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四川省成都市青羊区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题（零诊）
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1．下列四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列各式属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，，是AC的垂直平分线，的周长为，，则的长度为（　　）
A．11 B．12 C．14 D．16
5．如图，在中，，于点，点为中点，与交于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．平行四边形的对角线，相交于点，下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
9．因式分解：　 　．
10．若分式的值为0，则x的值为　 　 .
11．如图，卡槽中有一块三角形铁片，点C、D分别是的中点，若，则该铁片底边的长为　 　．
12．如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集为　 　．
13．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D＝220°，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P的度数为　 　．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（1）解分式方程：；
（2）解不等式组：．
15．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别．
（1）若和关于原点成中心对称，则的坐标为_______．
（2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的．
（3）已知点，请在轴上找一点，使，则点的坐标为_______．（直接写答案）
16．观察下列各式：；；，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除．
（1）的结果是3的　 　倍；
（2）设偶数为，请证明：比大5的数与的平方差能被5整除．
17．如图，在中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的面积．
18．在中，，，，点分别是边上的动点，连接，分别取的中点，解决以下问题：
（1）当平分，为的中点时．
①如图1，求的长度；
②如图2，求的长．
（2）如图3，为的中点，连接，当周长最小时，求的值．
四、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）
19．化简：　 　．
20．关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是　 　．
21．如图，一幅图案在顶点A处由边长相等的1个正方形和2个正n边形镶嵌而成，则n的值为　 　．
22．如图，点、为平面直角坐标系内两点，线段两端点坐标分别为、，若直线与线段有交点，则的取值范围是　 　．
23．如图，在中，的垂直平分线交于点O，D为外一点，，且，连接，则线段长为　 　，线段的最大值为　 　
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．从成都站到重庆北站铁路里程约为320千米．已知高铁平均速度是快车平均速度的1.5倍，乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时．
（1）求高铁的平均速度；
（2）成都市某校共有50名师生前往重庆参加春季研学活动，为了便于管理，所有人必须乘坐同一列高铁，已知高铁单程一等座位票价为280元，二等座位票价为150元，学校预计提供交通补助费单程不超过10100元，请问学校为师生最少购买多少张高铁二等座位的车票．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线经过点，交轴正半轴于点．
（1）点的坐标是_____，直线的函数表达式是_______；
（2）点为直线上一点，当与面积相等时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点在线段上时，作直线，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？如存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
26．在中，，点为直线上的动点（点不与点C、D重合），连接，将射线绕点顺时针旋转与直线交于点．
（1）当点在线段上时，若．
①如图1，求证；
②如图2，连接，若，当是以为底的等腰三角形时，求线段的长；
（2）若，请求出线段的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由图可知，A、B、D可以通过基本图形平移得到，C不能由平移得到，
故选：C．
【分析】根据移的定义“一个图形沿着某一方向移动一定距离，这种变换叫平移”判断解答即可．
2．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，
当时，，
B、C、D不符合题意，A符合题意，
故答案选：A．
【分析】
本题考查了不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．其次， 乘 / 除以负数时，必须改变不等号方向，这是最容易出错的点； 涉及平方、倒数等变形时，一定要考虑正负号和特殊值，不能直接套用大小关系
3．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、，结果不是整式乘积的性质，不属于因式分解，是多项式乘多项式，A不符合题意；
B、，结果不是整式乘积的形式，不属于因式分解，B不符合题意；
C、，属于因式分解，C符合题意；
D、，不属于因式分解，D不符合题意；
故答案选：C．
【分析】 混淆 “整式乘法” 和 “因式分解” 的方向，把 “积→多项式” 的过程误判为因式分解；
忽略 “右边必须是纯乘积形式”，误把带有加减的式子当成因式分解；忘记验证等式是否恒成立，把错误的恒等式当成因式分解。做这类定义判断题，用 “两步法” 快速排除错误选项：① 看方向：是不是 “多项式 → 整式乘积”；② 看形式：右边有没有加减号？等式是否恒成立？这类题常考的干扰项还有：右边有分式（如），不是整式；左边不是多项式（如2x是单项式）；分解不彻底（如a 4 1=(a 2+1)(a 2 1)，没有分解到不能再分解为止
4．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：是的垂直平分线，
，
的周长为22，
，
，
，
，
ACD不符合题意，B项符合题意。
故答案选：B．
【分析】由于DE 是 AC 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以点 D 到 A 和到 C 的距离相等，也就是 AD=CD。题目说△BCD 的周长是 22，BC=10，还有 AB=AC。接下来，把△BCD 的周长拆开：△BCD 的周长 = BD+CD+BC=22。因为 AD=CD，把 CD 换成 AD，式子就变成了 BD+AD+BC=22。由图可知BD +AD =AB，所以式子就简化成了 AB+BC=22。然后代入数值：已知 BC=10，所以 AB=22-10=12。又因为 AB=AC，所以 AC=12。
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵在中，，点E为中点，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
ABC不符合题意，D项符合题意。
故答案选：D．
【分析】根据等腰三角形的三线合一得出∠CBE=∠ABC=20°，由垂直的定义得∠ADB=90°，从而根据直角三角形两锐角互余求出∠BFD的度数.
6．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】 选项 A：∵S□ABCD=4S△AOB 因为四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO。
在△AOB和△BOC中，以AO和CO为底时，底相等，高都是从B向AC作的垂线，高也相等
∴S△AOB =S△BOC 。同理，S△AOB =S△BOC =S△COD =S△AOD ，
∴S□ABCD =4S△AOB ， A 正确。
选项 B：AC=BD对角线相等是矩形的性质，普通的平行四边形对角线长度不一定相等，只有特殊的平行四边形（矩形）才满足，所以这个结论不是所有平行四边形都成立的， B 错误。
选项 C：AC⊥BD对角线互相垂直是菱形的性质，普通的平行四边形对角线不一定垂直，只有特殊的平行四边形（菱形）才满足，所以这个结论也不是所有平行四边形都成立的，C 错误。
选项 D：AB=AD邻边相等是菱形的性质，普通的平行四边形邻边长度不一定相等，只有特殊的平行四边形（菱形）才满足，所以这个结论同样不是所有平行四边形都成立的，D 错误。
故答案选A．
【分析】平行四边形的通用性质：对角线互相平分、对边平行且相等、对角相等。特殊平行四边形的附加性质：
矩形：对角线相等；
菱形：对角线互相垂直、邻边相等；
正方形：同时具备矩形和菱形的所有性质。
本题的易错点就是把特殊平行四边形的性质当成了所有平行四边形都有的性质，导致误选 B、C、D。
面积模型总结：平行四边形的对角线把它分成的 4 个三角形，不仅面积相等，每个三角形的面积都是平行四边形面积的 。
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转的性质：
CA=CA'，∠A=∠CA'B'，∠ACA'=50°，
∵CA=CA'
∴△CAA'是等腰三角形
∴∠CAA'=∠CA'A。由三角形内角和为180°
∴∠CA'A=' = =65°
已知A'B'⊥AC，设A'B'与AC的交点为D，则∠ADC=90°
在△A'DC中，
∠A'CD+∠CA'D=90°
∵∠ACA'=50°
∵∠AA'B'=∠CA'A ∠CA'B'
∴∠AA'B'=65° 40°=25°
ACD不符合题意，B 相符合题意
故答案选：B．
【分析】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，根据旋转的性质，旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，即∠ACA'和∠BCB'，不是∠ACB或其他角，得证；结合，得到，根据，选择即可．
8．【答案】C
【知识点】列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：设购买篮球个，则购买足球个，
根据题意：，
故答案选：C．
【分析】
首先，题目说买篮球和足球一共 50 个，设篮球是 x 个，那足球就是 (50-x) 个，
第一个条件：“购买篮球的数量不少于足球数量的一半”。“不少于” 就是大于等于，所以直接写成 x ≥(50-x)。
第二个条件：“购买资金不超过 3200 元”。“不超过” 就是小于等于。每个篮球 80 元，x 个篮球就是 80x 元；每个足球 50 元，(50-x) 个足球就是 50 (50-x) 元，加起来总花费不超过 3200，也就是 80x + 50 (50-x) ≤ 3200。
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了分解因式，提公因式，完全平方公式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可。
容易出错的点：错误 1：忘记先提公因式，直接用公式分解。比如错误写成ay2 6ay+9a=(ay 3)2，这样既不符合公式结构，也会导致分解错误；错误 2：分解不彻底。比如只提了公因式，写成a(y2 6y+9)，没有继续用完全平方公式分解，这不是最终结果；错误 3：符号错误。比如把(y 3)2写成(y+3)2，忽略了中间项的负号，完全平方公式的中间项符号和括号里的符号是一致的。
10．【答案】﹣1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】∵分式的值为零，
∴x2﹣1=0且x﹣1≠0，
∴x=﹣1．
故答案是﹣1．
【分析】运用分式的值为零的条件作答．
11．【答案】12
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点C、D分别是的中点，，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：12．
【分析】三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段；
三角形中位线的性质：中位线平行于第三边，且长度是第三边的一半（这道题用到的就是长度关系）。
12．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵k>0，
∴也就是y随x的增大而增大；∵点A(5，1)在直线上，当x<5时，直线上的点都在y=1这条水平线的下方，∴对应的y值就小于 1；当x>5时，直线上的点都在y=1这条水平线的上方，对应的y值就大于 1。∴x<5
故答案为：．
【分析】① 把不等式整理成 “一次函数表达式 < 常数” 的形式；② 找到一次函数图象上，函数值等于这个常数的点的横坐标；③ 根据一次函数的增减性（k>0时y随x增大而增大，k<0时y随x增大而减小），判断y大于 / 小于常数时，x的取值范围。
13．【答案】110°．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠A+∠D＝220°，
∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣220°＝140°，
∵PB、PC为角平分线，
∴∠PBC+∠PCB＝×140°＝70°，
∴∠P＝180°﹣70°＝110°．
故答案为110°．
【分析】
根据∠A+∠D＝220°，可得∠ABC+∠BCD＝360°﹣220°=140°，然后根据PB、PC为角平分线，可求出∠PBC+∠PCB的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠P的度数．对于四边形中，两个邻角的平分线相交形成的角，有通用公式：若∠A+∠D=α，则∠P=180° (360° α)=90°+α。本题中α=220°，代入得∠P=90°+×220°=110°
14．【答案】解：（1）方程两边同乘，得，
解得
，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
（2）
解①得：，
解②得：，
∴原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1） 先方程两边都乘 (x 1)，把分母消掉，变成整式方程。然后解整式方程即可；
（2）先分开解两个不等式。第一个先去括号、移项，注意两边除以负数的时候，不等号要反过来，算出 x≥1。第二个先两边同乘 6 消分母，再去括号、移项，同样注意除以负数时不等号变号，算出 x<，进而可解.
15．【答案】（1）
（2）解：如图：即为所求；
（3）
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；作图﹣旋转；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】（1）解：∵和关于原点成中心对称，
∴点的坐标．
（3）
解：设，
∵，，
∴，
∵，即，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为
【分析】（1）在平面直角坐标系中，点(x，y)关于原点O成中心对称的点的坐标为： ( x， y)。
（2）点(x，y)绕原点O逆时针旋转90°后，对应点的坐标为：(-y，x)。
（3）设，根据勾股定理表示出，，根据建立方程求解即可．
（1）解：∵和关于原点成中心对称，
∴点的坐标．
（2）解：如图：即为所求；
（3）解：设，
∵，，
∴，
∵，即，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为
16．【答案】（1）19
（2）证明：
，
能被5整除，
能被5整除，
故：比大5的数与的平方差能被5整除．
【知识点】探索数与式的规律；因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】（1）解：由题意得，故答案为：；
【分析】
（1）展开得 57 是 3 的19倍，利用平方差公式a2 b2=(a+b)(a b)，这里a=8+3，b=8，代入直接可以看出，结果是 3 的 19 倍。
（2）偶数为2n，比它大 5 的数就是2n+5；题目要我们证明的，就是(2n+5)2 (2n)2能被 5 整除。对式子应用平方差公式这里a=2n+5，b=2n，所以原式可以化简为：（4n+5)×5=5(4n+5)我们得到的结果是5(4n+5)，这个式子是 5 和(4n+5)的乘积。因为n是整数，所以4n+5也是整数，因此5(4n+5)一定是 5 的倍数，能被 5 整除。由此证明：比2n大 5 的数与2n的平方差能被 5 整除。
（1）解：由题意得
，
故答案为：；
（2）证明：
，
能被5整除，
能被5整除，
故：比大5的数与的平方差能被5整除．
17．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
点是的中点，
，
，
（），
，
四边形是平行四边形；
（2）解：过作交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积为：
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可得证； 判定平行四边形时，必须同时证明 “平行” 和 “相等”，不能只证其一；
（2）过作交于，由等腰三角形的判定及性质、直角三角形的特征得，，由勾股定理得，，即可求解．
作高BG是关键辅助线，注意区分AG和DG，避免直接把AD当成AG或DG；含30°的直角三角形性质应用时，要注意 “30°角对的直角边是斜边的一半”，不要搞反边的对应关系。
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
点是的中点，
，
，
（），
，
四边形是平行四边形；
（2）解：过作交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积为：
．
18．【答案】（1）①如图，过点D作的垂线，垂足为点，即，
平分，，
，
设，在中，
，，
，
，
，
即，
，
则的长度为；
②如图，由题意得，取中点为，
为的中点，
为的中位线，
且，
是的中点，，
，
则，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
且，
，
，
，，且，
，
在中，，
则的长为；
（2）如图，取的中点为，连接，过点作交于H，
点分别为的中点，，，
是的中位线，点关于的对称点为，
且，，
是的中点，在上运动，
的轨迹是线段，
且，
，，
当三点共线时，最小，
此时恰好为的交点，
是的中点，，
点是的中点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
则当的周长最小时，的值为．

【知识点】角平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）①过点D作的垂线，垂足为点，设，利用勾股定理求出，根据列式求解即可； 问①中，角平分线性质的应用是关键，必须明确 “到两边的距离相等”，再用面积法列方程，避免直接用勾股定理导致计算复杂
②取中点为，利用三角形的中位线性质证得，再利用勾股定理即可求解出的长度； 构造中位线是核心技巧，要注意证明 MG 与 MF 的垂直关系，否则无法用勾股定理；
（2）取的中点为，连接，过点作交于H，利用三角形的中位线性质与对称性可知当三点共线时，最小，再证得，利用相似三角形的性质即可求解．点 G 的轨迹判断是难点，利用对称转化GC=GA，将周长最小值问题转化为 “两点之间线段最短”，再结合相似三角形求解，是这类压轴题的通用思路。
（1）解：①如图，过点D作的垂线，垂足为点，即，
平分，，
，
设，在中，
，，
，
，
，
即，
，
则的长度为；
②如图，由题意得，取中点为，
为的中点，
为的中位线，
且，
是的中点，，
，
则，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
且，
，
，
，，且，
，
在中，，
则的长为；
（2）如图，取的中点为，连接，过点作交于H，
点分别为的中点，，，
是的中位线，点关于的对称点为，
且，，
是的中点，在上运动，
的轨迹是线段，
且，
，，
当三点共线时，最小，
此时恰好为的交点，
是的中点，，
点是的中点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
则当的周长最小时，的值为．
19．【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
；
故答案为：．
【分析】先计算括号内分式的减法，然后把除法化为乘法，然后分解因式约分解答．
20．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于x的一元一次不等式组无解，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】对于 “不等式组无解，求参数范围” 的题目，步骤如下：① 分别解出两个不等式的解集；② 写出 “无解” 的条件（两个解集无公共部分）；③ 列不等式，注意是否需要取等号；④ 解关于参数的不等式，得到取值范围。
口诀：同大取大：两个都是大于号，取较大的那个数作为下限；
同小取小：两个都是小于号，取较小的那个数作为上限；
大小小大中间找：大于小的、小于大的，解集在中间；
大大小小找不到：大于大的、小于小的，没有公共部分，无解。
21．【答案】8
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：由题意得，正n边形的一个内角的度数为，
∴，
解得，
故答案为：8．
【分析】根据平面镶嵌既是在同一顶点处围成360°，即可得到正n边形的一个内角为，根据多边形的内角和定理解答即可．
22．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：因为点Q坐标为，
所以点Q在直线上，
如图所示，
因为点P坐标为，点M坐标为，
所以直线的函数解析式为，
由得，
，
则直线与的交点横坐标为，
因为点P坐标为，点N坐标为，
所以直线的函数解析式为，
由得，
，
所以直线与的交点横坐标为，
所以当直线与线段有交点时，t的取值范围是．
故答案为：．
【分析】
这类 “过定点的直线与线段有交点，求参数范围” 的问题， 先找到线段的两个端点，再分别求出过定点与端点的直线解析式；求出这两条直线与动点轨迹的交点，得到参数的两个边界值；
根据旋转方向，确定参数的取值范围（一般为两个边界值之间的闭区间）。
注意： 直线PQ经过线段MN的端点时，也属于 “有交点” 的情况，因此t的取值范围是闭区间，要包含两个端点；
23．【答案】；
【知识点】平行线的判定与性质；三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：连接，如图
∵的垂直平分线交于点O，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
∴，
在上取一点，使，连接，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴当、、三点共线时最大，
故答案为：．
【分析】
（1）垂直平分线交于点O，得OA=OB=OC；由∠ABC=45 ，推出∠AOC=90 ；在Rt△AOC中，利用勾股定理OA2+OC2=AC2，代入AC=6，2OA2=36，解得OA=3 ，即OB=3 。
（2）在OA上取点E，使OE=BD=1，连接、；由∠ABD+∠ACB=90 ，证得∠ABO=∠ABD，BD∥OA，四边形BDEO为平行四边形，DE=OB=3；在Rt△COE中，勾股定理算出CE= ；根据三角形三边关系，CD≤DE+CE，得CD最大值为3 +
24．【答案】（1）解：设快车的平均速度为x千米/小时，依题意，得，
解得，
∴（千米/小时）．
答：高铁的平均速度为240千米/小时．
（2）解：设学校为师生购买m张高铁二等座位的车票，依题意，得
，
解得，
答：学校为师生最少购买30张高铁二等座位的车票．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设快车的平均速度为x千米/小时，则高铁平均速度为千米/小时，根据“乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时”列方程求解即可；时间=，通过 “时间差” 建立等量关系，是分式方程在实际问题中的典型应用。
（2）设学校为师生购买m张高铁二等座位的车票，根据“学校预计提供交通补助费单程不超过10100元”列不等式求解即可． 设出变量后，用含变量的代数式表示两种车票的数量和总费用，再根据 “不超过” 的限制列不等式求解。
（1）解：设快车的平均速度为x千米/小时，依题意，得
，
解得，
∴（千米/小时）．
答：高铁的平均速度为240千米/小时．
（2）设学校为师生购买m张高铁二等座位的车票，依题意，得
，
解得
，
答：学校为师生最少购买30张高铁二等座位的车票．
25．【答案】（1）；
（2）解：设直线的解析式为，将代入，∴，解得，
∴，
∵与面积相等，
则点到直线的距离等于点到直线的距离，
①当点在线段上时，如图，过点作与平行的直线，与的交点即为点，
则可知直线的解析式为，
当时，
解得，即，
将代入，得，
∴
②当点在延长线上时，如图，设此时为，
结合①知，当时，，
过作轴于点，过作轴于点，
则由知，
，
∴，
则；
综上所述，点坐标为或．
（3）解：由和，同理得直线解析式为，①当为边，为边时，如图1，过点作轴，交于点，
要使四边形为平行四边形，则只需满足，
由知，
将代入到直线∶中，得，
解得，
∴，则，
则由得；
②当为边，为对角线时，如图2，同上，过点作轴，交于点，
由四边形为平行四边形，同样需满足，
则同理，由，得；
③当为对角线，为边时，如图3，过作轴于点，
若四边形为平行四边形，则可证，
∴
∴，，
∴；
综上所述，点坐标为，或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的判定与性质；轴对称的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，，
∴，
将B、C点代入中，得
解得，
∴．
故答案为：；
【分析】
（1）先求点 C 坐标：已知 A (-2，0)，AC=6，C 在 x 轴正半轴，所以从 A 往右数 6 个单位，横坐标就是 - 2+6=4，纵坐标是 0，所以 C (4，0)。再求直线 BC 解析式：已知 B (0，4) 和 C (4，0)，用待定系数法，把两点代入 y=kx+b，算出 k=-1，b=4，所以解析式是 y=-x+4。
（2）先算出△ABO 的面积，然后利用 “同底等高的三角形面积相等” 来做。
第一步，先求直线 AB 的解析式，把 A、B 坐标代进去，得到 y=2x+4。
第二步，△ABG 和△ABO 面积相等，说明点 G 到直线 AB 的距离，等于点 O 到直线 AB 的距离。
分两种情况：① G 在线段 BC 上：过 O 作和 AB 平行的直线（斜率相同），和 BC 的交点就是 G。联立两条直线方程，算出交点坐标（ ，)。
② G 在 CB 延长线上：因为距离相等，所以 G 和 G' 关于 B 对称，算出 G' 的坐标 (-，)。
（3）先求直线 AG 的解析式，把 A (-2，0) 和 G (，) 代进去，得到 y= x +。
然后分三种情况讨论平行四边形：
① BC 为边，CN 为边：过 B 作 x 轴平行线交 AG 于 M，算出 M 的坐标，再根据平行四边形对边相等，BM=CN，算出 N 的坐标 (7，0)。
② BC 为对角线，CN 为边：同样过 B 作 x 轴平行线交 AG 于 M，算出 M 坐标，再根据平行四边形对角线互相平分，算出 N 的坐标 (1，0)。
③ BC 为边，CN 为对角线：过 M 作 x 轴垂线，证明三角形全等，得到 M 的坐标，再算出 N 的坐标 (-11，0)。
最后汇总所有情况，得到 N 的三个坐标。
（1）解：∵，，
∴，，
∴，
将B、C点代入中，得
解得，
∴．
故答案为：；
（2）设直线的解析式为，将代入，
∴，解得，
∴，
∵与面积相等，
则点到直线的距离等于点到直线的距离，
①当点在线段上时，如图，过点作与平行的直线，与的交点即为点，
则可知直线的解析式为，
当时，
解得，即，
将代入，得，
∴
②当点在延长线上时，如图，设此时为，
结合①知，当时，，
过作轴于点，过作轴于点，
则由知，
，
∴，
则；
综上所述，点坐标为或．
（3）由和，同理得直线解析式为，
①当为边，为边时，如图1，过点作轴，交于点，
要使四边形为平行四边形，则只需满足，
由知，
将代入到直线∶中，得，
解得，
∴，则，
则由得；
②当为边，为对角线时，如图2，同上，过点作轴，交于点，
由四边形为平行四边形，同样需满足，
则同理，由，得；
③当为对角线，为边时，如图3，过作轴于点，
若四边形为平行四边形，则可证，
∴
∴，，
∴；
综上所述，点坐标为，或．
26．【答案】（1）解：①过点P作的延长线于点M，作于点N．如图
∴
∵，四边形是平行四边形，，
∴
∴
∴，是等腰直角三角形
∴
∴四边形是矩形，且，
∴四边形是正方形
∴，
∴，
∵
∴，
∴
∴
∴．
②∵
∴
即
或（不合题意，舍去）
∴
设正方形的边长为x，则
∴，，
∵，四边形为平行四边形，
∴
∴
∵是以为底的等腰三角形，
∴
∴
即，
解得，
∴，
∴．
（2）①当点P在的延长线上时，过点A作于点M，延长至点F，使，连接，∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，，
∴
∴
∴
∴，
∵
∴是等边三角形
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∴．
②当点P在线段之间时，过点A作于点M，在上截取点F，使，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴
，
∴，
∴，
∴，
∴
∴．
③当点P在线段的延长线上时，如图
有，
∴，不符合题意，舍去．
综上所述，的长为或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【分析】(1)①因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AB∥CD，∠DAB=∠C=45°。又 AD=BD，所以 △ABD 为等腰三角形，∠ABD=∠DAB=45°。由三角形内角和可得 ∠ADB=90°，即 BD⊥AD。由两直线平行内错角相等，得 ∠MDP=45°。过点 P 作 PM 垂直 AD 的延长线，作 PN⊥DE。可证 △DMP 是等腰直角三角形，DM=PM。结合垂直关系，四边形 DMPN 四个角都是直角，是矩形，又邻边相等，因此该矩形为正方形，得 PM=PN，∠MPN=90°。由题意旋转角 ∠APE=90°，通过同角的余角相等，推出 ∠APM=∠EPN。再结合两组直角相等、直角边相等，可证 △AMP 与 △ENP 全等。根据全等三角形对应边相等，即可得出 PA=PE。
②在直角三角形 ABD 中，AD=BD，AB=2，利用勾股定理可求出 AD 与 BD 的长度。设正方形 DMPN 的边长为 x，用含 x 的式子表示出 AM、PD、PC 各条线段。由全等性质可知 NE=AM，统一用未知数表示相关线段。因为 △PEC 以 CE 为底，所以两腰 PE=PC。在 Rt△PNE 中，依据勾股定理列出等式，展开并化简方程，求出未知数的值。将数值代入，依次求出 NE、DE 的长度，后根据线段之差，用 DE 减去 BD，即可求出 BE 的长度。
（2）由平行四边形性质及 AD=BD，可得 △ABD 为等边三角形。过点 A 作 AM 垂直 CD，构造直角三角形，利用特殊角边长关系，求出 DM 与 AM。再在直角三角形 APM 中，由勾股定理算出 PM 的长。当点 P 在线段 CD 上或 CD 延长线上时，分别求出 PD 的长度。借助 60° 角构造等边三角形，得到相等的边与角，结合旋转角进行角度等量代换，证明两组三角形全等，转化对应线段长度。利用线段的和差关系，分别求出两种情况下 DE 的长，进而算出 BE。当点 P 在 DC 延长线上时，线段长度相互矛盾，不符合题意，直接舍去。综上整合有效情况，得出 BE 的两个结果。
（1）解：①过点P作的延长线于点M，作于点N．如图
∴
∵，四边形是平行四边形，，
∴
∴
∴，是等腰直角三角形
∴
∴四边形是矩形，且，
∴四边形是正方形
∴，
∴，
∵
∴，
∴
∴
∴．
②∵
∴
即
或（不合题意，舍去）
∴
设正方形的边长为x，则
∴，，
∵，四边形为平行四边形，
∴
∴
∵是以为底的等腰三角形，
∴
∴
即，
解得，
∴，
∴．
（2）①当点P在的延长线上时，过点A作于点M，延长至点F，使，连接，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，，
∴
∴
∴
∴，
∵
∴是等边三角形
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∴．
②当点P在线段之间时，过点A作于点M，在上截取点F，使，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴
，
∴，
∴，
∴，
∴
∴．
③当点P在线段的延长线上时，如图
有，
∴，不符合题意，舍去．
综上所述，的长为或．
1 / 1四川省成都市青羊区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题（零诊）
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1．下列四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由图可知，A、B、D可以通过基本图形平移得到，C不能由平移得到，
故选：C．
【分析】根据移的定义“一个图形沿着某一方向移动一定距离，这种变换叫平移”判断解答即可．
2．若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，
当时，，
B、C、D不符合题意，A符合题意，
故答案选：A．
【分析】
本题考查了不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．其次， 乘 / 除以负数时，必须改变不等号方向，这是最容易出错的点； 涉及平方、倒数等变形时，一定要考虑正负号和特殊值，不能直接套用大小关系
3．下列各式属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、，结果不是整式乘积的性质，不属于因式分解，是多项式乘多项式，A不符合题意；
B、，结果不是整式乘积的形式，不属于因式分解，B不符合题意；
C、，属于因式分解，C符合题意；
D、，不属于因式分解，D不符合题意；
故答案选：C．
【分析】 混淆 “整式乘法” 和 “因式分解” 的方向，把 “积→多项式” 的过程误判为因式分解；
忽略 “右边必须是纯乘积形式”，误把带有加减的式子当成因式分解；忘记验证等式是否恒成立，把错误的恒等式当成因式分解。做这类定义判断题，用 “两步法” 快速排除错误选项：① 看方向：是不是 “多项式 → 整式乘积”；② 看形式：右边有没有加减号？等式是否恒成立？这类题常考的干扰项还有：右边有分式（如），不是整式；左边不是多项式（如2x是单项式）；分解不彻底（如a 4 1=(a 2+1)(a 2 1)，没有分解到不能再分解为止
4．如图，在中，，是AC的垂直平分线，的周长为，，则的长度为（　　）
A．11 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：是的垂直平分线，
，
的周长为22，
，
，
，
，
ACD不符合题意，B项符合题意。
故答案选：B．
【分析】由于DE 是 AC 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以点 D 到 A 和到 C 的距离相等，也就是 AD=CD。题目说△BCD 的周长是 22，BC=10，还有 AB=AC。接下来，把△BCD 的周长拆开：△BCD 的周长 = BD+CD+BC=22。因为 AD=CD，把 CD 换成 AD，式子就变成了 BD+AD+BC=22。由图可知BD +AD =AB，所以式子就简化成了 AB+BC=22。然后代入数值：已知 BC=10，所以 AB=22-10=12。又因为 AB=AC，所以 AC=12。
5．如图，在中，，于点，点为中点，与交于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵在中，，点E为中点，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
ABC不符合题意，D项符合题意。
故答案选：D．
【分析】根据等腰三角形的三线合一得出∠CBE=∠ABC=20°，由垂直的定义得∠ADB=90°，从而根据直角三角形两锐角互余求出∠BFD的度数.
6．平行四边形的对角线，相交于点，下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】 选项 A：∵S□ABCD=4S△AOB 因为四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO。
在△AOB和△BOC中，以AO和CO为底时，底相等，高都是从B向AC作的垂线，高也相等
∴S△AOB =S△BOC 。同理，S△AOB =S△BOC =S△COD =S△AOD ，
∴S□ABCD =4S△AOB ， A 正确。
选项 B：AC=BD对角线相等是矩形的性质，普通的平行四边形对角线长度不一定相等，只有特殊的平行四边形（矩形）才满足，所以这个结论不是所有平行四边形都成立的， B 错误。
选项 C：AC⊥BD对角线互相垂直是菱形的性质，普通的平行四边形对角线不一定垂直，只有特殊的平行四边形（菱形）才满足，所以这个结论也不是所有平行四边形都成立的，C 错误。
选项 D：AB=AD邻边相等是菱形的性质，普通的平行四边形邻边长度不一定相等，只有特殊的平行四边形（菱形）才满足，所以这个结论同样不是所有平行四边形都成立的，D 错误。
故答案选A．
【分析】平行四边形的通用性质：对角线互相平分、对边平行且相等、对角相等。特殊平行四边形的附加性质：
矩形：对角线相等；
菱形：对角线互相垂直、邻边相等；
正方形：同时具备矩形和菱形的所有性质。
本题的易错点就是把特殊平行四边形的性质当成了所有平行四边形都有的性质，导致误选 B、C、D。
面积模型总结：平行四边形的对角线把它分成的 4 个三角形，不仅面积相等，每个三角形的面积都是平行四边形面积的 。
7．如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转的性质：
CA=CA'，∠A=∠CA'B'，∠ACA'=50°，
∵CA=CA'
∴△CAA'是等腰三角形
∴∠CAA'=∠CA'A。由三角形内角和为180°
∴∠CA'A=' = =65°
已知A'B'⊥AC，设A'B'与AC的交点为D，则∠ADC=90°
在△A'DC中，
∠A'CD+∠CA'D=90°
∵∠ACA'=50°
∵∠AA'B'=∠CA'A ∠CA'B'
∴∠AA'B'=65° 40°=25°
ACD不符合题意，B 相符合题意
故答案选：B．
【分析】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，根据旋转的性质，旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，即∠ACA'和∠BCB'，不是∠ACB或其他角，得证；结合，得到，根据，选择即可．
8．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：设购买篮球个，则购买足球个，
根据题意：，
故答案选：C．
【分析】
首先，题目说买篮球和足球一共 50 个，设篮球是 x 个，那足球就是 (50-x) 个，
第一个条件：“购买篮球的数量不少于足球数量的一半”。“不少于” 就是大于等于，所以直接写成 x ≥(50-x)。
第二个条件：“购买资金不超过 3200 元”。“不超过” 就是小于等于。每个篮球 80 元，x 个篮球就是 80x 元；每个足球 50 元，(50-x) 个足球就是 50 (50-x) 元，加起来总花费不超过 3200，也就是 80x + 50 (50-x) ≤ 3200。
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
9．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了分解因式，提公因式，完全平方公式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可。
容易出错的点：错误 1：忘记先提公因式，直接用公式分解。比如错误写成ay2 6ay+9a=(ay 3)2，这样既不符合公式结构，也会导致分解错误；错误 2：分解不彻底。比如只提了公因式，写成a(y2 6y+9)，没有继续用完全平方公式分解，这不是最终结果；错误 3：符号错误。比如把(y 3)2写成(y+3)2，忽略了中间项的负号，完全平方公式的中间项符号和括号里的符号是一致的。
10．若分式的值为0，则x的值为　 　 .
【答案】﹣1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】∵分式的值为零，
∴x2﹣1=0且x﹣1≠0，
∴x=﹣1．
故答案是﹣1．
【分析】运用分式的值为零的条件作答．
11．如图，卡槽中有一块三角形铁片，点C、D分别是的中点，若，则该铁片底边的长为　 　．
【答案】12
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点C、D分别是的中点，，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：12．
【分析】三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段；
三角形中位线的性质：中位线平行于第三边，且长度是第三边的一半（这道题用到的就是长度关系）。
12．如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵k>0，
∴也就是y随x的增大而增大；∵点A(5，1)在直线上，当x<5时，直线上的点都在y=1这条水平线的下方，∴对应的y值就小于 1；当x>5时，直线上的点都在y=1这条水平线的上方，对应的y值就大于 1。∴x<5
故答案为：．
【分析】① 把不等式整理成 “一次函数表达式 < 常数” 的形式；② 找到一次函数图象上，函数值等于这个常数的点的横坐标；③ 根据一次函数的增减性（k>0时y随x增大而增大，k<0时y随x增大而减小），判断y大于 / 小于常数时，x的取值范围。
13．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D＝220°，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P的度数为　 　．
【答案】110°．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠A+∠D＝220°，
∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣220°＝140°，
∵PB、PC为角平分线，
∴∠PBC+∠PCB＝×140°＝70°，
∴∠P＝180°﹣70°＝110°．
故答案为110°．
【分析】
根据∠A+∠D＝220°，可得∠ABC+∠BCD＝360°﹣220°=140°，然后根据PB、PC为角平分线，可求出∠PBC+∠PCB的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠P的度数．对于四边形中，两个邻角的平分线相交形成的角，有通用公式：若∠A+∠D=α，则∠P=180° (360° α)=90°+α。本题中α=220°，代入得∠P=90°+×220°=110°
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（1）解分式方程：；
（2）解不等式组：．
【答案】解：（1）方程两边同乘，得，
解得
，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
（2）
解①得：，
解②得：，
∴原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1） 先方程两边都乘 (x 1)，把分母消掉，变成整式方程。然后解整式方程即可；
（2）先分开解两个不等式。第一个先去括号、移项，注意两边除以负数的时候，不等号要反过来，算出 x≥1。第二个先两边同乘 6 消分母，再去括号、移项，同样注意除以负数时不等号变号，算出 x<，进而可解.
15．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别．
（1）若和关于原点成中心对称，则的坐标为_______．
（2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的．
（3）已知点，请在轴上找一点，使，则点的坐标为_______．（直接写答案）
【答案】（1）
（2）解：如图：即为所求；
（3）
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；作图﹣旋转；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】（1）解：∵和关于原点成中心对称，
∴点的坐标．
（3）
解：设，
∵，，
∴，
∵，即，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为
【分析】（1）在平面直角坐标系中，点(x，y)关于原点O成中心对称的点的坐标为： ( x， y)。
（2）点(x，y)绕原点O逆时针旋转90°后，对应点的坐标为：(-y，x)。
（3）设，根据勾股定理表示出，，根据建立方程求解即可．
（1）解：∵和关于原点成中心对称，
∴点的坐标．
（2）解：如图：即为所求；
（3）解：设，
∵，，
∴，
∵，即，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为
16．观察下列各式：；；，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除．
（1）的结果是3的　 　倍；
（2）设偶数为，请证明：比大5的数与的平方差能被5整除．
【答案】（1）19
（2）证明：
，
能被5整除，
能被5整除，
故：比大5的数与的平方差能被5整除．
【知识点】探索数与式的规律；因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】（1）解：由题意得，故答案为：；
【分析】
（1）展开得 57 是 3 的19倍，利用平方差公式a2 b2=(a+b)(a b)，这里a=8+3，b=8，代入直接可以看出，结果是 3 的 19 倍。
（2）偶数为2n，比它大 5 的数就是2n+5；题目要我们证明的，就是(2n+5)2 (2n)2能被 5 整除。对式子应用平方差公式这里a=2n+5，b=2n，所以原式可以化简为：（4n+5)×5=5(4n+5)我们得到的结果是5(4n+5)，这个式子是 5 和(4n+5)的乘积。因为n是整数，所以4n+5也是整数，因此5(4n+5)一定是 5 的倍数，能被 5 整除。由此证明：比2n大 5 的数与2n的平方差能被 5 整除。
（1）解：由题意得
，
故答案为：；
（2）证明：
，
能被5整除，
能被5整除，
故：比大5的数与的平方差能被5整除．
17．如图，在中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
点是的中点，
，
，
（），
，
四边形是平行四边形；
（2）解：过作交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积为：
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可得证； 判定平行四边形时，必须同时证明 “平行” 和 “相等”，不能只证其一；
（2）过作交于，由等腰三角形的判定及性质、直角三角形的特征得，，由勾股定理得，，即可求解．
作高BG是关键辅助线，注意区分AG和DG，避免直接把AD当成AG或DG；含30°的直角三角形性质应用时，要注意 “30°角对的直角边是斜边的一半”，不要搞反边的对应关系。
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
点是的中点，
，
，
（），
，
四边形是平行四边形；
（2）解：过作交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积为：
．
18．在中，，，，点分别是边上的动点，连接，分别取的中点，解决以下问题：
（1）当平分，为的中点时．
①如图1，求的长度；
②如图2，求的长．
（2）如图3，为的中点，连接，当周长最小时，求的值．
【答案】（1）①如图，过点D作的垂线，垂足为点，即，
平分，，
，
设，在中，
，，
，
，
，
即，
，
则的长度为；
②如图，由题意得，取中点为，
为的中点，
为的中位线，
且，
是的中点，，
，
则，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
且，
，
，
，，且，
，
在中，，
则的长为；
（2）如图，取的中点为，连接，过点作交于H，
点分别为的中点，，，
是的中位线，点关于的对称点为，
且，，
是的中点，在上运动，
的轨迹是线段，
且，
，，
当三点共线时，最小，
此时恰好为的交点，
是的中点，，
点是的中点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
则当的周长最小时，的值为．

【知识点】角平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）①过点D作的垂线，垂足为点，设，利用勾股定理求出，根据列式求解即可； 问①中，角平分线性质的应用是关键，必须明确 “到两边的距离相等”，再用面积法列方程，避免直接用勾股定理导致计算复杂
②取中点为，利用三角形的中位线性质证得，再利用勾股定理即可求解出的长度； 构造中位线是核心技巧，要注意证明 MG 与 MF 的垂直关系，否则无法用勾股定理；
（2）取的中点为，连接，过点作交于H，利用三角形的中位线性质与对称性可知当三点共线时，最小，再证得，利用相似三角形的性质即可求解．点 G 的轨迹判断是难点，利用对称转化GC=GA，将周长最小值问题转化为 “两点之间线段最短”，再结合相似三角形求解，是这类压轴题的通用思路。
（1）解：①如图，过点D作的垂线，垂足为点，即，
平分，，
，
设，在中，
，，
，
，
，
即，
，
则的长度为；
②如图，由题意得，取中点为，
为的中点，
为的中位线，
且，
是的中点，，
，
则，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
且，
，
，
，，且，
，
在中，，
则的长为；
（2）如图，取的中点为，连接，过点作交于H，
点分别为的中点，，，
是的中位线，点关于的对称点为，
且，，
是的中点，在上运动，
的轨迹是线段，
且，
，，
当三点共线时，最小，
此时恰好为的交点，
是的中点，，
点是的中点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
则当的周长最小时，的值为．
四、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）
19．化简：　 　．
【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
；
故答案为：．
【分析】先计算括号内分式的减法，然后把除法化为乘法，然后分解因式约分解答．
20．关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于x的一元一次不等式组无解，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】对于 “不等式组无解，求参数范围” 的题目，步骤如下：① 分别解出两个不等式的解集；② 写出 “无解” 的条件（两个解集无公共部分）；③ 列不等式，注意是否需要取等号；④ 解关于参数的不等式，得到取值范围。
口诀：同大取大：两个都是大于号，取较大的那个数作为下限；
同小取小：两个都是小于号，取较小的那个数作为上限；
大小小大中间找：大于小的、小于大的，解集在中间；
大大小小找不到：大于大的、小于小的，没有公共部分，无解。
21．如图，一幅图案在顶点A处由边长相等的1个正方形和2个正n边形镶嵌而成，则n的值为　 　．
【答案】8
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：由题意得，正n边形的一个内角的度数为，
∴，
解得，
故答案为：8．
【分析】根据平面镶嵌既是在同一顶点处围成360°，即可得到正n边形的一个内角为，根据多边形的内角和定理解答即可．
22．如图，点、为平面直角坐标系内两点，线段两端点坐标分别为、，若直线与线段有交点，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：因为点Q坐标为，
所以点Q在直线上，
如图所示，
因为点P坐标为，点M坐标为，
所以直线的函数解析式为，
由得，
，
则直线与的交点横坐标为，
因为点P坐标为，点N坐标为，
所以直线的函数解析式为，
由得，
，
所以直线与的交点横坐标为，
所以当直线与线段有交点时，t的取值范围是．
故答案为：．
【分析】
这类 “过定点的直线与线段有交点，求参数范围” 的问题， 先找到线段的两个端点，再分别求出过定点与端点的直线解析式；求出这两条直线与动点轨迹的交点，得到参数的两个边界值；
根据旋转方向，确定参数的取值范围（一般为两个边界值之间的闭区间）。
注意： 直线PQ经过线段MN的端点时，也属于 “有交点” 的情况，因此t的取值范围是闭区间，要包含两个端点；
23．如图，在中，的垂直平分线交于点O，D为外一点，，且，连接，则线段长为　 　，线段的最大值为　 　
【答案】；
【知识点】平行线的判定与性质；三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：连接，如图
∵的垂直平分线交于点O，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
∴，
在上取一点，使，连接，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴当、、三点共线时最大，
故答案为：．
【分析】
（1）垂直平分线交于点O，得OA=OB=OC；由∠ABC=45 ，推出∠AOC=90 ；在Rt△AOC中，利用勾股定理OA2+OC2=AC2，代入AC=6，2OA2=36，解得OA=3 ，即OB=3 。
（2）在OA上取点E，使OE=BD=1，连接、；由∠ABD+∠ACB=90 ，证得∠ABO=∠ABD，BD∥OA，四边形BDEO为平行四边形，DE=OB=3；在Rt△COE中，勾股定理算出CE= ；根据三角形三边关系，CD≤DE+CE，得CD最大值为3 +
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．从成都站到重庆北站铁路里程约为320千米．已知高铁平均速度是快车平均速度的1.5倍，乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时．
（1）求高铁的平均速度；
（2）成都市某校共有50名师生前往重庆参加春季研学活动，为了便于管理，所有人必须乘坐同一列高铁，已知高铁单程一等座位票价为280元，二等座位票价为150元，学校预计提供交通补助费单程不超过10100元，请问学校为师生最少购买多少张高铁二等座位的车票．
【答案】（1）解：设快车的平均速度为x千米/小时，依题意，得，
解得，
∴（千米/小时）．
答：高铁的平均速度为240千米/小时．
（2）解：设学校为师生购买m张高铁二等座位的车票，依题意，得
，
解得，
答：学校为师生最少购买30张高铁二等座位的车票．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设快车的平均速度为x千米/小时，则高铁平均速度为千米/小时，根据“乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时”列方程求解即可；时间=，通过 “时间差” 建立等量关系，是分式方程在实际问题中的典型应用。
（2）设学校为师生购买m张高铁二等座位的车票，根据“学校预计提供交通补助费单程不超过10100元”列不等式求解即可． 设出变量后，用含变量的代数式表示两种车票的数量和总费用，再根据 “不超过” 的限制列不等式求解。
（1）解：设快车的平均速度为x千米/小时，依题意，得
，
解得，
∴（千米/小时）．
答：高铁的平均速度为240千米/小时．
（2）设学校为师生购买m张高铁二等座位的车票，依题意，得
，
解得
，
答：学校为师生最少购买30张高铁二等座位的车票．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线经过点，交轴正半轴于点．
（1）点的坐标是_____，直线的函数表达式是_______；
（2）点为直线上一点，当与面积相等时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点在线段上时，作直线，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？如存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：设直线的解析式为，将代入，∴，解得，
∴，
∵与面积相等，
则点到直线的距离等于点到直线的距离，
①当点在线段上时，如图，过点作与平行的直线，与的交点即为点，
则可知直线的解析式为，
当时，
解得，即，
将代入，得，
∴
②当点在延长线上时，如图，设此时为，
结合①知，当时，，
过作轴于点，过作轴于点，
则由知，
，
∴，
则；
综上所述，点坐标为或．
（3）解：由和，同理得直线解析式为，①当为边，为边时，如图1，过点作轴，交于点，
要使四边形为平行四边形，则只需满足，
由知，
将代入到直线∶中，得，
解得，
∴，则，
则由得；
②当为边，为对角线时，如图2，同上，过点作轴，交于点，
由四边形为平行四边形，同样需满足，
则同理，由，得；
③当为对角线，为边时，如图3，过作轴于点，
若四边形为平行四边形，则可证，
∴
∴，，
∴；
综上所述，点坐标为，或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的判定与性质；轴对称的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，，
∴，
将B、C点代入中，得
解得，
∴．
故答案为：；
【分析】
（1）先求点 C 坐标：已知 A (-2，0)，AC=6，C 在 x 轴正半轴，所以从 A 往右数 6 个单位，横坐标就是 - 2+6=4，纵坐标是 0，所以 C (4，0)。再求直线 BC 解析式：已知 B (0，4) 和 C (4，0)，用待定系数法，把两点代入 y=kx+b，算出 k=-1，b=4，所以解析式是 y=-x+4。
（2）先算出△ABO 的面积，然后利用 “同底等高的三角形面积相等” 来做。
第一步，先求直线 AB 的解析式，把 A、B 坐标代进去，得到 y=2x+4。
第二步，△ABG 和△ABO 面积相等，说明点 G 到直线 AB 的距离，等于点 O 到直线 AB 的距离。
分两种情况：① G 在线段 BC 上：过 O 作和 AB 平行的直线（斜率相同），和 BC 的交点就是 G。联立两条直线方程，算出交点坐标（ ，)。
② G 在 CB 延长线上：因为距离相等，所以 G 和 G' 关于 B 对称，算出 G' 的坐标 (-，)。
（3）先求直线 AG 的解析式，把 A (-2，0) 和 G (，) 代进去，得到 y= x +。
然后分三种情况讨论平行四边形：
① BC 为边，CN 为边：过 B 作 x 轴平行线交 AG 于 M，算出 M 的坐标，再根据平行四边形对边相等，BM=CN，算出 N 的坐标 (7，0)。
② BC 为对角线，CN 为边：同样过 B 作 x 轴平行线交 AG 于 M，算出 M 坐标，再根据平行四边形对角线互相平分，算出 N 的坐标 (1，0)。
③ BC 为边，CN 为对角线：过 M 作 x 轴垂线，证明三角形全等，得到 M 的坐标，再算出 N 的坐标 (-11，0)。
最后汇总所有情况，得到 N 的三个坐标。
（1）解：∵，，
∴，，
∴，
将B、C点代入中，得
解得，
∴．
故答案为：；
（2）设直线的解析式为，将代入，
∴，解得，
∴，
∵与面积相等，
则点到直线的距离等于点到直线的距离，
①当点在线段上时，如图，过点作与平行的直线，与的交点即为点，
则可知直线的解析式为，
当时，
解得，即，
将代入，得，
∴
②当点在延长线上时，如图，设此时为，
结合①知，当时，，
过作轴于点，过作轴于点，
则由知，
，
∴，
则；
综上所述，点坐标为或．
（3）由和，同理得直线解析式为，
①当为边，为边时，如图1，过点作轴，交于点，
要使四边形为平行四边形，则只需满足，
由知，
将代入到直线∶中，得，
解得，
∴，则，
则由得；
②当为边，为对角线时，如图2，同上，过点作轴，交于点，
由四边形为平行四边形，同样需满足，
则同理，由，得；
③当为对角线，为边时，如图3，过作轴于点，
若四边形为平行四边形，则可证，
∴
∴，，
∴；
综上所述，点坐标为，或．
26．在中，，点为直线上的动点（点不与点C、D重合），连接，将射线绕点顺时针旋转与直线交于点．
（1）当点在线段上时，若．
①如图1，求证；
②如图2，连接，若，当是以为底的等腰三角形时，求线段的长；
（2）若，请求出线段的长．
【答案】（1）解：①过点P作的延长线于点M，作于点N．如图
∴
∵，四边形是平行四边形，，
∴
∴
∴，是等腰直角三角形
∴
∴四边形是矩形，且，
∴四边形是正方形
∴，
∴，
∵
∴，
∴
∴
∴．
②∵
∴
即
或（不合题意，舍去）
∴
设正方形的边长为x，则
∴，，
∵，四边形为平行四边形，
∴
∴
∵是以为底的等腰三角形，
∴
∴
即，
解得，
∴，
∴．
（2）①当点P在的延长线上时，过点A作于点M，延长至点F，使，连接，∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，，
∴
∴
∴
∴，
∵
∴是等边三角形
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∴．
②当点P在线段之间时，过点A作于点M，在上截取点F，使，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴
，
∴，
∴，
∴，
∴
∴．
③当点P在线段的延长线上时，如图
有，
∴，不符合题意，舍去．
综上所述，的长为或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【分析】(1)①因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AB∥CD，∠DAB=∠C=45°。又 AD=BD，所以 △ABD 为等腰三角形，∠ABD=∠DAB=45°。由三角形内角和可得 ∠ADB=90°，即 BD⊥AD。由两直线平行内错角相等，得 ∠MDP=45°。过点 P 作 PM 垂直 AD 的延长线，作 PN⊥DE。可证 △DMP 是等腰直角三角形，DM=PM。结合垂直关系，四边形 DMPN 四个角都是直角，是矩形，又邻边相等，因此该矩形为正方形，得 PM=PN，∠MPN=90°。由题意旋转角 ∠APE=90°，通过同角的余角相等，推出 ∠APM=∠EPN。再结合两组直角相等、直角边相等，可证 △AMP 与 △ENP 全等。根据全等三角形对应边相等，即可得出 PA=PE。
②在直角三角形 ABD 中，AD=BD，AB=2，利用勾股定理可求出 AD 与 BD 的长度。设正方形 DMPN 的边长为 x，用含 x 的式子表示出 AM、PD、PC 各条线段。由全等性质可知 NE=AM，统一用未知数表示相关线段。因为 △PEC 以 CE 为底，所以两腰 PE=PC。在 Rt△PNE 中，依据勾股定理列出等式，展开并化简方程，求出未知数的值。将数值代入，依次求出 NE、DE 的长度，后根据线段之差，用 DE 减去 BD，即可求出 BE 的长度。
（2）由平行四边形性质及 AD=BD，可得 △ABD 为等边三角形。过点 A 作 AM 垂直 CD，构造直角三角形，利用特殊角边长关系，求出 DM 与 AM。再在直角三角形 APM 中，由勾股定理算出 PM 的长。当点 P 在线段 CD 上或 CD 延长线上时，分别求出 PD 的长度。借助 60° 角构造等边三角形，得到相等的边与角，结合旋转角进行角度等量代换，证明两组三角形全等，转化对应线段长度。利用线段的和差关系，分别求出两种情况下 DE 的长，进而算出 BE。当点 P 在 DC 延长线上时，线段长度相互矛盾，不符合题意，直接舍去。综上整合有效情况，得出 BE 的两个结果。
（1）解：①过点P作的延长线于点M，作于点N．如图
∴
∵，四边形是平行四边形，，
∴
∴
∴，是等腰直角三角形
∴
∴四边形是矩形，且，
∴四边形是正方形
∴，
∴，
∵
∴，
∴
∴
∴．
②∵
∴
即
或（不合题意，舍去）
∴
设正方形的边长为x，则
∴，，
∵，四边形为平行四边形，
∴
∴
∵是以为底的等腰三角形，
∴
∴
即，
解得，
∴，
∴．
（2）①当点P在的延长线上时，过点A作于点M，延长至点F，使，连接，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，，
∴
∴
∴
∴，
∵
∴是等边三角形
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∴．
②当点P在线段之间时，过点A作于点M，在上截取点F，使，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴
，
∴，
∴，
∴，
∴
∴．
③当点P在线段的延长线上时，如图
有，
∴，不符合题意，舍去．
综上所述，的长为或．
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