资源简介

湖南省衡阳市祁东县多校联考2024-2025学年九年级下学期4月份期中考试数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：、，故A不符合题意；
、，故B不符合题意；
、，故C符合题意；
、与不是同类项，不可以合并，故D不符合题意；
故答案为：．
【分析】利用同底数幂相乘的法则，可对A作出判断；利用完全平方公式可对B作出判断；利用积的乘方法则，可对C作出判断；然后根据只有同类项才能合并，可对D作出判断.
2．“染色体”是人类“生命之书n中最长也是最后被破解的一章，据报道，第一号染色体中共有个碱基对，用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：D．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．将直尺和三角板进行如图摆放，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，，
，
故答案为：C．
【分析】利用已知可求出∠3的度数，再利用两直线平行，内错角相等，可求出∠2的度数.
4．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项不符合题意；
故选：B．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形.
5．如图，，平分，且，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵平分
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】
本题考查平行线的性质与判定，角平分线有关计算，根据得到，即可得到，根据平分得到，结合即可得到答案；
6．足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队进行了13场比赛，其中负了4场共得19分，那么该队胜了（　　）
A．2场 B．3场 C．4场 D．5场
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-积分问题
【解析】【解答】解：设该队胜了场，故平了场，
，
解得．
故一共胜了场．
故答案为：D．
【分析】设该队胜了场，根据题意列一元一次方程解答即可．
7．酸溶液和碱溶液混合会发生中和反应，现有4瓶溶液标签缺失，已知其分别为(盐酸)， (硫酸)， (钠碱)， (钾碱)， 若从中任取2瓶混合， 则会发生中和反应的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意可得列表如下：
　
　
　
　
　
共有12种等可能的结果，其中会发生中和反应的结果有8种，
∴会发生中和反应的概率为.
故答案为：D.
【分析】先列表，再求出所有等可能结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式可得出答案．
8．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（　　）
A． B． 且
C． D． 且
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即（-2）2-4×k×（-1）＞0，
解得k＞-1且k≠0.
∴k的取值范围为k＞-1且k≠0.
故答案为：B.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此可得k≠0且△＞0，代入求解可得k的范围.
9．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．无限小数都是无理数
B．相似三角形的面积比等于相似比
C．三边长分别是1，，3的三角形是直角三角形
D．圆内接四边形对角相等
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；圆内接四边形的性质；无理数的概念；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】A选项：无限不循环小数才是无理数，原说法错误，属于假命题，A不符合题意；
B选项：相似三角形的面积比等于相似比的平方（注意是平方关系），原说法错误，属于假命题，B不符合题意；
C选项：通过验证可知，边长分别为1、、3的三角形满足勾股定理逆定理，是直角三角形，此选项正确，是真命题，C符合题意；
D选项：圆内接四边形对角互补（和为180°），原说法错误，属于假命题，D不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查命题与定理的相关知识，重点考查以下内容：A选项无理数的定义，B选项相似三角形的性质，C选项勾股定理逆定理的应用，D选项圆内接四边形的性质。
10．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大；
②方程组的解为；
③方程的解为；
④当时，．
其中结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：由一次函数的图象过一，二，四象限，的值随着值的增大而减小；
故①不符合题意；
由图象可得方程组的解为，
即方程组的解为；
故②符合题意；
由一次函数的图象过 则方程的解为；故③符合题意；
由一次函数的图象过 则当时，．故④不符合题意；
综上：符合题意的有②③，
故答案为：B．
【分析】
本题考查的是一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数的交点坐标可判断②，由一次函数与坐标轴的交点坐标可判断③④，从而可得答案．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．因式分解　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】观察多项式可知，每一项都含有公因数4，于是先提取公因数4，括号内的多项式利用平方差公式分解因式即可求解．
12．在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点，再将点向上平移3个单位，得到点，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于y轴的对称点的坐标为。
将点向上平移3个单位后，得到点的坐标为，即。
故答案为：。
【分析】本题考查了平移的变换和轴对称的变换，掌握坐标变换的规律是做此类题目的关键。
因为关于y轴对称的点坐标特征：纵坐标不变，横坐标取相反数，可得到对称点坐标，再结合平移规律（上加下减）即可求解。
13．如图，已知四边形内接于，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形内接于，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为： ．
【分析】根据圆内接四边形的性质，四边形ABCD内接于⊙O时，对角互补，即。已知，可求得。再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此。综上，答案为。
14．如图，用圆心角为，半径为16的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是　 　．
【答案】4
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算；圆的周长
【解析】【解答】解：∵扇形的弧长，
圆锥的底面半径为．
故答案为：．
【分析】本题考查了扇形弧长的计算以及圆锥底面半径的求解，涉及的知识点包括：扇形弧长公式，圆的周长公式，圆锥侧面展开图与底面周长的关系，解题的关键是理解圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面的周长。首先计算扇形的弧长，再利用公式求出圆锥的底面半径。
15．某校举行了“珍爱生命，预防溺水”为主题的演讲比赛，提高学生的安全意识.演讲者的最终比赛成绩按照演讲内容、现场效果、外在形象三项得分分别占40%，40%，20%的比例折算.已知李明同学的三项原始得分分别是90分，95分，90分，那么李明同学最终比赛成绩为　 　分.
【答案】92
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】根据题意，
故填：92
【分析】根据加权平均数的定义计算。
16．验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，眼镜度数为500度，经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距变为米，此时眼镜的度数为　 　度．
【答案】200
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由图象可知眼镜度数为500度时，镜片焦距为米，
设，
∴在图象上，
，
函数解析式为：，
当时，，
此时眼镜的度数为200度．
故答案为：200．
【分析】
本题考查了反比例函数的实际应用．根据待定系数法求出反比例函数解析式，令时，求的值即可．
17．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，直线与相交于点，连接，若，则的长是　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由题可知，是线段的垂直平分线，如图所示：
设与的交点为，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查了基本作图方法中的尺规作图以及线段垂直平分线的性质。由题可知，直线实际上是线段的垂直平分线，因此可以得到的关系。进一步分析可知，从而推导出最终结论。
18．如图，在正方形中，，分别是边和对角线上的动点，且，当的最小值为时，则正方形的边长为　 　．
【答案】2
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长至点，使得，连接，，设正方形的边长为，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，当点在上时，取得最小值，
∵的最小值为，即：，
∵，
∴，
解得：（负值舍去），
故答案为：2．
【分析】先用a表示出BD，再用a表示出BE，再证，根据全等三角形的性质可得，从而可得，当点在上时，取得最小值，并求出CE，再利用勾股定理列出方程求解即可．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．解不等式组．并写出它的最大整数解．
【答案】解：解不等式
，
，
．
解不等式
，
，
，
，
．
∴不等式组的解集为．
∴在这个范围内，最大整数解是．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及整数解的确定。解题时需掌握以下要点：解不等式组的基本步骤：分别求解每个不等式，再确定解集的公共部分； 不等式组解集的确定原则（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解）；整数解的选取方法：在解集范围内找出符合条件的整数。
20．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
当时，
原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题主要考查分式的化简与求值运算，解题时需要掌握分式的基本运算规则。先对分式进行通分处理，计算括号内的表达式， 将除法运算转换为乘法运算，约分化简表达式，最后代入给定数值进行计算求值。注意：在运算过程中要确保每一步的变形都符合分式的运算规则。
21．为了落实《教育强国建设规划纲要（2024-2035）》，了解学生的课外阅读情况，某校随机抽取了部分学生进行调查，对他们每周的课外阅读时间（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
（1）请补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中的值为_____；组对应的扇形的圆心角度数为_____；
（3）若该校总共有4000名学生，每周的课外阅读时间小于4小时的学生大约有多少人？
【答案】（1）解：由扇形统计图知A组占，A组人数为人，∴抽取学生总数为人．
D组人数为人．
补全统计图如下：
（2）40，；
（3）解：每周课外阅读时间小于4小时的是A、B组，人数和为人．
占抽取总数的比例为．
该校总共有名学生，所以大约有人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：，
∴．
C组对应的扇形圆心角度数为．
故答案为：40，；
【分析】本题综合考查频数分布直方图与扇形统计图的应用，解题关键在于掌握两种统计图的特性及其数据关联（通过部分数据及占比求总量，再利用总量计算其他相关数据）。
（1）根据A组的数据及其在扇形统计图中的百分比，计算抽取的学生总人数。然后用总人数减去其他各组人数，得出D组人数，并据此补全频数分布直方图。
（2）将C组人数除以总人数，得到百分比的值；再用C组的百分比乘以，计算对应的扇形圆心角度数。
（3）先计算A组和B组（阅读时间小于4小时）的人数之和占抽取总人数的比例，然后将该比例乘以全校学生总数，估算符合条件的学生人数。
（1）解：由扇形统计图知A组占，A组人数为人，
∴抽取学生总数为人．
D组人数为人．
补全统计图如下：
．
（2）解：，
∴．
C组对应的扇形圆心角度数为．
故答案为：40，；
（3）解：每周课外阅读时间小于4小时的是A、B组，人数和为人．
占抽取总数的比例为．
该校总共有名学生，所以大约有人．
22．当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表：
销售单价x（元） 20 25 30
销售量y（件） 200 150 100
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该商家每天想获得2160元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？
【答案】（1）解：设商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，
根据题意可得：，
解得：，
故y与x之间的函数关系式为：
（2）解：根据题意可得：，
整理得：，
，
解得：，，
因为 要尽可能地减少库存，
所以，，
所以，销售单价应定为22元．
答：应将销售单价定为22元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由于每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，将值代入函数关系式，即可求出答案．
（2）由题意将利润用含的式子表示出来，求出的值，再从中选取最小值即可．
（1）解：设商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，
根据题意可得：，
解得：，
故y与x之间的函数关系式为：；
（2）解：根据题意可得：，
整理得：，
，
解得：，，
因为 要尽可能地减少库存，
所以，，
所以，销售单价应定为22元．
答：应将销售单价定为22元．
23．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角为，长为3米的真空管的坡度为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．
（1）真空管上端B到水平线的距离．
（2）求安装热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到米）．（参考数据：，，）
【答案】（1）解：过点作交于点，
由题意，得：，
设，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴
∴真空管上端B到水平线的距离为
（2）解：由题意，得：，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴
答：安装热水器的铁架水平横管的长度为
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）过点作交于点，利用坡度的定义可得到BF与AF的比值，设，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，据此可得到BF的长.
（2）易证四边形DCBF是矩形，利用矩形的性质可证得BC=DF，BF=CD，同时可求出DE的长；再利用解直角三角形求出AD的长，即可求出AF的长，然后根据BC=AD-AF，代入计算求出BC的长.
24．如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．
（1）求证：；
（2）若是的切线，，连接，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD， AC与围成阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形内接于，∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①四边形是菱形，理由如下：
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
②∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，，
过点作于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为
【知识点】菱形的判定与性质；圆内接四边形的性质；切线的性质；扇形面积的计算；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）利用圆内接四边形的性质证得，再利用圆周角的性质证得，即可证明；
（2）①利用切线的性质得到，从而证明，再证明，推出，即可证明四边形是菱形；②先计算，再利用扇形的面积公式可求出扇形OCD的面积，即可求得阴影部分的面积．
25．若二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，且其中一个交点的横坐标为另一个交点横坐标的一半，则称这样的二次函数为“半根函数”．
（1）二次函数y＝x2﹣x﹣2是半根函数吗？请说明你的理由．
（2）若y＝（x﹣3）（mx+n）是半根函数，求18m2+15mn+2n2的值．
（3）若二次函数y＝ax2+bx+c是半根函数，且相异两点M（4+t，s），N（5﹣t，s）都在抛物线上，证明当1≤a≤5时，函数y＝ax2+bx+c上的任意一点不在直线y＝﹣3x上．
【答案】（1）解：不是，理由如下：
二次函数y＝x2﹣x﹣2与x轴有两个交点，
令，即，
解得，
，
二次函数y＝x2﹣x﹣2不是半根函数；
（2）解：y＝（x﹣3）（mx+n）是半根函数，
则，
解得，
y＝（x﹣3）（mx+n）是半根函数，
或，
，
，
（3）解：点都在抛物线上，且纵坐标相等，
则抛物线的对称轴为：，
二次函数y＝ax2+bx+c是半根函数，
设，则，
，
解得，
设二次函数的解析式为：，
则，
联立得，
，
整理得，，
，
令，可得，
<1≤a≤5<，
当1≤a≤5时，，即函数y＝ax2+bx+c上的任意一点不在直线y＝﹣3x上
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）先求出的根，根据题中的定义进行判断．（2）根据题意可得m与n的数量关系，将因式分解，然后代入m与n的等式求解．
（3）由点都在抛物线上可得抛物线与x轴两交点横坐标，然后联立方程，根据即可求解．
26．【问题情境】
（1）如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG．
【尝试应用】
（2）如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC的值；
【拓展提升】
（3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N．
①求∠DMC的度数；
②连接AC交DE于点H，直接写出的值．
【答案】（1）证明：方法1，平移线段至交于点，如图1﹣1所示：
由平移的性质得：，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴
（2）解：将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，如图2所示：
∴，
设正方形网格的边长为单位1，
则，，，，，，
由勾股定理可得：，，，
∵
∴，
∴，
∴
（3）解：①平移线段至处，连接，如图3﹣1所示：
则，四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形与四边形都是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
②
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）②如图3﹣2所示：
∵为正方形的对角线，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【分析】（1）利用平移的性质和正方形的性质可推出四边形BFGH是平行四边形，可证得BH=FG；再利用垂直的定义和余角的性质可证得∠BAE=∠CBH，利用ASA可证得△ABE≌△BCH，利用全等三角形的性质可证得AE=BH，据此可证得结论.
（2）将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，如图2所示，可证得，利用勾股定理可求出CF、CD、DF的长，利用勾股定理的逆定理可证得∠FCD=90°，然后利用正切的定义可求出tan∠AQC的值.
（3）①同样平移线段使得点和点重合，可证得四边形DGBC是平行四边形，利用平行四边形的性质和正方形的性质可推出AG=BE，∠DAG=∠GBE，AD=BG，利用SAS可证得，利用全等三角形的性质可证得DG=EG，∠ADG=∠EGB，由此可推出∠EGD=90°，据此可求出∠DMC的度数；②利用正方形的性质可推出△ACD是等腰直角三角形，同时可证得∠DAH=∠CAB，∠AHD=∠ABC，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ADH∽△ACB，利用相似三角形的性质可求出DH与BC的比值.
（1）证明：方法1，平移线段FG至BH交AE于点K，如图1﹣1所示：
由平移的性质得：FG∥BH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，
∴四边形BFGH是平行四边形，
∴BH＝FG，
∵FG⊥AE，
∴BH⊥AE，
∴∠BKE＝90°，
∴∠KBE+∠BEK＝90°，
∵∠BEK+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBH，
在△ABE和△BCH中，
∴△ABE≌△BCH（ASA），
∴AE＝BH，
∴AE＝FG；
方法2：平移线段BC至FH交AE于点K，如图1﹣2所示：
则四边形BCHF是矩形，∠AKF＝∠AEB，
∴FH＝BC，∠FHG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝90°，
∴AB＝FH，∠ABE＝∠FHG，
∵FG⊥AE，
∴∠HFG+∠AKF＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠HFG，
在△ABE和△FHG中，
∴△ABE≌△FHG（ASA），
∴AE＝FG；
（2）解：将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，如图2所示：
∴∠AOC＝∠FDC，
设正方形网格的边长为单位1，
则AC＝2，AF＝1，CE＝2，DE＝4，FG＝3，DG＝4，
由勾股定理可得：CF＝，CD＝，DF＝，
∵
∴CF2+CD2＝DF2，
∴∠FCD＝90°，
∴tan∠AOC＝tan∠FDC＝；
（3）解：①平移线段BC至DG处，连接GE，如图3﹣1所示：
则∠DMC＝∠GDE，四边形DGBC是平行四边形，
∴DC＝GB，
∵四边形ADCP与四边形PBEF都是正方形，
∴DC＝AD＝AP，BP＝BE，∠DAG＝∠GBE＝90°
∴DC＝AD＝AP＝GB，
∴AG＝BP＝BE，
在△AGD和△BEG中，
∴△AGD≌△BEG（SAS），
∴DG＝EG，∠ADG＝∠EGB，
∴∠EGB+∠AGD＝∠ADG+∠AGD＝90°，
∴∠EGD＝90°，
∴∠GDE＝∠GED＝45°，
∴∠DMC＝∠GDE＝45°；
②如图3﹣2所示：
∵AC为正方形ADCP的对角线，
∴AD＝CD，∠DAC＝∠PAC＝∠DMC＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC＝AD，
∵∠HCM＝∠BCA，
∴∠AHD＝∠CHM＝∠ABC，
∴△ADH∽△ACB，
∴
1 / 1湖南省衡阳市祁东县多校联考2024-2025学年九年级下学期4月份期中考试数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．“染色体”是人类“生命之书n中最长也是最后被破解的一章，据报道，第一号染色体中共有个碱基对，用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
3．将直尺和三角板进行如图摆放，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，，平分，且，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队进行了13场比赛，其中负了4场共得19分，那么该队胜了（　　）
A．2场 B．3场 C．4场 D．5场
7．酸溶液和碱溶液混合会发生中和反应，现有4瓶溶液标签缺失，已知其分别为(盐酸)， (硫酸)， (钠碱)， (钾碱)， 若从中任取2瓶混合， 则会发生中和反应的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（　　）
A． B． 且
C． D． 且
9．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．无限小数都是无理数
B．相似三角形的面积比等于相似比
C．三边长分别是1，，3的三角形是直角三角形
D．圆内接四边形对角相等
10．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大；
②方程组的解为；
③方程的解为；
④当时，．
其中结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．因式分解　 　．
12．在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点，再将点向上平移3个单位，得到点，则点的坐标为　 　．
13．如图，已知四边形内接于，，则的度数为　 　．
14．如图，用圆心角为，半径为16的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是　 　．
15．某校举行了“珍爱生命，预防溺水”为主题的演讲比赛，提高学生的安全意识.演讲者的最终比赛成绩按照演讲内容、现场效果、外在形象三项得分分别占40%，40%，20%的比例折算.已知李明同学的三项原始得分分别是90分，95分，90分，那么李明同学最终比赛成绩为　 　分.
16．验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，眼镜度数为500度，经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距变为米，此时眼镜的度数为　 　度．
17．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，直线与相交于点，连接，若，则的长是　 　．
18．如图，在正方形中，，分别是边和对角线上的动点，且，当的最小值为时，则正方形的边长为　 　．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．解不等式组．并写出它的最大整数解．
20．先化简，再求值：，其中．
21．为了落实《教育强国建设规划纲要（2024-2035）》，了解学生的课外阅读情况，某校随机抽取了部分学生进行调查，对他们每周的课外阅读时间（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
（1）请补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中的值为_____；组对应的扇形的圆心角度数为_____；
（3）若该校总共有4000名学生，每周的课外阅读时间小于4小时的学生大约有多少人？
22．当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表：
销售单价x（元） 20 25 30
销售量y（件） 200 150 100
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该商家每天想获得2160元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？
23．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角为，长为3米的真空管的坡度为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．
（1）真空管上端B到水平线的距离．
（2）求安装热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到米）．（参考数据：，，）
24．如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．
（1）求证：；
（2）若是的切线，，连接，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD， AC与围成阴影部分的面积．
25．若二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，且其中一个交点的横坐标为另一个交点横坐标的一半，则称这样的二次函数为“半根函数”．
（1）二次函数y＝x2﹣x﹣2是半根函数吗？请说明你的理由．
（2）若y＝（x﹣3）（mx+n）是半根函数，求18m2+15mn+2n2的值．
（3）若二次函数y＝ax2+bx+c是半根函数，且相异两点M（4+t，s），N（5﹣t，s）都在抛物线上，证明当1≤a≤5时，函数y＝ax2+bx+c上的任意一点不在直线y＝﹣3x上．
26．【问题情境】
（1）如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG．
【尝试应用】
（2）如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC的值；
【拓展提升】
（3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N．
①求∠DMC的度数；
②连接AC交DE于点H，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：、，故A不符合题意；
、，故B不符合题意；
、，故C符合题意；
、与不是同类项，不可以合并，故D不符合题意；
故答案为：．
【分析】利用同底数幂相乘的法则，可对A作出判断；利用完全平方公式可对B作出判断；利用积的乘方法则，可对C作出判断；然后根据只有同类项才能合并，可对D作出判断.
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：D．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．【答案】C
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，，
，
故答案为：C．
【分析】利用已知可求出∠3的度数，再利用两直线平行，内错角相等，可求出∠2的度数.
4．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项不符合题意；
故选：B．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形.
5．【答案】A
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵平分
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】
本题考查平行线的性质与判定，角平分线有关计算，根据得到，即可得到，根据平分得到，结合即可得到答案；
6．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-积分问题
【解析】【解答】解：设该队胜了场，故平了场，
，
解得．
故一共胜了场．
故答案为：D．
【分析】设该队胜了场，根据题意列一元一次方程解答即可．
7．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意可得列表如下：
　
　
　
　
　
共有12种等可能的结果，其中会发生中和反应的结果有8种，
∴会发生中和反应的概率为.
故答案为：D.
【分析】先列表，再求出所有等可能结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式可得出答案．
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即（-2）2-4×k×（-1）＞0，
解得k＞-1且k≠0.
∴k的取值范围为k＞-1且k≠0.
故答案为：B.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此可得k≠0且△＞0，代入求解可得k的范围.
9．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；圆内接四边形的性质；无理数的概念；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】A选项：无限不循环小数才是无理数，原说法错误，属于假命题，A不符合题意；
B选项：相似三角形的面积比等于相似比的平方（注意是平方关系），原说法错误，属于假命题，B不符合题意；
C选项：通过验证可知，边长分别为1、、3的三角形满足勾股定理逆定理，是直角三角形，此选项正确，是真命题，C符合题意；
D选项：圆内接四边形对角互补（和为180°），原说法错误，属于假命题，D不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查命题与定理的相关知识，重点考查以下内容：A选项无理数的定义，B选项相似三角形的性质，C选项勾股定理逆定理的应用，D选项圆内接四边形的性质。
10．【答案】B
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：由一次函数的图象过一，二，四象限，的值随着值的增大而减小；
故①不符合题意；
由图象可得方程组的解为，
即方程组的解为；
故②符合题意；
由一次函数的图象过 则方程的解为；故③符合题意；
由一次函数的图象过 则当时，．故④不符合题意；
综上：符合题意的有②③，
故答案为：B．
【分析】
本题考查的是一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数的交点坐标可判断②，由一次函数与坐标轴的交点坐标可判断③④，从而可得答案．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】观察多项式可知，每一项都含有公因数4，于是先提取公因数4，括号内的多项式利用平方差公式分解因式即可求解．
12．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于y轴的对称点的坐标为。
将点向上平移3个单位后，得到点的坐标为，即。
故答案为：。
【分析】本题考查了平移的变换和轴对称的变换，掌握坐标变换的规律是做此类题目的关键。
因为关于y轴对称的点坐标特征：纵坐标不变，横坐标取相反数，可得到对称点坐标，再结合平移规律（上加下减）即可求解。
13．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形内接于，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为： ．
【分析】根据圆内接四边形的性质，四边形ABCD内接于⊙O时，对角互补，即。已知，可求得。再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此。综上，答案为。
14．【答案】4
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算；圆的周长
【解析】【解答】解：∵扇形的弧长，
圆锥的底面半径为．
故答案为：．
【分析】本题考查了扇形弧长的计算以及圆锥底面半径的求解，涉及的知识点包括：扇形弧长公式，圆的周长公式，圆锥侧面展开图与底面周长的关系，解题的关键是理解圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面的周长。首先计算扇形的弧长，再利用公式求出圆锥的底面半径。
15．【答案】92
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】根据题意，
故填：92
【分析】根据加权平均数的定义计算。
16．【答案】200
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由图象可知眼镜度数为500度时，镜片焦距为米，
设，
∴在图象上，
，
函数解析式为：，
当时，，
此时眼镜的度数为200度．
故答案为：200．
【分析】
本题考查了反比例函数的实际应用．根据待定系数法求出反比例函数解析式，令时，求的值即可．
17．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由题可知，是线段的垂直平分线，如图所示：
设与的交点为，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查了基本作图方法中的尺规作图以及线段垂直平分线的性质。由题可知，直线实际上是线段的垂直平分线，因此可以得到的关系。进一步分析可知，从而推导出最终结论。
18．【答案】2
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长至点，使得，连接，，设正方形的边长为，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，当点在上时，取得最小值，
∵的最小值为，即：，
∵，
∴，
解得：（负值舍去），
故答案为：2．
【分析】先用a表示出BD，再用a表示出BE，再证，根据全等三角形的性质可得，从而可得，当点在上时，取得最小值，并求出CE，再利用勾股定理列出方程求解即可．
19．【答案】解：解不等式
，
，
．
解不等式
，
，
，
，
．
∴不等式组的解集为．
∴在这个范围内，最大整数解是．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及整数解的确定。解题时需掌握以下要点：解不等式组的基本步骤：分别求解每个不等式，再确定解集的公共部分； 不等式组解集的确定原则（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解）；整数解的选取方法：在解集范围内找出符合条件的整数。
20．【答案】解：
当时，
原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题主要考查分式的化简与求值运算，解题时需要掌握分式的基本运算规则。先对分式进行通分处理，计算括号内的表达式， 将除法运算转换为乘法运算，约分化简表达式，最后代入给定数值进行计算求值。注意：在运算过程中要确保每一步的变形都符合分式的运算规则。
21．【答案】（1）解：由扇形统计图知A组占，A组人数为人，∴抽取学生总数为人．
D组人数为人．
补全统计图如下：
（2）40，；
（3）解：每周课外阅读时间小于4小时的是A、B组，人数和为人．
占抽取总数的比例为．
该校总共有名学生，所以大约有人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：，
∴．
C组对应的扇形圆心角度数为．
故答案为：40，；
【分析】本题综合考查频数分布直方图与扇形统计图的应用，解题关键在于掌握两种统计图的特性及其数据关联（通过部分数据及占比求总量，再利用总量计算其他相关数据）。
（1）根据A组的数据及其在扇形统计图中的百分比，计算抽取的学生总人数。然后用总人数减去其他各组人数，得出D组人数，并据此补全频数分布直方图。
（2）将C组人数除以总人数，得到百分比的值；再用C组的百分比乘以，计算对应的扇形圆心角度数。
（3）先计算A组和B组（阅读时间小于4小时）的人数之和占抽取总人数的比例，然后将该比例乘以全校学生总数，估算符合条件的学生人数。
（1）解：由扇形统计图知A组占，A组人数为人，
∴抽取学生总数为人．
D组人数为人．
补全统计图如下：
．
（2）解：，
∴．
C组对应的扇形圆心角度数为．
故答案为：40，；
（3）解：每周课外阅读时间小于4小时的是A、B组，人数和为人．
占抽取总数的比例为．
该校总共有名学生，所以大约有人．
22．【答案】（1）解：设商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，
根据题意可得：，
解得：，
故y与x之间的函数关系式为：
（2）解：根据题意可得：，
整理得：，
，
解得：，，
因为 要尽可能地减少库存，
所以，，
所以，销售单价应定为22元．
答：应将销售单价定为22元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由于每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，将值代入函数关系式，即可求出答案．
（2）由题意将利润用含的式子表示出来，求出的值，再从中选取最小值即可．
（1）解：设商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，
根据题意可得：，
解得：，
故y与x之间的函数关系式为：；
（2）解：根据题意可得：，
整理得：，
，
解得：，，
因为 要尽可能地减少库存，
所以，，
所以，销售单价应定为22元．
答：应将销售单价定为22元．
23．【答案】（1）解：过点作交于点，
由题意，得：，
设，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴
∴真空管上端B到水平线的距离为
（2）解：由题意，得：，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴
答：安装热水器的铁架水平横管的长度为
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）过点作交于点，利用坡度的定义可得到BF与AF的比值，设，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，据此可得到BF的长.
（2）易证四边形DCBF是矩形，利用矩形的性质可证得BC=DF，BF=CD，同时可求出DE的长；再利用解直角三角形求出AD的长，即可求出AF的长，然后根据BC=AD-AF，代入计算求出BC的长.
24．【答案】（1）证明：∵四边形内接于，∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①四边形是菱形，理由如下：
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
②∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，，
过点作于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为
【知识点】菱形的判定与性质；圆内接四边形的性质；切线的性质；扇形面积的计算；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）利用圆内接四边形的性质证得，再利用圆周角的性质证得，即可证明；
（2）①利用切线的性质得到，从而证明，再证明，推出，即可证明四边形是菱形；②先计算，再利用扇形的面积公式可求出扇形OCD的面积，即可求得阴影部分的面积．
25．【答案】（1）解：不是，理由如下：
二次函数y＝x2﹣x﹣2与x轴有两个交点，
令，即，
解得，
，
二次函数y＝x2﹣x﹣2不是半根函数；
（2）解：y＝（x﹣3）（mx+n）是半根函数，
则，
解得，
y＝（x﹣3）（mx+n）是半根函数，
或，
，
，
（3）解：点都在抛物线上，且纵坐标相等，
则抛物线的对称轴为：，
二次函数y＝ax2+bx+c是半根函数，
设，则，
，
解得，
设二次函数的解析式为：，
则，
联立得，
，
整理得，，
，
令，可得，
<1≤a≤5<，
当1≤a≤5时，，即函数y＝ax2+bx+c上的任意一点不在直线y＝﹣3x上
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）先求出的根，根据题中的定义进行判断．（2）根据题意可得m与n的数量关系，将因式分解，然后代入m与n的等式求解．
（3）由点都在抛物线上可得抛物线与x轴两交点横坐标，然后联立方程，根据即可求解．
26．【答案】（1）证明：方法1，平移线段至交于点，如图1﹣1所示：
由平移的性质得：，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴
（2）解：将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，如图2所示：
∴，
设正方形网格的边长为单位1，
则，，，，，，
由勾股定理可得：，，，
∵
∴，
∴，
∴
（3）解：①平移线段至处，连接，如图3﹣1所示：
则，四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形与四边形都是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
②
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）②如图3﹣2所示：
∵为正方形的对角线，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【分析】（1）利用平移的性质和正方形的性质可推出四边形BFGH是平行四边形，可证得BH=FG；再利用垂直的定义和余角的性质可证得∠BAE=∠CBH，利用ASA可证得△ABE≌△BCH，利用全等三角形的性质可证得AE=BH，据此可证得结论.
（2）将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，如图2所示，可证得，利用勾股定理可求出CF、CD、DF的长，利用勾股定理的逆定理可证得∠FCD=90°，然后利用正切的定义可求出tan∠AQC的值.
（3）①同样平移线段使得点和点重合，可证得四边形DGBC是平行四边形，利用平行四边形的性质和正方形的性质可推出AG=BE，∠DAG=∠GBE，AD=BG，利用SAS可证得，利用全等三角形的性质可证得DG=EG，∠ADG=∠EGB，由此可推出∠EGD=90°，据此可求出∠DMC的度数；②利用正方形的性质可推出△ACD是等腰直角三角形，同时可证得∠DAH=∠CAB，∠AHD=∠ABC，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ADH∽△ACB，利用相似三角形的性质可求出DH与BC的比值.
（1）证明：方法1，平移线段FG至BH交AE于点K，如图1﹣1所示：
由平移的性质得：FG∥BH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，
∴四边形BFGH是平行四边形，
∴BH＝FG，
∵FG⊥AE，
∴BH⊥AE，
∴∠BKE＝90°，
∴∠KBE+∠BEK＝90°，
∵∠BEK+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBH，
在△ABE和△BCH中，
∴△ABE≌△BCH（ASA），
∴AE＝BH，
∴AE＝FG；
方法2：平移线段BC至FH交AE于点K，如图1﹣2所示：
则四边形BCHF是矩形，∠AKF＝∠AEB，
∴FH＝BC，∠FHG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝90°，
∴AB＝FH，∠ABE＝∠FHG，
∵FG⊥AE，
∴∠HFG+∠AKF＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠HFG，
在△ABE和△FHG中，
∴△ABE≌△FHG（ASA），
∴AE＝FG；
（2）解：将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，如图2所示：
∴∠AOC＝∠FDC，
设正方形网格的边长为单位1，
则AC＝2，AF＝1，CE＝2，DE＝4，FG＝3，DG＝4，
由勾股定理可得：CF＝，CD＝，DF＝，
∵
∴CF2+CD2＝DF2，
∴∠FCD＝90°，
∴tan∠AOC＝tan∠FDC＝；
（3）解：①平移线段BC至DG处，连接GE，如图3﹣1所示：
则∠DMC＝∠GDE，四边形DGBC是平行四边形，
∴DC＝GB，
∵四边形ADCP与四边形PBEF都是正方形，
∴DC＝AD＝AP，BP＝BE，∠DAG＝∠GBE＝90°
∴DC＝AD＝AP＝GB，
∴AG＝BP＝BE，
在△AGD和△BEG中，
∴△AGD≌△BEG（SAS），
∴DG＝EG，∠ADG＝∠EGB，
∴∠EGB+∠AGD＝∠ADG+∠AGD＝90°，
∴∠EGD＝90°，
∴∠GDE＝∠GED＝45°，
∴∠DMC＝∠GDE＝45°；
②如图3﹣2所示：
∵AC为正方形ADCP的对角线，
∴AD＝CD，∠DAC＝∠PAC＝∠DMC＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC＝AD，
∵∠HCM＝∠BCA，
∴∠AHD＝∠CHM＝∠ABC，
∴△ADH∽△ACB，
∴
1 / 1

展开更多......

收起↑