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2026 年中考部分学校第一次月考数学试题
A．a＜0
B．a＞0
C．a＜﹣1
D．a＞﹣1
6
．（3 分）如图，在△ABC 中，∠B＝45°，∠C＝60°，BC＝6，点 P 为 AC 边上一动点，PE
一．选择题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）
⊥
AB 于点 E，PF⊥BC 于点 F，连接 EF，则 EF 的最小值为（
）
1
．（3 分）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入 5 元记
作+5 元，那么支出 6 元记作（
A．+6 元 B．0 元
．（3 分）盖碗茶，是一种上有茶盖、下有茶托、中有茶碗的茶具，又称“三才碗”，盖为天、
）
C．﹣6 元
D．﹣1 元
2
托为地、碗为人．品茶时托碗闻香，茶盖可拨动茶叶、调节浓度，茶托防烫手且稳固，茶碗聚
香留味，三者合一，既美观又实用．如图，是一种盖碗茶的实物图，关于它的三视图，下列说
法正确的是（
）
A．
B．
C．3
D．
7
．（3 分）如图，在△ABC 中，DE 平行于 BC，若
，则 DE：BC 的值为（
）
A．主视图与左视图相同
B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同
D．三种视图都相同
3
．（3 分）若 x＝﹣1 是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx﹣1＝0 的一个根，则 2022﹣2a+2b 的值为
（
）
A．3：2
B．2：3
C．1：4
D．4：1
A．2019
B．2020
C．2021
D．2022
8．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，平行四边形 ABCD 的顶点 A、B 在 x
4
．（3 分）下列计算正确的是（
）
轴的正半轴上，顶点 C 在第一象限内，顶点 D 在 y 轴的正半轴上，对角线 AC 和 BD 相交于点 E
A．
B．
C．
D．
且 AC⊥AB，函数
的图象经过点 E．若平行四边形 ABCD 的面积为 8，则 k
5
．（3 分）若（x ，y ），（x ，y ）这两个不同点在 y 关于 x 的一次函数 y＝（a+1）x﹣1 图象上， 的值为（
）
1
1
2
2
且 y 随 x 增大而减小，则 a 的取值范围是（
）
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A．2
B．4
C．6
D．8
二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）
4
3
2
9
1
．（3 分）已知多项式 2x ﹣（a+1）x +（b﹣2）x ﹣3x﹣1 是关于 x 的四次三项式，则 ab＝
．
1
3．（3 分）如图，将透明直尺叠放在五个内角均相等的五边形 ABCDE 上，若直尺的下沿与边
0．（3 分）不等式 x﹣2＜3 的解集是
1．（3 分）某品牌电视机搞促销，优惠方案如图所示．若该电视机原价每台为 a 元，则用代数
式表示售价为 元．
．
AE 垂直于点 A，与 BC 交于点 F，则∠AFC 的度数为
．
1
1
2．（3 分）如图，⊙O 的半径为 4，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠BCD＝130°，点 C 是弧 BD
14．（3 分）如图，矩形纸片 ABCD，AB＝4，BC＝8，点 M、N 分别在矩形的边 AD、BC 上，将
矩形纸片沿直线 MN 折叠，使点 C 落在矩形的边 AD 上，记为点 P，点 D 落在 G 处，连接 PC，
交 MN 于点 Q，连接 CM．下列结论：①四边形 CMPN 是菱形；②点 P 与点 A 重合时，MN＝5；
的中点，则弧 BC 的长为
．
③
△PQM 的面积 S 的取值范围是 4≤S≤5，其中所有正确结论的序号是
．
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（
2）如图 2，若 EF∥AB，AD＝BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的所有平
行四边形．
8．（6 分）时下正是定安县水果采摘的季节，王先生带着全家去踏青采摘“潭黎圣女果”和“谭
1
榄洋蓝莓”，若采摘 2 盒圣女果和 1 盒蓝莓需付 40 元，若采摘 1 盒圣女果和 3 盒蓝莓需付 70 元．
请问这两种水果每盒各是多少元？
1
9．（6 分）图（1）、图（2）是两张形状，大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的
三．解答题（共 10 小题，满分 78 分）
边长均为 1，请在图（1）、图（2）网格中分别画出符合要求的图形．（所画图形各顶点必须与方
1
1
5．（6 分）先化简，再求值：
，其中 m 满足 m2+2m﹣3＝0．
格纸中的小正方形顶点重合，并且用格尺规范作图）．
（1）在图（1）中画出一个
ABCD 的面积为
2）在图（2）画出一个周长为 20，面积为 24 的矩形 EFMN．
ABCD，使其周长为 10+2 ；直接写出图（1）中你所画出的
6．（6 分）乐乐和爸爸计划在春假期间乘动车外出旅游，在网上购票时，乐乐选定的车厢只剩
一排有余座（如图），若此时 A、F 座都已售出，其余座位由系统随机分配．
；
（
（
1）乐乐的座位恰好靠近过道的概率是
；
（
2）求乐乐和爸爸相邻而坐（不包括相隔过道而坐的情况）的概率．
1
7．（6 分）已知，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AC 为对角线，点 O 是 AC 的中点，过点 O 的
直线 EF 分别交 AD、BC 于点 E、F，连接 CE、AF．
2
0．（8 分）为保障劳动者的基本生活和合法权益，某市调整了最低工资标准．该市政府从甲、
乙两个企业各随机抽取了相同数量的员工，对其月平均工资（单位：千元）情况进行了调查，
已知甲企业的调查结果整理成如图所示的条形图，乙企业的调查数据如下：5，4，9，12，4，4，
5
，9，4，4．
（
（
1）分别求出本次调查甲、乙两个企业被抽取员工的月平均工资的平均数、中位数和众数．
2）小星说：“我的月平均工资为 6 千元，比我们企业大部分人的工资都高．”请你判断小星是
（
1）如图 1，求证：四边形 AFCE 是平行四边形；
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哪个企业的员工，并说明理由．
3）当企业员工的薪资差距较大时，平均工资是否还能代表企业整体薪资？对此你有什么评价？ ①在△ABC 的三条边 AB，BC，AC 中，⊙O 的“交割线段”是
点 M 是直线 OB 上的一个动点，过点 M 作 MN⊥x 轴，垂足为 N，若线段 MN 是⊙O 的“交
割线段”，求点 M 的横坐标 m 的取值范围；
2）已知三条直线 y＝3，y＝﹣x，y＝﹣2x+3 分别相交于点 D，E，F，⊙T 的圆心为 T（0，t），
（1）如图，⊙O 的半径为 2，点 A（0，2），B（2，2），C（﹣1，0）．
（
；
②
（
半径为 2，若△DEF 的三条边中有且只有两条是⊙T 的“交割线段”，直接写出 t 的取值范围．
2
1．（8 分）加强劳动教育，落实五育并举．梁湖中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实
践基地，2024 年计划将其中的 500m2 土地全部种植甲、乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种
2
2
植成本 y（单位：元/m ）与其种植面积 x（单位：m ）的函数关系如图所示，其中 100≤x≤350；
乙种蔬菜的种植成本为 25 元/m2．
2
2
（
（
（
1）当 x＝
m 时，y＝15 元/m ；
23．（12 分）对于平面内的∠MAN 及平面内的一点 P，设点 P 到直线 AM，AN 的距离分别为 d1，
2）学校计划投入甲、乙两种蔬菜总种植成本 W 元，求出 W 与 x 之间的函数解析式；
d2，称
和
这两个数中较大的一个为点 P 关于∠MAN 的“偏率”，记作 d（P，∠MAN）．在
3）如何分配甲、乙两种蔬菜的种植面积才能使总种植成本最小？最小种植成本是多少元？
平面直角坐标系 xOy 中，点 M，N 分别为 x 轴正半轴，y 轴正半轴上的两个点．
2
2．（8 分）在平面直角坐标系 xOy 中，对于⊙G 和线段 AB 给出如下定义：如果线段 AB 上存在
点 P，Q，使得点 P 在⊙G 内，且点 Q 在⊙G 外，则称线段 AB 为⊙G 的“交割线段”．
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（
1）在点 P （1，5），P （6，6），P （4，1）中，点
（填“P ”、“P ”、“P ”）关
1
2
3
1
2
3
于∠MON 的“偏率”最大；
（
（
2）若点Q（a，2﹣a）在第一象限，且关于∠MON的“偏率”为2，则a＝
3）已知点 A（1，2），B（4，1），C（3，3），点 D 为△ABC 内部一点（含边界），求点 D 关
；
于∠MON 的“偏率”d（D，∠MON）的取值范围；
（
＞
“
4）在第（3）问的前提下，通过观察发现，若将第（3）问中的△ABC 向左平移 k 个单位（k
0）得到△A′B′C′，点 D′为△A′B′C′内部一点（含边界），则点 D′关于∠MON 的
偏率”的取值范围恰好与点 D 关于∠MON 的“偏率”的取值范围相同，请直接写出 k 的值．
2
4．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 P、Q 均在抛物线 y＝x2+bx﹣3 上，
其横坐标分别为 m、1﹣2m，抛物线上点 P、Q 之间的部分记为图象 G．过点 Q 作 QA⊥x 轴于
点 A，该抛物线的顶点 B 的横坐标为 1．
（
（
（
（
1）求此抛物线的解析式；
2）连接 OP，当 OP⊥x 轴时，求点 Q 的坐标；
3）当点 B 是图象 G 的最低点，且 AQ＝3 时，求图象 G 最高点与最低点的纵坐标的差；
4）当点 B 是图象 G 的最低点，且点 P 到 AQ 的距离等于 AQ 时，直接写出 m 的值．
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＝2m2+4m，
参考答案
∵
∴
m2+2m﹣3＝0，
2
2
m +2m＝3，原式＝2（m +2m）＝2×3＝6，
题号
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
1
6．
C．
A
B
C
C
A
B
B
解：（1）由题意可知，3 个座位中有 2 个座位恰好靠近过道，
9
．
则概率是 ，
﹣
2．
故答案为： ．
1
0．
x＜5．
1．
0.9a﹣90）．
2．
（2）列表如下：
1
B
C
D
（
B
C
D
（B，C）
（B，D）
（C，D）
1
（C，B）
．
（D，B）
（D，C）
1
1
1
1
1
3．
由表格可知，共有 6 种等可能情况，其中乐乐和爸爸相邻而坐的情况有 2 种，
则乐乐和爸爸相邻而坐（不包括相隔过道而坐的情况）的概率为
7．
26°．
4．①③．
5．
．
1
（
∴
∵
∴
1）证明：∵AD∥BC，
∠EAO＝∠FCO，
点 O 是对角线 AC 的中点，
OA＝OC，
5．
解：
，
在△AOE 和△COF 中，
＝
2m（m+2）
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解：（1）如图， ABCD 即为所求，
，
∴
∴
△AOE≌△COF（ASA），
OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴
（
∴
∵
∴
∴
∴
四边形 AFCE 是平行四边形；
2）解：∵AD∥BC，AD＝BC，
四边形 ABCD 是平行四边形，
EF∥AB，AD∥BC，
∵
ABCD 周长为
，
∴
∴
ABCD 的长为 5，高为 2，
四边形 ABFE 是平行四边形，
AE＝BF，
面积为 5×2＝10，
故答案为：10；
DE＝CF，
（
2）如图，矩形 EFMN 即为所求，
又∵AD∥BC，
∴
∴
四边形 DEFC 是平行四边形，
图中的平行四边形有 ABCD， ABFE， AFCE， EFCD．
1
8．
解：设每盒“潭黎圣女果”x 元，每盒“谭榄洋蓝莓”y 元，
根据题意得：
解得：
，
．
2
0．
答：每盒“潭黎圣女果”10 元，每盒“谭榄洋蓝莓”20 元．
9．
解：（1）甲企业：提取数据：由条形图可知，工资分布为：4 千元（1 人），5 千元（2 人），6
1
千元（4 人）， 千元（ 人）， 千元（ 人），
7
2
8
1
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平均数：
将 x＝100，y＝10 和 x＝300，y＝20 代入 y＝kx+b，
x
6（千元）；
甲
得
，
中位数：将 10 个数据从小到大排列，中间第 5、6 个数据均为 6，故中位数为 6；
众数：数据 6 出现次数最多（4 次），故众数为 6；
解得
，
乙企业：
∴
y 与 x 之间的函数关系式为 y
x+5（100≤x≤300），
整理数据：给出的数据为[5，4，9，12，4，4，5，9，4，4]，排序后为[4，4，4，4，4，5，5，
当 y＝15 时，得 x+5＝15，解得 x＝200．
9
，9，12]，
平均数：
故答案为：200．
2
2
（
2）根据题意，甲种蔬菜种植面积为 xm ，则乙种蔬菜种植面积为（500﹣x）m ．
x
6（千元），
乙
当 100≤x≤300 时，甲种蔬菜种植成本为（ x+5）x 元，乙种蔬菜种植成本为 25（500﹣x）元，
中位数：中间第 5、6 个数据为 4 和 5，故中位数为
4.5，
∴
W＝（ x+5）x+25（500﹣x）
x2﹣20x+12500；
众数：数据 4 出现次数最多（5 次），故众数为 4；
（
2）结论：小星是乙企业的员工．
当 300＜x≤350 时，甲种蔬菜种植成本为 20x 元，乙种蔬菜种植成本为 25（500﹣x）元，
理由：甲企业中位数为 6，意味着 6 千元是企业薪资的中间水平，并不高于大部分人工资，
∴W＝20x+25（500﹣x）＝﹣5x+12500．
乙企业中位数为 4.5，说明有超过一半的员工工资低于 4.5 千元，6 千元远高于多数员工的收入
综上，W 与 x 之间的函数解析式为 W
．
水平，
因此，小星所在的企业是乙企业；
（
3）当 100≤x≤300 时，W
x2﹣20x+12500
（x﹣200）2+10500，
（
3）结论：当薪资差距较大时，平均工资不能代表企业整体薪资，
当 x＝200 时，W 取最小值，W 最小＝10500，此时乙种蔬菜种植面积为 500﹣200＝300（m2）；
评价：平均数容易受到极端值（如乙企业的 12 千元高薪）的影响，从而拉高整体均值．这种情
况下，平均数会偏离大多数员工的实际收入水平，无法反映多数人的薪资情况．此时，使用中
位数或众数来代表企业整体薪资会更合适、更客观．
当 300＜x≤350 时，W＝﹣5x+12500，
∵
∴
﹣5＜0，
W 随 x 的增大而减小，
2
1．
解：（1）当 100≤x≤300 时，设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝kx+b（k、b 为常数，且 k≠0）．
∴
当 x＝350 时，W 取最小值，W 最小＝﹣5×350+12500＝10750，此时乙种蔬菜种植面积为
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00﹣350＝150（m2）；
∴线段
AC
上没有点在⊙O 外，线段
BC 上有点在⊙O 内，也有点在⊙O 内，
∵
∴
10500＜10750，
甲种蔬菜种植面积 200m ，乙种蔬菜种植面积 300m 可使总种植成本最小，最小种植成本是
∴线段 AC 不是⊙O 的“交割线段”，线段 BC 是⊙O 的“交割线段”，
故答案为：BC；
2
2
1
2
0500 元．
②如图 1.2 所示，设直线 OB 在 x 轴上方与⊙O 交于 T，过点 T 和点 B 分别作 x 轴的垂线，垂足
分别为 G、H，设 T（t、t），
2．
解：（1）①如图 1.1，
∴
OH＝BH＝2，OG＝TG＝t，
此时点 H 网好在⊙O 上，且此时 BH 与⊙O 相切；
∵
∴
∴
⊙O 的半径为 2，
OT＝2，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
A（0，2），B（2，2），
OA＝2，OA⊥AB，
2
2
2
t +t ＝2 ，
解得
或
（舍去），
点 A 在⊙O 上，
⊙O 与 AB 相切，
∴由函数图象可知，当点 M 在 BT 之间（不包括端点），即
时，线段 MN 是⊙O 的“交
线段 AB 上没有点在⊙O 外，
线段 AB 不是⊙O 的“交割线段”，
割线段”；
由对称性可得：当
综上所述，当
时，线段 MN 是⊙O 的“交割线段”；
时，线段 MN 是⊙O 的“交割线段”；
∵
∴
OC＝1＜2，
，
或
点 C 在⊙O 内，点 B 在⊙O 外，
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（
2）3
t≤1 或 2
t＜5；理由如下：
联立
，
，
解得：
∴
E（﹣3，3），
同理可得 D（0，3），F（3，﹣3）；
如图 2.1 所示，当⊙T 恰好经过点 D 时，
∵
∴
∴
E（﹣3，3），D（0，3），
DE＝OD＝3，DE⊥OD，
∠DOE＝45°，
由切线的性质可得∠THO＝90°，
∴
∵
△TOH 是等腰直角三角形，
，
∴
当
时，DE，DF 是⊙T 的“交割线段”，EF 不是⊙T 的“交割线段”；
∴
∴
TD＝2，
如图 2.3 所示，当⊙T 恰好经过点 D 时，
t＝2+3＝5；
如图 2.2 所示，当⊙T 恰好与 EF 相切于 H 时，连接 TH，
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∴
∴
，
；
由切线的性质可得∠TPD＝90°，TP＝2，
∴
∴
，
，
，
∴
∴
∴
，
t＝3﹣2
当 3﹣2
t≤1 时，EF，DF 是⊙T 的“交割线段”，DE 不是⊙T 的“交割线段”；
t≤1 或 2 t＜5 时，△DEF 的三条边中有且只有两条是⊙T 的“交
∴
∴
TD＝2，
t＝3﹣2＝1；
综上所述，当 3
如图 2.4 所示，
割线段”．
2
3．
解：（1）在平面直角坐标系 xOy 中，点 M，N 分别为 x 轴正半轴，y 轴正半轴上的两个点，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
P1（1，5），
P1 到坐标轴的距离分别为 1，5；
P2（6，6），
P2 到坐标轴的距离分别为 6，6；
P3（4，1），
P3 到坐标轴的距离分别为 4，1，
d（P ，∠MON）＝5，d（P ，∠MON）＝1，d（P ，∠MON）＝4，
1
2
3
当⊙T 恰好与 DF 相切于 P 时，连接 TP，设直线 DF 与 x 轴交于 Q，
P1 关于∠MON 的“偏率”最大，
∴
，
故答案为：P1；
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（
2）∵点 Q（a，2﹣a）在第一象限，且关于∠MON 的“偏率”为 2，
依题意得：
，
解得：0＜a＜2，
当 a＞2﹣a，即 a＞1 时，得：
解得：
当 a＜2﹣a，即 a＜1 时，得：
，
，
，
解得：
，
综上所述，a
或 ；
故答案为： 或 ；
根据定义可得当点在角的角平分线上时，点的“偏率”最小为 1，
（
3）∵点 A（1，2），B（4，1），C（3，3），点 D 为△ABC 内部一点（含边界），
∴
∵
∴
∴
∴
d（C，∠MON）＝1，则 d（D，∠MON）的最小值为 1，
A（1，2），B（4，1），
A 到坐标轴的距离分别为 1，2，B 到坐标轴的距离分别为 4，1，
d（D，∠MON）的最大值为 d（B，∠MON）＝4，
1≤d（D，∠MON）≤4；
（
4）k＝0.5 或
．理由如下：
由（3）可得 1≤d（D，∠MON）≤4，
∴1≤d（D′，∠MON）≤4，则当象限平分线经过平移后的△A′B′C′，确保能取到最小值
1
，
A（1，2），B（4，1），C（3，3）向左平移 k 个单位（k＞0）得到 A′（1﹣k，2），B（4﹣k，1），
C（3﹣k，3），
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分情况讨论，求得最大值为 4 时，点的位置；
①当 A′（1﹣k，2），B（4﹣k，1），C（3﹣k，3）在第一象限时，如图 2，OC 为∠MON 的角
平分线，
当 B′更靠近 y 轴，则
解得： ；
，
A′更靠近 y 轴，则
解得：k＝0.5；
此时
，
A′，C′位于 OC″两侧，能满足 d（D′，∠MON）取到最小值 1，
∵点 D′为△A′B′C′内部一点（含边界），
∴
1≤d（D′，∠MON）≤4，
，
，
综上所述，k＝0.5 或
．
∵
∴
②
点 D′为△A′B′C′内部一点（含边界），
1≤d（D′，∠MON）≤4；
24．
当 A′（1﹣k，2），B（4﹣k，1），C（3﹣k，3）在第一象限时，如图 3，C″（﹣3，3），
解：（1）∵抛物线 y＝x2+bx﹣3 的顶点 B 的横坐标为 1，
∴
∴
抛物线的对称轴为直线 x＝1，
，解得 b＝﹣2，
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∴
抛物线的解析式为 y＝x2﹣2x﹣3；
x2﹣2x﹣3＝3，解得 x＝1±
，
∴
∴
点 Q（1
，3）或（1
，3），
（
∴
∴
∴
∴
2）当 OP⊥x 轴时，点 P 为抛物线与 y 轴的交点，
m＝0，
1﹣2m＝1
，或 1﹣2m＝1
，解得 m
或
，
1﹣2m＝1，
∴
∴
点 P 的坐标为（
，
）或（
，
）．
当 x＝1 时，y＝﹣4，
点 Q 的坐标为（1，﹣4）；
图象 G 最高点与最低点的纵坐标的差为 3﹣（﹣4）＝7；
综上，图象 G 最高点与最低点的纵坐标的差为 7 或
；
（
∴
①
3）∵AQ＝3，
yQ＝±3，
（4）∵
Q
的横坐标为 1﹣2m，
当点 Q 在 x 轴下方时，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
Q（1﹣2m，4m2﹣4），
x2﹣2x﹣3＝﹣3，解得 x＝0 或 2，
QA⊥x 轴于点 A，
∴
∴
点 Q（2，﹣3）或（0，﹣3），
AQ＝|4m2﹣4|，
1﹣2m＝2 或 1﹣2m＝0，解得
或 ，
）．
点 P、Q 横坐标分别为 m、1﹣2m，
点 P 到 AQ 的距离为|1﹣2m﹣m|＝|1﹣3m|，
点 P 到 AQ 的距离等于 AQ，
|4m2﹣4|＝|1﹣3m|，
∴
点 P 的坐标为
或（ ，
∵
∴
当 x＝1 时，y＝﹣4，
点 B 坐标为（1，﹣4），
解得 m
或
（不合题意，舍去）或 m
或
，
当点 Q（0，﹣3），点 P 的坐标为（ ，
）时，点 B 不是图象 G 的最低点，故舍去．
∴
点 Q（2，﹣3），点 P 的坐标为
，
即 m 的值为
或 m
或
．
∴
②
图象 G 最高点与最低点的纵坐标的差为
；
当点 Q 在 x 轴上方时，
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◎
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