资源简介

吉林省长春市榆树市第五中学等校2026年中考第三次学情自测
数学试卷
一、单选题
1．把写成省略加号和括号的形式为（ ）
A． B． C． D．
2．如图1，是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，现将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，与线段重合的线段是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，中，，，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．5
5．在 ABCD中，AB＜BC，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，连结CE，若 ABCD的周长为20cm，则△CDE的周长为（　　）
A．20cm B．40cm C．15cm D．10cm
6．如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角为55°，测角仪的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆的高度为x米，则下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，是边的中点．按下列要求作图：
①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；
②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点；
③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；
④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数（k＞0，x＞0）的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点B的坐标为（1，6），⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点A的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（2，3） C．（3， 2） D．（4，）
二、填空题
9．分解因式：_______．
10．苹果的单价为元/千克，香蕉的单价为元/千克，小明买2千克苹果和3千克香蕉共需_____元．
11．将二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的函数解析式为___________．
12．一个三角板含、角和一把直尺摆放位置如图所示，直尺与三角板的一角相交于点A，一边与三角板的两条直角边分别相交于点D、点E，且，点F在直尺的另一边上，那么的大小为_____°.
13．如图，分别以正五边形的顶点A，D为圆心，以长为半径画，．若，则阴影部分图形的周长为____（结果保留π）．

14．如图，四边形是边长为1的正方形，是等边三角形：连接交于点E．给出下列结论：①；②；③；④的面积为．上述结论中正确的序号是______．
三、解答题
15．先化简，再求值：，其中，．
16．一个不透明的口袋中有1个红球、1个黄球、1个蓝球，这些球除颜色不同外其他完全相同，小刚同学从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀；再从口袋中随机摸出一个球记下颜色．用画树状图或列表的方法，求小刚同学摸出的小球为一次红色、一次黄色的概率．
17．为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品．
18．如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形．
(2)若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，求四边形AFCE的面积．
19．如图，在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．

(1)在图①中，画一个直角三角形，使它的两边长是有理数，另外一边长是无理数；
(2)在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
(3)在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
20．某校举行“云端好声音”线上歌唱比赛活动丰富同学们的假期生活．由1至4号的专业评委和5至10号的大众评委进行评分．
例如：A节目演出后各个评委所给分数如下：
评委编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
评分/分 7.2 7.5 7.8 7.5 8.2 9.7 7.9 6.7 8.5 9.4
评分方案如下：
方案一：取各位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为：
方案二：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余八位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为：
回答下列问题：
(1)小乐认为“方案二”比“方案一”更合理，你______（填“同意”或“不同意”）小乐的说法．理由是____________．
(2)小乐认为评分既要突出专业评审的权威性又要尊重大众评审的喜爱度，因此设计了“方案三”：先计算1至4号评委所给分数的平均数，5至10号评委所给分数的平均数，再根据比赛的需求设置相应的权重（表示专业评委的权重，表示大众评委的权重，且）．
如当时，则．
该节目的得分为
Ⅰ．当按照“方案三”中评分时，求A节目的得分；
Ⅱ．关于评分方案，下列说法正确的有______．
①当时，A节目按照“方案三”和“方案一”评分结果相同．
②当时，说明“方案三”评分更注重节目的专业性．
③当时，A节目按照“方案三”评分的结果比“方案一”和“方案二”都高．
21．甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y（千米）与轿车所用的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)货车的速度是______千米/小时；轿车的速度是______千米/小时．
(2)求轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)求货车出发多长时间两车相距90千米．
22．【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容：
我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，所截得的线段存在一定的比例关系：．这就是如下的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（简称“平行线分线段成比例”）
【问题原型】如图①，在矩形中，点为边的中点，过作交边于点，点、分别在矩形的边、上，连结交于点．
求证：．

【结论应用】如图②，在【问题原型】的基础上，点在边上（不与点Q重合），连结PR交EF于点N．
（1）若＝，则线段的长为________；
（2）当点与点重合，点与点重合时，如图③，若＝，且周长的最小值为，则边的长为________．
23．如图，是的直径，，点是的中点，连接、．是的半径（点不与点重合），点关于直线的对称点为点，连接、、．

(1)的长为______．（结果保留）
(2)当点与点重合，且点在上时，求所在的扇形的面积．（结果保留π）
(3)当点在直线右侧，且与的某条直角边平行时，求的长．
(4)当时，直接写出的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交直线于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使，以为边作矩形，设点E的横坐标为．

(1)求抛物线所对应的函数表达式．
(2)当时，求矩形的周长．
(3)当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值．
(4)当抛物线在矩形CDEF内部（不包括边界）的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
参考答案及解析
1．D
解析：解：
故选：D.
2．C
解析：解：∵沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒后，
∴与重合，点M与重合，
∴点与点N对应，
∴与线段重合．
故选：C．
3．B
解析：解：对于选项A，根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
∵，，∴A错误；
对于选项B，根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，
∵，与等式右边相等，∴B正确；
对于选项C，根据积的乘方法则：积的乘方等于各因式乘方的积，
∵，，∴C错误；
对于选项D，根据完全平方公式∵，，∴D错误．
4．B
解析：解：∵，，，
∴，
∵绕点B逆时针旋转得，
∴，，，
∴，
∴，
故选：B．
5．D
解析：∵对角线AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE＝CE，
∵ ABCD的周长为20cm，
∴AD+DC＝10cm，
∴△CDE的周长＝DE+CE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝10cm，
故选：D．
6．B
解析：解：∵在中，，
∴，，，
故选：B．
7．D
解析：解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意；
B．∵，
∴，
∴一定成立，故B不符合题意；
C．∵是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴一定成立，故C不符合题意；
D．不一定成立，故D符合题意．
8．C
解析：试题解析：把B的坐标为（1，6）代入反比例函数解析式得：k=6，
则函数的解析式是：y=，
∵B的坐标为（1，6），⊙B与y轴相切，
∴⊙B的半径是1，
则⊙A是2，
把y=2代入y=得：x=3，
则A的坐标是（3，2）．
故选C．
9．
解析：解：，
故答案为：．
10．
解析：解：由题意可得小明买2千克苹果和3千克香蕉共需元，
故答案为：．
11．
解析：解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
得到的函数解析式为．
故答案为：．
12．15°
解析：∵CD=CE，∴∠CED=45°，
∵DE//AF，
∴∠FAE=∠CED=45°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAF=∠CAB-∠CAF=60°-45°=15°.
故答案为：15°.
13．
解析：解：∵五边形为正五边形，，
∴，，
∴
∴，
故答案为：.
14．①②④
解析：解：∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，故①正确；
同理，
而，
∴，
∴，故②正确；
过点作于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，设
由勾股定理得，，
∵，
∴在中，
由得：，
解得：，
∴，故③错误；
过点P作，垂足为点，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：①②④．
15．，1
解析：解：
，
当，时，原式．
16．
解析：解：画树状图如图，
共有种等可能结果，其中小刚同学摸出的小球为一次红色、一次黄色的结果有2种，
所以一红一黄的概率．
17．甲、乙两个工厂每天分别能加工40件、60件新产品
解析：解：设甲工厂每天能加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，
根据题意得，，
解得x=40．
经检验，x=40是原方程的解，并且符合题意．
1.5x=1.5×40=60．
答：甲、乙两个工厂每天分别能加工40件、60件新产品．
18．(1)证明见解析
(2)S四边形AFCE＝132．
解析：（1）证明：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，AD//BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB，
在△AED和△CFB中
∴△AED≌△CFB（AAS），
∴DE＝BF，
∴OD﹣DE＝OB﹣BF，即OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF＝12cm，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴BF＝＝5cm，BE＝＝16cm，
∴EF＝BE﹣BF＝11cm，
∴S四边形AFCE＝11×12＝132，
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
解析：（1）解：如图①，，，，即为所求；

（2）如图②，，，，即为所求；

（3）如图③，，，，即为所求；

20．(1)同意 平均数易受极端值影响，故方案二更合理
(2)Ⅰ：A节目的得分为7.86；Ⅱ． ②③
解析：（1）解：同意小乐的说法，理由是：评委的评分常带有主观性，去掉最高分和最低分，能降低极端数据对平均数的影响，使评分更具公平性．
（2）解：Ⅰ．∵，，，
∴，
∴，
答：A节目的得分为分．
Ⅱ．答案：解析：逐个判断：
①：时，得分，
方案一得分为，结果不同，①错误；
②：原方案中专业评委共4人，
自然权重为，
若，说明专业评委权重高于默认权重，更突出专业性，②正确；
③：时，得分，
方案一得，方案二得，
，
确实比两个方案得分都高，③正确．
综上所述，正确的说法是②③．
21．(1)；
(2)
(3)货车出发小时或小时后两车相距千米．
解析：（1）解：由函数图象可知货车的速度是千米/小时；轿车的速度是：千米/小时；
故答案为：；；
（2）解：由题意可知：，，，
设直线的解析式为，
，
当时，，
设直线的解析式为，
把，代入得：
，解得，
，
；
（3）解：设货车出发小时后两车相距千米，根据题意得：
或，
解得或．
答：货车出发小时或小时后两车相距千米．
22．[问题原型]见解析；[结论应用]（1）；（2）
解析：[问题原型]证明：∵点为边的中点，
∴，
在矩形中，，
∵，
∴
∴
∴
[结论应用]（1）根据题意可得
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：如图所示，

作点关于的对称点，连接，
∴，
当在上时，取得最小值，
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴是的中点，则
即当顶点是 中点时，三角形的面积取得最小值，
∵根据（1）的结论得出是是的中位线，＝，且周长的最小值为，
∴的周长为，
∴，，
∴，
∴．
23．(1)π
(2)
(3)2或
(4)或
解析：（1）解：∵是的直径，点是的中点，
∴的长为；
（2）解：如图下图所示，

当点与点重合时，则平分，
∵点是的中点，是直径，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当时, 如下图所示，

则，
由翻折，得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴,
∴当时，如下图所示，延长交于点，连接．

由翻折，得．
∵，
∴，且为中点,
∴,
∴
∴是等边三角形,
∴,
∴,
∴，
∴∴，
∴,
∴或;
（4）解：当点D在点C右侧时，如下图所示，

∵，
∴，
∴，
∴点D和点B重合，
∴，
当点D在点C左侧时，如下图所示，连接,设交于点E，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，
∴，,
∴，
∴或．
24．(1)
(2)15
(3)，，
(4)，，
解析：（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，解得．
∴；
（2）解：当时，，，，
∴，，
设直线的解析式为：，
把、代入得，，解得：，
∴直线的解析式为：，
∵当时，，
∴，
∴，，
∴矩形的周长为；
（3）解：当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，点D和点C关于x轴对称，
由（2）可知，直线的解析式为：，
∴，
∵，，
①当时，，
∴，
解得：，（舍去），
②当时，，
∴，
解得，（舍去）；
（4）解：由（3）知，，
，
①当在抛物线上，，如图：
，
解得或（舍去），
由图可知此时满足，在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值随自变量的增大而减小；
②当在抛物线上，，如图：
在中，令得，
，而，
，
解得（舍去）或，
而与重合时：，
解得或，
又，
结合图形可得，或时，在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值随自变量的增大而减小．
综上所述，在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值随自变量的增大而减小，的范围是或或．

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