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山西运城市夏县中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则的虚部为（ ）
A．3 B． C． D．
3．在空间中，下列命题正确的是（ ）
A．若一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与该平面平行
B．若两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行
C．若一条直线与一个平面平行，则这条直线与平面内任意一条直线都平行
D．若点在直线上，点在平面内，则直线必在平面内
4．已知复数（），则的最小值为（ ）
A． B． C．10 D．20
5．在平面内，某物体在三个力，，作用下恰好处于平衡状态，其中，，现用的力作用在该物体上，使该物体从点移动到点，则力对该物体做的功为（ ）
A． B． C．7 D．22
6．已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．在区间上单调递减
B．
C．在区间上有5个零点
D．
7．函数在上有最小值，没有最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．在梯形中，，，点为对角线与的交点，线段上的点满足，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多选题
9．下列说法正确的有（ ）
A．棱柱的侧面一定是平行四边形
B．棱台的侧面一定不是平行四边形
C．棱锥的侧面是全等的三角形
D．圆柱的侧面沿一条母线展开，则展开图不一定是矩形
10．已知，为非零向量，下列能使成立的充分条件是（ ）
A．把和的起点重合，将绕起点逆时针旋转后所得向量与共线
B．在中，，，满足
C．在中，，，满足的面积等于
D．对于任意实数，的最小值恰好等于
11．的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则是钝角三角形
C．若，则 D．若，则为钝角三角形
三、填空题
12．已知角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，若点在角的终边上，则__________.
13．若是关于的方程（，均为实数）的一个复数根，则______.
14．已知向量在向量上的投影向量为，则__________；__________.
四、解答题
15．已知复数（，为虚数单位）在复平面内对应的向量为，为坐标原点，点，.
(1)当时，求；
(2)若向量，求实数的值.
16．如图，在正方体中，为棱的中点，为棱的中点.
(1)连接并延长，交平面于点，求证：三点共线；
(2)点在棱的延长线上，且，求证：平面平面.
17．已知复数，为正实数.
(1)若复数为纯虚数，求的值；
(2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限内，求的取值范围；
(3)是否存在，使得复数在复平面内对应的点落在直线上？并说明理由.
18．一个组合体由下部的正六棱柱和上部的圆锥拼接而成，圆锥的底面圆恰好是正六棱柱上底面的内切圆.其中正六棱柱的底面边长为2，高为2，圆锥的高为3.
(1)求圆锥的底面半径及母线长；
(2)求该组合体的体积；
(3)求该组合体的表面积.
19．已知中，内角，，的对边分别为，，，且满足，.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求的取值范围；
(3)若为锐角三角形，且该三角形的面积为9，边的长度是否可以为？并说明理由.
参考答案
1．C
【详解】.
2．B
【详解】，故，的虚部为.
3．B
【详解】对选项A：直线可能在平面内，不一定平行，故A错误；
对选项B：根据面面平行的性质，故B正确；
对选项C：若一条直线与一个平面平行，则这条直线与平面内的直线可能平行，可能异面，故C错误；
对选项D：直线可能与平面相交（仅该点在平面内），可能在平面内，故D错误.
4．A
【详解】由，
当时，取得最小值.
5．A
【详解】因为，所以，
则，又，
力对该物体做的功为.
6．B
【详解】对选项A：由可知函数的一个周期为2，所以在区间上的图象与在区间上相同.
又是偶函数，则时的单调性与时的单调性相反.
因时，单调递减，故时，单调递增，故时，单调递增，故A错误；
对选项B：，故B正确；
选项C：当时，令0，得，因为为偶函数，所以，又因为周期为2，所以，共6个零点，故C错误；
选项D：，，
因为当时，单调递减，
所以，即，故D错误.
7．D
【详解】函数中，当时，，
函数在上有最小值，没有最大值，
得，解得，
所以的取值范围是.
8．D
【详解】由可得，所以，
故，
则，
又点在线段上，设，，
则
，
所以解得此时点与点重合，
所以，
解得，，故.
9．AB
【详解】对于A，由棱柱的结构特征知，其侧面都是平行四边形，故A正确；
对于B，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，故B正确；
对于C，棱锥的侧面是三角形，不一定全等，故C错误；
对于D，因圆柱的母线垂直于两底面，故圆柱的侧面沿一条母线展开得到的一定是一个矩形，故D错误.
10．ABD
【详解】对于A中，因为，
所以把和的起点重合，将绕起点逆时针旋转后所得向量与共线，所以A正确；
对于B中，因为，则以，为邻边的平行四边形对角线相等，
以，为邻边的平行四边形为矩形，所以B正确；
对于C中，的面积为，
又，得，
整理得，故或，所以C错误；
对于D中，对于任意实数，的最小值恰好等于，
即对于任意实数，的最小值恰好等于，
因为，对于任意实数，
此表达式的最小值为，
所以，整理得，故，所以D正确.
11．ABD
【详解】对于选项，因为，根据大角对大边，可得，
由正弦定理得，故正确；
对于选项，因为，所以
而 ，
可得，
可知为钝角，所以为钝角三角形，故B正确；
对于选项，由，得，
即，由余弦定理得，
整理得，所以，
又因为大边对大角，则，故错误；
对于选项，因为，
，
所以，整理得，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
所以为钝角，则为钝角三角形，故正确.
12．
【详解】根据题意有：，所以，
所以.
13．3
【详解】由题意得关于的方程的两个复数根为和，
由韦达定理得，，得，故.
14． /0.25 108
【详解】因为，所以.
又因为，所以，又，所以，
所以
.
15．(1)
(2)或2
【详解】（1）依题意有，，
当时，，则，
故.
（2）若向量，则，
整理得，解得或2.
16．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）点直线，直线平面，所以点平面.
又因为点平面，所以点为平面与平面的公共点，
又因为平面平面，故点在直线上.
故三点共线.
（2）取的中点，连接，
因为为棱的中点，所以，
又因为，所以.
又，所以四边形为平行四边形，
所以.
因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
又因为平面平面，所以平面.
因为，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面平面，所以平面.
又因为平面，平面，
所以平面平面.
17．(1)
(2)
(3)存在，理由见解析
【详解】（1）要使复数为纯虚数，需满足
解得，即当时，是纯虚数.
（2）由在复平面内对应的点在第三象限，
可得，解得，即的取值范围为.
（3）存在.
若在复平面内对应的点在直线上，
则，即，
令，因为在区间上单调递增，
且，，
故在区间上存在唯一的，使得.
因此，存在使得复数在复平面内对应的点落在直线上.
18．(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）正六边形的内切圆半径（边心距）为，
即圆锥的底面半径为，
圆锥的高，则母线长.
（2）该组合体的体积＝正六棱柱的体积+圆锥的体积，
①正六棱柱的体积；
②圆锥的体积.
该组合体的体积.
（3）该组合体的表面积=正六棱柱的侧面积+正六棱柱的下底面面积+圆锥的侧面积+正六边形的面积与内切圆的面积之差，
①正六棱柱的侧面积；
②正六棱柱的下底面面积；
③圆锥的侧面积.
④；
该组合体的表面积.
19．(1)
(2)
(3)因为，所以的长度是不可以为.
【详解】（1）由得，
所以，由正弦定理得，
因为，，，故，
所以或.
当时，因为，所以，
所以，这与矛盾，故不成立，故，即.
（2）由得，
因为，所以，
当时，，即，
所以，，
根据三角形任意两边之和大于第三边，
得即所以，
因为函数在区间上单调递增，
，，，
所以的取值范围为.
（3）不可以，理由如下：
因为，所以，即.
因为为锐角三角形，故解得，
由正弦定理，可得，，
所以该三角形的面积，
所以
，
令，则，因为，所以，
因为函数在区间上单调递减，
所以，即，
因为，所以的长度不可以为.

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