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湖南省长沙市2025年中考备考数学模拟试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列建筑装饰图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【分析】
本题围绕平面图形的对称性展开，核心考查轴对称图形与中心对称图形定义的理解与应用. 解题时需先明确两类图形的判定规则：轴对称图形要求沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能完全重合；中心对称图形要求绕某一定点旋转180度后，图形能与自身完全重合. 再结合选项中的建筑装饰图案，逐一验证其对称性，筛选出同时满足两种对称要求的图形即可.
2．2024年两会这份数据，振奋人心！中国2023年GDP超126万亿元，同比GDP增量相当于一个中等国家经济总量，连续多年保持世界第二大商品消费市场，世界第一制造业大国，世界第一货物贸易大国地位．把数据126万亿元用科学记数法表示为（　　）
A．元 B．元
C．元 D．元
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据126万亿元用科学记数法表示为元．
故选：D．
【分析】本题以中国GDP数据为背景，考查了科学记数法的表示方法。126万亿即 1.26 元，其中 1a < 10，n 为整数位数减1，故选 D。
3．在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数．如果收入10元记作元，则元表示（　　）
A．支出5元 B．收入5元 C．支出10元 D．收入10元
【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵收入10元记作元，
∴元表示支出5元，
故答案为：A.
【分析】根据正负数的意义、相反意义的量及表示方法求解即可。
4．下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，错误；
B、，正确；
C、，错误；
D、，错误.
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方，对各选项进行计算即可判断.
5．某校书法兴趣小组20名学生日练字页数如下表所示：
日练字页数 2 3 4 5 6
人 数 2 6 5 4 3
这些学生日练字页数的中位数、平均数分别是(　　)
A．3页，4页 B．3页，5页 C．4页，4页 D．4页，5页
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：由题意可得： 这些学生日练字页数的中位数是，
这些学生日练字页数的平均数是，
故答案为：C.
【分析】根据中位数和平均数的定义计算求解即可。
6．坐标平面内，将点向右平移两个单位长度后恰好与点关于原点对称，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：由题意可知点平移后的坐标为，
∵点与点关于原点对称，
∴，
∴，
∴；
故选：D．
【分析】本题以点的平移和关于原点对称为背景，考查了点的坐标变换规律。点 A(a，1) 向右平移两个单位后得 (a+2，1)，该点与 B(-4，b) 关于原点对称，则横纵坐标均互为相反数，得 a+2 = 4，b = -1，解得 a = 2，b = -1，故 a+b = 1。
7．如图，已知函数和的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：把点代入得：，
所以关于x，y的方程组的解是．
故选：A．
【分析】本题以一次函数图象的交点为背景，考查了二元一次方程组与一次函数图象的关系。方程组的解即为直线 y = 2x 与 y = -x + b 的交点坐标。将交点 P(1， a) 代入 y = 2x 得 a = 2，故方程组的解为。
8．如图， ，点，在直线上，点在直线上，，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂线的概念；平行线的性质
【解析】【解答】解：，
，
又
∴，
，
故选：D．
【分析】本题以平行线与垂线结合为背景，考查了平行线的性质（内错角相等）、垂直的定义以及平角的性质。解题的关键在于利用平行线的性质将已知角1转化为与2相关的角（即 3），再结合垂直的定义得到ABC = 90°，最后根据平角为180°列出等式，进而求出 2的度数。
9．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，理在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是（　　）
A．24寸 B．48寸 C． D．56寸
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连结，
设寸，则寸，
，
寸，
，
，
解得，
寸．
故选：C．
【分析】本题以中国古代数学名著《九章算术》中的“圆材埋壁”问题为背景，考查了垂径定理和勾股定理的综合应用。解题的关键在于：首先连接半径OA，构建直角三角形OAE；然后利用垂径定理求出弦AB的一半AE的长度；接着设圆的半径为r，用含r的式子表示出OE的长度；最后在Rt△ OAE中，根据勾股定理列出关于r的方程，求解得到半径，进而求出直径CD的长度。
10．如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为，若菱形的边长为，，那么为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】
解：连接、，与相交于点G，如图，
∵四边形是菱形，
，平分，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
沿折叠与O重合，
，平分，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【分析】本题以菱形的折叠为载体，综合考查菱形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形性质，相似三角形的判定与性质等知识. 解题的关键是利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合折叠的轴对称性推导线段平行，再通过相似三角形的比例关系求解线段长度.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．若一组数据3，，x，，3的众数是3，则这组数据的方差为　 　．
【答案】6
【知识点】方差；众数
【解析】【解答】
解：∵数据3，，x，，3的众数是3∴，
则数据为3，，3，，3
∴这组数据的平均数为：，
∴这组数据的方差为：，
故答案为：6．
【分析】本题围绕统计量的计算展开，核心考查众数、平均数与方差的概念及应用. 解题的关键在于先利用众数的定义确定未知数x的值，再依次计算平均数、方差，严格遵循公式进行运算.
12．在5张一样的卡片上分别写上数，，，，，打乱顺序后，从中随机抽取一张，则抽到的卡片写的是无理数的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式；无理数的概念
【解析】【解答】解：，，都是有理数，
，都是无理数，共2个，
则抽到的卡片写的是无理数的概率是．
故答案为：．
【分析】本题以卡片抽签为背景，考查了无理数的识别以及概率的计算。先化简各数：-= -2 为有理数，为分数，-3.14159 为有限小数，均属有理数；2 和 为无理数，共 2 个，总卡片数为 5，故概率为。
13．分式方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】
解：去分母得，，
解得，
检验：将代入，
∴原方程的解为．
故答案为：．
【分析】本题考查了分式方程的求解，核心是掌握分式方程的解题步骤：去分母化为整式方程，求解、检验，避免出现增根.
14．如图，在圆心角为的扇形中，半径，从C，D为弧的三等分点，连接，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图作于．
点，为的三等分点，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
∴，
，
故答案为：．
【分析】本题以扇形中的等分点为背景，考查了扇形的面积公式、等腰直角三角形的性质以及阴影部分面积的转化与计算。由点 C、D 为弧 AB 的三等分点，得 DOB = 45°，作 DH OB 于 H，则 △ ODH 为等腰直角三角形，由 OD = 2 得 DH =，△DOB 的面积为 2=。扇形 DOB 的面积为，则弓形 DB 的面积为。阴影部分由三个相同的弓形组成，故总面积 =。
15．如图，如果要测量池塘两端A、B的距离，可以在池塘外取一点C，连接、点D、E分别是、的中点，测得的长为12米，则的长为　 　米．
【答案】24
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】点D、E分别是、的中点，
是的中位线，的长为12米，
（米），
的长为24米．
故答案为：24．
【分析】本题考查三角形的中位线.根据点D、E分别是、的中点，利用三角形的中位线定理可得是的中位线，的长为12米，据此可求出线段AB的长度，求出答案.
16．设为正整数，对于一个四位正整数，若千位与百位的数字之和等于，十位与个位的数字之和等于，则称这样的数为“级收缩数”．例如正整数中，因为，，所以是“级收缩数”，其中．最小的“级收缩数”是　 　；若一个“级收缩数”的千位数字与十位数字之积为，且这个数能被整除，则满足条件的数是　 　．
【答案】1303；2432
【知识点】整除的意义；二元一次不定方程
【解析】【解答】解：是“级收缩数”，
．
求最小的“级收缩数”，
千位数字可选数字，
百位数字为．
十位与个位数字的和为，
十位可选最小的数字，
个位数字为．
∴最小的“级收缩数”为：；
设“级收缩数”的千位数字为，十位上的数字为，则百位数字为，个位上的数字为．
∵千位数字与十位数字之积为，
∴(不合题意，舍去)或或或．
∴“级收缩数”为或或．
∵这个数能被整除，上述个数只有是的整数倍，
∴“级收缩数”为：．
故答案为：，．
【分析】本题以新定义“b级收缩数”为背景，考查了有理数的运算、不定方程的整数解以及数的整除特征。解题的关键是紧扣定义：对于“4级收缩数”，根据千位与百位、十位与个位数字和的关系，结合“最小”的要求确定各数位数字；对于“6级收缩数”，设千位、十位数字为未知数，根据数字和、数字积以及整除条件，列出方程并求解，从而确定满足条件的数。
三、解答题（本大题共9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 其中：17－19 每题6分 20－21 每题8分 22－23 每题9分 24－25 每题10分
17．计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；有理数的乘方法则；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】根据有理数的乘方、零指数幂、特殊三角函数值、绝对值进行运算，再合并同类项即可求解。
18．先化简，再求值．，其中，．
【答案】解：
．
当，时，
原式
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】本题考查整式的化简求值，核心是整式的运算与代数式的代入计算. 解题时需先根据去括号法则，正确展开原式中的括号，注意负号的分配；再合并同类项，将整式化为最简形式；最后将给定的a、b的值代入化简后的式子，进行准确的代数计算，得到最终结果，过程中需重点关注符号的处理，避免运算错误.
19．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连接AE、DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF＝EF．
（1）求证：AD＝CE．
（2）若CD＝5，AC＝6，求△AEB的面积．
【答案】（1）证明：∵DF＝EF ∴点F为DE的中点
又∵CF⊥DE
∴CF为DE的中垂线
∴CD＝CE
又∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
CD是斜边AB上的中线
∴CD＝=AD
∴AD＝CE
（2）解：由（1）得CD＝CE==5
∴AB=10
∴在Rt△ABC中，BC==8
∴EB=EC+BC=13
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】本题考查垂直平分线的判定和性质，直角三角形性质，三角形面积公式.（1）首先根据CF⊥DE，DF＝EF，利用中垂线的定义可得：CF为DE的中垂线，再根据垂直平分线的性质得到CD＝CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD＝AD，据此可证明AD＝CE；
（2）由（1）得CD＝CE=AB=5，由勾股定理求出BC，利用线段的运算可求出BE，利用三角形的面积公式进行计算可求出答案．
20．为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“国际象棋”、“音乐舞蹈”和“书法”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团，为此，随机调查了本校部分学生选择社团的意向．并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整）：
选择意向 文学鉴赏 国际象棋 音乐舞蹈 书法 其他
所占百分比
根据统计图表的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的学生有　　人；
（2）统计表中的　　，　　；
（3）选择“国际象棋”的学生有 　　人；
（4）若该校共有名学生，试估计全校选择“音乐舞蹈”社团的学生有 　 人．
【答案】（1）
（2）；
（3）
（4）
【知识点】统计表；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次抽样调查的学生总人数是：（人），故答案为：．
（2），
，
故答案为：；．
（3）“国际象棋”的人数是：（人），
故答案为：．
（4）（人），
估计全校选择“音乐舞蹈”社团的学生有人，
故答案为：．
【分析】本题以学生社团选择意向调查为背景，考查了扇形统计图与统计表的综合应用、百分比的计算以及用样本估计总体的统计思想。
（1）根据“书法”人数20人及对应百分比10%，求出样本总量为200人；
（2）分别用“文学鉴赏”和“音乐舞蹈”的人数除以总人数得到 a = 30%，b = 35%；
（3）用样本总量乘以“国际象棋”的百分比20%得40人；
（4）用全校总人数1500乘以样本中“音乐舞蹈”的百分比35%，估计出525人。
21．如图，D，E为中边上两点，过D作交的延长线于点A，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，∴，，
又∵，
∴
（2）解：∵，∴，
∴，即，
解得，，
∴的长为
【知识点】三角形全等的判定-AAS；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据，得到，，然后利用AAS证明结论解题；
（2）根据平行得到，即可得到，代入数值计算解题．
22．某汽车贸易公司销售A、B两种型号的新能源汽车，A型车进货价格为每台12万元，B型车进货价格为每台15万元，该公司销售2台A型车和5台B型车，可获利3.1万元，销售1台A型车和2台B型车，可获利1.3万元．
（1）求销售一台A型、一台B型新能源汽车的利润各是多少万元？
（2）该公司准备用不超过300万元资金，采购A、B两种新能源汽车共22台，问最少需要采购A型新能源汽车多少台？
【答案】解：（1）设每台A型车的利润为x万元，每台B型车的利润为y万元，
根据题意得，
解得，
答：销售每台A型车的利润为0.3万元，每台B型车的利润为0.5万元；
（2）因为每台A型车的采购价为：12万元，每台B型车的采购价为：15万元，
设最少需要采购A型新能源汽车m台，则需要采购B型新能源汽车(22-m)台，
根据题意得，
解得，
∵m是整数，
∴m的最小整数值为，
即，最少需要采购A型新能源汽车台．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题以汽车贸易公司采购和销售新能源汽车的实际问题为背景，考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用。
（1）根据“销售不同数量的A、B两种车型的获利情况”，找出等量关系，设出未知数，列出二元一次方程组求解；
（2）根据“采购资金不超过300万元”和“采购两种车型共22台”这两个条件，设出采购A型车的数量，列出一元一次不等式，进而求出最少采购A型车的台数。
23．如图，在矩形中，对角线交于点O，分别过点作的平行线交于点E，连接交于点F．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求菱形的周长．
【答案】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
由（1）知：四边形是菱形，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】本题以矩形中的对角线和平行线构造为背景，考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定以及等边三角形的性质与周长计算。
（1）由 CEBD 和 DEAC 得四边形 DECO 为平行四边形，结合矩形对角线互相平分且相等得 OC = OD，故四边形 OCED 为菱形；
（2）由BOC = 120°得 DOC = 60°，结合 OC = OD 得△ OCD 为等边三角形，故 CD = OC = 5，菱形 OCED 的边长为 5，周长为 20。
24．如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，．
（1）求的度数；
（2）如图，是线段上的动点，过点作的平行线，交于点，，连接，，．
①当时，求的长；
②当为何值时．
【答案】（1）解： 连接，如图：
，
，
，
是的切线，
，
，即，
又，
，
；

（2）解： ①连接，如图：
是直径，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
，
，，
，
又，
，
，
；
②过点作于，连接，过作于，如图：
，
，
，
，
，
，
设，
，
，，
，，
，，
在中，，
，
，，
在中，，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：（舍去）或，
．
【知识点】垂径定理；切线的性质；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，利用圆周角定理得到，利用等边对等角得到，再根据三角形的内角和定理解题即可；
（2）①连接，利用正切的定义得到为等腰直角三角形，求出的长，然后利用，得到，求出和的长，再利用解题即可；
②过点作于，连接，过作于，设，根据相似得到，然后根据勾股定理表示出和、长，然后根据，列方程求出x值解题．
（1）连接，如图：
，
，
，
是的切线，
，
，即，
又，
，
；
（2）①连接，如图：
是直径，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
，
，，
，
又，
，
，
；
②过点作于，连接，过作于，如图：
，
，
，
，
，
，
设，
，
，，
，，
，，
在中，，
，
，，
在中，，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：（舍去）或，
．
25． 我们称关于x的二次函数为一次函数和反比例函数的“共同体”函数．一次函数和反比例函数的交点称为二次函数的“共赢点”．
（1）二次函数是哪两个函数的“共同体”函数？并求出它的“共赢点”；
（2）已知二次函数与x轴的交点为M，N，有A，B两个“共赢点”，且，求a的值；
（3）若一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，，其中实数，．令，求L的取值范围．
【答案】（1）解：根据题意，二次函数中，，，，
∴二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，
解方程组得，，
经检验，，都是方程组的解，
∴一次函数与反比例函数图象的交点为，，
即二次函数的“共赢点”是，；
（2）解：∵二次函数与x轴的交点为M，N，
∴令，则，
∴交点M，N的横坐标满足，，
∴，
∵二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，有A，B两个“共赢点”，
∴由得，
∴，
∴A，B两个“共赢点”的横坐标满足，，
纵坐标，，
∴，
，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∵二次函数与x轴有两个交点M，N，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，，，，
∴，
∵一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，，
∴，是方程，即的两个根，
∴，，
∵
，
∵，
∴，
即．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）根据“共赢点”的定义和“共同体”函数结合题意即可求解；
（2）先根据二次函数与一元二次方程的应用得到二次函数与x轴交点坐标横坐标之间的关系，，进而根据根据两点间距离公式得到．再根据二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数结合得到，进而即可得到两个“共赢点”A，B的横坐标满足，，纵坐标满足，，再根据两点间距离公式得到，进而根据即可求解；
（3）先根据，得到，，，，进而得到，从而根据，得到，再根据二次函数的性质结合即可求解。
1 / 1湖南省长沙市2025年中考备考数学模拟试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列建筑装饰图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．2024年两会这份数据，振奋人心！中国2023年GDP超126万亿元，同比GDP增量相当于一个中等国家经济总量，连续多年保持世界第二大商品消费市场，世界第一制造业大国，世界第一货物贸易大国地位．把数据126万亿元用科学记数法表示为（　　）
A．元 B．元
C．元 D．元
3．在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数．如果收入10元记作元，则元表示（　　）
A．支出5元 B．收入5元 C．支出10元 D．收入10元
4．下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．某校书法兴趣小组20名学生日练字页数如下表所示：
日练字页数 2 3 4 5 6
人 数 2 6 5 4 3
这些学生日练字页数的中位数、平均数分别是(　　)
A．3页，4页 B．3页，5页 C．4页，4页 D．4页，5页
6．坐标平面内，将点向右平移两个单位长度后恰好与点关于原点对称，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，已知函数和的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（　　）．
A． B． C． D．
8．如图， ，点，在直线上，点在直线上，，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，理在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是（　　）
A．24寸 B．48寸 C． D．56寸
10．如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为，若菱形的边长为，，那么为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．若一组数据3，，x，，3的众数是3，则这组数据的方差为　 　．
12．在5张一样的卡片上分别写上数，，，，，打乱顺序后，从中随机抽取一张，则抽到的卡片写的是无理数的概率是　 　．
13．分式方程的解为　 　．
14．如图，在圆心角为的扇形中，半径，从C，D为弧的三等分点，连接，则图中阴影部分的面积为　 　．
15．如图，如果要测量池塘两端A、B的距离，可以在池塘外取一点C，连接、点D、E分别是、的中点，测得的长为12米，则的长为　 　米．
16．设为正整数，对于一个四位正整数，若千位与百位的数字之和等于，十位与个位的数字之和等于，则称这样的数为“级收缩数”．例如正整数中，因为，，所以是“级收缩数”，其中．最小的“级收缩数”是　 　；若一个“级收缩数”的千位数字与十位数字之积为，且这个数能被整除，则满足条件的数是　 　．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 其中：17－19 每题6分 20－21 每题8分 22－23 每题9分 24－25 每题10分
17．计算：
18．先化简，再求值．，其中，．
19．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连接AE、DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF＝EF．
（1）求证：AD＝CE．
（2）若CD＝5，AC＝6，求△AEB的面积．
20．为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“国际象棋”、“音乐舞蹈”和“书法”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团，为此，随机调查了本校部分学生选择社团的意向．并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整）：
选择意向 文学鉴赏 国际象棋 音乐舞蹈 书法 其他
所占百分比
根据统计图表的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的学生有　　人；
（2）统计表中的　　，　　；
（3）选择“国际象棋”的学生有 　　人；
（4）若该校共有名学生，试估计全校选择“音乐舞蹈”社团的学生有 　 人．
21．如图，D，E为中边上两点，过D作交的延长线于点A，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
22．某汽车贸易公司销售A、B两种型号的新能源汽车，A型车进货价格为每台12万元，B型车进货价格为每台15万元，该公司销售2台A型车和5台B型车，可获利3.1万元，销售1台A型车和2台B型车，可获利1.3万元．
（1）求销售一台A型、一台B型新能源汽车的利润各是多少万元？
（2）该公司准备用不超过300万元资金，采购A、B两种新能源汽车共22台，问最少需要采购A型新能源汽车多少台？
23．如图，在矩形中，对角线交于点O，分别过点作的平行线交于点E，连接交于点F．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求菱形的周长．
24．如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，．
（1）求的度数；
（2）如图，是线段上的动点，过点作的平行线，交于点，，连接，，．
①当时，求的长；
②当为何值时．
25． 我们称关于x的二次函数为一次函数和反比例函数的“共同体”函数．一次函数和反比例函数的交点称为二次函数的“共赢点”．
（1）二次函数是哪两个函数的“共同体”函数？并求出它的“共赢点”；
（2）已知二次函数与x轴的交点为M，N，有A，B两个“共赢点”，且，求a的值；
（3）若一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，，其中实数，．令，求L的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【分析】
本题围绕平面图形的对称性展开，核心考查轴对称图形与中心对称图形定义的理解与应用. 解题时需先明确两类图形的判定规则：轴对称图形要求沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能完全重合；中心对称图形要求绕某一定点旋转180度后，图形能与自身完全重合. 再结合选项中的建筑装饰图案，逐一验证其对称性，筛选出同时满足两种对称要求的图形即可.
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据126万亿元用科学记数法表示为元．
故选：D．
【分析】本题以中国GDP数据为背景，考查了科学记数法的表示方法。126万亿即 1.26 元，其中 1a < 10，n 为整数位数减1，故选 D。
3．【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵收入10元记作元，
∴元表示支出5元，
故答案为：A.
【分析】根据正负数的意义、相反意义的量及表示方法求解即可。
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，错误；
B、，正确；
C、，错误；
D、，错误.
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方，对各选项进行计算即可判断.
5．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：由题意可得： 这些学生日练字页数的中位数是，
这些学生日练字页数的平均数是，
故答案为：C.
【分析】根据中位数和平均数的定义计算求解即可。
6．【答案】D
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：由题意可知点平移后的坐标为，
∵点与点关于原点对称，
∴，
∴，
∴；
故选：D．
【分析】本题以点的平移和关于原点对称为背景，考查了点的坐标变换规律。点 A(a，1) 向右平移两个单位后得 (a+2，1)，该点与 B(-4，b) 关于原点对称，则横纵坐标均互为相反数，得 a+2 = 4，b = -1，解得 a = 2，b = -1，故 a+b = 1。
7．【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：把点代入得：，
所以关于x，y的方程组的解是．
故选：A．
【分析】本题以一次函数图象的交点为背景，考查了二元一次方程组与一次函数图象的关系。方程组的解即为直线 y = 2x 与 y = -x + b 的交点坐标。将交点 P(1， a) 代入 y = 2x 得 a = 2，故方程组的解为。
8．【答案】D
【知识点】垂线的概念；平行线的性质
【解析】【解答】解：，
，
又
∴，
，
故选：D．
【分析】本题以平行线与垂线结合为背景，考查了平行线的性质（内错角相等）、垂直的定义以及平角的性质。解题的关键在于利用平行线的性质将已知角1转化为与2相关的角（即 3），再结合垂直的定义得到ABC = 90°，最后根据平角为180°列出等式，进而求出 2的度数。
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连结，
设寸，则寸，
，
寸，
，
，
解得，
寸．
故选：C．
【分析】本题以中国古代数学名著《九章算术》中的“圆材埋壁”问题为背景，考查了垂径定理和勾股定理的综合应用。解题的关键在于：首先连接半径OA，构建直角三角形OAE；然后利用垂径定理求出弦AB的一半AE的长度；接着设圆的半径为r，用含r的式子表示出OE的长度；最后在Rt△ OAE中，根据勾股定理列出关于r的方程，求解得到半径，进而求出直径CD的长度。
10．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】
解：连接、，与相交于点G，如图，
∵四边形是菱形，
，平分，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
沿折叠与O重合，
，平分，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【分析】本题以菱形的折叠为载体，综合考查菱形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形性质，相似三角形的判定与性质等知识. 解题的关键是利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合折叠的轴对称性推导线段平行，再通过相似三角形的比例关系求解线段长度.
11．【答案】6
【知识点】方差；众数
【解析】【解答】
解：∵数据3，，x，，3的众数是3∴，
则数据为3，，3，，3
∴这组数据的平均数为：，
∴这组数据的方差为：，
故答案为：6．
【分析】本题围绕统计量的计算展开，核心考查众数、平均数与方差的概念及应用. 解题的关键在于先利用众数的定义确定未知数x的值，再依次计算平均数、方差，严格遵循公式进行运算.
12．【答案】
【知识点】概率公式；无理数的概念
【解析】【解答】解：，，都是有理数，
，都是无理数，共2个，
则抽到的卡片写的是无理数的概率是．
故答案为：．
【分析】本题以卡片抽签为背景，考查了无理数的识别以及概率的计算。先化简各数：-= -2 为有理数，为分数，-3.14159 为有限小数，均属有理数；2 和 为无理数，共 2 个，总卡片数为 5，故概率为。
13．【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】
解：去分母得，，
解得，
检验：将代入，
∴原方程的解为．
故答案为：．
【分析】本题考查了分式方程的求解，核心是掌握分式方程的解题步骤：去分母化为整式方程，求解、检验，避免出现增根.
14．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图作于．
点，为的三等分点，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
∴，
，
故答案为：．
【分析】本题以扇形中的等分点为背景，考查了扇形的面积公式、等腰直角三角形的性质以及阴影部分面积的转化与计算。由点 C、D 为弧 AB 的三等分点，得 DOB = 45°，作 DH OB 于 H，则 △ ODH 为等腰直角三角形，由 OD = 2 得 DH =，△DOB 的面积为 2=。扇形 DOB 的面积为，则弓形 DB 的面积为。阴影部分由三个相同的弓形组成，故总面积 =。
15．【答案】24
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】点D、E分别是、的中点，
是的中位线，的长为12米，
（米），
的长为24米．
故答案为：24．
【分析】本题考查三角形的中位线.根据点D、E分别是、的中点，利用三角形的中位线定理可得是的中位线，的长为12米，据此可求出线段AB的长度，求出答案.
16．【答案】1303；2432
【知识点】整除的意义；二元一次不定方程
【解析】【解答】解：是“级收缩数”，
．
求最小的“级收缩数”，
千位数字可选数字，
百位数字为．
十位与个位数字的和为，
十位可选最小的数字，
个位数字为．
∴最小的“级收缩数”为：；
设“级收缩数”的千位数字为，十位上的数字为，则百位数字为，个位上的数字为．
∵千位数字与十位数字之积为，
∴(不合题意，舍去)或或或．
∴“级收缩数”为或或．
∵这个数能被整除，上述个数只有是的整数倍，
∴“级收缩数”为：．
故答案为：，．
【分析】本题以新定义“b级收缩数”为背景，考查了有理数的运算、不定方程的整数解以及数的整除特征。解题的关键是紧扣定义：对于“4级收缩数”，根据千位与百位、十位与个位数字和的关系，结合“最小”的要求确定各数位数字；对于“6级收缩数”，设千位、十位数字为未知数，根据数字和、数字积以及整除条件，列出方程并求解，从而确定满足条件的数。
17．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；有理数的乘方法则；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】根据有理数的乘方、零指数幂、特殊三角函数值、绝对值进行运算，再合并同类项即可求解。
18．【答案】解：
．
当，时，
原式
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】本题考查整式的化简求值，核心是整式的运算与代数式的代入计算. 解题时需先根据去括号法则，正确展开原式中的括号，注意负号的分配；再合并同类项，将整式化为最简形式；最后将给定的a、b的值代入化简后的式子，进行准确的代数计算，得到最终结果，过程中需重点关注符号的处理，避免运算错误.
19．【答案】（1）证明：∵DF＝EF ∴点F为DE的中点
又∵CF⊥DE
∴CF为DE的中垂线
∴CD＝CE
又∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
CD是斜边AB上的中线
∴CD＝=AD
∴AD＝CE
（2）解：由（1）得CD＝CE==5
∴AB=10
∴在Rt△ABC中，BC==8
∴EB=EC+BC=13
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】本题考查垂直平分线的判定和性质，直角三角形性质，三角形面积公式.（1）首先根据CF⊥DE，DF＝EF，利用中垂线的定义可得：CF为DE的中垂线，再根据垂直平分线的性质得到CD＝CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD＝AD，据此可证明AD＝CE；
（2）由（1）得CD＝CE=AB=5，由勾股定理求出BC，利用线段的运算可求出BE，利用三角形的面积公式进行计算可求出答案．
20．【答案】（1）
（2）；
（3）
（4）
【知识点】统计表；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次抽样调查的学生总人数是：（人），故答案为：．
（2），
，
故答案为：；．
（3）“国际象棋”的人数是：（人），
故答案为：．
（4）（人），
估计全校选择“音乐舞蹈”社团的学生有人，
故答案为：．
【分析】本题以学生社团选择意向调查为背景，考查了扇形统计图与统计表的综合应用、百分比的计算以及用样本估计总体的统计思想。
（1）根据“书法”人数20人及对应百分比10%，求出样本总量为200人；
（2）分别用“文学鉴赏”和“音乐舞蹈”的人数除以总人数得到 a = 30%，b = 35%；
（3）用样本总量乘以“国际象棋”的百分比20%得40人；
（4）用全校总人数1500乘以样本中“音乐舞蹈”的百分比35%，估计出525人。
21．【答案】（1）证明：∵，∴，，
又∵，
∴
（2）解：∵，∴，
∴，即，
解得，，
∴的长为
【知识点】三角形全等的判定-AAS；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据，得到，，然后利用AAS证明结论解题；
（2）根据平行得到，即可得到，代入数值计算解题．
22．【答案】解：（1）设每台A型车的利润为x万元，每台B型车的利润为y万元，
根据题意得，
解得，
答：销售每台A型车的利润为0.3万元，每台B型车的利润为0.5万元；
（2）因为每台A型车的采购价为：12万元，每台B型车的采购价为：15万元，
设最少需要采购A型新能源汽车m台，则需要采购B型新能源汽车(22-m)台，
根据题意得，
解得，
∵m是整数，
∴m的最小整数值为，
即，最少需要采购A型新能源汽车台．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题以汽车贸易公司采购和销售新能源汽车的实际问题为背景，考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用。
（1）根据“销售不同数量的A、B两种车型的获利情况”，找出等量关系，设出未知数，列出二元一次方程组求解；
（2）根据“采购资金不超过300万元”和“采购两种车型共22台”这两个条件，设出采购A型车的数量，列出一元一次不等式，进而求出最少采购A型车的台数。
23．【答案】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
由（1）知：四边形是菱形，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】本题以矩形中的对角线和平行线构造为背景，考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定以及等边三角形的性质与周长计算。
（1）由 CEBD 和 DEAC 得四边形 DECO 为平行四边形，结合矩形对角线互相平分且相等得 OC = OD，故四边形 OCED 为菱形；
（2）由BOC = 120°得 DOC = 60°，结合 OC = OD 得△ OCD 为等边三角形，故 CD = OC = 5，菱形 OCED 的边长为 5，周长为 20。
24．【答案】（1）解： 连接，如图：
，
，
，
是的切线，
，
，即，
又，
，
；

（2）解： ①连接，如图：
是直径，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
，
，，
，
又，
，
，
；
②过点作于，连接，过作于，如图：
，
，
，
，
，
，
设，
，
，，
，，
，，
在中，，
，
，，
在中，，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：（舍去）或，
．
【知识点】垂径定理；切线的性质；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，利用圆周角定理得到，利用等边对等角得到，再根据三角形的内角和定理解题即可；
（2）①连接，利用正切的定义得到为等腰直角三角形，求出的长，然后利用，得到，求出和的长，再利用解题即可；
②过点作于，连接，过作于，设，根据相似得到，然后根据勾股定理表示出和、长，然后根据，列方程求出x值解题．
（1）连接，如图：
，
，
，
是的切线，
，
，即，
又，
，
；
（2）①连接，如图：
是直径，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
，
，，
，
又，
，
，
；
②过点作于，连接，过作于，如图：
，
，
，
，
，
，
设，
，
，，
，，
，，
在中，，
，
，，
在中，，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：（舍去）或，
．
25．【答案】（1）解：根据题意，二次函数中，，，，
∴二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，
解方程组得，，
经检验，，都是方程组的解，
∴一次函数与反比例函数图象的交点为，，
即二次函数的“共赢点”是，；
（2）解：∵二次函数与x轴的交点为M，N，
∴令，则，
∴交点M，N的横坐标满足，，
∴，
∵二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，有A，B两个“共赢点”，
∴由得，
∴，
∴A，B两个“共赢点”的横坐标满足，，
纵坐标，，
∴，
，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∵二次函数与x轴有两个交点M，N，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，，，，
∴，
∵一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，，
∴，是方程，即的两个根，
∴，，
∵
，
∵，
∴，
即．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）根据“共赢点”的定义和“共同体”函数结合题意即可求解；
（2）先根据二次函数与一元二次方程的应用得到二次函数与x轴交点坐标横坐标之间的关系，，进而根据根据两点间距离公式得到．再根据二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数结合得到，进而即可得到两个“共赢点”A，B的横坐标满足，，纵坐标满足，，再根据两点间距离公式得到，进而根据即可求解；
（3）先根据，得到，，，，进而得到，从而根据，得到，再根据二次函数的性质结合即可求解。
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