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2026届成都中考数学一轮基础知识专项训练题7二次函数
A卷（100分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1．当二次函数的解析式为时，的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．抛物线的开口方向、顶点坐标分别是（ ）
A．开口向上，顶点坐标是 B．开口向上，顶点坐标是
C．开口向下，顶点坐标是 D．开口向下，顶点坐标是
3．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大
5．已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 3 0 m 3 …
①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③m的值为0；④图像不经过第三象限；⑤抛物线在y轴右侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
6．已知点A（﹣2，），B（1，）在抛物线y＝3x2+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（　 　）
A．1＜＜ B．＜1＜
C．1＜＜ D．＜1＜
7．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x+（x＞0），则水流喷出的最大高度是（　 　）
A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m
8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（n，0），有下列结论：①abc＜0；②4a+c＞2b；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝n；④．其中正确的有（　 ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．抛物线y＝3x2向下平移两个单位所得的抛物线解析式为　 　 ．
10．已知二次函数的图像与x轴有两个交点，则a的取值范围是 ．
11．若二次函数的顶点在轴上，则的值为 ．
12．将抛物线绕原点旋转后，所得新抛物线的解析式为 ．
13．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（c，0），但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 　 ．（写出一个即可）
三、解答题（14-15每小题9分，16-18每小题10分，共48分）
14．已知二次函数y＝x2+2（a+1）x+3a2-2a+3，a为常数．
（1）若该二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点，求a的取值范围；
（2）若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值；
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx过点（-1，3），且对称轴为直线x＝1，直线y＝kx-k与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当k＝1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x＝2交于点E．若抛物线y＝(x+h)2-1与线段DE有公共点，求h的取值范围；
（3）过点C与AB垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是AB，PQ的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得TC总是平分∠MTN？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点O和点A（3，3a）．
（1）求c的值，并用含a的式子表示b；
（2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N．
①若a＝1，t＝4，求MN的长；
②已知在点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围．
②首先确定MN＝|at2﹣3at|，再分a＞0和a＜0两种情况分析求解即可．
17．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为（3，﹣4）．
（1）求b与c的值．
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积与△ABC的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
18．2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
（1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
（2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
（3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价a（60≤a≤100）元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
B卷（20分）
一、填空题（每小题5分，共10分）
19．如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则 ．
20．二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方，那么的解集是 ．
二、解答题（10分）
21．某游乐园有一个直径16m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3m处达到最高，高度为5m，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32m，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
参考答案
A卷（100分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D C C A B C
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．y＝3x2﹣2 10．且 11．13 12．
13．y＝﹣x2+x+2（答案不唯一）
三、解答题（14-15每小题9分，16-18每小题10分，共48分）
14．（1）解：∵二次函数y＝x2+2（a+1）x+3a2﹣2a+3中，1＞0，
∴二次函数的图象开口向上，
∵二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点，
∴函数的最小值小于2a2，
则，
即2a2﹣4a+2＜2a2，
解得；
（2）解：∵二次函数的图象与x轴有交点，
∴Δ＝4（a+1）2﹣4×1×（3a2﹣2a+3）＝﹣8a2+16a﹣8＝﹣8（a﹣1）2≥0，
∴8（a﹣1）2≤0，
又∵8（a﹣1）2≥0，
∴8（a﹣1）2＝0，
解得a＝1；
（3）证明：∵当x＝0时，，
∴二次函数的图象不经过原点．
15．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1，
∴，
解得，
则该抛物线解析式为：y＝x2﹣2x；
（2）当k＝1时，则y＝x﹣1，
∴当x＝0，y＝﹣1，当x＝2时，y＝1，
∴D（0，﹣1），E（2，1），
∵y＝（x﹣h）2﹣1，
∴顶点坐标在直线y＝﹣1上移动，
∵y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点，
∴联立，
整理，得x2﹣（2h+1）x+h2＝0，
∴当Δ＝（2h+1）2﹣4h2＝0，
即时，满足题意，
将开始向右移动，
直至抛物线与线段DE只有一个交点为E（2，1）时，y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE均有公共点，
∴当y＝（x﹣h）2﹣1过点E（2，1）时，（2﹣h）2﹣1＝1，
解得：，
∴当时，抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点；
（3）存在，
∵y＝kx﹣k，
∴当y＝0时，x＝1，
∴C（1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点C在抛物线的对称轴上，
∵PQ过点C，且与直线AB垂直，
∴直线PQ的解析式为：，即：，
联立，整理，得x2﹣（k+2）x+k＝0，
∴xA+xB＝k+2，，
∵M为AB的中点，
∴M，
联立，
同理可得：N，
作MH⊥CT，NF⊥CT，
∵TC 平分∠MTN，
∴∠NTF＝∠MTH，
∴tan∠NTF＝tan∠MTH，
∴，
设T（1，t），则，
解得：，
∴抛物线的对称轴上存在，使得TC 总是平分∠MTN．
16．解：（1）将点O（0，0）代入，抛物线y＝ax2+bx+c，
可得c＝0，
∴该抛物线解析式为y＝ax2+bx，
将点A（3，3a）代入，抛物线y＝ax2+bx，
可得3a＝9a+3b，解得b＝﹣2a；
（2）①若 a＝1，则该抛物线及直线解析
分别为y＝x2﹣2x，y＝x，
当t＝4时，可有点P（4，0），如下图，
∵PM⊥x轴，
∴xM＝xN＝4，
将x＝4代入y＝x2﹣2x，可得y＝42﹣2×4＝8，即M（4，8），
将x＝4代入y＝x，可得y＝4，即N（4，4），
∴MN＝8﹣4＝4；
②当点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，
∵PM⊥x轴，P（t，0），
∴xM＝xN＝t，
将x＝t代入y＝ax2﹣2ax，
可得y＝at2﹣2at，即M（t，at2﹣2at），
将x＝t代入y＝ax，可得y＝at，即N（t，at），
∴MN＝|at2﹣2at﹣at|＝|at2﹣3at|，
令MN＝0，即at2﹣3at＝0，解得t＝0或t＝3，
若a＞0，可有2a＞0，即点B在y轴右侧，如右图，
当0＜t≤3时，可有MN＝﹣at2+3at，其图象开口向下，对称轴为直线，
若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则，
解得，
当t＞3时，可有MN＝at2﹣3at其图象开口向上，
对称轴为直线，不符合题意；
若a＜0，可有2a＜0，即点B在y轴左侧，如右图，
当t＜0时，可有MN＝﹣at2+3at，其图象开口向上，对称轴为直线，
若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大，
则，解得，
∴a＜0，
综上所述，a的取值范围为．
17．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（3，﹣4），
∴y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+5，
∴b＝﹣6，c＝5；
（2）存在，理由如下：对于抛物线y＝x2﹣6x+5，
当y＝0，x2﹣6x+5＝0，解得：x1＝1，x2＝5，
当x＝0，y＝5，
∴OB＝OC＝5，AB＝5﹣1＝4，
∵∠COB＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
过点B作x轴的垂线，在x轴上方的垂线上截取BD＝BA＝4，
连接AD与BC交于点E，则D（5，4），
∴∠DBC＝90°﹣∠OBC＝45°＝∠OBC，
∴BC⊥AD，ED＝EA，
过点D作BC平行线与抛物线交点即为点P，，
∴S△BCA＝S△BCP，
设直线BC：y＝mx+n，
则，
∴，
∴直线BC：y＝﹣x+5，
∵BC∥PD，
∴设直线PD：y＝﹣x+q，代入D（5，4）得：﹣5+q＝4，
解得：q＝9，
∴直线PD：y＝﹣x+9，与抛物线解析联立得：，
整理得：x2﹣5x﹣4＝0，
解得：或，
∴点P的横坐标为或．
18．解：（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，
由题意得，
解得，
答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
（2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品 （400﹣m）个，
由题意得，40（400﹣m）+20m≤12000，
解得m≥200，
∴m的最小值为200，
答：至少需要购进B款纪念品200个；
（3）由题意得，W＝（a﹣40）[200﹣5（a﹣60）]
＝（a﹣40）（200﹣5a+300）
＝（a﹣40）（500﹣5a）
＝500a﹣20000﹣5a2+200a
＝﹣5（a﹣70）2+4500，
∵﹣5＜0，60≤a≤100，
∴当a﹣70＝0，即a＝70时，W最大，最大值为4500．
B卷（20分）
一、填空题（每小题5分，共10分）
19． 20．
二、解答题（10分）
21.解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为x分钟，则已入场人数为（用x表示）18x，若排队人数为w，则w与x的函数表达式为w＝y﹣18x＝﹣x2+42x+100；
故答案为：18x，w＝﹣x2+42x+100；
（2）w＝﹣x2+42x+100＝﹣（x﹣21）2+541，
∴当x＝21时，Wmax＝541；
答：排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人；
（3）设开了m条通道，
则：w＝y﹣6mx＝﹣x2+60x+100﹣6mx＝﹣x2+6（10﹣m）x+100，
∴对称轴为x＝3（10﹣m），
∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少，
∴0≤3（10﹣m）≤10，即：，
又∵最多开通9条，
∴，
∵m为正整数，
∴m最小值为7，
∴最少开7条通道．

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