数是________分，众数是________分．
（2）表1中的值为________，表2中的值为________．
（3）如图是参加选拔20名学生总评成绩的频数直方图（不完整）．该学校学生社团根据总评成绩择优选择10名主持人．
①补全频数直方图．②两人能成功入选的是________．（填“小赫”或“小王”）
21．如图，是一段遥控车直线的双车跑道，甲乙两遥控车分别从从、两处同时出发，沿轨道向匀速行驶，秒后甲车先到达处，两遥控车速度之差为米秒．设两遥控车行驶的时间为（秒），两遥控车之间的距离为（米），根据所给函数图象（图2）解答问题．
（1）________，________．
（2）求相遇后两遥控车之间的距离与时间的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（3）当两遥控车之间的距离不超过米时，直接写出行驶时间的取值范围．
22．【模型提出】手拉手模型是初中几何中的一个重要基本模型，主要涉及两个顶角相等且共用顶角顶点的等腰三角形．通过连接对应的底角顶点，可以得到全等三角形，我们称其为手拉手全等模型．
如图①，和中，，，且，连接，．
请找出图中的一对全等三角形：________．
【模型构造】数学课上，王老师提出这样一道数学问题：如图②，在中，，，，以点A为顶点，以为腰作等腰三角形，若
求的长．
某学习小组构造手拉手全等模型，利用等腰三角形中的三线合一和直角三角形中的勾股定理等知识，求出线段长度．以下是这个学习小组解题的部分过程：
如图③，过点A在左侧作，且满足，连接， 则，所以． 又 过点A作于点． 又 ……
请将上述过程补充完整．
【模型应用】如图④，中，，分别以和为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，，则________．
23．如图，在中，，，，点为边的中点，点为上一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转至，以和为边作正方形．
（1）________．
（2）当正方形面积最小时，求的值．
（3）当点落在内部时，求的取值范围．
（4）连接，当与的某一边垂直时，直接写出的值．
24．抛物线经过点、．
（1）求这条抛物线对应的函数解析式．
（2）当时，有最大值为7，求的值．
（3）点在抛物线上，点的横坐标为．
①抛物线与轴的交点为，过点作平行于轴，交轴于点，与此抛物线的另一交点为，连接，，点在轴下方，且，求的值．
②点也在抛物线上，其横坐标为，设此抛物线上、两点之间的图象为（含、两点）．若点与点关于原点成中心对称，点的坐标为，连接，以为对角线作矩形，且矩形的各边与坐标轴分别平行，当矩形的边与图象只有一个公共点，请直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的除法法则；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：A、“□”内应填入+，则，满足题意，该选项是正确的；
B、“□”内应填入-，则，不满足题意，该选项是错误的；
C、“□”内应填入×，则，不满足题意，该选项是错误的；
D、“□”内应填入÷，则，不满足题意，该选项是错误的；
故答案为：A．
【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算，据此相关运算法则进行逐项分析，即可作答．
2．【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：A．原主视图为三列，小正方形个数从左往右依次是2、1、2，下对齐；新主视图为三列，小正方形个数从左往右依次是3、1、1，下对齐；主视图发生改变，故此选项不符合题意；
B．原俯视图为一行三列，小正方形个数从左往右依次是1、1、1；新主视图为一行三列，小正方形个数从左往右依次是1、1、1；俯视图没有发生改变，故此选项符合题意；
C．原左视图为两行一列，上下对齐；新左视图为三行一列，上下对齐；左视图发生改变，故此选项不符合题意；
D．因主视图发生改变，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用原图可得到此几何体的三视图， 将小正方体①移到②的正上方后 ，可知主视图、左视图会发生变化，俯视图不会发生变化，即可求解.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：87万，
故选：B．
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1（1万=104），
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】利用已知方程有两个不相等的实数根可知b2-4ac＞0，可得到关于m的不等式，然后解不等式求出m的取值范围.
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；正多边形的性质；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图：
由题意得：，
∵，
∴，
∴，
由题意得：，
∴，
故答案为：B．
【分析】先求出正六边形的内角∠A和∠ABC的度数，然后由三角形内角和定理求出的度数，即可求出，然后根据两直线平行，内错角相等，可求出的度数.
6．【答案】B
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴杯中水的最大深度为．
故答案为：B．
【分析】利用矩形的性质和余角的性质可证得，然后利用解直角三角形求出AF的长.
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：是的直径，，
，
，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】利用邻补角的定义可求出∠BOD的度数，利用一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．可求出∠BCD的度数，然后利用圆内接四边形的对角互补可求出∠BAD的度数.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解： 如图，过点作轴，交轴于点，
∵点为的中点，的面积为2，
的面积等于的面积为2，
，
，
，
，
由反比例函数图象的性质可得，
，
故答案为：C．
【分析】过点作轴，交轴于点，利用中点的性质得出的面积等于的面积为2；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方可求出△OEB的面积，利用反比例函数的几何意义可求出△AOC的面积，根据，可求出△AOD的面积.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2-16=（x+4）（x-4）．
故答案为（x+4）（x-4）．
【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）
10．【答案】<
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
【分析】利用估算无理数的大小的方法，可得答案.
11．【答案】
【知识点】点的坐标；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵点、、坐标分别为、、，
∴，边上的高为，
∴面积为
故答案为：．
【分析】利用已知点的坐标可求出BC的长及边上的高，然后利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积.
12．【答案】16
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移性质得，，
∵与之和为，，
∴阴影部分周长为，
故答案为：16．
【分析】利用平移性质可证得，同时可得到CF的长，然后求出阴影部分的周长即可.
13．【答案】20
【知识点】菱形的性质；尺规作图-垂线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，
由作图过程得，
∴，
∴，
∴，又，
∴菱形面积为．
故答案为：20．
【分析】利用菱形的性质可求出OD的长，同时可证得OA=OC；根据作图过程得到，再利用直角三角形的中线性质得到可求出OC的长，可得到AC的长，然后利用菱形的面积公式求解即可．
14．【答案】①③⑤
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；故①正确；
条件不足，不能得到平分；故②错误；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；故④错误；
∵点为中点，，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；故⑤正确；
故答案为：①③⑤．
【分析】利用平行四边形的性质，推出，，推出，进而得到，据此可求出的度数，可对①作出判断，无法判断平分，可对②作出判断；再利用平行线的性质，垂直的定义可推出，，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，可对③作出判断；利用平行可证得，利用相似三角形的性质可推出，同高三角形的面积比等于底边比求出，由此可推出，可对④作出判断；利用垂直平分线的性质可证得，易证为等腰直角三角形，利用解直角三角形可推出，根据，可对⑤作出判断；综上所述，可得到正确结论的序号.
15．【答案】解：
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先将括号里的分式加法通分计算，同时将除法转化为乘法运算，约分化简，然后将a的值代入化简后的代数式进行计算.
16．【答案】解：设毛笔的单价为元，则笔记本的单价为元．
根据题意列方程：
解得：
因此，笔记本的单价为元．
答：笔记本的单价为元，毛笔的单价为元
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【分析】设毛笔的单价为元，可表示出笔记本的单价，然后根据购买6个笔记本和4支毛笔共需68元，列出一元一次方程，然后求出方程的解即可.
17．【答案】（1）
（2）解：列表得
　 A B C D
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D）
共16种等可能结果，其中两次抽取到相同卡片的有4种，
∴两次抽取到相同卡片的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：由题意可得：从中随机抽取一张，抽到B卡片的概率为，
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）根据题意列表，可得到所有等可能的结果数及两次抽取到相同卡片的情况数，然后再用概率公式求解即可．
（1）解：由题意可得：从中随机抽取一张，抽到B卡片的概率为，
故答案为：；
（2）解：列表得，
第二次 第一次 A B C D
A
B
C
D
共16种等可能结果，其中两次抽取到相同卡片的有4种，
∴两次抽取到相同卡片的概率为．
18．【答案】（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形
（2）．
【知识点】矩形的判定与性质；求正切值
【解析】【解答】（2）解：如图，连接，与交于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】（）利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可证，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形是平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得结论.
（）连接，与交于点，由四边形是矩形，可证得，，可得到，利用三角形的面积公式求出BE的长，最后根据，代入计算可求解.
（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图，连接，与交于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
19．【答案】（1）解：如图，即为边上的高；
（2）解：如图，；
（3）解：如图，直线是边的垂直平分线．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；作图-平行线；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-作高
【解析】【分析】（1）取格点，构造全等三角形可得，故可得结论；
（2）取格点，连接DF交BC于点E，构造平行四边形可得结论；
（3）可判断是等腰直角三角形，且，根据矩形的性质找到边的中点，依据三角形中位线定理可得结论．
（1）解：如图，即为边上的高；
（2）解：如图，；
（3）解：如图，直线是边的垂直平分线．
20．【答案】（1）83.5；83
（2）80.4；85.5
（3）解：①80到90的人数为（人），
补全补全频数直方图如图：
②小赫
【知识点】频数（率）分布直方图；加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：小赫的个人才艺评委评分从小到大排列： 83，83，83.5，84，86.5，排在中间位置的是，
所以中位数为；
出现次数最多的是83，所以众数是83，
故答案为：83.5；83．
（2）解：由题意，；
，
故答案为：80.4；85.5；
（3）解：②由总评成绩频数分布直方图可得：选拔的主持人应在和内，而小王的总评成绩79.9分不在范围内，小赫的总评成绩80.4分在范围内，
∴小王不能入选，小赫成功入选，
故答案为：小赫．
【分析】（1）分别利用中位数，众数定义可求出这组数据的中位数和众数.
（2）根据加权平均数和平均数的计算公式进行计算即可.
（3）①先求出组人数，再补全直方图即可；②根据小王和小赫的总评成绩进行判断即可．
（1）解：小赫的个人才艺评委评分从小到大排列： 83，83，83.5，84，86.5，排在中间位置的是，
所以中位数为；
出现次数最多的是83，所以众数是83，
故答案为：83.5；83．
（2）解：由题意，；
，
故答案为：80.4；85.5；
（3）解：①80到90的人数为（人），
补全补全频数直方图如图：
②由总评成绩频数分布直方图可得：选拔的主持人应在和内，而小王的总评成绩79.9分不在范围内，小赫的总评成绩80.4分在范围内，
∴小王不能入选，小赫成功入选，
故答案为：小赫．
21．【答案】（1）3，8；
（2）解：设相遇后两遥控车之间的距离与时间的函数解析式，把，代入得：，
解得：，
∴相遇后两遥控车之间的距离与时间的函数解析式为
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：∵两遥控车速度之差为米秒，
∴根据图可知，（秒），
则，
故答案为：，；
（3）解：设当时的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴当时的解析式为，
∵两遥控车之间的距离不超过米，
∴，
解得：，
∴当两遥控车之间的距离不超过米时，行驶时间的取值范围为．
【分析】（）利用函数图象可知a=4除以两遥控车速度之差，列式计算可求出a的值；再利用图象及已知条件可求出b的值即可.
（）设相遇后两遥控车之间的距离与时间的函数解析式，将点，代入函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到函数解析式及自变量x的取值范围.
（）设当时的解析式为，将点（3，0），（4，0）代入函数解析式可求出m、n的值，可得到其函数解析式，由两遥控车之间的距离不超过米，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集即可.
（1）解：∵两遥控车速度之差为米秒，
∴根据图可知，（秒），
则，
故答案为：，；
（2）解：设相遇后两遥控车之间的距离与时间的函数解析式，
把，代入得：，
解得：，
∴相遇后两遥控车之间的距离与时间的函数解析式为；
（3）解：设当时的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴当时的解析式为，
∵两遥控车之间的距离不超过米，
∴，
解得：，
∴当两遥控车之间的距离不超过米时，行驶时间的取值范围为．
22．【答案】[模型提出]；
[模型构造]
解：如图③，过点A在左侧作，且满足，连接，
则，所以．
又
过点A作于点．
又
，又，，，
∴，，
∴，又，
∴，
即；
[模型应用]
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；手拉手全等模型
【解析】【解答】[模型提出]
解：∵，
∴，
∴，又，，
∴，
故答案为：；
[模型应用]
解：连接，
∵以和为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
即
∴．
【分析】[模型提出]利用已知易证，利用SAS可证得△BAD≌△CAE.
[模型构造]补充得到，利用解直角三角形求出BF的长，可得到BE对称；利用勾股定理求出EC的长，可得到BD的长.
[模型应用] 连接，以和为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的定义可证得，，，可推出，利用解直角三角形可表示出AE与AB的数量关系；利用SAS可证得利用全等三角形的性质可证得AD=CE；再证明，利用勾股定理可得到CE与AC的数量关系，即可得到AD与AC的比值.
23．【答案】（1）
（2）解：过D作于H，则，
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴正方形面积，当时，最小，此时，正方形的面积最小，点E与H重合，
∴，
即当正方形面积最小时，的值为2
（3）解：当点F在边上时，如图，则，即，
由（2）知；
当F在边上时，如图，过D作于H，
则，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
由得，
故当点落在内部时，的取值范围为
（4）或
【知识点】正方形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∴，
故答案为：；
（4）解：当对角线于H时，如图，则E、G在上，
∴，，此时；
当对角线时，如图，设与交于M，则，，
∴
过E作于N，则四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
由得；
当对角线时，
∵正方形的对角线，互相垂直且平分，为上一点，
∴点E与C重合，点G与点A重合，
∴，
但，点为边的中点，
∴，
∴不符合题意，故舍去，
综上，满足条件的x值为或．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，再利用正弦的定义可求出sinA的值.
（2）过D作于H，则，利用解直角三角形求出的值；根据正方形的面积公式和垂线段最短得到当时，最小，此时，正方形的面积最小，点E与H重合，进而可求解.
（3）分当点F在边上时，可得到x的值；当F在边上时，过D作于H，利用AAS可证得△CEF≌△HDE，利用全等三角形的性质可证CE=DH，再利用解直角三角形求出CH的长，可得到CE的长，据此可得到关于x的值，综上所述可得到x的取值范围.
（4）当对角线于H时，如图，则E、G在上，可得到HE的长，即可求出x的值；当对角线时，如图，设与交于M，则，，过E作于N，则四边形是正方形，可证得ME=DN=MD=ME，利用解直角三角形可表示出EN、BN的长，即可得到DN的长，据此可得到关于x的方程，解方程求出x的值；当对角线时，易证点E与C重合，点G与点A重合，可推出；综上所述可得到x的值.
（1）解：∵在中，，，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：过D作于H，则，
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴正方形面积，当时，最小，此时，正方形的面积最小，点E与H重合，
∴，
即当正方形面积最小时，的值为2；
（3）解：当点F在边上时，如图，则，即，
由（2）知；
当F在边上时，如图，过D作于H，
则，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
由得，
故当点落在内部时，的取值范围为；
（4）解：当对角线于H时，如图，则E、G在上，
∴，，此时；
当对角线时，如图，设与交于M，则，，
∴
过E作于N，则四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
由得；
当对角线时，
∵正方形的对角线，互相垂直且平分，为上一点，
∴点E与C重合，点G与点A重合，
∴，
但，点为边的中点，
∴，
∴不符合题意，故舍去，
综上，满足条件的x值为或．
24．【答案】（1）解：抛物线经过点、，
，
解得，
抛物线的解析式为：
（2）解：抛物线中二次项系数，
当时，函数的最小值为，
将代入得，，
解得，，
当时，有最大值为7，
（3）解：①如图，点的坐标为
轴，交抛物线于点，
点关于对称，
，
，
，
，
解得，或，
抛物线与轴的交点，且点在轴下方，
②或或
【知识点】二次函数的最值；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（3）②抛物线，顶点坐标为
把代入得，，
，
在矩形中，
与点关于原点成中心对称，
，
，
，
当抛物线的顶点在上时，，解得
当点在上时，，
解得（不合题意，舍去）
当点在上时，，
解得，（不合题意，舍去）
当点在抛物线上时，，
解得，（不合题意，舍去）
当点在抛物线上时，，
解得，（不合题意，舍去），
当时，矩形的边与图象有1个公共点；
当时，矩形的边与图象有2个公共点；
当时，当矩形的边与图象只有一个公共点；
当时，矩形的边与图象无公共点；
当时，矩形的边与图象只有一个公共点；
当，矩形的边与图象只有两个公共点；
综 上所述，矩形的边与图象只有一个公共点时或或．
【分析】（1）将、代入抛物线，可得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，可得到抛物线的解析式.
（2）因为抛物线的开口向上，函数有最小值，将代入抛物线求出的值，根据当时，有最大值为7即可确定的值.
（3）①因为点关于对称，可得到，再根据可推出，据此可得到关于m的方程，解方程求出m的值；②利用函数解析式求出抛物线的顶点坐标，再表示出点Q的坐标，利用矩形的性质可证与点关于原点成中心对称，可表示出点M、F、H的坐标；再分情况讨论：当抛物线的顶点在上时，可求出m的值，根据点P再MF上，可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值；当点在上时，可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值；当点在抛物线上时，可得到m的取值范围；综上所述，可得答案.
（1）解：抛物线经过点、，
，
解得，
抛物线的解析式为：，
（2）抛物线中二次项系数，
当时，函数的最小值为，
将代入得，，
解得，，
当时，有最大值为7，
（3）①如图，点的坐标为
轴，交抛物线于点，
点关于对称，
，
，
，
，
解得，或，
抛物线与轴的交点，且点在轴下方，
．
②抛物线，顶点坐标为
把代入得，，
，
在矩形中，
与点关于原点成中心对称，
，
，
，
当抛物线的顶点在上时，，解得
当点在上时，，
解得（不合题意，舍去）
当点在上时，，
解得，（不合题意，舍去）
当点在抛物线上时，，
解得，（不合题意，舍去）
当点在抛物线上时，，
解得，（不合题意，舍去），
当时，矩形的边与图象有1个公共点；
当时，矩形的边与图象有2个公共点；
当时，当矩形的边与图象只有一个公共点；
当时，矩形的边与图象无公共点；
当时，矩形的边与图象只有一个公共点；
当，矩形的边与图象只有两个公共点；
综 上所述，矩形的边与图象只有一个公共点时或或．
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