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四川省成都市温江区永宁中学校四校2024-2025学年下学期期 中质量监测七年级数学
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故不正确；
B．，故不正确；
C．，正确；
D．与不是同类项，不能合并，故不正确；
故答案为：C．
【分析】
本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项． 根据幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则逐项分析即可．
2．石墨烯被认为是一种未来革命性的材料，它是一种由碳原子构成的纳米材料.其中每两个相邻碳原子之间的键长为米，将用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】=
故答案为：B.
【分析】绝对值小于1的正数可以用科学记数法的表示，一般形式为a×10-n的形式。其中1≤|a|＜10，-n=原数左边第一个不为0的数字前面的0的个数的相反数，即可求解.
3．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A.，不能组成三角形，故不符合题意；
B.，不能组成三角形，故不符合题意；
C.，不能组成三角形，故不符合题意；
D.，能组成三角形，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用三角形三边的关系（ 三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边 ）逐项分析判断即可.
4．下列说法错误的是（　　）
A．对顶角相等
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；对顶角及其性质；平行公理；平行公理的推论
【解析】【解答】解：A、对顶角相等，正确，不符合题意；
B、平行于同一条直线的两条直线平行，正确，不符合题意；
C、垂线段最短，正确，不符合题意；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用对顶角相等可对A作出判断；再利用平行线公理的推论，可对B作出判断；利用垂线段最短，可对C作出判断；然后利用过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可对D作出判断.
5．校长陪餐制度深受学生家长的认可，一天午餐时，张校长已经坐在了④号座位，学生甲在①～③号座位中随机选择一个座位就坐，则学生甲恰好坐在张校长正对面的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：根据题意得，学生甲恰好坐在张校长正对面的概率为，
故答案为：B．
【分析】利用已知条件可知一共有3种结果数，但学生甲恰好坐在张校长正对面的只有1种情况，然后利用概率公式进行计算.
6．如图，下列条件中，能判定的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A中，由，不能判定，故该选项不正确，所以A不符合题意；
B中，由∵，∴，故该选项正确，所以B符合题意；
C中，由，∴，故该选项不正确，所以C不符合题意；
D中，由，∴，故该选项不正确，所以D不符合题意；
故选：B．
【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，结合选项，逐项分析判断，即可得到答案.
7．分水油纸伞是泸州市江阳区分水岭镇特产，中国国家地理标志产品，国家级非物质文化遗产．油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着许多数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的判定依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：在和中，
，
．
故答案为：D．
【分析】题干给出了AE=AF，GE=GF，结合公共边AG=AG，可用全等三角形的判定方法“SSS”判断出△AEG≌△AFG.
8．如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，若，则的长不可能是（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：平分，，
点到的距离等于，即点到的距离为5，
．
故答案为：D．
【分析】
本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，根据角平分线的性质得到点到的距离等于，根据垂线段最短得到，然后对各选项进行判断．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．计算的结果等于　 　．
【答案】
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】利用积的乘方等于积中每一个因式分别乘方，进行计算即可.
10．若，，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】利用同底数幂相除的逆运算将代数式转化为，然后代入计算即可.
11．已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长是　 　．
【答案】20
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】当腰长是4cm时，三角形的三边是4、4、8，
∵4+4=8，
∴不满足三角形的三边关系，
当腰长是8cm时，三角形的三边是8、8、4，
∴三角形的周长是8+8+4=20．
故答案为：20
【分析】分腰长为4或腰长为8两种情况，根据等腰三角形的性质求出周长即可得答案．
12．如图，将直尺与含角的三角板摆放在一起，若，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：如图所示：
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用三角形外角的性质可证得∠BEF=∠1+∠F，据此可求出的度数，再利用两直线平行，同位角相等，可求出∠2的度数.
13．如图，将长方形纸带沿直线折叠，A，D两点分别与，对应．若，则的度数为 　 　 ．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵长方形纸带沿直线折叠，
∴，，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】利用折叠的性质可证得，再根据两直线平行，内错角相等，可证得，结合已知条件，可得到关于∠2的方程，解方程求出∠2的的数，即可动点∠AEF的度数.
三、解答题（共8题，共48分）
14．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先算乘方运算，同时化简绝对值，再算加减法.
（2）利用单项式除以单项式的法则，先算除法运算，再利用单项式乘以单项式的法则进行计算，可求出结果.
（1）解：原式；
（2）原式．
15．先化简，再求值
，其中．
【答案】解：
；
当时，
原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用完全平方公式和平方差公式先去小括号，再合并同类项，利用多项式除以单项式的法则进行化简，然后将x、y的值代入化简后的代数式进行计算.
16．科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图．
如图②，，平分，平分．求证：．
阅读下面的解答过程，并填空．证明：
（已知），
______（两直线平行，内错角相等），
平分（已知），
______（角平分线的定义），
同理，______，
（等量代换），
（______）．
（______）．
【答案】解（已知），
（两直线平行，内错角相等），
平分（已知），
（角平分线的定义），
同理，．
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：，，，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】利用两直线平行，内错角相等及角平分线的概念可推出；再根据内错角相等，两直线平行，可证得OE∥CF，然后根据两直线平行，同旁内角互补，可证得结论.
17．如图，点D、E在上，点F、G分别在、上，且，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）由二直线平行，内错角相等得出∠1=∠DCB，结合题意，由等量代换得出∠2=∠DCB，从而根据同位角相等，两直线平行得出DC∥EF；
（2）根据垂直的定义得∠FED=90°，由二直线平行，同位角相等得∠CDA=∠FED=90°，最后根据角的构成，由∠ADG=∠CDA-∠1计算即可.
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
18．在一个不透明的布袋中装有8个红球和16个白球，它们除颜色不同外其余都相同．
（1）求从布袋中摸出一个球是红球的概率；
（2）现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从布袋中摸出一个球是红球的概率是，问取走了多少个白球？
【答案】（1）解：（从布袋中摸出一个球是红球）
（2）设取走了个白球， 根据题意得
，
解得：．
答： 取走了7个白球
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1） 利用红球的个数除以球的总共个数，列式计算可求出从布袋中摸出一个球是红球的概率
（2） 设取走了个白球，再利用从布袋中摸出一个球是红球的概率是，列出关于x的方程，解方程求出x的值．
（1）解：（从布袋中摸出一个球是红球）；
（2）设取走了个白球， 根据题意得
，
解得：．
答： 取走了7个白球 ．
19．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，AB∥DE．求证：△ABC≌△DEF．
【答案】证明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠EDF，
∵AC=AD+DC，DF=DC+CF，且AD=CF
∴AC=DF
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SAS）
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】利用两直线平行，同位角相等可证得∠A=∠EDF，利用已知可证得AD=CF，然后利用SAS可证得结论.
20．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，，，之间的等量关系为______；
（2）已知：，，求的值；
（3）已知，求的值．
【答案】（1）
（2）解：，，，
，
，
即的值为7
（3）解：令，，
，．
，
，
．
即的值为8
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：大正方形的面积可以表示为：，或表示为：；
因此有；
故答案为：
【分析】（1）观察可知：图2的面积可以表示为一个边长为的正方形面积，又可以表示为一个边长为a的正方形面积加上一个边长为b的正方形面积再加上两个长为b，宽为a的长方形面积。列出等式即可.
（2）根据可得，再根据，整体代入即可求出ab的值.
（3）设，，可分别求出，的值，然后根据，可求出ab的值，即可得到的值.
（1）解：大正方形的面积可以表示为：，或表示为：；
因此有；
故答案为：
（2），，，
，
，
即的值为7；
（3）解：令，，
，．
，
，
．
即的值为8．
21．（1）如图，，，，求的度数．（提示：如图，过作）
（2）如图，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出之间的数量关系．（提示：三角形内角和为）
【答案】解：（1）如图2，作
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
∴的度数为
（2）解：．
理由如下： 如图3，过P作交CD于E，
∵，
∴，
∴
∴
∴；
（3）当P在OA延长线时，∠CPD=∠β-∠α； 当P在AB延长线时，∠CPD=∠α-∠β
【知识点】三角形内角和定理；铅笔头模型；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】（3）解：当P在OA延长线时，；当P在AB延长线时，．
理由如下：由题意知，分两种情况求解：
①当P在OA延长线时，如图4，过P作交CD于E，
∵，
∴，
∴，
∴；
②当P在AB延长线时，如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，之间的数量关系为或．
【分析】（1）如图2，作，可证得，利用两直线平行，同旁内角互补，可求出∠APE、∠EPC的度数，然后根据，代入计算求出∠APC的度数.
（2）如图3，过P作交CD于E， 可证得，利用两直线平行，内错角相等，可证得，根据∠CPD=∠DPE+∠CPE，据此可证得结论.
（3）分情况讨论：①当P在OA延长线时，如图4，过P作交CD于E，可证得，利用两直线平行，内错角相等可证得，然后根据∠CPD=∠CPE-∠DPE，可证得结论；②当P在AB延长线时，如图5，过P作PE∥AD交CD于E，同理可证得，然后根据然后根据∠CPD=∠DPE-∠CPE，代入可证得结论.
1 / 1四川省成都市温江区永宁中学校四校2024-2025学年下学期期 中质量监测七年级数学
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．石墨烯被认为是一种未来革命性的材料，它是一种由碳原子构成的纳米材料.其中每两个相邻碳原子之间的键长为米，将用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．下列说法错误的是（　　）
A．对顶角相等
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
5．校长陪餐制度深受学生家长的认可，一天午餐时，张校长已经坐在了④号座位，学生甲在①～③号座位中随机选择一个座位就坐，则学生甲恰好坐在张校长正对面的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，下列条件中，能判定的是（　　）
A． B． C． D．
7．分水油纸伞是泸州市江阳区分水岭镇特产，中国国家地理标志产品，国家级非物质文化遗产．油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着许多数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的判定依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
8．如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，若，则的长不可能是（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．计算的结果等于　 　．
10．若，，则的值为　 　．
11．已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长是　 　．
12．如图，将直尺与含角的三角板摆放在一起，若，则的度数是　 　．
13．如图，将长方形纸带沿直线折叠，A，D两点分别与，对应．若，则的度数为 　 　 ．
三、解答题（共8题，共48分）
14．计算：
（1）；
（2）．
15．先化简，再求值
，其中．
16．科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图．
如图②，，平分，平分．求证：．
阅读下面的解答过程，并填空．证明：
（已知），
______（两直线平行，内错角相等），
平分（已知），
______（角平分线的定义），
同理，______，
（等量代换），
（______）．
（______）．
17．如图，点D、E在上，点F、G分别在、上，且，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
18．在一个不透明的布袋中装有8个红球和16个白球，它们除颜色不同外其余都相同．
（1）求从布袋中摸出一个球是红球的概率；
（2）现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从布袋中摸出一个球是红球的概率是，问取走了多少个白球？
19．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，AB∥DE．求证：△ABC≌△DEF．
20．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，，，之间的等量关系为______；
（2）已知：，，求的值；
（3）已知，求的值．
21．（1）如图，，，，求的度数．（提示：如图，过作）
（2）如图，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出之间的数量关系．（提示：三角形内角和为）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故不正确；
B．，故不正确；
C．，正确；
D．与不是同类项，不能合并，故不正确；
故答案为：C．
【分析】
本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项． 根据幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则逐项分析即可．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】=
故答案为：B.
【分析】绝对值小于1的正数可以用科学记数法的表示，一般形式为a×10-n的形式。其中1≤|a|＜10，-n=原数左边第一个不为0的数字前面的0的个数的相反数，即可求解.
3．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A.，不能组成三角形，故不符合题意；
B.，不能组成三角形，故不符合题意；
C.，不能组成三角形，故不符合题意；
D.，能组成三角形，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用三角形三边的关系（ 三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边 ）逐项分析判断即可.
4．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；对顶角及其性质；平行公理；平行公理的推论
【解析】【解答】解：A、对顶角相等，正确，不符合题意；
B、平行于同一条直线的两条直线平行，正确，不符合题意；
C、垂线段最短，正确，不符合题意；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用对顶角相等可对A作出判断；再利用平行线公理的推论，可对B作出判断；利用垂线段最短，可对C作出判断；然后利用过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可对D作出判断.
5．【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：根据题意得，学生甲恰好坐在张校长正对面的概率为，
故答案为：B．
【分析】利用已知条件可知一共有3种结果数，但学生甲恰好坐在张校长正对面的只有1种情况，然后利用概率公式进行计算.
6．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A中，由，不能判定，故该选项不正确，所以A不符合题意；
B中，由∵，∴，故该选项正确，所以B符合题意；
C中，由，∴，故该选项不正确，所以C不符合题意；
D中，由，∴，故该选项不正确，所以D不符合题意；
故选：B．
【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，结合选项，逐项分析判断，即可得到答案.
7．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：在和中，
，
．
故答案为：D．
【分析】题干给出了AE=AF，GE=GF，结合公共边AG=AG，可用全等三角形的判定方法“SSS”判断出△AEG≌△AFG.
8．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：平分，，
点到的距离等于，即点到的距离为5，
．
故答案为：D．
【分析】
本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，根据角平分线的性质得到点到的距离等于，根据垂线段最短得到，然后对各选项进行判断．
9．【答案】
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】利用积的乘方等于积中每一个因式分别乘方，进行计算即可.
10．【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】利用同底数幂相除的逆运算将代数式转化为，然后代入计算即可.
11．【答案】20
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】当腰长是4cm时，三角形的三边是4、4、8，
∵4+4=8，
∴不满足三角形的三边关系，
当腰长是8cm时，三角形的三边是8、8、4，
∴三角形的周长是8+8+4=20．
故答案为：20
【分析】分腰长为4或腰长为8两种情况，根据等腰三角形的性质求出周长即可得答案．
12．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：如图所示：
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用三角形外角的性质可证得∠BEF=∠1+∠F，据此可求出的度数，再利用两直线平行，同位角相等，可求出∠2的度数.
13．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵长方形纸带沿直线折叠，
∴，，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】利用折叠的性质可证得，再根据两直线平行，内错角相等，可证得，结合已知条件，可得到关于∠2的方程，解方程求出∠2的的数，即可动点∠AEF的度数.
14．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先算乘方运算，同时化简绝对值，再算加减法.
（2）利用单项式除以单项式的法则，先算除法运算，再利用单项式乘以单项式的法则进行计算，可求出结果.
（1）解：原式；
（2）原式．
15．【答案】解：
；
当时，
原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用完全平方公式和平方差公式先去小括号，再合并同类项，利用多项式除以单项式的法则进行化简，然后将x、y的值代入化简后的代数式进行计算.
16．【答案】解（已知），
（两直线平行，内错角相等），
平分（已知），
（角平分线的定义），
同理，．
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：，，，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】利用两直线平行，内错角相等及角平分线的概念可推出；再根据内错角相等，两直线平行，可证得OE∥CF，然后根据两直线平行，同旁内角互补，可证得结论.
17．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）由二直线平行，内错角相等得出∠1=∠DCB，结合题意，由等量代换得出∠2=∠DCB，从而根据同位角相等，两直线平行得出DC∥EF；
（2）根据垂直的定义得∠FED=90°，由二直线平行，同位角相等得∠CDA=∠FED=90°，最后根据角的构成，由∠ADG=∠CDA-∠1计算即可.
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
18．【答案】（1）解：（从布袋中摸出一个球是红球）
（2）设取走了个白球， 根据题意得
，
解得：．
答： 取走了7个白球
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1） 利用红球的个数除以球的总共个数，列式计算可求出从布袋中摸出一个球是红球的概率
（2） 设取走了个白球，再利用从布袋中摸出一个球是红球的概率是，列出关于x的方程，解方程求出x的值．
（1）解：（从布袋中摸出一个球是红球）；
（2）设取走了个白球， 根据题意得
，
解得：．
答： 取走了7个白球 ．
19．【答案】证明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠EDF，
∵AC=AD+DC，DF=DC+CF，且AD=CF
∴AC=DF
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SAS）
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】利用两直线平行，同位角相等可证得∠A=∠EDF，利用已知可证得AD=CF，然后利用SAS可证得结论.
20．【答案】（1）
（2）解：，，，
，
，
即的值为7
（3）解：令，，
，．
，
，
．
即的值为8
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：大正方形的面积可以表示为：，或表示为：；
因此有；
故答案为：
【分析】（1）观察可知：图2的面积可以表示为一个边长为的正方形面积，又可以表示为一个边长为a的正方形面积加上一个边长为b的正方形面积再加上两个长为b，宽为a的长方形面积。列出等式即可.
（2）根据可得，再根据，整体代入即可求出ab的值.
（3）设，，可分别求出，的值，然后根据，可求出ab的值，即可得到的值.
（1）解：大正方形的面积可以表示为：，或表示为：；
因此有；
故答案为：
（2），，，
，
，
即的值为7；
（3）解：令，，
，．
，
，
．
即的值为8．
21．【答案】解：（1）如图2，作
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
∴的度数为
（2）解：．
理由如下： 如图3，过P作交CD于E，
∵，
∴，
∴
∴
∴；
（3）当P在OA延长线时，∠CPD=∠β-∠α； 当P在AB延长线时，∠CPD=∠α-∠β
【知识点】三角形内角和定理；铅笔头模型；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】（3）解：当P在OA延长线时，；当P在AB延长线时，．
理由如下：由题意知，分两种情况求解：
①当P在OA延长线时，如图4，过P作交CD于E，
∵，
∴，
∴，
∴；
②当P在AB延长线时，如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，之间的数量关系为或．
【分析】（1）如图2，作，可证得，利用两直线平行，同旁内角互补，可求出∠APE、∠EPC的度数，然后根据，代入计算求出∠APC的度数.
（2）如图3，过P作交CD于E， 可证得，利用两直线平行，内错角相等，可证得，根据∠CPD=∠DPE+∠CPE，据此可证得结论.
（3）分情况讨论：①当P在OA延长线时，如图4，过P作交CD于E，可证得，利用两直线平行，内错角相等可证得，然后根据∠CPD=∠CPE-∠DPE，可证得结论；②当P在AB延长线时，如图5，过P作PE∥AD交CD于E，同理可证得，然后根据然后根据∠CPD=∠DPE-∠CPE，代入可证得结论.
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